НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
К свойствам функции относится область значений функции. Проблема нахождения области значений, например, дробно-рациональной функции, привела к необходимости ознакомиться со способами ее нахождения.
Цель исследования: найти различные методы нахождения области значений дробно-рациональных функций. Задачи исследования:1). Ознакомиться со способами решения задач на нахождение области значений функции;
2). Изучить инверсию функций;
3). Использовать алгебраические неравенства для нахождения области значений функции;
4). Составить банк функций с нахождением области значений функций различными методами. Сравнить эти методы с точки зрения затрат времени и трудоёмкости;
5). Использовать программу Graphи различные свойства функций для построения графиков функций.При ознакомлении с некоторыми методами нахождения области значений функции в различных источниках, указанных ниже, не нашлось таких примеров решения, в которых бы использовались различные методы. В данной исследовательской работе сопоставляются разные, возможные, методы нахождения области значений функции для выделения самого рационального.ГЛАВА I.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
§1. Некоторые сведения об области значений функции.Определение области значений функции.Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y0, для каждого из которых найдётся такое число x0, что: f(x0) = y0.
Свойства функций, используемые при нахождении области значений функцииДля успешного нахождения области значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения и характер монотонности. Приведём свойства функции, которые учитываются при нахождении Е(у):непрерывность;монотонность;дифференцируемость;чётность, нечётность;обратимость;периодичность и т.д.Известны следующие способы нахождения областей значений функций:а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;б) метод оценок;в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;г) использование производной;д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;е) графический метод;ж) метод введения параметра;з) метод обратной функции. Определение.Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.Определение. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. {displaystyle f^{-1}}§2. Инверсия. Известна теорема о том, что если функция возрастает и принимает только положительные значения, то функция убывает.
Целесообразно рассматривать преобразования плоскости, при которых точки с координатами переходят в точки с координатами , ибо легко заметить, что именно с помощью такого преобразования можно построить рассмотренный график.
Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) l, если:
-
эти точки лежат по одну сторону относительно оси l;
-
отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l;
-
произведение расстояний от этих точек до оси lравно 1.
У точек оси инвертных точек нет.
Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ейотносительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.
Замечание. При инверсии относительно осиОх точка А с координатами , , переходит в точку В с координатами , где
В самом деле, , так как отрезок АВ перпендикулярен осиОх, должны быть одного знака, так как А и В лежат в одной полуплоскости относительно оси Ох, наконец, так как произведение расстояний от А и В до оси равно единице, т.е.
Свойства инверсии. Построение графиков.
А – неподвижная точка инверсии относительно осиОх тогда и только тогда, когда т.е. – неподвижная точка инверсии относительно оси Оутогда и только тогда, когда т.е.
Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей точка.
Теорема.График функции получается из графика функции инверсией относительно осиОх.
Теорема.График функции получается из графика функции преобразованием инверсии относительно оси Оу.
§3. Некоторые неравенства, используемые в работе.
Доказательства некоторых неравенств (проведенные самостоятельно).Неравенство 1. .Доказательство.
Теорема о высоте: CD =.в частном случае, если,ч.т.д.
Неравенство 2. Доказательство.
Преобразуем выражение: . По теореме катета:. ПотеоремеПифагора:
В частности, если Ч. т. д.
Неравенство 3. Доказательство.
Значит, , ч. т. д.
ГЛАВА II.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ§1.Примеры нахождения области значений функций, графики которых можно построить с помощью инверсии, представив в виде или представив в виде .
Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.
Решение. Строится график функции , отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет асимптоты так как график функции при абсциссах, «близких» к , все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от неё неограниченно далеко. Показывается, что надо, таким образом, от точки (0,1) «вести вправо и вверх» к прямой и «влево и вниз» к прямой и т.п.
Ответ:.
Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.
Решение.
График функции получается из графика функции смещением на 1 единицу вправо. Для построения графика функции заменим значения абсцисс графика функции на обратные числа. . Прямаяявляется асимптотой. Если сравнить выражение с единицей: то оно меньше ее при , значит, точки графика функции не поднимутся выше прямой которая является асимптотой графика рассматриваемой функции. Эта функция является неотрицательной, значит ниже осиОх точки графика не появятся.
Ответ:.
§2. Метод введения параметра для нахождения области значений функции.
Пример 3.Найти область значений E(f) функции.
Решение.Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнениеимеет хотя бы один корень.
Если,уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной, поэтому имеет решение. Если , уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант.
Так как точка принадлежит отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.
Ответ:.
§3. Метод обратной функции. Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g1(y), x =g2(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g1(y), g2(y) и т.д.Пример4. (самостоятельное решение).Найдите область значений E(f) функции.
Решение.Решим уравнение относительно , учитывая, что
Неравенство методом интервалов, получаем, что
Ответ:.
§4. Использованиепроизводной, непрерывности и монотонности функции и графика функции
Пример 5. (самостоятельное решение с применением программы Grahf).Найти область значений E(f) функции .
Решение.График функции не пересекает ось абсцисс, т.к. уравнение не имеет решения.
Функция непрерывна на, значит, дифференцируема. Найдем производную функции:
Найдем критические точки первого рода:
Выясним характер монотонности функции:
Найдем асимптоты функции:
Вертикальных асимптот нет, т.к. .Наклонная асимптота:. Получили горизонтальную асимптоту .
Найдём
Заметим, что последний метод является наглядным, однако времяёмким и трудоемким.
Ответ:.
§ 5. Задачи на нахождение области значений функций с помощью алгебраических неравенств
Пример 6. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).
Решение.
Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем
Ответ:.
Пример 7. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).
Решение. Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем
А так у функции один нуль, , и она меняет монотонность от убывания к возрастанию, а затем от возрастания к убыванию, то можно определить, как меняются ее значения: .
Ответ:.
Пример 8. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).
Решение.
График имеет вертикальную асимптоту , не пересекает ось абсцисс.
Найдем производную функции
Найдем критические точки первого рода:
Выясним характер монотонности функции:
Ответ:.
§ 6. Нахождение области значений функций разными способами
Ранее решённые Примеры 3, 4, 5 указывают на то, что найти область значений функции можно было тремя способами: методом введения параметра, методом обратной функции, а также с использованием производной, непрерывности функции, монотонности и графика. Применить инверсию для построения графика этой функции не удается, так как она не представима в виде или в виде . Также не получится представить эту функцию в виде суммы двух слагаемых, к которой можно было бы применить одно из указанных алгебраических свойств. Наиболее рациональными являются первые два метода.
Решим и другие Примерыразличнымидоступнымиметодами и способами.Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. I-IIПРИЛОЖЕНИЕ 1)Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. II-IIIПРИЛОЖЕНИЕ 2)Пример 6.Найти область значений E(f) функции(См. стр. III-VПРИЛОЖЕНИЕ 3)Пример 7. Найти область значений E(f) функции(См. стр. V-VIIПРИЛОЖЕНИЕ 4)Пример 8. Найти область значений E(f) функции(См. стр. VII-VIIIПРИЛОЖЕНИЕ 5)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная тема имеет практическое применение, так как при изучении тех или иных процессов из реальной жизни, описываемых математическими формулами, чаще всего вычисляют значения функций. В школьном курсе математики изучается тема «Область значения функции». Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.Если выбирать универсальный способ нахождения области значений функции, то это графический с применением производной, таких свойств как четность, асимптоты, нули функции. Удобно использовать инверсию для построения график функций, но не все функции инвертируются. Если есть выбор способов, то к рациональным способам можно отнести и введение параметра и метод обратной функции. Знание различных способов решения одной и той же задачи позволяет осуществить проверку полученных результатов.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сильвестров В.В. Множество значений функции: Учебное пособие./Сильвестров В.В. – Чебоксары: 2004. – 200-204 с.2. Карп А.П. Даю урокипо математике /Карп А.П. – М.: Просвещение, 1992. – 21-31с.3. Райский В. Математика: Сборник задач и упражнений для VI класса./Райский В. – Кишинёв:PrutInternaţional, 2002.- 25-33 с.4. Щербаков П.А. Нахождение области значений функции (Электронный ресурс) http://pandia.ru/text/77/355/6329.php (дата обращения 29.10.2016)5. Сикорский К.П. Факультатив. Математика 7-8 класс./Сикорский К.П. – М.: Просвещение, 1969.- 256-263 с.
Просмотров работы: 3598
Зачастую в рамках решения задач по тригонометрии нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, такой поиск нужно делать, если приходится решать разные типы неравенств, при оценке выражений и др.
В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми можно вычислить область значения и область определения функции, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графически. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление о том, что такое область значения функции.
Начнем с базовых определений.
Множество значений функции y = f(x) – это множество всех значений на некотором интервале x, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.
Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).
Область значений некоторой функции обычно принято называть и обозначать E(f).
Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.
Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.
Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры, как построить графики функций и их построение. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.
Как найти область значения функции? Очевидно, что область или множество значений функции можно найти или получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.
Рассмотрим основные способы, как определить область значения функции.
Первый этап – определить тип функции. Функция может быть квадратичной, а также содержать дроби и корни.
Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b]. Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x). Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.
Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.
Условие: найдите область значений y = arcsin x.
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y’ = arcsin x’=11-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈-1; 1arcsin x=arcsin-1=-π2maxx∈-1; 1arcsin x=arcsin 1=π2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=-π2; π2.
Ответ: E(arcsin x)=-π2; π2
Условие: вычислите область значений y=x4-5×3+6×2 на заданном отрезке [1; 4].
Решение
Как найти значение функции? Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.
Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:
y’=x4-5×3+6×2’=4×3+15×2+12x=x4x2-15x+12y’=0⇔x(4×2-15x+12)=0x1=0∉1; 4 или 4×2-15x+12=0D=-152-4·4·12=33×2=15-338≈1.16∈1; 4; x3=15+338≈2.59∈1; 4
Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x2=15-338; x3=15+338:
y(1)=14-5·13+6·12=2y15-338=15-3384-5·15-3383+6·15-3382==117+16533512≈2.08y15+338=15+3384-5·15+3383+6·15+3382==117-16533512≈-1.62y(4)=44-5·43+6·42=32
Как найти множество значений функции? Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117-16533512; 32.
Ответ: 117-16533512; 32.
Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.
Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведение функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.
Условие: вычислите область значений функции y=1×2-4 на интервале (-2; 2).
Решение
Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
y’=1×2-4’=-2x(x2-4)2y’=0⇔-2x(x2-4)2=0⇔x=0∈(-2; 2)
У нас получилось максимальное значение, равное 0, поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:
То есть, y(0)=102-4=-14 будет максимальным значением функции.
Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к -2 с правой стороны и к +2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:
limx→-2+01×2-4=limx→-2+01(x-2)(x+2)==1-2+0-2-2+0+2=-14·1+0=-∞limx→2+01×2-4=limx→2+01(x-2)(x+2)==12-0-22-0+2=14·1-0=-∞
У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до -14 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от -2 до 0. А когда аргумент меняется от 0 до 2, значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (-∞; -14].
Ответ: (-∞; -14].
Условие: укажите множество значений y=tg x на заданном интервале -π2; π2.
Решение
Нам известно, что в общем случае производная тангенса в -π2; π2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:
limx→π2+0tg x=tg-π2+0=-∞limx→π2-0tg x=tgπ2-0=+∞
Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от -π2 до π2,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.
Ответ: -∞; +∞.
Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x.
Решение
Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D(y)=0; +∞. Производная на заданном интервале будет положительной: y’=ln x’=1x. Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:
limx→0+0ln x=ln(0+0)=-∞limx→∞ln x=ln+∞=+∞
Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.
Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.
Условие: определите, какова область значений функции y=9×2+1.
Решение
Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:
y’=9×2+1’=-18x(x2+1)2y’=0⇔x=0y’≤0⇔x≥0y’≥0⇔x≤0
В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x≥0; возрастать, если x≤0; она имеет точку максимума y(0)=902+1=9 при переменной, равной 0.
Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:
limx→-∞9×2+1=9-∞2+1=9·1+∞=+0limx→+∞9×2+1=9+∞2+1=9·1+∞=+0
Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.
Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0. Мы отобразили это на рисунке:
На нем видно, что областью значений функции будет интервал E(y)=(0; 9]
Ответ: E(y)=(0; 9]
Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.
А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.
Условие: определите, какой будет область значений y=xx-2.
Решение
Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0, то D(y)=-∞; 2∪2; +∞.
Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке -∞; 2, который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.
limx→2-0xx-2=2-02-0-2=2-0=-∞limx→-∞xx-2=limx→-∞x-2+2x-2=limx→-∞1+2x-2=1+2-∞-2=1-0
Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1. Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2, то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала -∞; 1. Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.
Для открытого луча 2; +∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:
limx→2+0xx-2=2+02+0-2=2+0=+∞limx→+∞xx-2=limx→+∞x-2+2x-2=limx→+∞1+2x-2=1+2+∞-2=1+0
Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1; +∞. Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств -∞; 1 и 1; +∞.
Ответ: E(y)=-∞; 1∪1; +∞.
Это можно увидеть на графике:
Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.
Условие: определите область значений синуса y = sin x.
Решение
Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0; 2π и смотрим, каким будет множество значений на нем.
y’=(sin x)’=cos xy’=0⇔cos x=0⇔x=π2+πk, k∈Z
В рамках 0; 2π у функции будут точки экстремума π2 и x=3π2. Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.
y(0)=sin 0=0yπ2=sin π2=1y3π2=sin3π2=-1y(2π)=sin(2π)=0⇔minx∈0; 2πsin x=sin3π2=-1, maxx∈0; 2πsin x=sinπ2=1
Ответ: E(sin x)=-1; 1.
Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения (или указать). Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.
Условие: определите область значения y=3arccosx3+5π7-4.
Решение
Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E(arccos x)=0; π или 0≤arccos x≤π. Мы можем получить функцию arccosx3+5π7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси Ox, но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0≤arccosx3+5π7≤π.
Функция 3arccosx3+5π7 может быть получена из арккосинуса arccosx3+5π7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0≤3arccosx3+5π7≤3π. Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси Oy на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:
0-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4⇔-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4
Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E(y)=-4; 3π-4.
Ответ: E(y)=-4; 3π-4.
Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.
Условие: вычислите, какова будет область значений функции y=22x-1+3.
Решение
Перепишем функцию, заданную в условии, как y=2·(2x-1)-12+3. Для степенной функции y=x-12 область значений будет определена на промежутке 0; +∞, т.е. x-12>0. В таком случае:
2x-1-12>0⇒2·(2x-1)-12>0⇒2·(2x-1)-12+3>3
Значит, E(y)=3; +∞.
Ответ: E(y)=3; +∞.
Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.
Условие: дана функция y=2sinx2-4, x≤-3-1, -3<x≤31x-3, x>3. Вычислите область ее значений.
Решение
Данная функция является определенной для всех значений x. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных -3 и 3:
limx→-3-0f(x)=limx→-32sinx2-4=2sin-32-4=-2sin32-4limx→-3+0f(x)=limx→-3(1)=-1⇒limx→-3-0f(x)≠limx→-3+0f(x)
Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента -3. При приближении к нему значения функции стремятся к -2sin32-4, а при стремлении x к -3 с правой стороны значения будут стремиться к -1.
limx→3-0f(x)=limx→3-0(-1)=1limx→3+0f(x)=limx→3+01x-3=+∞
Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к -1, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.
Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (-∞; -3], (-3; 3], (3; +∞).
На первом из них у нас получилась функция y=2sinx2-4. Поскольку -1≤sin x≤1, получаем:
-1≤sinx2<1⇒-2≤2sinx2≤2⇒-6≤2sinx2-4≤-2
Значит, на данном промежутке (-∞; -3] множество значении функции – [-6;2].
На полуинтервале (-3; 3] получилась постоянная функция y =-1. Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу -1.
На втором промежутке 3; +∞ у нас есть функция y=1x-3. Она является убывающей, потому что y’=-1(x-3)2<0. Она будет убывать от плюс бесконечности до 0, но самого 0 не достигнет, потому что:
limx→3+01x-3=13+0-3=1+0=+∞limx→+∞1x-3=1+∞-3=1+∞+0
Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0; +∞. Теперь объединим полученные результаты: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.
Ответ: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.
Решение показано на графике:
Условие: есть функция y=x2-3ex. Определите множество ее значений.
Решение
Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:
y’=x2-3ex’=2xex-ex(x2-3)e2x=-x2+2x+3ex=-(x+1)(x-3)ex
Мы знаем, что производная обратится в 0, если x=-1 и x=3. Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.
Функция будет убывать на (-∞; -1]∪[3; +∞) и возрастать на [-1; 3]. Точкой минимума будет -1, максимума –3.
Теперь найдем соответствующие значения функции:
y(-1)=-12-3e-1=-2ey(3)=32-3e3=6e-3
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
limx→-∞x2-3ex=-∞2-3e-∞=+∞+0=+∞limx→+∞x2-3ex=+∞2-3e+∞=+∞+∞==limx→+∞x2-3’ex’=limx→+∞2xex=+∞+∞==limx→+∞2x'(ex)’=2limx→+∞1ex=2·1+∞=+0
Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.
На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до -2e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до -1. Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6e-3 до 0, но при этом 0 достигнут не будет.
Таким образом, E(y)=[-2e; +∞).
Ответ: E(y)=[-2e; +∞)
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 141 человек из 50 регионов
- Сейчас обучается 1156 человек из 83 регионов
- Сейчас обучается 184 человека из 50 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Нахождение
области значений
дробно-рациональных функций -
2 слайд
Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y0, для каждого из которых найдётся такое число x0, что: f(x0) = y0.
-
3 слайд
Свойства функций, используемые при нахождении области значений функции:
непрерывность;
монотонность;
дифференцируемость;
чётность, нечётность;
обратимость.
-
4 слайд
Способы нахождения областей значений функций:
а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции. -
5 слайд
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Определение. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.
-
6 слайд
Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) l, если:
эти точки лежат по одну сторону относительно оси l;
отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l;
произведение расстояний от этих точек до оси lравно 1.
Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.
Свойства инверсии:График функции получается из графика функции инверсией относительно оси Ох.
График функции получается из графика функции преобразованием инверсии относительно оси Оу.
Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей точка.
-
7 слайд
Некоторые неравенства, используемые в работе
-
8 слайд
Пример 1.
Асимптоты:
Ответ:
.
(1. Строим график, используя инверсию)
Решение. -
9 слайд
Пример 1.
Ответ:
.
( 2. Метод введения параметра)
Решение. -
10 слайд
Пример 1.
Ответ:
.
( 3. Метод обратной функции)
Решение. -
11 слайд
Пример 1.
Ответ:
.
( 4. Метод применения производной)
Решение.
Вертикальная асимптота , график не пересекает ось абсцисс.Критическиx точек первого рода нет.
-
12 слайд
Применить алгебраические неравенства к Примеру 1 невозможно
-
13 слайд
Пример 2.
Асимптоты:
Ответ:
.
(1. Строим график, используя инверсию)
Решение. -
14 слайд
Пример 2.
Ответ:
.
(2. Введение параметра)
Решение. -
15 слайд
Пример 2.
Ответ:
.
(3. Метод обратной функции)
Решение. -
16 слайд
Пример 2.
Ответ:
.
(4. Метод применения производной)
Решение.
График имеет вертикальную асимптоту,
не пересекает ось абсцисс.
Горизонтальная асимптота: -
17 слайд
Применить алгебраические неравенства к Примеру 2 невозможно
-
18 слайд
Пример 6.
Ответ:
.
(1.
Решение.
Функция нечетная: -
19 слайд
Пример 6.
Ответ:
.
(2. Метод введения параметра)
Решение. -
20 слайд
Пример 6.
Ответ:
.
(3. Метод обратной функции)
Решение. -
21 слайд
Пример 6.
Ответ:
.
(4. Метод применения производной)
Решение.
Вертикальная асимптота:
График не пересекает ось абсцисс.
Наклонная асимптота: -
22 слайд
Применить инверсию к функции Примера 6 невозможно
-
23 слайд
ВЫВОД
Нахождение области значений функции имеет практическое применение.
2. Универсальный способ нахождения области значений функции – графический с применением производной, таких свойств как четность, асимптоты, нули функции.
3. Удобно использовать инверсию для построения график функций, но не все функции инвертируются.
4. Если есть выбор способов, то к рациональным способам можно отнести и введение параметра и метод обратной функции.
5. Знание различных способов решения одной и той же задачи позволяет осуществить проверку полученных результатов.
Краткое описание документа:
Презентация “Нахождение области значений дробно-рациональных функций” содержит информацию о параметре, инверсии, о способах нахождения области значений дробно-рациональных функций (на конкретных примерах некоторые способы применены).
Способы нахождения областей значений функций:
а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции.
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 261 191 материал в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Материал подходит для УМК
-
«Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Тема
Глава 3. Функции и последовательности
Больше материалов по этой теме
Другие материалы
Элективный курс по алгебре 10 класс
- Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
- 27.05.2020
- 159
- 1
“Функцияның ең үлкен және еі кіші мәндері”
- Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
- Тема: 4. Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточное условие экстремума
- 03.05.2020
- 794
- 5
Практическое занятие по математике
- Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
- Тема: Глава 1. Числа и координаты
- 03.03.2020
- 193
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Основы местного самоуправления и муниципальной службы»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинга в туризме»
-
Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в вузе в условиях реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности специалиста оценщика-эксперта по оценке имущества»
-
Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f(x) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции.[1]
-
1
Определите тип данной вам функции. Областью значений функции являются все допустимые значения «х» (откладываются по горизонтальной оси), которым соответствуют допустимые значения «у». Функция может быть квадратичной или содержать дроби или корни. Для нахождения области определения функции сначала необходимо определить тип функции.
- Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c:[2]
f(x) = 2x2 + 3x + 4 - Функция, содержащая дробь: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x – 1) (и так далее).
- Функция, содержащая корень: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x (и так далее).
- Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c:[2]
-
2
Выберите соответствующую запись для области определения функции. Область определения записывается в квадратных и/или круглых скобках. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область определения функции; если значение не входит в область определения, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей определения, между ними ставится символ «U».[3]
- Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
-
3
Постройте график квадратичной функции. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Так как парабола возрастает или убывает на всей оси Х, то областью определения квадратичной функции являются все действительные числа. Другими словами, областью определения такой функции является множество R (R обозначает все действительные числа).[4]
- Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
- Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
- Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.
-
4
Если функция содержит дробь, приравняйте ее знаменатель к нулю. Помните, что делить на нуль нельзя. Поэтому, приравняв знаменатель к нулю, вы найдете значения «х», которые не входят в область определения функции.[5]
- Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1)/(x – 1).
- Здесь знаменатель: (х – 1).
- Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х – 1 = 0; х = 1.
- Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
- Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.
-
5
Если функция содержит квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Помните, что квадратный корень из отрицательных чисел не извлекается. Поэтому любое значение «х», при котором подкоренное выражение становится отрицательным, нужно исключить из области определения функции.[6]
- Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
- Подкоренное выражение: (х + 3).
- Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
- Найдите «х»: х ≥ -3.
- Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).
Реклама
-
1
Убедитесь, что вам дана квадратичная функция. Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Существуют различные методы нахождения области значений квадратичной функции.[7]
- Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.
-
2
Найдите координату «х» вершины графика функции. В случае квадратичной функции найдите координату «х» вершины параболы. Помните, что квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c. Для вычисления координаты «х» воспользуйтесь следующим уравнением: х = -b/2a. Это уравнение является производной от основной квадратичной функции и описывает касательную, угловой коэффициент которой равен нулю (касательная к вершине параболы параллельна оси Х).[8]
- Например, найдите область значений функции 3x2 + 6x -2.
- Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1
-
3
Найдите координату «у» вершины графика функции. Для этого в функцию подставьте найденную координату «х». Искомая координата «у» представляет собой предельное значение области значений функции.
- Вычислите координату «у»: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5
- Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).
-
4
Определите направление параболы, подставив в функцию по крайней мере одно значение «х». Выберите любое другое значение «х» и подставьте его в функцию, чтобы вычислить соответствующее значение «у». Если найденное значение «у» больше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вверх. Если же найденное значение «у» меньше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вниз.
- Подставьте в функцию х = -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
- Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
- Область значений этой функции: [-5, ∞)
-
5
Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».[9]
- Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
Реклама
-
1
Постройте график функции. Во многих случаях проще найти область значений функции, построив ее график. Областью значений многих функций с корнями является (-∞,0] или [0,+∞), так как вершина параболы, направленной вправо или влево, лежит на оси Х. В этом случае область значений включает все положительные значения «у», если парабола возрастает, или все отрицательные значения «у», если парабола убывает. Функции с дробями имеют асимптоты, которые определяют область значений.[10]
- Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).
- Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением.
- Если у вас нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений «х» и вычислив соответствующие значения «у». Нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.
-
2
Найдите минимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет минимальное значение. Если наглядного минимума нет, то он не существует, а график функции уходит в -∞.
- Область значений функции включает все значения «у» за исключением значений асимптот. Зачастую, области значений таких функций записываются так: (-∞, 6) U (6, ∞).
-
3
Определите максимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет максимальное значение. Если наглядного максимума нет, то он не существует, а график функции уходит в +∞.
-
4
Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».[11]
- Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 352 090 раз.
Была ли эта статья полезной?
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
у = 2x
- « x » называют независимым аргументом функции;
- « y » зависимой переменной или значением функции.
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.
| x | y = 2x | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
| x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
|
y = 2 ·
= 1 |
||||||
| x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
Запомните!
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
D(y)
Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
| x | y = 2x | ||
|---|---|---|---|
| −2 | −4 | ||
| 0 | 0 | ||
|
1 | ||
| 3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
- −2
- 0
- 10
- 30,5
- 1 000 000
- и так далее…
Запомните!
Областью определения функции называют множество чисел,
которые можно подставить вместо « x ».
В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.
у = 2x
D(y): x — любое действительное число
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».
Запишем результат по правилам записи неравенств.
D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
Ответ:
D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».
Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции
« f(x) = ».
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.
x + 5 ≠ 0
Решим полученное линейное уравнение.
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».
x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».
Ответ:
D(y): x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
Разбор примера
Найти область определения функции:
y = √6 − x
Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.
6 − x ≥ 0
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
6 − x ≥ 0
−x ≥ −6 | ·(−1)
x ≤ 6
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
x ∈ (−∞ ; 6]
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.
Ответ:
D(y): x ∈ (−∞ ; 6]
Правило для определения области определения функции
Запомните!
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
- на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
- подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
- есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
- есть ли корни четной
степени с « x »?
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции «
f(x) = √x + 3 +
»
есть дробь «
»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x 2 − 9 »
не может быть равен нулю.
Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
x2 − 9 ≠ 0
x1;2 =
| −0 ± √02 − 4 · 1 · (−9) |
| 2 · 1 |
x1;2 ≠
x1;2 ≠
x1;2 ≠
x1;2 ≠ ±3
Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции
«
f(x) = √x + 3 +
»
корень четной степени.
В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».
Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.
x + 3 ≥ 0
Решим линейное неравенство.
x + 3 ≥ 0
x ≥ −3
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
- знаменатель дроби
«
» не равен нулю ; - подкоренное выражение «
√x + 3
» должно быть больше или равно нулю.
Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.
Ответ:
D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)
Примеры определения области определения функции
Разбор примера
Найти область определения функции:
y = 6√x +
5√1 + x
Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.
Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
нет дробей.
Задаем
второй вопрос.
Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«6√x».
Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «6√x»
должно быть больше или равно нулю.
x ≥ 0
В формуле функции «y = 6√x +
5√1 + x»
также есть корень пятой степени
«5√1 + x
».
Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«6√x».
x ≥ 0
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
Ответ:
D(y): x ∈ [0 ; +∞)
Разбор примера
Найдите область определения функции:
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
| √x + 2 ≠ 0 | |
| x2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.
| √x + 2 ≠ 0 (1) | |
| x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
√x + 2 ≠ 0 (1)
Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,
значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»
также не должно быть равно нулю.
√x + 2 ≠ 0 (1)
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)
x1;2 =
| −(−7) ± √(−7)2 − 4 · 1 · 6 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .
В формуле функции
«f(x) =
+
»
есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.
Решим полученную
систему неравенств.
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
Выпишем результат решения системы неравенств.
x ≥ 4
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:
- проверка, что знаменатели
дробей
с « x »
не равны нулю; - проверка, что
подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.
| Условие проверки | Результат |
|
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю |
|
|
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю |
x ≥ 4 |
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
+
»
с использованием математических символов.
Ответ:
D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
17 декабря 2016 в 18:02
Татьяна Цыганова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Татьяна Цыганова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Найти ОДЗ функции у=?(р1+р2х+x2)
Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2
0
Спасибо
Ответить
17 декабря 2016 в 19:10
Ответ для Татьяна Цыганова
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
x2 + p2x + p1 ? 0.
0
Спасибо
Ответить
24 февраля 2016 в 20:29
Влад Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Влад Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Постройте график функции y=-
. Укажите область определения функции
0
Спасибо
Ответить
25 февраля 2016 в 8:10
Ответ для Влад Алексеев
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Область определения функции: знаменатель не равен 0.
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.
0
Спасибо
Ответить
5 февраля 2018 в 14:30
Ответ для Влад Алексеев
Кирилл Косован
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Кирилл Косован
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
11 февраля 2018 в 15:44
Ответ для Влад Алексеев
Татьяна Мирная
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Татьяна Мирная
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
у=-
0
Спасибо
Ответить
7 октября 2015 в 21:21
Катерина Яроцкая
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Катерина Яроцкая
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Помогите найти область определения функции
0
Спасибо
Ответить
12 сентября 2016 в 15:59
Ответ для Катерина Яроцкая
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
К сожалению, картинка не отражается.
0
Спасибо
Ответить
