Как найти обозначение прямой

Прямая линия

• Обозначение прямой
• Свойства прямой

Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.

Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:

Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.

Обозначение прямой

Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая  a,  или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая  AB:

Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.

Свойства прямой

1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.

Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.

2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.

3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.

Точки  N  и  M  лежат на прямой  a.  Точка  L  не лежит на прямой  a.

Для записи принадлежности точки к прямой используется символ принадлежности —  ∈.  Например, запись  M ∈ a  обозначает, что точка  M  принадлежит прямой  a.  Для того, чтобы указать что точка не принадлежит прямой можно использовать символ  ∉.  Например, запись  L ∉ a  обозначает, что точка  L  не принадлежит прямой  a.

5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.

На рисунке изображена прямая с тремя точками  A,  B  и  C,  лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:

точка  B  лежит между точками  A  и  C,  точка  B  разделяет точки  A  и  C

или

точки  A  и  C  лежат по разные стороны от точки  B.

Также можно сказать:

точки  B  и  C  лежат по одну сторону от точки  A,  они не разделяются точкой  A

или

точки  A  и  B  лежат по одну сторону от точки  C.

6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий^[1], их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии^[2].

Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках»^[3].

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов^[4].

Свойства прямой в евклидовой геометрии[править | править код]

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке^[5], или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны;
  • прямые скрещиваются.
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости[править | править код]

Общее уравнение прямой[править | править код]

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где и  — произвольные постоянные, причём постоянные и не равны нулю одновременно.

При прямая параллельна оси , при  — параллельна оси .

Вектор с координатами называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

Уравнение прямой с угловым коэффициентом[править | править код]

Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и образующей угол с положительным направлением оси :

Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Уравнение прямой в отрезках[править | править код]

Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и ось в точке :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой[править | править код]

где  — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а  — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра. Если , то прямая проходит через начало координат, а угол задаёт угол наклона прямой.

Если прямая задана общим уравнением то отрезки и отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент расстояние прямой от начала координат и выражаются через коэффициенты , и следующим образом:

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие В этом случае и являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки[править | править код]

Если заданы две несовпадающие точки с координатами и , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

или

или в общем виде

Векторное параметрическое уравнение прямой[править | править код]

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.

Параметрические уравнения прямой[править | править код]

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где  — произвольный параметр,  — координаты и направляющего вектора прямой. При этом

Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой[править | править код]

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

где  — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах[править | править код]

Уравнение прямой в полярных координатах и :

или

Тангенциальное уравнение прямой[править | править код]

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

Числа и называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве[править | править код]

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где  — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой,  — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором),  — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где  — координаты
некоторой фиксированной точки лежащей на прямой;  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где  — координаты
некоторой фиксированной точки лежащей на прямой;  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^{[уточнить]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

и

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Векторное уравнение прямой в пространстве^[6]:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :

где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости[править | править код]

Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

Отклонение точки от прямой может быть найдено по формуле

где знак перед радикалом противоположен знаку Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент этой точки может быть найден по формуле

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости[править | править код]

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке

Угол между пересекающимися прямыми определяется формулой

При этом под понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами , , , и ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если или , и перпендикулярны, если или .

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением можно выразить уравнением При этом расстояние между этими прямыми будет равно

Если же уравнение прямой задано как , а уравнение прямой параллельной ей , то расстояние можно вычислить, как

Если знак перед радикалом противоположен то будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если и , то прямые и перпендикулярны.

Некоторые специальные типы прямых[править | править код]

• Прямая Александрова
• Прямая Симсона
• Прямая Суслина^[en]
• Прямая Эйлера
• Числовая прямая

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
• Прямая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Ссылки[править | править код]

• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой».  Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

Имеем аксиому:

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак «∈». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a, тогда это имеет такую форму записи A∈a. В случае, когда точка А не принадлежит, тогда  другая запись A∉a.

Справедливо суждение:

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать  данными буквами, например, прямая АВ. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид РА или АР.  Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».

Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉. Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂. Если в условии дано, что отрезок АР принадлежит прямой b, значит, и запись будет выглядеть следующим образом: АР⊂b.

Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А, В, С, которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С, следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Любая точка O, находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O, а другие – по другую сторону луча.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩. Если имеется форма записи a∩b=M, то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M.

При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a⊥b, а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b.

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b: a∥b.

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

• если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
• если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
• если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.

Рассмотрим это на рисунках.

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне
просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так
и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом
их описывают.

На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и
H. Точки F и G
лежат на прямой a.
Точки D и H
не
лежат на прямой a.

В тексте точку обозначают символом «(·)».
Принадлежность и непринадлежность точки
прямой обозначают символами «∈» и «∉». Знак принадлежности можно запомнить как
зеркальное отображение буквы «Э» или как знак евро «€» .

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

• (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a);
• (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a;
• (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a);
• (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a.

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной
маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены
две точки, иногда обозначают
по названиям этих точек большими латинскими точками.

На рисунке изображены:
• Прямая a
• Прямая f
• Прямая CH
• Прямая DK

Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому:
прямая DE,
прямая EF и
прямая DF —
это три разных имени одной и той же прямой.

Разбор примера

Проведите прямую, обозначьте её буквой a и
отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и
точки P, Q и R, не лежащие на ней. Опишите
взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и
прямой a, используя символы ∈ и ∉.

Решение задачи

Проведём прямую.

Обозначим её буквой a.

Отметим точки (·)A и (·)B, лежащие на прямой a.

Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R, не лежащие на прямой a.

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

• (·)A ∈ a
• (·)B ∈ a
• (·)P ∉ a
• (·)Q ∉ a
• (·)R ∉ a

Задача решена.

Как обозначается пересечение прямых

На рисунке прямые a и b
не пересекаются.

Прямые b и
c пересекаются.

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и
c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно
продолжить вниз прямые a и с).

В тексте пересечение прямых обозначают
символом ∩. Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:

• b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
• a ∩ c — прямые a и с пересекаются.

Прямые e и g имеют общую точку M.
Другими словами, прямые пересекаются в точке M. Геометрическими обозначениями
пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не
пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести
сколько угодно прямых.

Через две точки
(·)A и (·)B можно провести
только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e
нет общих точек, т.к. эти
прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Возможен вариант, что прямые f и e
пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M.

Третий случай расположения прямых

Предположим, что прямые
f и e имеют две или больше общих точек.
Например, точки (·)A и (·)B.

Но мы знаем, что через две
точки можно провести только одну прямую. Значит,
прямые f и e совпадают и наше предположение, что
у двух прямых может быть две или более общих точек неверно.

Вывод: две прямые либо имеют только
одну общую точку, либо не имеют
общих точек.

Разбор примера

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из
них пересекались. Обозначьте все точки
пересечения этих прямых. Сколько получилось
точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две
прямые пересекались, и обозначим точку
пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы
можем провести третью прямую так, чтобы она
тоже проходила через эту точку пересечения.

Теперь прямая a пересекается
с прямой b,
прямая b пересекается с прямой c и
прямая c пересекается с прямой a.

В этом случае
у нас только одна точка
пересечения всех прямых — точка (·)D.

Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так,
чтобы она не проходила через точку (·)D. Тогда
получится
три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F.

Прямая a пересекается
с прямой b
в точке (·)D,
прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и
прямая c пересекается с прямой a
в точке (·)E. Условие задачи выполнено.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или
три.

Что такое отрезок

Две точки, ограничивающие отрезок, называются
концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы
называются S и
T.

Сам отрезок можно назвать ST
или TS. Когда изображают отрезок, оставшиеся от
прямой хвосты можно не рисовать.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

a = 3/11 · P 
b = 4/11 · P
a + b = 28 (cm)

a = 3/11 · P 
b = 4/11 · P
a + b = 28 (cm)