Как найти область возрастания параболы

Содержание

• – Как определять возрастание и убывание функции?
• – Как определить возрастает или убывает функция парабола?
• – Как доказать что функция является убывающей?
• – Что такое промежутки монотонности?
• – Как найти область монотонности функции?
• – Как определить монотонная функция?
• – Как понять где возрастает парабола?
• – Как определить промежутки Знакопостоянства квадратичной функции?
• – Что такое гипербола и парабола?
• – Как понять что функция возрастает?
• – Как понять возрастает или убывает функция 7 класс?
• – Что такое убывающая функция?
• – Что такое промежутки монотонности функции?
• – Что такое промежутки монотонности квадратичной функции?
• – Как определить на каком промежутке функция возрастает?

Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x)<0 , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.

Как определять возрастание и убывание функции?

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. решить неравенства и на области определения;
4. к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Как определить возрастает или убывает функция парабола?

Графиком любой квадратичной функции является парабола. Ветви ее направлены либо вверх, либо вниз, в зависимости от знака коэффициента а. Если ветви направлены вверх, то квадратичная функция сначала убывает от –∞ до самой вершины параболы, а затем начинает возрастать от вершины до +∞.

Как доказать что функция является убывающей?

Функция является убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции убывают, то заданная функция убывает.

Что такое промежутки монотонности?

Промежутки монотонности функции y = f (x) – это такие интервалы значений аргумента х, при которых функция y = f (x) возрастает либо убывает. …

Как найти область монотонности функции?

Для исследования функции на монотонность необходимо:

1. найти её производную ;
2. найти критические точки функции как решения уравнения ;
3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;

Как определить монотонная функция?

Монотонная функция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает. Функция y=f(x) называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.

Как понять где возрастает парабола?

Теория: Графиком квадратичной функции y = a x 2 ( a ≠ 0 ) является парабола, вершина которой находится в начале координат. … Если при возрастании значений аргумента (x) возрастают также значения функции (y), то функция является возрастающей.

Как определить промежутки Знакопостоянства квадратичной функции?

Алгоритм нахождения промежутков знакопостоянства квадратичной функции y = ax2 + bx + c:

1. найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0, нанести их на числовую прямую;
2. если корни есть, то они разобьют числовую прямую на несколько промежутков – это и будут промежутки знакопостоянства.

Что такое гипербола и парабола?

Ключевое отличие: Парабола – это коническое сечение, которое создается, когда плоскость разрезает коническую поверхность параллельно стороне конуса. Гипербола создается, когда плоскость разрезает коническую поверхность, параллельную оси.

Как понять что функция возрастает?

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Как понять возрастает или убывает функция 7 класс?

линейная функция или возрастает, или убывает. Если k>0, то линейная функция y = kx + m возрастает; если k<0, то линейная функция y = kx + m убывает.

Что такое убывающая функция?

Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Что такое промежутки монотонности функции?

Определение 2: Промежутки области определения, на которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности функции.

Что такое промежутки монотонности квадратичной функции?

Монотонность, промежутки знакопостоянства квадратичной функции … Функция убывает на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Промежутки убывания и возрастания функции называются промежутками монотонности функции.

Как определить на каком промежутке функция возрастает?

Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x)<0 , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.

Интересные материалы:

Что произошло со Швабриным в конце произведения?
Что произошло в 1984 Apple?
Что произошло в ссср в 1977?
Что проходят на астрономии?
Что проводят сосуды?
Что раньше использовалось в баскетболе вместо колец?
Что раньше носили вместо трусов?
Что расширяется при нагревании тела?
Что рассказал смотритель рассказчику о Дуне?
Что разделяет Северную и Евразию?

Математика

Тестирование онлайн

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с – числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x²

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) – начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке – возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x² – частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

В предложенном Вами примере необходимо найти промежутки убывания и возрастания квадратичной функции, поэтому для начала Вам требуется найти абсциссу вершины параболы, являющейся графиком этой самой квадратичной функции. Формула для ее нахождения выглядит так:

Подставляя значения из нашего примера, получим х0=10. Поскольку коэффициент а в нашем случае положителен (он равен 1/4), то заданная функция убывает на промежутке (–∞, 10) и возрастает на промежутке (10, +∞).

Можно использовать и другой метод. Находим производную заданной функции:

f'(x)=x/2-5

и определяем ее нули:

х1=10.

Функция будет убывающей в интервале, в котором производная меньше нуля, и возрастает в интервале, в котором производная больше. В нашем случае получаем все тот же ответ: она убывает на промежутке (–∞, 10) и возрастает на промежутке (10, +∞).

План урока:

Возрастание и убывание функций

Промежутки монотонности основных функций

Свойства монотонных функций

Четные и нечетные функции

Свойства четных и нечетных функций

Ограниченные и неограниченные функции

Квадратичная функция

Возрастание и убывание функций

Посмотрим на график произвольной функции:

Видно, что область определения ф-ции – это промежуток [– 6; 4].

На графике сначала ф-ция как бы «поднимается». При увеличении х растет значение у. Так происходит до точки (1; 5). После этого ситуация меняется, при увеличении аргумента значение ф-ции начинает падать. В математике принято говорить, что ф-ция возрастает на промежутке [– 6; 1] и функция убывает на промежутке [1; 4]. Можно сказать и иначе – ф-ция у является возрастающей функцией на множестве [– 6; 1] и убывающей функцией на множестве [1; 4].

Рассмотрим это определение возрастающей функции подробнее. Построим произвольную возрастающую ф-цию и выберем на ней две точки со значениями аргумента х₁ и х₂. Также отметим значения ф-ции в этих точках, у(х₁) и у(х₂):

По определению, если х₁ меньше х₂, то и у(х₁) <у(х₂). Другими словами, из двух точек та, которая располагается левее (то есть имеет меньшее значение х), будет одновременно располагаться и ниже, (то есть иметь меньшее значение у).

Мы видим возрастание функции на промежутке [– 6; 5]. Однако она также будет возрастать и на любом другом промежутке, который является частью отрезка [– 6; 5]. Например, можно сказать, что она возрастает на промежутке [1; 3] или [– 2; 0].

Аналогично дается и определение убывающей ф-ции:

По сравнению с определением возрастающей ф-ции изменился лишь один символ, в последнем неравенстве для у(х₁) и у(х₂) стоит знак «больше» а не меньше. Покажем пример убывания функции.

Заметим, что в приведенных определениях используются строгие неравенства со знаками «>»и «<». Однако в математике используются и нестрогие неравенства, содержащие знаки «≤» и «≥». С их использованием можно записать ещё 2 определения:

 

Приведем пример неубывающей ф-ции:

Здесь х₁<x₂<x₃<x₄. Видно, что, например, у(х₁) <у(х₂). Однако у(х₂) = у(х₃). Получается, что на графике ф-ции есть плоская «площадка» на промежутке [1; 3]. Для всех значений х из этого промежутка у = 3,5. Из-за этой площадки ф-цию нельзя считать строго возрастающей.

Теперь покажем пример невозрастающей ф-ции:

Здесь также есть плоские «площадки», из-за которых ф-цию нельзя считать просто убывающей.

Ясно, что всякая возрастающая ф-ция является неубывающей, а каждая убывающая ф-ция одновременно считается и невозрастающей.

В математике часто вместо всех этих терминов используют понятие монотонности. Дадим определение монотонной функции:

Если же ф-ция убывает или возрастает на промежутке (то есть не имеет плоской площадки), то говорят, что она строго монотонна.

Рассмотрим ф-цию, изображенную на рисунке:

Ф-ция возрастает на промежутках [– 6; –2] и [3; 4,5], а также убывает на промежутках [– 2; 1,5] и [2,5; 3]. Значит, на каждом из этих промежутков ф-ция строго монотонна. На отрезке [-2; 3] ф-ция невозрастающая, поэтому здесь она просто монотонна. Любой промежуток, на котором ф-ция монотонна, называют промежутком монотонности.

Различают как промежутки убывания функции, так и промежутки возрастания функции.

Понятно, что если ф-ция строго монотонна, то она и просто монотонна. В большинстве школьных задач не важна строгость монотонности, поэтому слово «строго» часто опускают.

Во всех данных определениях рассматривалось поведение ф-ции на каком-то отдельном числовом промежутке. Одна и та же ф-ция может на одном числовом промежутке возрастать, а на другом убывать. Однако некоторые ф-ции сохраняют свой характер на всей своей области определения. Например, линейная ф-ция у = 2х – 3 возрастает на протяжении всей числовой прямой, то есть на промежутке (– ∞; + ∞):

В большинстве случаев промежутки монотонности ф-ции очевидны, исходя из графика ф-ции. Однако и без их построения можно аналитически доказывать монотонность ф-ции.

Пример. Докажите, что ф-ция у = 2х – 3 возрастает на промежутке (– ∞; + ∞).

Решение. Выберем произвольные числа х₁ и х₂, причем х₁< х₂. Разность (х₂ – х₁) будет, очевидно, положительным числом. Найдем теперь разность (у(х₂) – у(х₁)):

у(х₂) – у(х₁) = (2х₂ – 3) – (2х₁ – 3) = 2х₂– 3 – 2х₁+ 3 = 2х₂ – 2х₁ = 2(х₂ – х₁)

Так как (х₂ – х₁) – положительное число, то и 2(х₂ – х₁), а значит, и (у(х₂) – у(х₁)) – тоже положительное число. Если же разность двух числе положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого. Значит, у(х₂) > у(х₁). По определению получаем, что у = 2х – 3 – возрастающая ф-ция.

Промежутки монотонности основных функций

Мы ранее уже изучили несколько видов ф-ций. Посмотрим, какие у них промежутки монотонности.

Поведение линейной ф-ции у = kх + b зависит исключительно от значение коэффициента k. Если он больше нуля, то функция возрастает на промежутке (– ∞; + ∞), то есть на всей числовой прямой. Если же k< 0, то ф-ция будет убывать. Если k = 0, то график будет выглядеть как горизонтальная линия. Её можно считать одновременно и неубывающей, и невозрастающей ф-цией. Приведем примеры на рисунке:

Поведение обратной пропорциональности у = k/х также зависит от значения k. Если он больше нуля, то ф-ция убывает на двух промежутках: (– ∞;0) и (0; + ∞).

Здесь стоит обратить внимание, что, хотя у ф-ции нет ни одного участка, на котором бы она возрастала, нельзя утверждать, что обратная пропорциональность убывает на всей своей области определения (– ∞; 0)∪(0; + ∞). Например, сравним значение ф-ции у = 5/х при х₁ = – 1 и х₂ = 1:

у(– 1) = 5/(– 1) = – 5

у(1) = 5/1 = 5

Получили, что для этих значений х₁<x₂, а у(– 1) <у(1), поэтому ф-цию нельзя считать убывающей на всей области определения.

Если в обратной пропорциональности коэффициент k отрицательный, то ф-ция возрастает на промежутках (– ∞;0) и (0; + ∞):

Ф-ция

возрастает на всей своей области определения, то есть на промежутке [0; + ∞):

Поведение степенной ф-ции у = хⁿ зависит от показателя n. Если он нечетный, то получается ф-ция, возрастающая на всей числовой прямой:

Если же число n четное, то степенная ф-ция будет убывать на промежутке (– ∞:0] и возрастать на промежутке [0; + ∞):

Пример. Найдите значения параметра a, при котором ф-ция

у = (5а – 2)х +16

является возрастающей.

Решение. Данная ф-ция является линейной ф-цией вида у = kx + b, где в роли коэффициента k выступает выражение (5а – 2). Ф-ция будет возрастать, если этот коэффициент будет больше нуля, то есть

5а – 2> 0

5а> 2

а > 0,4

Получаем, что ф-ция будет возрастающей при значениях а, больших 0,4, или, другими словами, при а∊(4; + ∞).

Ответ: а∊(4; + ∞).

Свойства монотонных функций

Монотонные функции имеют ряд примечательных свойств, которые могут помогать при решении задач. Вспомним, что некоторые ф-ции могут при различных значениях аргументов принимать одинаковое значение. Например, таковой является степенная ф-ция у = х²:

у(2) = 4

у(– 2) = 4

С точки зрения графиков это означает, что горизонтальная линия может пересекать график ф-ции в нескольких точках:

С другой стороны, это значит, что уравнение х² = 4 имеет два корня, 2 и ( – 2).

Если же ф-ция строго монотонна, то такая ситуация невозможна. Любое ее значение может быть получено только при одном значении аргумента.

Действительно, если ф-ция монотонна, то любая горизонтальная прямая сможет пересечь ее график не более чем в одной точке:

Это также означает, что, если у(х) – строго монотонная ф-ция, а b– произвольное число, то уравнение у(х) = b имеет не более одного корня. Так, у уравнения х³ = 8 есть только один корень (он равен 2), потому что х³ – монотонная ф-ция.

Рассмотрим следующее свойство монотонных функций.

Действительно, ранее мы уже изучали сжатие и растягивание графиков. умножение ф-ции на постоянное число как раз и ведет к подобным преобразованиям. Ясно, что при этом не происходит изменение монотонности ф-ций:

Например, парабола у = х² возрастает на промежутке [0; + ∞), значит, и ф-ция у = 3х² также возрастает на этом же промежутке:

Проще говоря, при умножении ф-ции на положительное число ее промежутки монотонности не изменяются.

А что же произойдет при умножении ф-ции на отрицательное число. Она не только сожмется или растянется, но ещё и отобразится симметрично относительно оси Ох. В результате промежутки возрастания ф-ции превратятся в промежутки убывания, и наоборот.

Проиллюстрируем это на примере ф-ций у = х² и у = – х²:

Видно, что на промежутке (– ∞; 0] ф-ция у = – х² возрастает, в то время как обычная парабола убывает. На промежутке [0; + ∞)ситуация противоположная.

Если две ф-ции одновременно возрастают на одном промежутке, то и их сумма также будет возрастать на этом промежутке.

Например, ф-ции у = х⁵ и у = 4х возрастают на всей числовой прямой. Следовательно, возрастающей является и ф-ция у = х⁵ + 4х.

Пример. Решите уравнение

х⁷ + 2х – 3 = 0

Решение. Можно заметить, что число 1 является корнем этого уравнения. Действительно, подставим единицу в уравнение и получим верное равенство:

1⁷ + 2•1 – 3 = 0

1 + 2 – 3 = 0

0 = 0

Докажем, что других корней уравнение не имеет. В его левой части стоит сумма двух возрастающих ф-ций, у = х⁷ и у = 2х – 3. Следовательно, и ф-ция у = х⁷ + 2х – 3 также является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что исследуемое уравнение имеет не более 1 корня, то есть корень х = 1 – единственный.

Ответ: 1.

Пример. Докажите, что у уравнения

не более одного корня.

Решение.

Выражение в левой части имеет смысл только при положительных х. Ведь если х < 0, то под корнем окажется отрицательное число, а если х = 0, то ноль окажется в знаменателе. Другими словами, уравнение имеет смысл на промежутке (0; + ∞). При этом левая часть представляет собой сумму трех слагаемых:

Первое и третье из них являются возрастающими ф-циями. Второе слагаемое – это взятая со знаком «минус» ф-ция у = 2/х. Так как у = 2/х убывает на промежутке (0; + ∞), то у = – 2/х на нем же возрастает. В итоге получаем, что в левой части сумма трех возрастающих ф-ций, значит, и всё это выражение – возрастающая ф-ция. Из этого следует, что у уравнения есть не более одного корня. Попробуйте сами подобрать его.

Четные и нечетные функции

При изучении степенных ф-ций мы заметили, что при четном показатели степени n их график симметричен относительно оси Оу:

Почему так происходит? Дело в том, что у этих ф-ций противоположным значениям аргументов соответствует одно и то же значение у. Убедимся в этом на примере у = х²:

• у(1) = 1² = 1 и у(– 1) = (– 1)² = 1;
• у(2) = 2² = 4 и у(– 2) = (– 2)² = 4;
• у(3) = 3² = 9 и у(– 3) = (– 3)² = 9.

В общем случае эту особенность можно доказать так:

у(– х) = (– х)² = х² = у(х)

В математике есть специальный термин для обозначения ф-ций, обладающих таким свойством. Их называют четным функциями.

Определение четной функции можно записать и так, чтобы в нем фигурировали формулы:

Для проверки того, является ли функция четной, достаточно подставить в нее вместо аргумента х величину (– х).

Пример. Докажите, что ф-ция у = х⁴ + 3х² является четной.

Решение. Подставим в ф-цию значение (– х):

у(– х) = (– х)⁴ + 3(– х)² = х⁴ + 3х²

Получили исходную ф-цию у(х). Значит, исследуемая функция является четной.

Пример. Четна ли ф-ция

Решение снова подставим в ф-цию значение (– х):

Получили изначальную ф-цию. Следовательно, она – четная.

Почему же четные ф-ции симметричны относительно оси Оу? Из определения следует, что если графику четной ф-ции принадлежит точка (х₀;у₀), то ему же принадлежит точка (– х₀;у₀). Посмотрим, как они располагаются на координатной плоскости:

Они симметричны относительно оси Оу. Если же для каждой точки графика есть симметричная точка, также ему принадлежащая, то и в целом график симметричен относительно вертикальной оси.

Теперь посмотрим на степенные ф-ции, у которых нечетный показатель степени. В качестве примера можно привести у = х³ и у = х⁵. Видно, что они симметричны относительно центра координат:

Такая симметрия (относительно точки), называется центральной. Геометрически она означает, каждой точке графика в I четверти с двумя положительными координатами соответствует точка графика в III четверти с такими же координатами, но взятыми со знаком «минус»:

Существует множество ф-ций, обладающих подобной симметрией. В математике их все называют нечетными функциями. У них противоположным значениям аргументов соответствуют противоположные значения ф-ции, а график нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Чаще используется определение, содержащее формулу:

Покажем это свойство у ф-ции у = х³:

• у(1) = 1³ = 1 и у(– 1) = (– 1)³ = – 1;
• у(2) = 2³ = 8 и у(– 2) = (– 2)³ = – 8;
• у(3) = 3³ = 27 и у(– 3) = (– 3)³ = – 27.

Для того, чтобы доказать нечетность ф-ции, надо поставить в нее (– х) вместо х. Если получилась исходная ф-ция с противоположным знаком, то это значит, что ф-ция нечетная.

Пример. Докажите, что ф-ция у = х⁵ + х – нечетная.

Решение: Подставим (– х):

у(– х) = (– х)⁵ + (– х) = –х⁵ – х = – (х⁵ + х) = – у(х)

Получили исходную ф-цию, но со знаком «минус», поэтому ф-ция является нечетной.

Пример. Докажите нечетность ф-ции у = 5/х + 4х.

Решение. Подставляем в ф-цию (– х):

у = 5/(– х) + 4(– х) = – 5/х – 4х = – (5/х + 4х) = – у(х)

Снова получили исходную ф-цию со знаком минус, следовательно, мы исследовали нечетную ф-цию.

Известно, что любое целое число либо четное, либо нечетное. Однако с ф-циями всё по-другому. Существует множество ф-ций, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Чтобы доказать, что ф-ция не является ни четной, ни нечетной, достаточно продемонстрировать, что хотя бы для одного значения х не выполняются условия у(– х) = у(х) и у(– х) = – у(х).

Пример. Докажите, что у = х³ + х² – ни четная, ни нечетная ф-ция.

Решение. Определим значение ф-ции при, например, х = 1 и х = –1

у(1) = 1³ + 1² = 2

у(– 1) = (– 1)³ + (– 1)² = 0

Получили, что при противоположных х значения у не являются ни одинаковыми, ни противоположными. Значит, рассматриваемая ф-ция не подходит под приведенные определения четности и нечетности.

Свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим важные свойства, помогающие быстро определять четность и нечетность ф-ций.

Например, так как четной является ф-ция у = х⁶, то также четными будут и ф-ции:

• у = 2х⁶;
• у = 3х⁶;
• у = – х⁶;
• у = – 12х⁶;
• у = 0,135х⁶.

Так, ф-ции у = х³ и у = 1/х – нечетны. Значит, нечетна и их сумма у = х³ + 1/х.

Другими словами, ф-цию можно «перевернуть», и она всё равно сохранит свою четность. Так, ф-ция 5х⁴ + х² четная, поэтому и ф-ция

останется такой же.

Вообще рассматриваемое свойство ф-ции часто называют ее четностью. Так, про две рассматриваемые ф-ции у = х³ и у = х⁹ можно сказать, что они обладают одинаковой четностью (обе нечетные), а у = х⁵ и у = х⁷ обладают различной четностью (одна из них четная, а другая нечетная).

Например, ф-ции у = 5х³ + 6х и у = 9х⁵ имеют одинаковую четность (обе нечетные), а потому их произведение у = 9х⁵(5х³ + 6х) является четным. С другой стороны, у = х⁵ и у = х⁸ + у⁶ имеют различную четность, следовательно, их произведение у = х⁵(х⁸ + у⁶) нечетное.

Докажем справедливость этого правила. Пусть есть две ф-ции, у = у(х) и g = g(х), которые обладают какой-нибудь четностью. Определим четность их произведения у(х)•g(х). Для этого рассмотрим 3 различных случая:

1. И у = у(х), и g = g(х) – четные. Тогда у(– х) = у(х), g(– х) = g(х), и мы получаем следующее:

у(– х)•g(– х) = у(х)•g(х).

1. Обе рассматриваемые ф-ции – нечетные. Тогда у(– х) = – у(х), g(– х) = – g(х), и получается следующее:

у(– х)•g(– х) = (– у(х))•(– g(х)). = (– 1)(– 1)у(х)•g(х) = у(х)•g(х).

1. Если же одна из ф-ций, например, у(х), будет четной, а вторая – нечетной, то их произведение будет следующим:

у(– х)•g(– х) = у(х)•(– g(х)) = – у(х)•g(х).

Пример. Определите четность ф-ции у = (8х⁴ + 3х²)(7х⁵ + 2х)

Решение. Ф-ция из условия представляет собой произведение двух других ф-ций: у = 8х⁴ + 3х² и у = 7х⁵ + 2х. Первая из них является суммой двух четных и поэтому сама четная. Вторая ф-ция, наоборот, нечетная. Следовательно, их произведение – это тоже нечетная ф-ция.

Ответ: Нечетная ф-ция.

Пример. Определите четность ф-ции у = (х⁶ + х²)(х¹⁰ + х⁸)

Решение. Так как ф-ции у = х⁶ + х² и у = х¹⁰ + х⁸ имеют одинаковую четность (обе четные), то их произведение является четным.

Ответ: Четная ф-ция.

Для изучения следующего свойства ф-ций необходимо сначала рассмотреть понятие сложной ф-ции. Так называют ф-цию, которую получают подстановкой одной «простой» ф-ции в другую.Например, пусть есть ф-ции g = х² и у = х³ + 2х. Подставив вторую в первую, получим

g = (х³ + 2х)²

Ещё пример сложной ф-ции:

у = 2(9х² + 4х + 1)³ + 3(9х² + 4х + 1)

Она получена путем подстановки выражения 9х² + 4х + 1 в ф-цию у = х³ + 3х. В общем случае, если в ф-цию у = f (x) подставляют g(x), то используют запись у = f (g(x)). Иногда вместо термина «сложная функция» используют аналогичное понятие «композиция функций».

Итак, сформулируем ещё одно свойство четных функций:

Например, пусть есть четная ф-ция у = х². Подставим ее в любую другую ф-цию, скажем, в у = 5х + 7 + 1/х. В итоге получим новую, сложную ф-цию

у = 5х² + 7 + 1/(х²)

которая будет четной. При этом природа ф-ции у = 5х + 7 + 1/х не играет никакой роли. Мы могли бы взять любую другую ф-цию, например, у = 958,235х³ – 12,25х² + 19х + 2/3, и подставив в нее х² вместо х, получить ф-цию

у = 958,235(х²) ³ – 12,25(х²) ² + 19х²+ 2/3

которая будет четной.

Ограниченные и неограниченные функции

Ещё раз рассмотрим ф-цию у = х². Очевидно, что все точки ее графика лежат выше оси Ох (кроме точки (0;0), лежащей непосредственно на оси Ох). Ось Ох – это, по сути, горизонтальная прямая у = 0. Можно провести ряд других горизонтальных линий, каждая из которых лежит ниже параболы и не пересекает её:

В математике говорят, что ф-ция у = х² ограничена снизу. То есть для любого допустимого х выполняется неравенство у(х) ⩾ а, где а – это какое-то произвольное число. И действительно, неравенство х²⩾ 0 выполняется при всех значениях х. Также выполняются неравенства

х²⩾ – 1,5

х²⩾ – 3

х²⩾ – 5

Дадим определение функции, ограниченной снизу

Очевидно, что если неравенство у(х) ⩾ а выполняется хотя бы для одного числа а, то оно выполняется и для всех а, которые ещё меньше. Так, из справедливости неравенства х²⩾ 0 автоматически следует справедливость неравенства х²⩾ – 1,5, так как

– 1,5 ⩽ 0.

Аналогично в математике существует понятие функции, ограниченной сверху.

В качестве примера ограниченной сверху ф-ции можно привести у = 4 – х²:

Ясно, что неравенство 4 – х²⩽ 4 выполняется при всех х, то есть ни одна точка графика не лежит выше прямой у = 4.

Иногда бывает так, что функция ограничена одновременно и снизу, и сверху. Их называют ограниченными функциями.

Ф-ция, не попадающее под это определение, называется неограниченной функцией. В качестве примера неограниченной функции можно привести линейную ф-цию у = х + 1.

График ограниченной ф-ции находится в своеобразной «полосе» из горизонтальных линий, которые ограничивают его сверху и снизу. Примером ограниченной ф-ции является

С одной стороны, у этой дроби и числитель, и знаменатель – положительное число, поэтому она ограничена снизу прямой у = 0. С другой стороны, дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель (если они оба положительны). Минимальное значение выражения х² + 1 – это единица (при х = 0), а поэтому максимальное значение дроби равно 4/1 = 4. Поэтому график ограничен сверху прямой у = 4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Выделим в ф-ции целую часть:

Так как величина 5х² + 5 всегда положительна, то и дробь

а значит, и вообще вся ф-ция положительна, то есть ограничена снизу прямой у = 0

С другой стороны, дробь будет принимать максимальное значение при минимальном значении знаменателя, которое равно 5 (при х = 0) При х = 0 имеем

Получается, что ф-ция ограничена сверху прямой у = 1,4.

Ответ: ограничена.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Величина х² всегда положительна, то есть х²⩾ 0. Преобразуем это неравенство, умножив его на (– 1) и добавив к нему 16:

х²⩾ 0

– х²⩽ 0

16 – х²⩽ 16

Получили, что подкоренное выражение не превосходит 16, а значит, и корень из него не больше, чем

То есть график будет ограничен прямой у = 4 сверху. С другой стороны, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, а потому его график ограничен снизу прямой у = 0. Для наглядности покажем график исследуемой ф-ции:

Ответ: ограничена.

Квадратичная функция

В качестве ф-ции можно использовать квадратный трехчлен, например:

у = 2х² + 6х – 10

у = – 1,5х² + 19х + 0,5

у = 0,005х² + 654,25х – 124

Все эти ф-ции заданы с помощью выражения, представляющего собой квадратный трехчлен, поэтому в математике их называют квадратичными функциями.

Если коэффициент перед х² окажется равным нулю, то ф-ция превратится из квадратичной в линейную:

0х² + bx + c = bx + c

Попытаемся понять, как выглядит график квадратичной функции. Для этого начнем рассматривать частные случаи и использовать правило растяжения и сжатия, а также параллельного переноса графиков ф-ций.

Если в выражение для квадратичной ф-ции подставить значения

а =1

b= 0

с = 0

то получится уже известная нам степенная ф-ция у = х²:

1х² + 0x + 0 = х²

Её графиком является парабола.

График ф-ции у = ах² – это тоже парабола (где а – некоторое число), которая однако, получена из «обычной» параболы у = х² путем сжатия или растяжения графика. Если коэффициент а является отрицательным, то парабола «перевернется» то есть отобразится симметрично относительно оси Ох. Покажем примеры нескольких графиков у = ах²:

Напомним, что при добавлении к ф-ции какого-нибудь постоянного числа n ее график переносится на n единиц вверх. Зная это можно легко получить график ф-ции у = ах² + с из графика у = ах²:

Таким образом, графиком ф-ции у = ах² + с является парабола, чья вершина поднята на с единиц вверх.

Как изменится график квадратичной ф-ции у = ах² + с, если в вместо х возводить в квадрат выражение (х +m), где m – произвольное число? В этом случае ф-ция примет вид у = а(х +m)² + с. Вершина параболы должна будет сместиться на m единиц влево:

Теперь докажем, что любая квадратичная ф-ция может быть представлена как в виде у = а(х + m) + n, где m и n – некоторые числа (в том числе и отрицательные). Похожие преобразования мы производили, когда учились решать квадратные уравнения. Запишем саму квадратичную ф-цию:

у = ах² + bх + с

Вынесем множитель а за скобки:

Далее попытаемся преобразовать трехчлен в скобках, используя формулу квадрата суммы. Для этого добавим к нему и сразу же вычтем величину (b/2a)²:

Теперь раскроем внешние скобки:

Теперь произведем две замены:

Используя их, можно записать:

Получили, что любую квадратичную ф-цию можно свести к виду у = а(х + m)² + n. Что это значит и для чего мы это доказывали? Из этого факта следует, что график любой квадратичной ф-ции может быть получен из обычной параболы у = х² за счет трех действий.

1. Необходимо растянуть график у = х² в а раз и получить график у = ах². Если число а является отрицательным, то график не только растянется, но ещё «перевернется» ветвями вниз, то есть отобразится симметрично относительно оси Ох.
2. Необходимо сдвинуть график у = ах² на n единиц вверх и получить график у = ах² + n. Если n< 0, то график переместится вниз, а не вверх.
3. Полученный график у = ах² + n следует сместить влево на m единиц и получить график у = а(х + m)² + n. Если m отрицательно, то график сместится не влево, а вправо.

Итак, как будет выглядеть график квадратичной ф-ции? В общем случае он является параболой, центр которой располагается не в точке (0;0), а в некоторой другой точке (х₀; у₀):

Если мы вернемся к доказательству того, что любую квадратичную ф-цию можно представить в виде у = а(х + m)² + n, то увидим, что число m рассчитывается по формуле

Так как график из-за этого числа m перемещается влево, а не вправо, то координата вершины х₀ рассчитывается по формуле:

Нет смысла составлять такую же формулу для определения координаты вершины у₀, ведь можно подставить х₀ в сам ф-цию и так узнать вторую координату вершины.

Пример. Определите вершину параболы, задаваемой ф-цией

у = 2х² + 8х + 5

Решение. Выпишем коэффициенты а, b и c квадратичной ф-ции:

а = 2

b = 8

c = 5

Зная их, легко рассчитаем координату х вершины параболы:

Теперь подставим это число в исходную ф-цию и определим координату у вершины параболы:

у₀ = у(х₀) = 2(– 2)² + 8(– 2) + 5 = 8 – 16 + 5 = – 3

Ответ (– 2; – 3)

Напомним, что нули ф-ции – это те точки, в которых ее график пересекает ось Ох. Для их поиска необходимо приравнять ф-цию к нулю и решить уравнение. В случае с квадратичной ф-цией мы получим квадратной уравнение.

Пример. Постройте график ф-ции у = х² – 4х + 3, отметьте на нем вершину параболы и нули ф-ции.

Решение. Приравняем ф-цию к нулю:

х² – 4х + 3 = 0

Решим это уравнение

D = b² – 4ас = (– 4)² – 4•1•3 = 16 – 12 = 4

Итак, нашли нули ф-ции: 1 и 3. Теперь найдем вершину параболы:

у₀ = у(х₀) = 2² – 4•2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1

Вершина находится в точке (2; – 1). Теперь отметим ее, а также нули ф-ции на графике, и соединим их линией, похожей на параболу:

При необходимости для точности построения всегда можно вычислить значение ф-ции в нескольких дополнительных точках и провести параболу через них. Здесь мы этого делать не будем

Ответ: вершина параболы – точка (2; – 1), нули ф-ции х₁ = 1 и х₂ = 3

Обратите внимание, что в рассмотренном примере вершина параболы оказалась ниже нулей, поэтому ее ветви смотрят вверх. Вообще, если коэффициент а > 0, то ветви смотрят вверх, а если а < 0, то они смотрят вниз. Также можно заметить ещё одно свойство квадратичной функции – вершина параболы находится точно посередине между нулями ф-ции. То есть если нули ф-ции равны 1 и 3, то координата х вершины параболы равна их среднему арифметическому:

х₀ = (х₁ + х₂)/2 = (1 + 3)/2 = 2

Заметим, что не все квадратичные ф-ции имеют нули, ведь не каждое квадратное уравнение имеет решение.

Пример. Постройте графики ф-ций

у = – 2х²– 4х + 6

у = – 3х² + 6х – 4

Решение. Начнем с первой ф-ции. Сначала найдем ее нули:

– 2х² – 4х + 6 = 0

D = b² – 4ас = (– 4)² – 4•(– 2)•6 = 16+48 = 64

Найдем вершину. Сначала используем обычную формулу:

Далее просто проверим себя, найдя среднее арифметическое нулей ф-ции:

Как и ожидалось, получились одинаковые результаты! Вычислим теперь у₀:

у₀ = у(х₀) = – 2(– 1)² – 4(– 1) + 6 = – 2 + 4 + 6 = 8

Итак, вершина первой ф-ции – это точка (– 1; 8).

Перейдем ко второй ф-ции. Попробуем найти ее нули:

– 3х² + 6х – 4 = 0

D = b² – 4ас = 6² – 4•(– 3)•(– 4) = 36–48 = – 16

Дискриминант отрицательный, значит, корней у уравнения нет. Не будет и нулей и ф-ции. Найдем вершину параболы

Найдем координату у₀ вершины:

у₀ = у(х₀) = – 3•1² + 6•1 – 4 = – 3 + 6 – 4 = – 1

Отметим, что у обоих графиков коэффициент а отрицательный, а потому их ветви будут смотреть вниз. Построим их графики:

Иногда приходится решать обратную задачу – по графику квадратичной ф-ции находить выражение, задающее эту ф-цию. Для ее решения необходимо подставлять в общий вид квадратичной ф-ции

у = ах² + bx + c

значения квадратичной функции, взятые из графика (то есть координаты точек параболы) и получать уравнения, из которых можно найти величины a, b и c.

Пример. Запишите выражение для квадратичной ф-ции, имеющей следующий график:

Решение. Заметим, что графику параболы принадлежит точка с координатами (0; 3). Подставим эти числа, х = 0 и у = 3, в квадратичную ф-цию:

у = ах² + bx + c

3 = а•0² + b•0² + c

3 = c

Итак, мы нашли, что коэффициент с = 3. Осталось найти а и b. Возьмем ещё одну точку, скажем, (1; 0), и подставим ее координаты (вообще в большинстве случаев удобно брать точки, одна из координат которой равна 0 или, на худой конец, единице):

у = ах² + bx + 3

0 = а•1² + b•1 + 3

a + b = – 3

Возьмем точку с координатами (– 3; 0):

у = ах² + bx + 3

0 = а•(– 3)² + b•(– 3) + 3

9а – 3b = – 3

Получили два уравнения с двумя неизвестными: a + b = – 3 и 9а – 3b = – 3. Решим систему, составленную из них:

Подставим первое уравнение во второе и получим:

9а – 3(– 3 – а) = – 3

9а + 9 + 3а = – 3

12а = – 3 – 9

12а = – 12

а = – 1

Нашли а. Теперь подставим его в уравнение для b:

b = – 3 – а = – 3 – (– 1) = – 2

Получили b = – 2. Мы нашли все коэффициенты, а потому можем записать ф-цию в аналитическом виде:

у = – х² – 2х + 3

Ответ:– х² – 2х + 3

	(a > 0) (коэффициент (a) положительный)	(a < 0) (коэффициент (a) отрицательный)
Эскиз графика
Расположение графика	Ветви параболы направлены вверх	Ветви параболы направлены вниз
Интервалы возрастания и убывания функции	Функция убывает, если x∈(−∞;0 , возрастает, если x∈0;+∞	Функция возрастает, если x∈(−∞;0 , убывает, если x∈0;+∞
Наибольшее значение функции	нет	(y = 0)
Наименьшее значение функции	(y = 0)	нет
Интервалы, в которых значение функции положительное	Функция положительная ((y > 0)), если x∈(−∞;0)∪(0;+∞) (график находится выше оси (Ox))	нет
Интервалы, в которых значение функции отрицательное	нет	Функция отрицательная ((y < 0)), если x∈(−∞;0)∪(0;+∞) (график находится ниже оси (Ox))