Как найти область значений обратной функции

Понятие обратной функции и ее определение в алгебре

Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x∈a; b; область ее значений y∈c; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет называться непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.

Обратная функция – это что такое? Дадим определение взаимно обратимой функции (что такое обратимая функция – определение). 

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений. Также понятие особенностей обратных функций помогают в решении операций по извлечению n-ой степени (она обратна возведению в степень).

На самом деле это не является чем-то сложным. Онлайн, как и в нашем материале, вы можете найти много примеров обратной функции, которые помогут в этом убедиться. 

Важно знать, что любая функция y = y (x) – это определенное правило, которое определяет соответствие между двумя значениями: x и y. К примеру, функция y = x² ставит соответственно каждому действительному числу его в квадрат. Можно сделать определенную таблицу, в которой будут располагаться значения этой функции для целых аргументов.

Как найти функцию обратную данной

Как найти обратную функцию?

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут все точки: x=±arсcos13+2π·k, k∈Z 

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным. Вот несколько примеров обратной функции. 

Обе взаимообратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

На графике мы находим симметричность обоих графиков относительно y=x (они отображаются симметрично). Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Что это позволило нам доказать? Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем онлайн-пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Графически обе функции будут выглядеть или иметь следующее отображение:

Также взаимно обратные функции можно рассматривать на примере теорем.

Предположим, мы имеем определенную, с возрастающей или убывающей монотонностью, а также непрерывную в определенном промежутке x функцию y = f(x). Значит, в промежутке значений y этой функции существует и обратная функция. Она также монотонно убывает или возрастает. Также ее можно определить как непрерывную (в промежутке y).

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства обратимых функций y=f(x) и x=g(y). Какими же свойствами обладают взаимообратные функции?

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать, так как это не одно и тоже даже исходя из названий. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифмов не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте характеристику, что это верно только при положительном y.

А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с  тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.  Так, arcsinsin7π3≠7π3, потому что область значений арксинуса -π2; π2 и 7π3 в нее не входит. Верной будет запись

arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формуле привидения=arcsinsinπ3=π3

А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x∈-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x∈-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

• Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Замена букв будет давать соответственно y=xa и x=y1a.

Сделаем график. На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

• Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a, которое будет положительным числом, не равным 1.

Узнаем, какими будут графики для функций с a>1 и a<1. Они будут выглядеть так:

• Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

Если построить график главной ветви косинуса и арккосинуса, то он будет выглядеть так:

Если строить график главной ветви арктангенса и тангенса, то он будет таким:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

В случае построения обратных ветвей, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно вводится следующим образом.

Пусть заданы два множества (X) и (Y). Если каждому элементу (x) из множества (X) поставлен в соответствие элемент (y=f(x)) множества (Y), то говорят, что на множестве (X) задана функция (f). При этом элемент (x) называется независимой переменной, а элемент (y) − зависимой переменной. В случае, когда (x и  y) являются действительными числами, функцию (y=f(x)) можно представить в виде графика в декартовой системе координат (Oxy).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной (x), а по оси ординат откладываются значения переменной (y).

Область определения функции (D(y)) – это множество всех допустимых значений аргумента (x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции (y=f(x)), имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения (f(x)).

Чтобы по графику функции (y=f(x)) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений (x), на которых существует график функции.

Пример 1. Найти область определения функции: (y=sqrt{4x-x^3}).

Решение: Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством (4x-x^3ge0 Leftrightarrow x^3-4xle0 Rightarrow x(x-2)(x+2)le0).

Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим: (xin (-infty; -] cup [0;2]).

Ответ: (xin (-infty; -] cup [0;2]).

Множество значений функции (E(y)) – это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная (y).

Чтобы по графику функции (y=f(x)) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений (y), на которых существует график функции.

Пример 2. Найти множество значений функции: (y = x^2 + 6x + 8).

Решение: Поскольку (y=x^2+6x+8=x^2+6x+9-1=(x+3)^2-1ge-1) и для каждого числа (yge-1) существуют решения уравнения (x^2 + 6x + 8 = y), определяемые формулой (x_{1,2}=-3pm sqrt{y+1}), то множеством значений функции (  y = x^2 + 6x + 8) будет множество ([-1;+infty)).

Ответ: (yin [-1;+infty)).

Обратная функция

Пусть задана функция (y=f(x)). Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения (y=f(x)) выразить переменную (x) через (y) и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде (y=f^{−1}(x)). Исходная и обратная функции симметричны относительно прямой (y=x).

Чтобы для данной функции (y = f(x)) найти обратную, надо:

1. В соотношении (y = f(x)) заменить (x) на (y), а (y) на (x):  (x = f(y)).
2. В полученном выражении (x=f(y)) выразить (y) через ( x).

Например, (y=3x-8: x=3y-8 Rightarrow 3y=x+8 Rightarrow y=frac{x+8}3).

Свойства взаимно обратных функций

Тождества. Пусть (f) и (g) – взаимно обратные функции. Это означает, что равенства (y = f(x)) и (x = g(y)) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два тождества: (f(g(y)) = y) и (g(f(x)) = x).

Область определения. Пусть (f) и (g) – взаимно обратные функции. Область определения функции (f) совпадает с областью значений функции (g), и наоборот, область значений функции (f) совпадает с областью определения функции (g).

Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное верно и для убывающих функций.

Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой (y = x).

Вопросы
занятия:

·    
познакомиться
с понятиями прямой и обратной функции;

·    
познакомиться
с понятием обратимой функции;

·    
научиться
находить обратные функции;

·    
рассмотреть
свойство обратных функций.

Материал
урока

Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте
вспомним, что же такое функция и какие основные понятия с ней связаны.

Определение.

Если
даны числовое множество X и правило f, которое позволяет
поставить в соответствие каждому элементу x из множества X
определенное число y, то говорят, что задана функция y=f(x)
с областью определения X.

Область
определения обозначается D(f).

x – независимая переменная
или аргумент.

y
–
зависимая переменная.

Множество
всех значений y=f(x),
где x принадлежит множеству X называют областью значений
функции и обозначают E(f).

Рассмотрим
задачу.

Задача.

Рассмотрим ещё одну задачу.

Задача.

Давайте назовём первую задачу прямой,
тогда вторая задача будет обратной к первой.

Давайте рассмотрим с вами ещё одну задачу.

Задача.

Назовём функцию v(t) обратимой функцией,
а t(v)
– обратной функцией.

Определение.

Если функция y=f(x) принимает
каждое своё значение у только при одном значении x,
то эту функцию называют обратимой.

Приведём примеры обратимых функций:

Рассмотрим функцию y=x².

Определение.

Пусть y = f(x) – обратимая функция.
Тогда каждому y из множества
значений функции соответствует одно определённое число x
из области определения, такое, что f(x)
= y. Это
соответствие определяет функцию x
от
y, которую обозначим x
= g(y).
Поменяем местами x и y:
y = g(x).
Функцию
y = g(x) называют
обратной к функции y
= f(x).
Обозначают f^-1(x).

Давайте разберём
это определение на примере.

Пример.

Область определения исходной функции равна
области значений обратной функции и наоборот, область значений исходной функции
равна области определения обратной функции.

Сформулируем основные свойства обратных
функций.

Решим несколько примеров.

Пример.

Пример.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По дисциплине: МАТЕМАТИКА (включая алгебру и начала математического анализа; геометрию)

Тема: «Обратные функции»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2020

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2020 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятияобратной функции, определять вид и строить график обратной функции, находить ее область определения и область значений и подготовится к занятию по теме «Обратные функции».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Обратные функции, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.

Обратные функции

Определение обратной функции

Пусть функция   строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения  , область значений этой функции  , тогда на интервале   определена непрерывная строго монотонная функция   с областью значений  , которая является обратной для  .

Другими словами, об обратной функции   для функции   на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале   либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений  . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Примеры нахождения взаимнообратных функций.

Например, требуется решить уравнение  .

Решениями являются точки  .

Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнем с линейных взаимнообратных функций.

Пример.

Найти функцию обратную для  .

Решение.

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение   относительно x ).

 – это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать  .

Таким образом,   и   – взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.

Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.

Пример.

Найти функцию обратную для  .

Решение.

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал  . Выразим x через y(другими словами, решим уравнение   относительно x).

 – это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем  .

Таким образом,   и   – показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.

График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.

Свойства взаимно обратных функций

Перечислим свойства взаимно обратных функций   и  .

•  и  .

• Из первого свойства видно, что область определения функции  совпадает с областью значений функции   и наоборот.

• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

• Если   возрастает, то и   возрастает, если   убывает, то и   убывает.

Замечание по свойству 1).

Рекомендуем ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО относиться к области определения и области значений функций.

Например:   и   – взаимно обратные функции. По первому свойству имеем  . Это равенство верно только для положительных y , для отрицательных y логарифм не определен. Так что не спешите с записями вида  , а если уж так написали, то следует добавить фразу «при положительных y».

Равенство   в свою очередь верно для любых действительных x.

Надеемся, Вы уловили этот тонкий момент.

Особенно аккуратными надо быть с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.

К примеру,  , так как область значений арксинуса  , а  в нее не попадает.

Правильно будет

В свою очередь   есть верное равенство.

То есть   при   и   при  .

Графики основных элементарных взаимно обратных функций

• Взаимно обратные степенные функции, графики.

Для степенной функции   при   обратной является также степенная функция   Если заменить буквы, то получим пару взаимно обратных функций   и 

Графики для положительных а и отрицательных а.

• Взаимно обратные показательная и логарифмическая функции  и  , графики.

Подразумеваем, что а положительное и не равное единице число.

Графики для   и для 

• Взаимно обратные тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

График главной ветви синуса и арксинуса (светлая область).

График главной ветви косинуса и арккосинуса (светлая область).

График главной ветви тангенса и арктангенса (светлая область).

График главной ветви котангенса и арккотангенса (светлая область).

Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.

Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке   (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину  вдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на  .

Пока на этом закончим с обратными функциями.

Тест по теме: Обратные функции

1. Как называют функция y = f(х), если она принимает каждое своё значение только при одном значении х?

2. Найдите функцию, обратную к функции у = 5х + 2.

Варианты ответов

• у = 0,2 (х – 2)

• у = 0,5 (х – 2)

• у = 0,2 (2 + х)

• у = (х – 2)²

3. Является ли монотонная функция обратимой?

Варианты ответов

• является

• не является

4.Укажите, какие из перечисленных функций являются обратимыми.

Варианты ответов

• у = 5х + 2

• у = х²

• у = х⁵

• у = х³ + 1

5.Укажите истинные утверждения.
Если g(x) – функция, обратная к функции f(x), то и f(x) – функция, обратная к g(x), при этом …

Варианты ответов

• область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции

• множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции

• область определения обратной функции совпадает с областью определения исходной функции

• множество значений обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции

6.Найдите область значений функции, обратной для f(x) = 4 – 3x.

Варианты ответов

• (-∞;+∞)

• (0;+∞)

• (-∞;4)

• [3;4]

• [-4;-3]

7.Найдите область определения и область значения функции, обратной данной у = 7х – 5.

Варианты ответов

• D(y) = (-∞;+∞)

• E(y) = (-∞;+∞)

• D(y) = (-5;+∞)

• E(y) = (-∞;5)

• D(y) = (-7;+∞)

• E(y) = (-5;7)

8.Укажите номер рисунка, на котором изображен график обратной функции к функции у = х², при х є [0;+∞).

9.Сопоставьте функции и обратные к ним.

Варианты ответов

• y=x+53

• y=x3

• y=x2

10.Какое значение принимает обратная функция при х = 6 к функции у = 2х – 4.

Эталоны ответов теста по теме: Обратные функции

1. Как называют функция y = f(х), если она принимает каждое своё значение только при одном значении х? Ответ обратимая

2. Найдите функцию, обратную к функции у = 5х + 2.

Варианты ответов

• у = 0,2 (х – 2)

• у = 0,5 (х – 2)

• у = 0,2 (2 + х)

• у = (х – 2)²

3. Является ли монотонная функция обратимой?

Варианты ответов

• является

• не является

4.Укажите, какие из перечисленных функций являются обратимыми.

Варианты ответов

• у = 5х + 2

• у = х²

• у = х⁵

• у = х³ + 1

5.Укажите истинные утверждения.
Если g(x) – функция, обратная к функции f(x), то и f(x) – функция, обратная к g(x), при этом …

Варианты ответов

• область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции

• множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции

• область определения обратной функции совпадает с областью определения исходной функции

• множество значений обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции

6.Найдите область значений функции, обратной для f(x) = 4 – 3x.

Варианты ответов

• (-∞;+∞)

• (0;+∞)

• (-∞;4)

• [3;4]

• [-4;-3]

7.Найдите область определения и область значения функции, обратной данной у = 7х – 5.

Варианты ответов

• D(y) = (-∞;+∞)

• E(y) = (-∞;+∞)

• D(y) = (-5;+∞)

• E(y) = (-∞;5)

• D(y) = (-7;+∞)

• E(y) = (-5;7)

8.Укажите номер рисунка, на котором изображен график обратной функции к функции у = х², при х є [0;+∞).

Ответ 4

9.Сопоставьте функции и обратные к ним.

Варианты ответов

• y=x+53

• y=x3

• y=x2

10.Какое значение принимает обратная функция при х = 6 к функции у = 2х – 4. Ответ 5

Критерии оценивания тестовых заданий

10 вопросов 5 (отлично) (10-9 ответов)

10 вопросов 4 (хорошо) (8 ответов)

10 вопросов 3 (удов) (7 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru – информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов