Как найти обратную функцию корень - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

План урока:

Взаимно обратные функции

Кубический корень

Корни n-ой степени

Арифметические корни n-ой степени

Свойства корня n-ой степени

Сравнение корней

Взаимно обратные функции

Напомним, что любая функция у = у(х) представляет собой некоторое правило, которое устанавливает соответствие между значениями х и значениями у. В частности, функция у = х² ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат. Приведем таблицу, содержащую значения этой функции для целых аргументов от – 2 до 2:

1hghjg

Но если есть соответствие между х и у, то должно существовать и обратное соответствие между у и х. Действительно, строки таблички можно «перевернуть» и она примет следующий вид:

2gghfj

Мы получили два взаимно обратных соответствия. Однако второе из них функцией не является, ведь функция должна ставить в соответствие своему аргументу только одно значение функции. Однако, судя по второй таблице, числу у = 1 соответствует сразу два х: х = – 1 и х = 1. В таком случае математики говорят, что исходная функция у = х² является необратимой.

Теперь изучим зависимость у = х³. Построим табличку и для неё:

3gfdg

Теперь «перевернем таблицу» и получим следующее:

4ghgfhj

Мы видим, что как каждому значению х соответствует единственное значение у, так и наоборот, каждому у соответствует единственное значение х. В математике для подобных соответствий используют понятие взаимно-однозначное соответствие.

5gfh

Для лучшего понимания этого определения отвлечемся от чисел. Пусть в футбольном чемпионате играет несколько команд. Они образуют множество Х команд-участниц соревнования. За множество У примем отдельных футболистов, выступающих на турнире. Каждому игроку соответствует единственная команда, за которую он выступает, но обратное неверно – каждой команде соответствует несколько игроков. Значит, это пример соответствия, не являющегося взаимно-однозначным.

Пусть тренеры команд образуют множество Z. Каждый тренер тренирует лишь одну команду, и наоборот, каждую команду тренирует единственный тренер. Значит, между множествами X и Z есть взаимно-однозначное соответствие.

Вернемся к функциям. Если соответствие, которое задает функция у = у(х), является взаимно-однозначным, то каждому значению у будет соответствовать единственное значение х. Значит, существует некоторая функция х = х(у). Пары функций у = у(х) и х = х(у) называются взаимно обратными функциями.

Ещё раз скажем, что не для любой функции существует обратная функция, ведь не все они определяют взаимно-однозначное соответствие. Если всё же для у = у(х) есть обратная функция х = х(у), то у = у(х) называют обратимой функцией.

6hgfhf

Покажем, какие функции являются обратными, на примере пары у = 4х + 12 и у = 0,25х – 3. Возьмем, например, значение х = 5 и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4х + 12 = 4•5 + 12 = 32

Получили 32. Подставим это число в обратную функцию:

у = 0,25х – 3 = 0,25•32 – 3 = 8 – 3 = 5

Получили именно то число, которое первоначально подставили в первую функцию! Возьмем другое произвольное число, например, 10, и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4•10 + 12 = 40 + 12 = 52

Полученный результат подставляем в у = 0,25х – 3:

у = 0,25•52 – 3 = 13 – 3 = 10

Снова получили исходное число! Выберете сами ещё несколько произвольных чисел и убедитесь, что и с ними будет происходить то же самое.

Посмотрим, как получить обратную функцию. Пусть дана зависимость

у = 5х + 20

Это, по сути, выражение для вычисления у. Выразим из него х:

у = 5х + 20

у – 20 = 5х

(у – 20)/5 = х

х = у/5 – 20/5

х = 0,2у – 4

Получили зависимость х от у. Чтобы мы получили из нее обратную функцию, необходимо просто поменять местами буквы х и у:

у = 0,2х – 4

Убедитесь самостоятельно на нескольких примерах, что полученная функция обратна функции у = 5х + 20.

Пример. Найдите функцию, обратную зависимости у = 1/(х + 7).

Решение. Умножим обе части равенства у = 1/(х + 7) на (х + 7):

у(х + 7) = 1

Далее поделим обе части нау:

х + 7 = 1/у

Перенесем семерку вправо и получим формулу для вычисления х:

х = 1/у – 7

Для получения обратной функции просто меняем х и у местами:

у = 1/х – 7

Ответ: у = 1/х – 7.

Предположим, у нас есть у= у(х), чей график нам известен, и необходимо построить график взаимно обратной функции. Как это сделать? Если одна точка на координатной прямой имеет координаты (a; b) и принадлежит функции у = у(х), то, обратной функции должна принадлежать точка (b; a):

7hgfgh

Эти точки симметричны относительно прямой у = х:

8hgfgh

Поэтому для построения графика обратной функции достаточно симметрично отобразить его относительно прямой у = х.

9hghj

С помощью этого правила построим график функции, обратной у = х³:

10hgfgh

Практика показывает, что не все школьники (да и взрослые тоже) понимают, что означает симметричность относительно прямой у = х, ведь эта прямая наклонена. Здесь требуется довольно высокий уровень пространственного мышления. Куда проще понять симметрию относительно вертикальной или горизонтальной линии. Поэтому мы покажем ещё один способ построения обратных функций, который состоит из двух этапов.

Он заключается в том, что сначала график отображают симметрично относительно вертикальной оси Оу:

11gfdg

На втором этапе полученное отображение поворачивают по часовой стрелке относительно начала координат:

12gfdgh

Заметим важное правило. При построении обратной функции области определения и области значений меняются местами. Действительно, если какое-то число входит в область значения функции, то это значит, что его можно подставить в обратную функцию. Но это в свою очередь означает, что она входит в область определения обратной функции. Проиллюстрируем это правило картинкой:

13gfgd 14gdfg

До сих пор мы рассматривали способы построения обратных функций, но ведь в самом начале урока говорилось о том, что обратная функция существует не всегда. Действительно, попытаемся построить обратную функцию для у = х²:

15gfdfg

Получилась та же парабола, но «лежащая на боку». Является ли она графиком функции? Нет. На рисунке проведена вертикальная линия, которая пересевает график в двух точках. Это значит, что одному значению х (в данном случае х = 5) соответствует сразу два значения у. Но подобное соответствие не является функцией. Это значит, что у = х² – необратимая функция.

Есть ли какой-то признак, позволяющий быстро сказать, является ли функция обратимой? Оказывается, есть. Если функция строго монотонна (то есть либо только возрастает, либо только убывает), то это гарантирует, что она ещё и обратима. Покажем это с помощью рисунков. Известно, что каждому значению строго монотонной функции соответствует лишь один аргумент. С точки зрения геометрии это означает, что любая горизонтальная линия пересекает монотонную функцию не более чем в одной точке:

16gfd

К слову, это свойство мы использовали для решения некоторых уравнений. Теперь отобразим график симметрично прямой у = х, причем также отобразим и горизонтальные линии:

17bghf

Горизонтальные линии превратились в вертикальные, при этом они всё также пересекают график не более чем в одной точке. Но это как раз и означает, что график задает функцию, а не какое-то другое соответствие. Отсюда делаем вывод – любая строго монотонная функция обратима.

18gfdgh

Снова вернемся к функции у = х². Мы уже показали, что она необратима. Но теперь наложим на нее дополнительное ограничение: х⩾0. Тогда от графика параболы останется только одна ветвь. Для нее уже можно построить обратную функцию:

19gfdfg

Можно сделать вывод – обратимость функции зависит не только от самого вида функции, но и от того, на какой области определения ее рассматривают.

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

20hgf

является обратной для у = х².

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х³ обратима. Называют же функцию, обратную у = х³, кубическим корнем.

21gfdg

Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:

22gfdfg

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

5³ = 125

Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.

Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

23gfdg

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6)³ = – 216. Отсюда следует, что

24gfdg

График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х³:

25gfdfg

Корни n-ой степени

Аналогично кубическому корню можно ввести понятие и корня произвольной n-ой степени.

26gfdgh

Для обозначения корня n-ой степени используется знак радикала, перед которым стоит число n. Приведем пример. Мы знаем, что 2⁵ = 32. Это значит, что корень 5-ой степени из 32 равен 2:

27hgfh

Мы помним, что все степенные функции вида у = хⁿсхожи друг с другом и при этом могут быть разбиты на два класса, в зависимости от четности или нечетности показателя степени n. Если n– четное число (2, 4, 6…), то график будет похож на параболу у = х², просто он будет чуть сильнее «прижат» к оси Ох вблизи точки О (0;0), но вместе с тем он будет и быстрее возрастать:

28hfgh

Если же показателем n является нечетное число, то график у = хⁿбудет схож с графиком у = х³:

29gfgh

Мы видим, что при нечетном показателе получается строго монотонная (возрастающая) функция. Следовательно, она обратима. Функция, обратная функции у = хⁿ, и будет корнем степени n.

Если n нечетно, то корень можно извлечь и из отрицательного числа. Так, известно, что (– 3)⁷ = – 2187. Это значит, что корень седьмой степени из (– 2187) равен (– 3):

30gfdfg

Очевидно, что корень получится отрицательным, если под ним стоит отрицательное число. Если же подкоренное выражение положительно, то и сам корень положителен. Более того, можно заметить, что корень из отрицательного числа равен корню из противоположенного ему положительного числа, взятого со знаком минус:

31fdg

В общем случае графики всех корней нечетных степеней будут похожи на график кубического корня:

32gdfg

Несколько сложнее дело обстоит в том случае, если показатель n является четным. Мы уже выяснили, что у = х² – это необратимая функция. Аналогично и любая другая степенная функция у = хⁿнеобратима. Однако у = х² обратима, если наложить дополнительное ограничение: х ≥ 0. Аналогично, при использовании такого же ограничения, обратимой будет и любая функция у = хⁿ, где n – четное число. График такой функции будет похож на квадратный корень:

33gfdfg

При четном значении n корень n-ой степени нельзя извлечь из отрицательного числа. Действительно, попробуем возвести в четную степень положительное число:

5⁴ = 5•5•5•5 = 625

Получили другое положительное число. Теперь попробуем возвести в четную степень отрицательное число:

(– 5)⁴ = (– 5)•(– 5)•(– 5)•(– 5) = 625

Результат снова положительный! Минусы у отрицательных чисел «сократились» друг с другом, и получилось положительное произведение. Но раз при возведении в четную степень всегда получается неотрицательное число, значит, и под четным корнем должно также стоять неотрицательное число. Поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Арифметические корни n-ой степени

Мы видим, что складывается не очень удобная для математиков ситуация: корни n-ой степени из отрицательного числа можно извлечь, если n – нечетное число, но при четном n такая операция уже недопустима. Это порождает много проблем при работе с корнями. Для устранения этих проблем вводится понятие арифметического корня степени n. Его особенность в том, что он всегда извлекается из неотрицательного числа и сам принимает значения, не меньшие нуля.

34gdfgd

Заметим, что корень нечетной степени из отрицательного числа всегда можно выразить с помощью арифметического корня, просто вынеся знак минус из-под корня:

35gfdg

Поэтому арифметических корней вполне хватает для работы в любых ситуациях.

Определение корня можно записать в более формализованном виде:

36gdfg

Это значит, что

37gdfg

Проиллюстрируем использование этой формулы:

38gfdfg

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

39gfdfg

Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:

40fdfg

Приведем примеры использования этого свойства:

41gdfg

Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:

42gfdg

Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.

43gfg

Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:

44gfdg

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

45gfdfg

Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:

46hfgh

47gdfg

Доказать это можно, разложив число a^m в произведение:

a^m =a•a•a…•a

Всего справа стоит m множителей. Теперь извлечем корень степени n:

48gfdg

Справа всё те же m множителей, а потому

49hfdgh

Таким образом, получаем, что

50gfdfg

Покажем несколько примеров использования этого правила:

51gdfg

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.

52dgh

Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:

53gfdh

По определению корня получаем, что

54gfdg

Проиллюстрируем использование данного правила:

55hggfh

Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.

56hgfgh

Доказательство записывается всего в одну строчку:

57gdfgh

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

58gfh

59hgfh

Сравнение корней

Естественно, что большинство корней – это не целые, а иррациональные числа, которые довольно сложно вычислять. Тем не менее есть несколько правил, которые помогают оценивать их значение. Из графиков корней видно, что все они являются возрастающими функциями. Поэтому, если необходимо сравнить два корня одной степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Тот корень, у которого под корнем стоит большее число, и будет больше

60hgfgh

В частности, справедливы неравенства:

61gdfg

В случае, если у корней различаются степени, следует постараться преобразовать их так, чтобы степени всё же совпали.

Пример. Сравните числа

62gfdg

Решение. Преобразуем первое число, чтобы у нас получился корень шестой степени:

63gfgd

Так как 121 > 119, то и

64hgfh

Пример. Сравните числа

65ggh

Решение. Сначала избавимся от вложенных корней:

66hgfh

Получили два кубических корня. Меньше тот из них, у которого под радикалом меньшее число:

67ghfgh

Пример. Сравните корни

68hgfgh

Решение. Имеем корни 7-ой и 4-ой степени. К какой одинаковой степени можно привести оба корня? Это число 28, ведь оно представляет собой произведение 7•4:

69gfdfg

Так как 16384 > 14641, то и

70fdg

Источник

Загрузить PDF

Математические функции, обычно обозначаемые как f(x) или g(x), можно представить как порядок выполнения математических операций, которые позволяют прийти от «x» к «y». Обратная функция f(x) записывается как f^-1(x).^[1] В случае простых функций найти обратную функцию несложно.

Шаги

1
Полностью перепишите функцию, заменив f(x) на y. При этом «у» должна находиться на одной стороне функции, а «x» — на другой. Если вам дана функция вида 2 + y = 3x², вам необходимо изолировать «у» на одной стороне, а «x» — на другой.
- Пример. Перепишем данную функцию f(x) = 5x – 2 как y = 5x – 2. f(x) и «y» взаимозаменяемы.
- f(x) — это стандартная запись функции, но если вы имеете дело с несколькими функциями, то каждой из них нужно будет присвоить свою букву, чтобы их было легче отличать друг от друга. Например, часто функции обозначают как g(x) и h(x).
2
Найдите «x». Другими словами, выполните математические операции, необходимые для изолирования «x» по одну сторону от знака равенства. Основные алгебраические принципы: если «x» имеет числовой коэффициент, то разделите обе стороны функции на этот коэффициент; если к члену с «x» прибавляется некоторый свободный член, вычтите его с обеих сторон функции (и так далее).
- Помните, что вы можете применять любую операцию по отношению к одной из сторон уравнения только в том случае, если вы применяете ту же операцию по отношению ко всем членам по обе стороны от знака равенства.^[2]
- В нашем примере добавьте 2 к обеим частям уравнения. Вы получите y + 2 = 5x. Затем разделите обе части уравнения на 5 и получите (y + 2)/5 = x. И, наконец, перепишите уравнение с «x» в левой части: x = (y + 2)/5.
3
Поменяйте переменные, заменив «x» на «y» и наоборот. Результатом будет функция, обратная исходной. Другими словами, если мы подставим значение «x» в исходное уравнение и найдем значение «у», то, подставив это значение «у» в обратную функцию, мы получим значение «x».
- В нашем примере получим y = (x + 2)/5.
4
Замените «у» на f^-1(x). Обратные функции обычно записывают в виде f^-1(x) = (члены с «x»). Следует отметить, что в данном случае -1 — это не показатель степени; это просто обозначение обратной функции.
- Так как «x» в -1 степени равно 1/x, то f^-1(x) — это форма записи 1/f(x), что также обозначает функцию, обратную f(x).
5
Проверьте работу, вместо «x» подставив постоянное значение в исходную функцию. Если вы правильно нашли обратную функцию, подставив в нее значение «у», вы найдете подставленное значение «x».
- Например, подставьте x = 4. Вы получите f(x) = 5(4) – 2 или f(x) = 18.
- Теперь подставьте 18 в обратную функцию и получите y = (18 + 2)/5 = 20/5 = 4. То есть у = 4. Это подставленное значение «x», поэтому вы правильно нашли обратную функцию.
Реклама

Советы

Когда вы выполняете алгебраические операции над функциями, вы можете свободно заменять f(x) = y и f^(-1)(x) = y в обоих направлениях. Но прямая запись обратной функции может привести к путанице, поэтому придерживайтесь записи f(x) или f^(-1)(x), которая поможет вам отличить их друг от друга.
Обратите внимание, что обратная функция обычно (но не всегда) является функциональной зависимостью.^[3]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 63 447 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 июля 2022 года; проверки требуют 13 правок.

Функция и обратная ей функция $f^{-1}$ . Если f(a)=3 , то $f^{-1}(3)=a$

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается $f^{-1}$ , иногда также используется обозначение $f^{mathrm{inv}}$ .

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Определение[править | править код]

Функция g:Yto X называется обратной к функции f:Xto Y , если выполнены следующие тождества:

Связанные определения[править | править код]

Существование[править | править код]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция f(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции F(y) выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция F(y) строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, sqrt{x} является обратной функцией к $x^{2}$ на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция где D(x) — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует^[2]:

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Графики функции и обратной ей

$y = F(x) Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$Fleft(F^{-1}(y)right) = y,; forall y in Y$

$F^{-1}(F(x)) = x,; forall x in X$

или короче

$F circ F^{-1} = mathrm{id}_Y$

$F^{-1} circ F = mathrm{id}_X$

где circ означает композицию функций, а $mathrm{id}_X, mathrm{id}_Y$ — тождественные отображения на и соответственно.

$left(F^{-1}right)^{-1} = F$

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}}$ .

Доказательство
Поскольку ${displaystyle alpha circ {alpha }^{-1}={alpha }^{-1}circ alpha =e}$ и для любой обратимой функции , где — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: ${displaystyle e=eLongleftrightarrow e=fcirc f^{-1}Longleftrightarrow e=fcirc gcirc g^{-1}circ f^{-1}Longleftrightarrow e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right).}$ Подействуем слева функцией ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}}$ и получим: ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}circ mid e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}circ e={left(fcirc gright)}^{-1}circ left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=ecirc left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}.}$ Теорема доказана.

Доказательство

Поскольку ${displaystyle alpha circ {alpha }^{-1}={alpha }^{-1}circ alpha =e}$

{displaystyle alpha circ e=ecirc alpha =alpha }

для любой обратимой функции alpha

, где

— тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства.

Имеем: ${displaystyle e=eLongleftrightarrow e=fcirc f^{-1}Longleftrightarrow e=fcirc gcirc g^{-1}circ f^{-1}Longleftrightarrow e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right).}$

Подействуем слева функцией ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}}$ и получим: ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}circ mid e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}circ e={left(fcirc gright)}^{-1}circ left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=ecirc left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}.}$
Теорема доказана.

Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».

Разложение в степенной ряд[править | править код]

Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки $x_{0}$ функции может быть представлена в виде степенного ряда:

${displaystyle f^{-1}(y)=sum _{k=0}^{infty }A_{k}(x_{0}){frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}$

где функции A_k задаются рекурсивной формулой:

${displaystyle A_{n}(x)={begin{cases}x;,;n=0\{frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)}};,;n>0end{cases}}}$

См. также[править | править код]

Теорема Лагранжа об обращении рядов
Обратные тригонометрические функции
Обратимая функция

Примечания[править | править код]

↑ Куликов Л.Я. “Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов”
↑ Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

Источник

Функция, обратная данной
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
Свойства взаимно обратных функций
Примеры

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2

Множество значений X = {-4;-3;…;4} отображается в множество значений Y = {-2;-1,5;…;2}: $X xrightarrow{f} Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.

С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y xrightarrow{g} X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^{-1}$ также является функцией.

Функцию $f: X xrightarrow{f} Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой, если обратное ей соответствие $g: Y xrightarrow{g} g X$ также является фунцией.

Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^{-1}$ называют обратной функцией к f.

Например: аналитическое выражение для функции $X xrightarrow{f} Y$, заданной таблицей $y = f(x) = frac{x}{2}$. Обратное соответствие $Y xrightarrow{g} X$ также является функцией x = g(y) = 2y.

Функция g – обратная функция к f.

В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = frac{x}{2}$ и y=2x являются взаимно обратными.

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X xrightarrow{f} Y$ и $Y xrightarrow{g} X$ являются функциями.

Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x rightarrow y$, $y rightarrow x$.

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Например:

1) Пусть исходная функция $y = frac{x}{2}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = frac{y}{2}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x – искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

2) Пусть исходная функция y = -2x+3

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = frac{-x+3}{2}$ – искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

3) Пусть исходная функция $y = sqrt{x+1}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = sqrt{y+1}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ – искомая обратная функция

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

на $x:x+1 ge 0 Rightarrow x ge -1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge -1$, $x ge 0$

4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = sqrt{frac{x-1}{2}}$ – искомая обратная функция

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

на $x:x-1 ge 0 Rightarrow x ge 1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge 1$, $x ge 0$

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда:

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

3. Если f – нечётная, то и g – нечётная.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Например:

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

а) y = 5x-4

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Получаем: $y = frac{x+4}{5}$ – искомая обратная функция

б) y = -3x+2

Меняем аргумент и значение: x = -3y+2

Получаем: $y = frac{-x+2}{3}$ – искомая обратная функция

в) y = 4x+1, где $-1 le x le 5$

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

Получаем: $y = frac{x-1}{4}$

Требуем, чтобы: $-1 le y le 5 Rightarrow -1 le frac{x-1}{4} le 5 Rightarrow -4 le x-1 le 20 Rightarrow -3 le x le 21$

Итак, искомая обратная функция: $y = frac{x-1}{4}$, где -3 $le x le 21$

г) $y=- frac{1}{2} x+7$, где $2 le x le 9$

Меняем аргумент и значение: $x=-frac{1}{2} y+7$

Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14

Требуем, чтобы: $2 le y le 9 Rightarrow 2 le -2x+14 le 9 Rightarrow -12 le -2x le -5 Rightarrow$

$6 ge x ge 2,5 Rightarrow 2,5 le x le 6$

$y = -2x+14,где 2,5 le x le 6$ – искомая обратная функция

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

а) $y=x^2,x le 0$ Обратная функция $x = y^2 Rightarrow y = pm sqrt{x}$ При этом $y le 0$ Поэтому выбираем $y = – sqrt{x}$ – искомая обратная функция
б) y = x-3, $-1 le x le 4$ Обратная функция $x = y-3 Rightarrow y = x+3$ При этом $-1 le y le 4 Rightarrow -1 le x+3 le 4$ $Rightarrow -4 le x le 1$ y = x+3, $-4 le x le 1$ – искомая обратная функция
в) $y = frac{1}{x+1} $ Обратная функция $x = frac{1}{y+1} Rightarrow y = frac{1}{x} -1$
г) $y = 1+ sqrt{x-3}$ Область определения: $x ge 3$ Область значений: $y ge 1$ Обратная функция: $x = 1+ sqrt{y-3} Rightarrow y = (x-1)^2+3$ Область определения: $x ge 1$ Область значений: $y ge 3$

Источник

Обратная функция

Обратная
функция — функция,
обращающая зависимость, выражаемую
данной функцией.

Функция является
обратной к функции ,
если выполнены следующие тождества:

f(g(y))
= y для
всех
g(f(x))
= x для
всех

Чтобы
найти обратную функцию, нужно
решить уравнение x = F(y) относительно y.
Если оно имеет более чем один корень,
то функции обратной к F не
существует. Таким образом,
функция f(x) обратима
на интервале (a;
b) тогда
и только тогда, когда на этом интервале
она инъективна.

Для непрерывной
функции F(y) выразить y из
уравнения x − F(y)
= 0 возможно
в том и только том случае, когда
функция F(y) монотонна
(см. теорема
о неявной функции). Тем не менее,
непрерывную функцию всегда можно
обратить на промежутках её монотонности.
Например, является
обратной функцией к x² на

,
хотя на промежутке обратная
функция другая: .

Примеры

Областью
определения F ^−

1 является множество Y,
а областью значений множество X.
По
построению имеем:

или

или
короче

где означает композицию
функций, а id_X,id_Y — тождественные
отображения на X и Y соответственно.

Функция F является
обратной к F ^−

1:

Пусть —
биекция. Пусть её
обратная функция. Тогда
графики
функций
y = F(x) и y = F ⁻(x)
симметричны
относительно прямой y = x.

Обратная
функция аналитической функции может
быть представлена в виде степенного
ряда:

где
коэффициенты A_k задаются
рекурсивной формулой:

Обратные тригонометрические функции

Обратные
тригонометрические функции это
математические функции, являющиеся
обратными к тригонометрическим функциям.
К обратным тригонометрическим функциям
обычно относят шесть функций:

арксинус
(обозначение: arcsin)
арккосинус
(обозначение: arccos)
арктангенс
(обозначение: arctg)
арккотангенс
(обозначение: arcctg)

Название
обратной тригонометрической функции
образуется от названия соответствующей
ей тригонометрической функции добавлением
приставки «арк». Это связано с тем, что
геометрически значение обратной
тригонометрической функции можно
связать с длиной дуги единичной окружности
(или углом, стягивающим эту дугу),
соответствующей тому или иному отрезку.

Функция y
= arcsin x

Дана
функция y
= sin x.
На всей своей области определения она
является кусочно-монотонной, и, значит,
обратное соответствие y
= arcsin x функцией
не является. Поэтому мы рассмотрим
отрезок, на котором она строго возрастает
и принимает все значения области значений
— −2;2 .
Так как для функции y
= sin x на
интервале −2;2 каждому
значению аргумента соответствует
единственное значение функции, то на
этом отрезке существует обратная функция
y
= arcsin x,
график которой симметричен графику
функции y
= sin x на
отрезке −2;2 относительно
прямой y
= x.