Как найти область значения композиции

Композиция функций и функциональные уравнения

Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения задач на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства. Однако, пожалуй впервые, в явном виде учащиеся общеобразовательных классов сталкиваются с понятием «композиция функций» в теме «Производная и ее применение» при выводе формулы производной сложной функции. Использование же этого понятия даже в достаточно простых задачах из других тем школьного курса вызывает у них большие трудности. Поэтому обращение авторов к данной теме является актуальным.
Наш опыт показывает, что и в ЕГЭ, и на олимпиадах разного уровня довольно часто встречаются задания на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства, которые необходимо решать нетрадиционными способами, но в школьных учебниках не уделяется должного внимания методам их решения. Кроме того, при решении этих задач не подходит ни один стандартный (известный) алгоритм и учащимся приходится применять более широкий спектр теоретических знаний, проявлять сообразительность и умение рассуждать. Можно добавить, что они просто интересны, а решения некоторых из них необыкновенно красивы. Заметим, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами. Поэтому изучение школьниками данной тематики улучшает закрепление пройденного материала, способствует развитию интереса к предмету, позволяет отработать различные способы решения задач при подготовке к ЕГЭ, олимпиадам разного уровня и вступительным испытаниям в вузы (в которых эти испытания сохранились).
Авторы настоящей статьи ставили перед собой цель познакомить заинтересованного читателя с основными подходами и методами решения задач, в которых фигурирует понятие сложной функции. Надеемся, что подобранный и систематизированный нами материал, а также максимально подробное его изложение будет полезно как учителям, так и школьникам.
Для начала напомним определение.
Пусть заданы две функции y = f(x) и x = g(t), причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому числу t из области определения функции g соответствует значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f, а ему, в свою очередь, соответствует число y = f(x).
Таким образом, каждому числу t из области определения функции g ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f, а это означает, что на области определения функции g задана функция, которую называют сложной функцией или композицией функций. При этом пишут y = f(g(x)).

Спонсор публикации статьи учебный центр “Стимул”. Центр предлагает Вам пройти учебные семинары для парикмахеров, семинары по парикмахерскому делу, косметологии, ногтевому сервису, организации туристического бизнеса, компьютерные курсы и другие. Профессиональная программа, квалифицированные преподаватели, доступные цены. Узнать подробнее о курсах в Ульяновске, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.stimul-kursy.ru/.

Пример 1. (Открытый банк заданий ЕГЭ-2010.) Найти
если
при | x | ≠ 2.
Решение. Функция g(x) определена при x ∈ (–∞; +∞); g(2 – x) — композиция функций g(x) и f(x) = 2 – x, а g(2 + x) — композиция g(x) и h(x) = 2 + x. Тогда

Пример 2. Дана функция f(x) = –x2 + 4x – 3. Решить уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2).
Решение. Опуская некоторые очевидные рассуждения и выкладки, получим для всех действительных x:
f(2x + 3) = –(2x + 3)2 + 4(2x + 3) – 3 = –4x2 – 4x,
f(x – 2) = –(x – 2)2 + 4(x – 2) – 3 = –x2 + 8x – 15.
Тогда уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2) примет вид:

Ответ:

Пример 3. Дана функция
Решить неравенство
2f(x + 3) < f(3x + 5).
Решение.

Тогда неравенство 2f(x + 3) < f(3x + 5) примет вид:

Поскольку 3x2 + 13x + 16 > 0 для всех действительных x, то последнее неравенство выполняется при x ∈ (–4; –2).
Ответ: (–4; –2).

Пример 4. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найти значение f(f(1)), если

Решение. Найдем вначале f(1). Поскольку
1 ≥ –2, то f(1) = –1 – 5 = –6. Значит, f(f(1)) = f(–6). Так как –6 < –2, то f(–6) = 2∙(–6) + 1 = –11. Итак, f(f(1)) = –11.
Ответ: –11.

Пример 5. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.) Пусть

Так как f(4) = 1, то неравенство f(g(x – 9)) ≥ f(4) примет вид:

Пусть тогда t ≥ 0 и имеем систему:

Возвращаясь к переменной x, получим:

Ответ: [9; 18) (18; 25].

Пример 6. (Московская межвузовская олимпиада, 2009, № 5.) Пусть
Найти значение функции
в точке x = 4.
Решение. Установим вид функции
для первых трех натуральных значений n.
При 

При

Докажем, что при n = k + 1 функция
имеет вид:

Действительно,

В последнем соотношении выражение, заключенное в скобки, представляет собой сумму первых 2009 членов геометрической прогрессии со знаменателем
и первым членом, равным 2. Тогда

или

Пример 7. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Построить график функции y = 3| f(f(x)) | + 1, где 

Решение. Выполним (по определению композиции функций) формальные преобразования:

Найдем область определения функции f(f(x)):

Таким образом, функция y = 3∙| f(f(x)) | + 1 может быть представлена в виде:

График функции y = 3∙| f(f(x)) | + 1 изображен на рисунке 1.

Пример 8. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию
где f(x) = 1
– | x |.
Решение. Преобразуем уравнение, задающее на плоскости Oxy искомое множество точек:

Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению

очевидно, симметрично относительно координатных осей. Поэтому можно изобразить точки этого множества в первой координатной четверти, а затем окончательно достроить его, последовательно симметрично отразив относительно осей Ox и Oy. Итак, при x ≥ 0 и y ≥ 0 уравнение

примет вид

Тогда, раскрывая по определению модуль, получим:

Поскольку при 0 ≤ x < 1 значения
отрицательны, то в I координатной четверти нет точек, удовлетворяющих системе

Множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих системе

Окончательно, графическое изображение множества точек на плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию

показано на рисунке 3.

Пример 9. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Построить график функции y = f(f(x)), где

Решение. По определению композиции функций:

Формально возможны следующие четыре случая:

Найдем значения переменной x, при которых выполняется каждый из этих четырех случаев.
Первый случай выполняется, когда

Второй случай выполняется, когда

Третий случай выполняется, когда

Четвертый случай выполняется, когда

.

Таким образом,

График функции y = f(f(x)) изображен на рисунке 4.

Пример 10. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наименьшему значению многочлена g(t) = t2
– 6t + 8 на отрезке [x + 1; x + 2]. Постройте график функции f(x).
Решение. Приведем функцию g(t) к виду:
g(t) = (t – 3)2 – 1.
Графиком функции g(t) является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (3; –1). Значит, наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно –1, если 3 ∈ [x + 1; x + 2], то есть, записав систему неравенств

получим x ∈ [1; 2].
Если 3 [x + 1; x + 2], то наименьшее значение функции g(t) достигается на левом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае 3 < x + 1) или на правом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае
3 > x + 2).
Следовательно, если x > 2, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно
g(x + 1) = (x + 1 – 3)2 – 1 = (x – 2)2 – 1.
Если же x < 1, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно
g(x + 2) = (x + 2 – 3)2 – 1 = (x – 1)2 – 1.
Окончательно получим:

График функции f(x) изображен на рисунке 5.

Далее рассмотрим тип задач, в которых надо найти функцию, если задано некоторое уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает сама функция. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. В дальнейшем будем рассматривать функциональные уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одной переменной с помощью операции образования сложной функции. Отметим также, что функциональные уравнения можно рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций. Например, f(x) = f(–x) — уравнение четности, f(x + T) = f(x) —
уравнение периодичности и т.д.
Рассмотрим сначала задачи, в которых требуется найти значения функции, не заданной явно, но обладающей свойствами четности (нечетности), периодичности, или когда из данного функционального уравнения надо вывести (доказать) указанные свойства.

Пример 11. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом
T = 10. Найти значение f(2004), если f(–4) = 1,5.
Решение. Воспользуемся вначале условием периодичности функции f(x). Тогда
f(2004) = f(4 + 10∙200) = f(4).
Поскольку функция f(x) нечетная, то
f(–x) = –f(x),
следовательно,
f(4) = –f(–4) = –1,5.
Ответ: –1,5.

Пример 12. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 4 и f(x) = x4 – 2x3 при x ∈ [0; 2]. Вычислить сумму f(1) + f(2) + … + f(150).
Решение. f(0) = 0, f(1) = 14 – 2∙13 = –1,
f(2) = 24 – 2∙23 = 0. Поскольку f(x) нечетная функция, то f(–x) = –f(x), следовательно,
f(–1) = –f(1) = 1.
Так как f(x) — периодическая с периодом 4, то
f(3) = f(3 – 4) = f(–1) = 1,
f(4) = f(4 – 4) = f(0) = 0,
f(5) = f(5 – 4) = f(1) = –1,
f(6) = f(6 – 4) = f(2) = 0,
. . . . . . . . . . .
f(147) = f(–1 + 4∙37) = f(–1) = 1,
f(148) = f(0 + 4∙37) = f(0) = 0,
f(149) = f(1 + 4∙37) = f(1) = –1,
f(150) = f(2 + 4∙37) = f(2) = 0.

Таким образом получаем, что искомая сумма равна

f(1) + f(2) + (f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) + … +
+ (f(147) + f(148) + f(150)) =
= –1 + 0 + (1 + 0 – 1 + 0) + … + (1 + 0 – 1 + 0) = –1.
Ответ: –1.

Пример 13. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство f(x + 2) = –f(x) имеет место для всех действительных x. Доказать, что функция f(x) является периодической с периодом 4.
Решение. Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение f(x + 2) = –f(x) примет вид
f(t) = –f(t – 2).
В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим: f(x) = –f(x – 2). Подставим последнее выражение для f(x) в исходное уравнение и выполним преобразования:
f(x + 2) = –(–f(x – 2)) ⇔ f(x + 2) = f(x – 2).
Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение f(x + 2) = f(x – 2) примет вид:
f(u + 4) = f(u) ⇔ (переобозначение: u ↔ x) ⇔  f(x + 4) = f(x).
Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом 4.

Пример 14. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 1 ни при каком значении x, удовлетворяет условию

Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение

примет вид:

Пусть v = x + 4, тогда x = v – 4, и соотношение

Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение
и выполним преобразования:

Пусть w = x – 4, тогда x + 4 = w + 8, и уравнение f(x + 4) = f(x – 4) примет вид:
f(w + 8) = f(w) ⇔ (переобозначение: w ↔ x)
⇔ f(x + 8) = f(x).
Таким образом, функция f(x) является периодической с периодом 8. Отсюда следует, что значение функции f(x) при x = 2000 будет равно значению f(x) при x = 8,
так как 2000 = 8∙249 + 8.
Найдем:

Следовательно, f(2000) = f(8) = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 15. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству
f(x + 3) = x + 5 – f(x),
а при x ∈ [0; 3) задается формулой
f(x) = 1 + 6,5x – x².
Найти f(100).
Решение. В функциональном уравнении
f(x + 3) = x + 5 – f(x)
сделаем замену t = x + 3. Тогда x = t – 3, и соотношение
f(x + 3) = x + 5 – f(x)
примет вид:
f(t) = t + 2 – f(t – 3) ⇔ (переобозначение: t ↔ x)
⇔ f(x) = x + 2 – f(x – 3).
Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение f(x + 3) = x + 5 – f(x) и выполним преобразования:
f(x + 3) = x + 5 – (x + 2 – f(x – 3))
⇔ f(x + 3) = 3 + f(x – 3).
Пусть w = x – 3, тогда x + 3 = w + 6, и уравнение f(x + 3) = 3 + f(x – 3) примет вид:
f(w + 6) = 3 + f(w) ⇔ (переобозначение w ↔ x)
⇔ f(x + 6) = 3 + f(x).
Значит, функция f(x) является «почти периодической» с периодом 6. Причем при любом x значение функции f в точке x + 6 увеличивается на 3 по сравнению с ее значением в точке x. Поскольку 100 = 6∙16 + 4, то f(100) = 3∙16 + f(4) ⇔ f(100) = 48 + f(4).
Осталось вычислить f(4). Для этого воспользуемся соотношением f(x + 3) = x + 5 – f(x).
При x = 1 получим:
f(4) = 1 + 5 – f(1) ⇔ f(4) = 6 – f(1).
Найдем теперь f(1). Поскольку 1 ∈ [0; 3), то функция f(x) при x = 1 задается формулой
f(x) = 1 + 6,5x – x².
Тогда
f(1) = 1 + 6,5∙1 – 1² = 6,5.
Таким образом,
f(100) = 48 + f(4) ⇔ f(100) = 48 + 6 – f(1) ⇔ f(100) = 54 – 6,5 ⇔ f(100) = 47,5.
Ответ: 47,5.

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если при подстановке ее в уравнение последнее превращается в тождество при всех значениях аргумента в области ее определения. Решить функциональное уравнение означает установить, имеет ли оно решения, и найти их, если таковые имеются.

Пример 16. (LXVIV Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2006, № 3.) Найти все такие функции f(x), что
f(2x + 1) = 4x2 + 14x + 7.
Решение. Пусть t = 2x + 1, тогда

В последнем соотношении для функции f(t) вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая переменная (буква). Поэтому, заменив букву t на букву x, получим:
f(x) = x2 + 5x + 1.
Ответ: f(x) = x2 + 5x + 1.

Пример 17. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найти f(x), если для всех x ≠ 0 имеет место соотношение

Из первого уравнения системы выразим

Подставим
во второе уравнение системы. Получим:

По условию x ≠ 0. Поэтому, умножив обе части последнего уравнения на 2x и приведя подобные члены, получим соотношение:
f(x)∙(x – 1)2 = (x – 1)2.
Отсюда следует, что f(x) = 1 при x ≠ 1. При x = 1
из исходного уравнения

получаем f(1) = 1.
Проверкой убеждаемся, что функция f(x) = 1 при всех x ≠ 0 удовлетворяет условию задачи.
Замечание. В условии данной задачи не было указано, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению

Пример 18. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению
f(x + 1) + f(2x) = (x + 1)2?
Решение. Функция f(x) является линейной тогда и только тогда, когда она может быть задана формулой f(x) = kx + b. Тогда
f(x + 1) = k(x + 1) + b,
f(2x) = k∙2x + b.
Следовательно, должны существовать такие единственные k и b, что для всех значений x будет выполняться равенство:
k(x + 1) + b + 2kx + b = (x + 1)2 ⇔
⇔ 3kx + (k + 2b) = x2 + 2x + 1.
Полученное равенство не может выполняться при любых значениях x (многочлен первой степени 3kx + (k + 2b) не при всех x может равняться многочлену второй степени x2 + 2x + 1). Это означает, что линейной функции, удовлетворяющей данным условиям, не существует.
Ответ: не существует.

Пример 19. (МГУ, экономический факультет, 1997, № 6.) Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу
f(x) = 1 – | x – 1 |.
Решить уравнение
2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0.
Решение. Раскроем модуль в выражении для функции f(x) на отрезке [0; 2]:

Так как функция f(x) — нечетная, то

По условию, функция f(x) — периодическая с периодом 4. Значит, f(x – 8) = f(x), f(x + 12) = f(x). Значит, исходное уравнение примет вид:

Найдем вначале решения последней совокупности на отрезке [–2; 2] (то есть на одном из полных периодов функции f(x)).
Если f(x) = –2, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 =
= –2, решением которого является x = 0, не удовлетворяющее условию x ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –2, что не удовлетворяет условию x ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –2, решением которого является x = 4, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Если f(x) = –0,5, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 = –0,5, решением которого является
x = –1,5, –1,5 ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –0,5, –0,5 ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –0,5, решением которого является x = 2,5, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Поскольку функция f(x) является периодической с периодом 4, то окончательно получим две серии решений уравнения
2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0:
x = –1,5 + 4k, k ∈ Z;
x = –0,5 + 4n, n ∈ Z.
Ответ: –1,5 + 4k, k ∈ Z; –0,5 + 4n, n ∈ Z.

Ответ: –1.
Пример 21. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство f(x + y) = f(x) + f(y). Известно, что f(10) = –π. Найти

Решение. По условию f(0 + 0) = f(0) + f(0), или f(0) = f(0) + f(0). Значит, f(0) = 0. Кроме того,
f(0) = f(x – x), или 0 = f(x + (–x)). Отсюда получим:
f(x + (–x)) = f(x) + f(–x) ⇔ 0 = f(x) + f(–x).
Следовательно, f(–x) = –f(x). Значит,

Далее,

Таким образом,
Отсюда искомое значение

Ответ:

Пример 22. (LXXI Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2008, № 4.) Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство
Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Решение. При x = 0 получим:

Аналогично, при x = 1:

Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах отрезка [0; 1], то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Замечание. Если
для всех x ∈ [0; 1], то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ: да, верно.

В заключение статьи рассмотрим задачу C5 одного из вариантов ЕГЭ по математике 2009 года.

Пример 23. Решить уравнение
87cos x2 + (8 – 6x)4 = x8 + 87cos (8 – 6x).
Решение. Приведем исходное уравнение к виду
x8 – 87cos x2 = (8 – 6x)4 – 87cos (8 – 6x).
Введем непрерывную четную функцию
f(t) = t4 – 87cos t.
Найдем ее производную:
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t.
При t ∈ (0; π)
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t > 0 + 0 = 0,
при t ∈ [π; +∞)
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t > 4π3 – 87 > 4∙33 – 87 =  4∙27 – 87 > 0.
Таким образом, f'(t) > 0 при t ∈ (0; +∞), следовательно, f(t) возрастает на промежутке [0; +∞). Значит, каждое свое значение функция принимает в точности в двух симметричных относительно
t = 0 точках (если t = 0, то исходное уравнение не имеет решений, так как при x2 = 0 не выполняется 8 – 6x = 0), а стало быть, исходное уравнение равносильно совокупности:

Ответ:

В заключение читателю предлагается подборка заданий для самостоятельного решения с ответами. Авторы не сомневаются, что решение этих задач поможет учащимся при подготовке к различным творческим и аттестационным испытаниям.

Задачи для самостоятельного решения

1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40. Найдите значение f(2004), если f(–4) = –4,5.

2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найдите значение f(f(1)), если

4. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Постройте график функции y = 2∙| f(f(x)) | – 1, где

5. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

где f(x) = x – 2.
6. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Постройте график функции y = f(f(x)), где

7. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наибольшему значению многочлена g(t) = –t2 – 8t – 15 на отрезке [x – 3; x + 1]. Постройте график функции f(x).

8. Найдите f(x), если:

9. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство

имеет место для всех действительных x. Докажите, что функция f(x) является периодической с периодом 2.

11. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 6 и f(x) = 3x – x2 при x ∈ [0; 3]. Вычислите сумму
f(1) + f(2) + … + f(100).

12. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найдите f(x), если для всех x имеет место соотношение
xf(x) + f(2 – x) = 2(x + 1).

13. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству
f(x + 4) = 2x – 1 – f(x),
а при x ∈ [0; 4) задается формулой f(x) = x2 – 3x.
Найдите f(135).

14. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению
2f(x + 2) + f(4 – x) = 2x + 5?

15. (МГУ, химический факультет, 2001, № 7.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1. Найдите f(2001), если f(0) = 0.

16. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство
f(x + y) = f(x)∙f(y). Известно, что f(4) = 16. Найдите f(–1,5).

17. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x⁶ – | 7 – 6x |3 = 26cos x2 – 26cos (7 – 6x).

18. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x⁶ – | 4x + 3 |3 = 25cos x2 – 25cos (4x + 3).

Ответы: 1. 4,5.  2. 9.  3. [8,5; 13) c (13; +∞).  
4. 
 

5.   

6.   

7.  
8. а) f(x) = x2 – 5x + 6;
б) f(x) = x2 – 14;
в) f(x) = x2 – 2, x ≠ 0;
г) f(x) = 12 – x2;
д)  
е)  
10. 0,8.  11. 2.  12. f(x) = 2.
13. 133.  14. Существует (и единственная!)  
15. 2001².
Указание. Достаточно доказать, что функция f(x) удовлетворяет функциональному уравнению f(x + a) = f(x – a) + 4ax при любом натуральном a. Это можно сделать, например, с помощью метода математической индукции. Тогда, положив x = a, из уравнения
f(2a) = f(0) + 4a2 можно вычислить f(2000): f(2000) =
= 20002. Тогда получим f(2000 + 1) = f(2000) +
+ 2∙2000 + 1, или f(2001) = 20012. Замечание. Можно также доказать, что общее решение исходного функционального уравнения имеет вид f(x) = x2 + g(x), где g(x) — произвольная периодическая функция с периодом T = 1, определенная на всей числовой прямой.  16. 
Указание. Установите вначале, что f(0) = 1. Затем, показав, что f(x) ≠ 0, докажите равенство
Выведите для всех натуральных n соотношение f(nx) = nⁿ(x). Поскольку f(4) = f(8∙0,5) или 16 = f⁸(0,5), то
(Подумайте, почему f(x) > 0.) Тогда f(1,5) = f(3∙0,5). Замечание. Можно также доказать, что f(x) = 2^x для рациональных x.  
17.  

Бардушин В. , Белов А., Прокофьев А. , Фадеичева Т.

1

Указать область определения и область значения, найти композицию

20.02.2014, 17:10. Показов 1919. Ответов 2

---

0

Суперпозиция функций (сложная функция).

Пусть есть 2 функции:

: A→B
и g:
D→F

Пусть область
определения D
функции g
входит в область значений функции f
(DB).
Тогда можно определить новую функцию
– суперпозицию
(композицию, сложную функцию)
функций f
и g:
z=g((x)).

Примеры. f(x)=x²,
g(x)=e^x.
f:R→R,
g:R→R.

(g(x))=e^2x,
g((x))=.

Определение

Пусть
идве
функции. Тогда их композицией называется
функция,
определённая равенством:

.

Свойства композиции

• Композиция
  ассоциативна:

.

• Если F
  = id_X
  — тождественное
  отображение
  на X,
  то есть

,

то

.

• Если G
  = id_Y
  — тождественное отображение на Y,
  то есть

,

то

.

Дополнительные свойства

• Композиция
  дифференцируемых
  функций дифференцируема. Пусть
  .
  Тогда,
  и

.

Счетные и несчетные множества.

Два конечных
множества состоят из равного числа
элементов, если между этими множествами
можно установить взаимно однозначное
соответствие. Число элементов конечного
множества – мощность множества.

Для бесконечного
множества можно установить взаимно
однозначное соответствие между всем
множеством и его частью.

Самым простым из
бесконечных множеств является множество
N.

Определение.
Множества А и В называются эквивалентными
(АВ),
если между ними можно установить взаимно
однозначное соответствие.

Если эквивалентны
два конечных множества, то они состоят
из одного и того же числа элементов.

Если же эквивалентные
между собой множества А и В произвольны
, то говорят, что А и В имеют одинаковую
мощность.
(мощность = эквивалентность).

Для конечных
множеств понятие мощности совпадает с
понятием числа элементов множества.

Определение.
Множество называется счетным,
если можно установить взаимно однозначное
соответствие между ним и множеством
натуральных чисел. (Т.е. счетное множество
– бесконечное, эквивалентное множеству
N).

(Т.е. все элементы
счетного множества можно занумеровать).

Свойства отношения равномощности.

1) АА-
рефлексивность.

2) АВ,
то ВА
– симметричность.

3) АВ
и ВС,
то АС
– транзитивность.

Примеры.

1) n→2n,
2,4,6,… – четные натуральные

2) n→2n-1,
1,3,5,…- нечетные натуральные.

Свойства счетных
множеств.

1. Бесконечные
подмножества счетного множества счетны.

Доказательство.
Т.к. А – счетно, то А: х₁,х₂,…
– отобразили А в N.

ВА,
В:
→1,→2,…
– поставили каждому элементу В в
соответствиенатуральное
число, т.е. отобразили В в N.
Следовательно В – счетно. Ч.т.д.

2. Объединение
конечной (счетной) системы счетных
множеств – счетно.

Примеры.

1. Множество целых
чисел Z
– счетно, т.к. множество Z
можно представить как объединение
счетных множеств А и В, где А: 0,1,2,.. и В:
-1,-2,-3,…

2. Множество
упорядоченных
пар {(m,n):
m,nZ}
(т.е. (1,3)≠(3,1)).

3 (!).
Множество рациональных чисел – счетно.

Q=.
Можно установить взаимно однозначное
соответствие между множеством несократимых
дробейQ
и множеством упорядоченных пар:

.
Т.о. множество Q
равномощно множеству {(p,q)}{(m,n)}.

Множество {(m,n)}
– множество всех упорядоченных пар –
счетно. Следовательно и множество
{(p,q)}
– счетно, а значит и Q
– счетно.

Определение.
Иррациональным числом называется
произвольная бесконечная десятичная
непериодическая
дробь, т.е. ₀,₁₂…

Множество всех
десятичных дробей образуют множество
вещественных
(действительных) чисел.

Множество
иррациональных чисел – несчетно.

Теорема 1.
Множество вещественных чисел из
промежутка (0,1) – несчетное множество.

Доказательство.
Допустим противное, т.е. что все числа
интервала (0,1) можно занумеровать. Тогда,
записывая эти числа в виде бесконечных
десятичных дробей, получим последовательность:

х₁=0,а₁₁а₁₂…a_1n…

x₂=0,a₂₁a₂₂…a_2n…

…………………..

x_n=0,a_n1a_n2…a_nn…

……………………

Рассмотрим теперь
вещественное число х=0,b₁b₂…b_n…,
где b₁–
любая цифра, отличная от а₁₁,
(0 и 9), b₂
– любая цифра, отличная от а₂₂,
(0 и 9),…, b_n
– любая цифра, отличная от a_nn,
(0 и 9).

Т.о. х(0,1),
но хx_i
(i=1,…,n)
т.к. в противном случае, b_i=a_ii.
Пришли к противоречию. Ч.т.д.

Теорема 2.
Любой промежуток вещественной
оси является несчетным множеством.

Теорема 3.
Множество действительных (вещественных)
чисел – несчетно.

Про всякое множество,
равномощное множеству вещественных
чисел говорят, что оно мощности
континуума (лат.
continuum
– непрерывное, сплошное).

Пример.
Покажем, что интервал
обладает мощностью континуума.

Функция у=tg
x:
→R
отображает интервал
на
всю числовую прямую (график).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Композиция

Определение

Если %%f: X to Y%% и %%g: Y to Z%%, то отображение %%varphi: X to Z%%, заданное для каждого %%x in X%% формулой %%varphi(x) = gbig(f(x)big)%%, называется композицией (суперпозицией, %%varphi%% читается как фи греч.) отображений %%f%% и %%g%%, или сложной функцией, и обозначают %%g circ f%%.

$$
(g circ f)(x) = gbig(f(x)big)
$$

Таким образом, сложная функция %%g circ f%% реализует правило: «Применяй сначала %%f%%, затем %%g%%», то есть в композиции %%g circ f%% надо начинать с операции %%f%%, расположенной справа.

Пример

Пусть %%X = Y = Z = mathbb R%%. Отображения %%f : X to Y%% и %%g: Y to Z%% заданы формулами %%f(x) = x + 1%% и %%g(x) = x^2%%. Указать формулу для отображения %%g circ f%%

По правилу получаем

$$
(g circ f)(x) = gbig(f(x)big) = g(x + 1) = (x + 1)^2.
$$

Пример

Пусть даны функции %%f(x), g(x)%% и %%h(x)%%, тогда значение композиции %%h circ g circ f%% в точке %%x = x_0%% будет вычисляться следующим образом:

1. Вычисляется значение %%f_0%% равное значению функции %%f%% в точке %%x_0%%. Вычислено %%f(x_0)%%
2. Вычисляется значение %%g_0%% равное значению функции %%g%% в точке %%f_0%%. Вычислено %%(g circ f)(x_0)%%.
3. Вычисляется значение %%h_0%% равное значению функции %%h%% в точке %%g_0%%. Вычислено %%(h circ g circ f)(x_0)%%.

Или же
$$
begin{array}{rl}
(h circ g circ f)(x_0) =& hBig(gbig(f(x_0)big)Big)\
=& hbig(g(f_0)big) \
=& h(g_0)\
=& h_0
end{array}
$$

Свойства произведения отображнений

1. Произведение отображения ассоциативно, то есть для всех отображений %%f: X to Y, g: Y to Z, h: Z to H%% справедливо равенство %%(h circ g) circ f = h circ (g circ f)%%.

   Проверим это следующим образом:

   $$
   begin{array}{c}
   big((h circ g) circ fbig) (x) = (h circ g)big(f(x)big) = h Big(gbig(f(x)big)Big),\
   big(h circ (g circ f)big) (x) = Big(h circ gbig(f(x)big)Big) = h Big(gbig(f(x)big)Big).
   end{array}
   $$

2. Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в %%X%%, %%I_X%% — тождественнное отображение множества %%X%%. Тогда
   $$
   I_X circ f = f circ I_X = f.
   $$

Конспект урока по математике

Преподаватель Дмитрива В.М.

Тема: Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Цели:

образовательная: Ввести понятия: Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

развивающая: продолжить работу по развитию наблюдательности, умения сравнивать делать вывод;

воспитательная: формирование у обучающихся самостоятельности, трудолюбия, прививать чувства ответственности и сознательного отношения к изучаемому материалу.

Тип урока: Комбинированный урок.

Метод проведения: Сочетания фронтальной и индивидуальной работы с обучающимися.

Оборудование урока: Учебник, проектор, ПК, презентация.

ХОД УРОКА

1. Орг. момент: Приветствие группы, проверка дежурства, состояние кабинета, наличие студентов, готовность к занятиям.

Проверка наличия и ведения конспектов, домашнего задания; опрос.

2. Сообщение темы урока, постановка цели и задачи: Актуализация и мотивация познавательной деятельности студентов.

— Предположим, что у вас в кармане два яблока. Некто взял у вас одно яблоко. Сколько у вас осталось яблок?

— Два.
— Подумайте хорошенько. Буратино сморщился, — так здорово подумал.
— Два…
— Почему?
— Я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!

к/ф «Золотой ключик, или приключения Буратино»

Всем нам хорошо известны основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Сначала мы складывали и вычитали яблоки. Потом целые числа. Затем перешли к изучению операций над числами дробными. И вот наконец то пришла очередь операций над функциями. Да да, не удивляйтесь,  функции, как и обычные числа можно складывать и вычитать, умножать и делить.

3. Изучение нового материала: Лекция.

Определение: Суммой функций f(x) и g(x) называется функция (f+g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x)+g(x).

(f+g)(x)=f(x)+g(x), D(f+g)=D(f)∩D(g).

Аналогично определяется произведение функций: (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x),

D(f⋅g)=D(f)∩D(g).

Разность функций: (f−g)(x)=f(x)−g(x), D(f−g)=D(f)∩D(g).

Частное функций: (f/g)(x)=f(x)/g(x), D(fg)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

Разумеется определения операций над функциями как всегда просты и понятны, но если они вызывают у вас некоторое смущение, то вы можете обратиться к примерам.

Прочитав определение определение суммы функций, мы задаем себе вполне логичный вопрос:  «А что все это значит?» Давайте же разберемся, как будет выглядеть сложение функций на практике.

Пример:

Пусть у нас есть функция f(x) = 1 + и функция g(x) = x — 1
Тогда их сумма определяется как (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (1 + ) + (x — 1) = x +

Как видите, здесь нет ничего сложного. Основные проблемы начинаются при нахождении область определения результирующей функции. Говоря простым языком, область определения суммы функций является пересечением (общей частью) областей определения исходных функций.

Для нашего примера:

Функция	Область определения
f(x) = 1 + √x — 2	[2; +∞)
g(x) = x — 1	(-∞ +∞)
(f + g)(x) = x + √x — 2	[2; ∞)∩(-∞ +∞) = [2; ∞)

Рассмотрим более сложный вариант.

Возьмем две функции
f(x) = 3√x и g(x) = √x
Тогда их произведение определяется как
(f*g)(x) = f(x).g(x) = (3√x)(√x) = 3x

Казалось бы, для области определения результирующей функции  (f*g)(x)  = 3x нет никаких ограничений, но

Функция	Область определения
f(x) = 3√x	[0; +∞)
g(x) = √x	[0; +∞)
(f.g)(x) = 3x, x ≥ 0	[0; +∞) ∩ [0; +∞) = [0; +∞)

И напоследок самое простое, давайте расшифруем строку из определения деления функций:

(f/g)(x)=f(x)/g(x),    D(fg)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

Включаем переводчик….

Translate: Для f/g, область определения  есть пересечение областей определения функций f и g кроме точек, где g(x) = 0

f(x)=x+100500

g(x)=x*√2+x, тогда

g(x)=0 при x=-2 и x=0

Функция	Область
f(x) = x+100500	(-∞ +∞)
g(x) = x*√2+x	[-2; +∞)
(f/g)(x) = (x+100500)/(x*√2+x),	(-2; 0) ∩ (0; +∞)

Понятие о сложной функции Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию z =    можно рассматривать как композицию функций y = 1 –     и   z = .

Для записи композиции функций употребляется значок  . Например, запись h = f  g  означает, что функция  h  получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f), т. е. (f g) (x) = f(g(x)). Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: f  g f  g . Чтобы можно было вычислить сложную функцию h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

Пример. z =   Вычисляя значения функции y = 1 –   , необходимо брать только те числа  х, для которых 1 –   0, т. е. те, для которых число 1 –    попадает в область определения функции  z = .

Взаимно обратные функции Пусть дана функция  у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости  у = f(x)  можно переменную  х  однозначно выразить через переменную  у. Выразив  х через  у, мы получим равенство вида  х = g(y). В этой записи  g  обозначает функцию, обратную к  f. Если функция  g  является обратной для функции  f, то и функция является обратной для функции  g. Пару функций  f  и  g  называют взаимно обратными функциями.

График обратной функции Если мы одновременно построим графики функций  f  и  g  в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества. Пусть  f  и  g – взаимно обратные функции. Тогда :  f(g(y)) = у  и  g(f(x)) = х. 2) Область определения. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Область определения функции  f  совпадает с областью значений функции  g, и наоборот, область значений функции  f  совпадает с областью определения функции  g. 3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

Примеры нахождения обратных функций:

1) y=3x-8

1. x=3y-8, 2. 3y=x+8, 3. y=(x+8)/3.

2) y=11-5x

1. x=11-5y, 2. 5y=11-x, 3. y=(11-x)/5.

4. Закрепление изученного материала: Комментированное решение у доски:

5. Подведение итогов урока: Вывод о достижении цели занятия.

6. Домашнее задание.

О.2 п. 1.6. № 1.58 (а, в), 1.59 (б) стр. 30