Александр Мельник
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Функцией, заданной на множестве $X$ и принимающей значения из множества $Y$ называют некую закономерность, по которой каждому элементу из множества $X$ соответствует лишь один и только один элемент из множества $Y$.
Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$, которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.
Определение 2
Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.
Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$.
Как определить область значения функции
Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.
Определение множества значений функции графическим методом
Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$, а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.
Пример 1
Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом
На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$, так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$, тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$.
Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.
«Множество значений функции» 👇
Метод нахождения области значения функции через производную
Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$, а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$, при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует.
Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.
Пример 2
Дана функция $f(x)=sqrt{16-x^2}$. Найдите область её значений.
Сначала определяем, какие значения может принимать $x$ для существования функции.
При значении $x^2>16$ под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции от $[-4;4]$ включительно.
Теперь найдём производную функции:
$(sqrt{16-x^2})’=-frac{x}{sqrt{16-x^2}}$
Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$.
Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$. Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$, при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$, в этой точке функция равна $16$.
Метод поиска минимума и максимума
Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.
Пример 3
Определите область значений функции:
$y=6-4sinx$
Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=frac{3π}{2}$, а минимум $min(f(x))=2$ при $x=frac{π}{2}$. Следовательно, множество значений, которые может принимать данная функция — $E(x)=[2;10]$.
Разница между областью значения и областью определения функции
Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».
Определение 3
Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$, при которых существует функция $y(x)$.
Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $mathbb{R}^+$.
Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений.
В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $mathbb{R}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Множество значений (область значений) функции — все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.
-
1
Запишите функцию. Например: f(x) = 3x2 + 6x -2. Подставив x в уравнение, мы сможем найти значение y. Эта квадратичная функция, и ее график — парабола.
-
2
Найдите вершину параболы. Если вам дана линейная функция или любая другая с переменной в нечетной степени, например, f(x) = 6x3+2x + 7, пропустите этот шаг. Но если вам дана квадратичная функция или любая другая с переменной х в четной степени, нужно найти вершину графика этой функции. Для этого используйте формулу х=-b/2a. В функции 3x2 + 6x -2 a = 3, b = 6, c = -2. Вычисляем: х = -6/(2*3)= -1.
- Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1)2 + 6*(-1) -2 = 3 – 6 -2 = -5.
- Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.
-
3
Найдите еще несколько точек на графике. Для этого подставьте в функцию несколько других значений х. Так как член x2 положительный, то парабола будет направлена вверх. Для подстраховки подставим в функцию несколько значений x, чтобы узнать, какие значения y они дают.
- f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
- f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
- f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).
-
4
Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.
Реклама
-
1
Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3. Это значение может становиться все меньше и меньше, вплоть до бесконечности, так что минимум функции не имеет заданной минимальной точки.
-
2
Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10. Как и в случае с минимумом, максимум функции не имеет заданной максимальной точки.
-
3
Запишите множество значений. Таким образом, множество значений функции лежит в диапазоне от -3 до +10. Запишите множество значений функции как: -3 ≤ f(x) ≤ 10
- Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
- С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.
Реклама
-
1
Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.[1]
-
2
Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: {-3, 6, -1, 6, 3}.[2]
-
3
Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите “6”: {-3, -1, 6, 3}.[3]
-
4
Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} будет {-3, -1, 3, 6}.[4]
-
5
Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4.[5]
Реклама
-
1
Прочитайте задачу. «Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?»
-
2
Запишите задачу как функцию. В этом случае М — общая вырученная сумма за проданные билеты, а t — количество проданных билетов. Так как один билет стоит 500 рублей, надо умножить количество проданных билетов на 500, чтобы найти вырученную сумму. Таким образом, функция может быть записана в виде M(t) = 500t.
- Например, если она продаст 2 билета, нужно умножить 2 на 500 — в итоге получим 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.
-
3
Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, — она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.
-
4
Найдите область значений. Это возможное количество денег, которые Ольга выручит от продажи билетов. Если вы знаете, что область определения функции — любое неотрицательное целое число, а функция имеет вид: М(t) = 5t, то вы можете найти вырученную сумму, подставив в функцию любое неотрицательное целое число (вместо t). Например, если она продаст 5 билетов, то М(5) = 5*500 = 2500 рублей. Если она продаст 100 билетов, то М(100) = 500 х 100 = 50000 рублей. Таким образом, область значений функции — любые неотрицательные целые числа, кратные пятистам.
- Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.
Реклама
Советы
- В более сложных случаях лучше сначала чертить график, используя область определения, и только потом находить область значений.
- Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
- Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, которая повторяется вдоль оси x, будет иметь ту же область значений для всей функции. Например, область значений для f(x) = sin(x) будет составлять от -1 до 1.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 453 100 раз.
Была ли эта статья полезной?
Зачастую в рамках решения задач по тригонометрии нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, такой поиск нужно делать, если приходится решать разные типы неравенств, при оценке выражений и др.
В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми можно вычислить область значения и область определения функции, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графически. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление о том, что такое область значения функции.
Начнем с базовых определений.
Множество значений функции y = f(x) – это множество всех значений на некотором интервале x, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.
Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).
Область значений некоторой функции обычно принято называть и обозначать E(f).
Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.
Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.
Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры, как построить графики функций и их построение. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.
Как найти область значения функции? Очевидно, что область или множество значений функции можно найти или получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.
Рассмотрим основные способы, как определить область значения функции.
Первый этап – определить тип функции. Функция может быть квадратичной, а также содержать дроби и корни.
Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b]. Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x). Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.
Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.
Условие: найдите область значений y = arcsin x.
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y’ = arcsin x’=11-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈-1; 1arcsin x=arcsin-1=-π2maxx∈-1; 1arcsin x=arcsin 1=π2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=-π2; π2.
Ответ: E(arcsin x)=-π2; π2
Условие: вычислите область значений y=x4-5×3+6×2 на заданном отрезке [1; 4].
Решение
Как найти значение функции? Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.
Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:
y’=x4-5×3+6×2’=4×3+15×2+12x=x4x2-15x+12y’=0⇔x(4×2-15x+12)=0x1=0∉1; 4 или 4×2-15x+12=0D=-152-4·4·12=33×2=15-338≈1.16∈1; 4; x3=15+338≈2.59∈1; 4
Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x2=15-338; x3=15+338:
y(1)=14-5·13+6·12=2y15-338=15-3384-5·15-3383+6·15-3382==117+16533512≈2.08y15+338=15+3384-5·15+3383+6·15+3382==117-16533512≈-1.62y(4)=44-5·43+6·42=32
Как найти множество значений функции? Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117-16533512; 32.
Ответ: 117-16533512; 32.
Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.
Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведение функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.
Условие: вычислите область значений функции y=1×2-4 на интервале (-2; 2).
Решение
Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
y’=1×2-4’=-2x(x2-4)2y’=0⇔-2x(x2-4)2=0⇔x=0∈(-2; 2)
У нас получилось максимальное значение, равное 0, поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:
То есть, y(0)=102-4=-14 будет максимальным значением функции.
Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к -2 с правой стороны и к +2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:
limx→-2+01×2-4=limx→-2+01(x-2)(x+2)==1-2+0-2-2+0+2=-14·1+0=-∞limx→2+01×2-4=limx→2+01(x-2)(x+2)==12-0-22-0+2=14·1-0=-∞
У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до -14 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от -2 до 0. А когда аргумент меняется от 0 до 2, значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (-∞; -14].
Ответ: (-∞; -14].
Условие: укажите множество значений y=tg x на заданном интервале -π2; π2.
Решение
Нам известно, что в общем случае производная тангенса в -π2; π2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:
limx→π2+0tg x=tg-π2+0=-∞limx→π2-0tg x=tgπ2-0=+∞
Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от -π2 до π2,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.
Ответ: -∞; +∞.
Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x.
Решение
Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D(y)=0; +∞. Производная на заданном интервале будет положительной: y’=ln x’=1x. Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:
limx→0+0ln x=ln(0+0)=-∞limx→∞ln x=ln+∞=+∞
Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.
Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.
Условие: определите, какова область значений функции y=9×2+1.
Решение
Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:
y’=9×2+1’=-18x(x2+1)2y’=0⇔x=0y’≤0⇔x≥0y’≥0⇔x≤0
В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x≥0; возрастать, если x≤0; она имеет точку максимума y(0)=902+1=9 при переменной, равной 0.
Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:
limx→-∞9×2+1=9-∞2+1=9·1+∞=+0limx→+∞9×2+1=9+∞2+1=9·1+∞=+0
Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.
Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0. Мы отобразили это на рисунке:
На нем видно, что областью значений функции будет интервал E(y)=(0; 9]
Ответ: E(y)=(0; 9]
Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.
А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.
Условие: определите, какой будет область значений y=xx-2.
Решение
Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0, то D(y)=-∞; 2∪2; +∞.
Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке -∞; 2, который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.
limx→2-0xx-2=2-02-0-2=2-0=-∞limx→-∞xx-2=limx→-∞x-2+2x-2=limx→-∞1+2x-2=1+2-∞-2=1-0
Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1. Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2, то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала -∞; 1. Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.
Для открытого луча 2; +∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:
limx→2+0xx-2=2+02+0-2=2+0=+∞limx→+∞xx-2=limx→+∞x-2+2x-2=limx→+∞1+2x-2=1+2+∞-2=1+0
Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1; +∞. Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств -∞; 1 и 1; +∞.
Ответ: E(y)=-∞; 1∪1; +∞.
Это можно увидеть на графике:
Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.
Условие: определите область значений синуса y = sin x.
Решение
Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0; 2π и смотрим, каким будет множество значений на нем.
y’=(sin x)’=cos xy’=0⇔cos x=0⇔x=π2+πk, k∈Z
В рамках 0; 2π у функции будут точки экстремума π2 и x=3π2. Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.
y(0)=sin 0=0yπ2=sin π2=1y3π2=sin3π2=-1y(2π)=sin(2π)=0⇔minx∈0; 2πsin x=sin3π2=-1, maxx∈0; 2πsin x=sinπ2=1
Ответ: E(sin x)=-1; 1.
Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения (или указать). Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.
Условие: определите область значения y=3arccosx3+5π7-4.
Решение
Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E(arccos x)=0; π или 0≤arccos x≤π. Мы можем получить функцию arccosx3+5π7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси Ox, но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0≤arccosx3+5π7≤π.
Функция 3arccosx3+5π7 может быть получена из арккосинуса arccosx3+5π7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0≤3arccosx3+5π7≤3π. Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси Oy на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:
0-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4⇔-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4
Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E(y)=-4; 3π-4.
Ответ: E(y)=-4; 3π-4.
Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.
Условие: вычислите, какова будет область значений функции y=22x-1+3.
Решение
Перепишем функцию, заданную в условии, как y=2·(2x-1)-12+3. Для степенной функции y=x-12 область значений будет определена на промежутке 0; +∞, т.е. x-12>0. В таком случае:
2x-1-12>0⇒2·(2x-1)-12>0⇒2·(2x-1)-12+3>3
Значит, E(y)=3; +∞.
Ответ: E(y)=3; +∞.
Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.
Условие: дана функция y=2sinx2-4, x≤-3-1, -3<x≤31x-3, x>3. Вычислите область ее значений.
Решение
Данная функция является определенной для всех значений x. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных -3 и 3:
limx→-3-0f(x)=limx→-32sinx2-4=2sin-32-4=-2sin32-4limx→-3+0f(x)=limx→-3(1)=-1⇒limx→-3-0f(x)≠limx→-3+0f(x)
Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента -3. При приближении к нему значения функции стремятся к -2sin32-4, а при стремлении x к -3 с правой стороны значения будут стремиться к -1.
limx→3-0f(x)=limx→3-0(-1)=1limx→3+0f(x)=limx→3+01x-3=+∞
Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к -1, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.
Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (-∞; -3], (-3; 3], (3; +∞).
На первом из них у нас получилась функция y=2sinx2-4. Поскольку -1≤sin x≤1, получаем:
-1≤sinx2<1⇒-2≤2sinx2≤2⇒-6≤2sinx2-4≤-2
Значит, на данном промежутке (-∞; -3] множество значении функции – [-6;2].
На полуинтервале (-3; 3] получилась постоянная функция y =-1. Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу -1.
На втором промежутке 3; +∞ у нас есть функция y=1x-3. Она является убывающей, потому что y’=-1(x-3)2<0. Она будет убывать от плюс бесконечности до 0, но самого 0 не достигнет, потому что:
limx→3+01x-3=13+0-3=1+0=+∞limx→+∞1x-3=1+∞-3=1+∞+0
Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0; +∞. Теперь объединим полученные результаты: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.
Ответ: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.
Решение показано на графике:
Условие: есть функция y=x2-3ex. Определите множество ее значений.
Решение
Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:
y’=x2-3ex’=2xex-ex(x2-3)e2x=-x2+2x+3ex=-(x+1)(x-3)ex
Мы знаем, что производная обратится в 0, если x=-1 и x=3. Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.
Функция будет убывать на (-∞; -1]∪[3; +∞) и возрастать на [-1; 3]. Точкой минимума будет -1, максимума –3.
Теперь найдем соответствующие значения функции:
y(-1)=-12-3e-1=-2ey(3)=32-3e3=6e-3
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
limx→-∞x2-3ex=-∞2-3e-∞=+∞+0=+∞limx→+∞x2-3ex=+∞2-3e+∞=+∞+∞==limx→+∞x2-3’ex’=limx→+∞2xex=+∞+∞==limx→+∞2x'(ex)’=2limx→+∞1ex=2·1+∞=+0
Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.
На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до -2e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до -1. Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6e-3 до 0, но при этом 0 достигнут не будет.
Таким образом, E(y)=[-2e; +∞).
Ответ: E(y)=[-2e; +∞)
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:
-
Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
-
Графический способ — наглядно.
-
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
-
Словесный способ.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.
Например, для функции вида
область определения выглядит так
-
х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).
Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Запоминаем!
Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
-
стационарные и критические точки;
-
точки экстремума;
-
нули функции;
-
точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
-
Найти область определения функции.
-
Найти область допустимых значений функции.
-
Проверить не является ли функция четной или нечетной.
-
Проверить не является ли функция периодической.
-
Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).
-
Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.
-
Промежутки знакопостоянства.
-
Асимптоты.
-
На основании проведенного исследования построить график функции.
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.
Задача 1. Построим график функции 
Как решаем:
Упростим формулу функции:
при х ≠ -1.
График функции — прямая y = x – 1 с выколотой точкой M (-1; -2).
Задача 2. Построим график функции
Как решаем:
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Задача 3. Построить графики функций:
а) y = 3x – 1
б) y = -x + 2
в) y = 2x
г) y = -1
Как решаем:
Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».
а) y = 3x – 1
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
б) y = -x + 2
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
в) y = 2x
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.
г) y = -1
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Как решаем:
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
-
Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины
-
Ветви вверх, следовательно, a > 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0. -
Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.Задача 5. Построить графики функций:
а) y = x² + 1
б) 
в) y = (x – 1)² + 2
г) 
д) 
Как решаем:
Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.
Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).
-
y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;
-
y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;
-
y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;
-
y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.
Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.
-
Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.
-
Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
y = x²
Сдвигаем график вверх на 1:
y = x² + 1
б)
Преобразование в одно действие типа f(x – a).
Сдвигаем график вправо на 1:
в) y = (x – 1)² + 2
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x – a), затем сложение f(x) + a.
y = x²
Сдвигаем график вправо на 1:
y = (x – 1)²
Сдвигаем график вверх на 2:
y = (x – 1)² + 2
г) 
Преобразование в одно действие типа 
y = cos(x)
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Мы знакомы с примерами функций и способами их задания. Рассмотрим понятия области определения и области значения функции, а также свойства функции.
1. Область определения и область значений функции
Найти область определения функции можно как по формуле, задающей функцию, так и по графику.
Определение:
Область определения функции — это допустимые значения независимой переменной (переменной x). Обозначается область определения функции D(f).
Чтобы лучше понять что такое область определения функции рассмотрим несколько примеров.
Если функция задана аналитически:
Найти область определения функции, если она задана формулой:
1) y=12x+7
2)f(x)=(5x-3)/(8x-16)
Функция задана формулой значит, для того чтобы найти ее область определения, нужно ответить на вопрос: “Какие значения можно подставлять в формулу вместо х?”
1) В формулу функции вместо х можно подставлять
любые
действительные числа. Значит область определения функции – любые действительные числа. Записывают следующим образом:
D(y)=(-ထ; +ထ)
2) Поскольку знаменатель функции не должен равняться нулю:
8x-16≠0
х≠2
Значит, D(y)=(-ထ; 2)U(2; +ထ)
Найти область определения функции если она задана графически еще проще, для этого необходимо обратить внимание на то, какие значения принимает “х” на графике. Попробуйте выполнить задание самостоятельно, а затем сравните с решением.
По графику видно что D(f)=[-7;7]
Далее рассмотрим понятие область значений функции
Определение:
Область значений функции – это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. Обозначается область значений функции E(f).
Рассмотрим примеры на нахождение области определения если функция задана аналитически и графически.
Для того чтобы найти область значений функции необходимо ответить на вопрос: ” какие значения может принимать у“
1) Если вместо х любое действительное число, то у, в данном случае, также может принимать любые значения, следовательно
E(y)=(-ထ; +ထ)
2) Так как, при подстановке любого действительного числа вместо х, функция (у) из-за модуля будет принимать только неотрицательные значения, то
E(y)=[0; +ထ)
Для нахождения области значений функции, если она задана графически необходимо обратить внимание на то, какие значения принимает “у” на графике. Попробуйте выполнить задание самостоятельно, а затем сравните с решением.
По графику видно что E(f)=[-7;7]
2. Нули функции
Нули функции можно найти как по формуле, задающей функцию, так и по графику.
Определение:
Нули функции– это значение аргумента, при которых функция обращается в ноль.
Если необходимо найти нули функции по графику, то нужно определить точки пересечения графика с осью ОХ:
На данном примере график функции пересекает ось ОХ при х=-4; х=5,5 и х=8. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Обратите внимание!:
Существуют функции, которые не будут иметь точек пересечения с осью ОХ, следовательно нулей у такой функции нет
Для того чтобы найти нули функции заданной аналитически нужно:
- Прировнять “у” к нулю
- Решить получившееся уравнение
а. y=-11х+22
б. y=(х+76)(х-95)
а. y=-11х+22
1) у=0
т.е:
-11х+22=0
2) Решим получившееся уравнение
-11х+22=0
-11х=-22
х=2
Ответ: 2
б. y=(х+76)(х-95)
1) у=0
получим:
(х+76)(х-95)=0
2) Решим уравнение
(х+76)(х-95)=0
х+76=0 или х-95=0
х=-76 х=95
Ответ: -76; 95
3. Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства функции также можно определить как по формуле, задающей функцию, так и по графику.
Определение:
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Если необходимо найти промежутки знакопостоянства у функции заданной графически, то достаточно определить по графику где функция принимает положительные и отрицательные значения. Для примера возьмем график функции для которой мы находили нули функции :
На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-8; -4) U (-4; 5,5) U (8;9] , которые расположены выше оси ОХ. Зеленым цветом выделены части графика в промежутке (5,5 ; 8) который расположен выше оси х.
Значит, что в промежутках [-8; -4) U (-4; 5,5) U (8;9] функция принимает положительные значения, а в промежутке (5,5 ; 8) она принимает отрицательные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.
Что делать если функция задана аналитически?
Чтобы определить знаки постоянства достаточно понимать как решаются неравенства и запомнить алгоритм:
- Рассматриваем случай когда у>0
- Решаем получившееся неравенство, полученный промежуток показывает при каких “х” функция положительна
- Аналогично рассматриваем случай у<0
- Решаем неравенство, полученный промежуток показывает при каких “х” функция отрицательна
Рассмотрите пример с решением или попробуйте выполнить задание самостоятельно с помощью алгоритма описанного выше:
а. y=-11х+22
1) y>0
Следовательно
-11х+22>0
2)
-11(x+2)>0
x+2<0
x<-2
3) y<0
Следовательно
-11х+22<0
4)
-11(x+2)<0
x+2>0
x>2
Ответ: Функция положительна (у>0) при х∈ (-∞;-2)
Функция отрицательна (у<0) при х∈ (-2;+∞)
б. y=|x+14|
1) y>0
Следовательно
|x+14|>0
2) |x+14|>0
Неравенство верно при любых “х” кроме х=-14
3) y<0
Следовательно
|x+14|<0
4) |x+14|<0
Неравенство неверно при любых “х”
Ответ: Функция положительна (у>0) при х∈ (-∞;-14) U (-14;+∞)
Функция не принимает отрицательных значений
4. Монотонность
В курсе средней школы монотонность функции будем определять исключительно по ее графическому заданию, но в старших классах промежутки возрастания и убывания можно определить и аналитически с помощью производной
Определение:
Функцию у=f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 промежутка, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2)
Функцию у=f(x) называют убывающей на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 промежутка, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2)
Иными словами формальное определение можно интерпретировать следующим образом:
Функция называется возрастающей на промежутке если график визуально “идет наверх”, аналогично функция называется убывающей если график визуально “идет вниз”.
В качестве примера найдем промежутки монотонности графика функции, рассматриваемого выше:
На рисунке голубым цветом выделены части графика в промежутках (-4; 1) U (7;9) на которых график функции возрастает. Розовым цветом выделены части графика в промежутке (-8 ; 4) U (1;7) на которых график функции убывает. Это и есть промежутки монотонности исходной функции.
5. Четность и нечетность
Исследовать функцию на четность и нечетность можно как аналитически так и графически. Рассмотрим определения четной и нечетной функции, а также алгоритмы для ее проверки.
Определение:
Функцию у=f(x) называют четной, если для любого значения “х” выполняется равенство f(-x)=f(x)
Функцию у=f(x) называют нечетной, если для любого значения “х” выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Важно!
Существуют четные функции, нечетные функции, а также функции которые не являются ни четными, ни нечетными.
Не существует функций которые одновременно являются четными и нечетными
Если функция y=f(x) задана аналитически, то для ее исследования на четность и нечетность применим следующий алгоритм:
- Записать выражение y=f(-x). Для этого необходимо в формуле задания функции заменить “х” на “-х”;
- Сопоставить выражения f(-x) и f(x):
Если f(-x) = f(x), то функция является четной;
Если f(-x) = -f(x), то функция является нечетной;
Если ни первое, ни второе условие не выполняется то функция не является ни четной, ни нечетной.
Рассмотрим пример:
а. y=-11х+22
1) f(-x)= -11·(-x)+22=11х+22
2) Сравним f(x) и f(-x)
-11х+22 ≠ 11х+22, то есть f(-x) ≠ f(x)
-11х+22 ≠ -(-11х-22), то есть f(-x) ≠ -f(x)
Значит, функция не является четной и не является нечетной
б. y=|x|
1) f(-x)=|-x|
2) Сравним f(x) и f(-x)
|x|=|-x|, то есть f(-x) = f(x)
Значит функция является четной
Если функция y=f(x) задана графически, то для ее исследования на четность и нечетность будем применять следующие правила:
Четная и нечетная функция y=f(x) имеет симметричную область определения D(f)
Если график функции y=f(x) симметричен относительно оси ординат, то y=f(x) – четная функция
Например:
Если график функции y=f(x) симметричен относительно начала координат, то y=f(x) – четная функция
Например:
На этом рассмотрение свойств функций закончено. Помимо тех свойств, которые разобраны в данном разделе существуют и другие, такие как ограниченность и неограниченность функции, периодичность функции и так далее, которые в курсе алгебры 7-9 класса не рассматриваются.
