Как найти обратное число для смешанного числа

22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова

Прочтем еще раз условие задачи.

Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что
за 4 дня смог решить 23 задачи.
В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий,
и в четвёртый день решил
вчетверо больше чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?

По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.

Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.

То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем,
соответствуют ли они истине.

Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.

Условия:

1. В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
2. В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
3. За 4 дня он смог решить 23 задачи.

Начнём перебирать и проверять возможные варианты.

1 вариант

Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

1 · 4 = 4 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

18 − 3 = 15 задач.

15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.

Значит наше предположение не верно.

2 вариант

Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

2 · 4 = 8 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

13 − 7 = 6 задач.

6 задач — решено во 2 день.

Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.

• В 1 день — 2 задачи
• Во 2 день — 6 задач
• В 3 день — 7 задач
• В 4 день — 8 задач
• 2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.

Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что
других решений нет.

3 вариант

Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

3 · 4 = 12 задач.

Значит, в 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день).
Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.

7 — 4 = 3 задачи.

Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое
условие.

Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов)
нарушает условия задачи.

Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение
в варианте 2 является единственным.

Ответ:

• В 1 день — 2 задачи
• Во 2 день — 6 задач
• В 3 день — 7 задач
• В 4 день — 8 задач

---

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа. Определение

Взаимно обратные числа – такие числа, произведение которых дает единицу.

Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.

Самый простой пример взаимно обратных чисел – две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 – взаимно обратные числа. Другой пример – числа 3 и 13, -23 и -32,  613 и 136, log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел – натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab – это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 – число  256789.

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует. 

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.

Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее. 

Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.

Рассмотрим еще один пример.

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789… обратное число будет иметь вид 13,6025635789….

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе. 

Обратимся к практике.

Рассмотрим еще один пример.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число  a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a. 

logab и logba – взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных. 

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь 

1x+iy.  Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z=r·cosφ+i·sinφ

z=r·ei·φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

1rcos(-φ)+i·sin(-φ)

или

1rei(-φ)

Убедимся в этом:

r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

a+b2≥a·b

Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:

a+1a2≥a·1aa+1a≥2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Была ли эта статья полезной?

Возьмём дробь

и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь.

Дробь

называют обратной дроби.

Если теперь дробь

опять «перевернуть», мы получим исходную дробь.

Поэтому такие дроби как

и

называют взаимно обратными.

Запомните!

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

записать его в виде неправильной дроби;

полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

• Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.

• Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Запомните!

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Запомните!

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Примеры с дробями

И так мы помним правило

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Исходя из правила

Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:

Пример другой

Правило помним

Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.

Примеры обратных чисел.

1) 10 и 0,1

10∙0,1=1;

2) 0,125 и 8

0,125∙8=1;

Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.

Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.

В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как

натуральное число a и обратное ему число — как

Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.

Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.

На практике обычно поступают проще.

Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).

Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.

Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.

В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.

Надеемся мы вам помогли, оставь отзыв и расскажи как ты понял( а) эту тему.

Исследуй дальше: Действия с обыкновенными дробями

Перейти к контенту

Учитель информатики

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.