Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.
Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}cdot A=Acdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.
Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.
Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.
Метод присоединённой (союзной) матрицы
Пусть задана матрица $A_{ntimes n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:
- Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $Delta Aneq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
- Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{ntimes n}^{*}=left(A_{ij} right)$ из найденных алгебраических дополнений.
- Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=frac{1}{Delta A}cdot {A^{*}}^T$.
Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.
Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.
Пример №1
Найти матрицу, обратную к матрице $A=left( begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \ 12 &-11 &4 & 0 \ -5 & 58 &4 & 0 \ 3 & -1 & -9 & 0 end{array} right)$.
Решение
Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.
Ответ: матрицы $A^{-1}$ не существует.
Пример №2
Найти матрицу, обратную к матрице $A=left(begin{array} {cc} -5 & 7 \ 9 & 8 end{array}right)$. Выполнить проверку.
Решение
Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:
$$
Delta A=left| begin{array} {cc} -5 & 7\ 9 & 8 end{array}right|=-5cdot 8-7cdot 9=-103.
$$
Так как $Delta A neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^2cdot 8=8; ; A_{12}=(-1)^3cdot 9=-9;\
& A_{21}=(-1)^3cdot 7=-7; ; A_{22}=(-1)^4cdot (-5)=-5.\
end{aligned}
Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=left( begin{array} {cc} 8 & -9\ -7 & -5 end{array}right)$.
Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=left( begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 end{array}right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$).
Используя формулу $A^{-1}=frac{1}{Delta A}cdot {A^{*}}^T$, имеем:
$$
A^{-1}=frac{1}{-103}cdot left( begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 end{array}right)
=left( begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 end{array}right)
$$
Итак, обратная матрица найдена:
$$A^{-1}=left( begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 end{array}right).$$
Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}cdot A=E$ или $Acdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $left( begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 end{array}right)$, а в виде $-frac{1}{103}cdot left( begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 end{array}right)$:
$$
A^{-1}cdot{A}
=-frac{1}{103}cdot left( begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 end{array}right)cdotleft(begin{array} {cc} -5 & 7 \ 9 & 8 end{array}right)
=-frac{1}{103}cdotleft(begin{array} {cc} -103 & 0 \ 0 & -103 end{array}right)
=left(begin{array} {cc} 1 & 0 \ 0 & 1 end{array}right)
=E
$$
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.
Ответ: $A^{-1}=left( begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 end{array}right)$.
Пример №3
Найти обратную матрицу для матрицы $A=left( begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2end{array} right)$. Выполнить проверку.
Решение
Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:
$$
Delta A=left| begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2end{array} right| = 18-36+56-12=26.
$$
Так как $Delta Aneq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
$$
begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^{2}cdotleft|begin{array}{cc} 9 & 4\ 3 & 2end{array}right|=6;;
A_{12}=(-1)^{3}cdotleft|begin{array}{cc} -4 &4 \ 0 & 2end{array}right|=8;;
A_{13}=(-1)^{4}cdotleft|begin{array}{cc} -4 & 9\ 0 & 3end{array}right|=-12;\
& A_{21}=(-1)^{3}cdotleft|begin{array}{cc} 7 & 3\ 3 & 2end{array}right|=-5;;
A_{22}=(-1)^{4}cdotleft|begin{array}{cc} 1 & 3\ 0 & 2end{array}right|=2;;
A_{23}=(-1)^{5}cdotleft|begin{array}{cc} 1 & 7\ 0 & 3end{array}right|=-3;\
& A_{31}=(-1)^{4}cdotleft|begin{array}{cc} 7 & 3\ 9 & 4end{array}right|=1;;
A_{32}=(-1)^{5}cdotleft|begin{array}{cc} 1 & 3\ -4 & 4end{array}right|=-16;;
A_{33}=(-1)^{6}cdotleft|begin{array}{cc} 1 & 7\ -4 & 9end{array}right|=37.
end{aligned}
$$
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
$$
A^*=left( begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \ 1 & -16 & 37end{array} right); ;
{A^*}^T=left( begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end{array} right).
$$
Используя формулу $A^{-1}=frac{1}{Delta A}cdot {A^{*}}^T$, получим:
$$
A^{-1}=frac{1}{26}cdot left( begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end{array} right)=
left( begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end{array} right)
$$
Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}cdot A=E$ или $Acdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $Acdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $left( begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end{array} right)$, а в виде $frac{1}{26}cdot left( begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end{array} right)$:
$$
Acdot{A^{-1}}
=left( begin{array}{ccc}
1 & 7 & 3 \
-4 & 9 & 4\
0 & 3 & 2end{array} right)cdot
frac{1}{26}cdot left( begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end{array} right)
=frac{1}{26}cdotleft( begin{array} {ccc} 26 & 0 & 0 \ 0 & 26 & 0 \ 0 & 0 & 26end{array} right)
=left( begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1end{array} right)
=E
$$
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.
Ответ: $A^{-1}=left( begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end{array} right)$.
Пример №4
Найти матрицу, обратную матрице $A=left( begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\ 9 & 7 & 5 & 2 \ 7 & 5 & 3 & 7\ -4 & 8 & -8 & -3 end{array} right)$.
Решение
Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.
Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.
Например, для первой строки получим:
$$
A_{11}=left|begin{array}{ccc} 7 & 5 & 2\ 5 & 3 & 7\ 8 & -8 & -3 end{array}right|=556;;
A_{12}=-left|begin{array}{ccc} 9 & 5 & 2\ 7 & 3 & 7 \ -4 & -8 & -3 end{array}right|=-300;
$$
$$
A_{13}=left|begin{array}{ccc} 9 & 7 & 2\ 7 & 5 & 7\ -4 & 8 & -3 end{array}right|=-536;;
A_{14}=-left|begin{array}{ccc} 9 & 7 & 5\ 7 & 5 & 3\ -4 & 8 & -8 end{array}right|=-112.
$$
Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:
$$
Delta{A}=a_{11}cdot A_{11}+a_{12}cdot A_{12}+a_{13}cdot A_{13}+a_{14}cdot A_{14}=6cdot 556+(-5)cdot(-300)+8cdot(-536)+4cdot(-112)=100.
$$
А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:
$$
begin{aligned}
& A_{21}=-77;;A_{22}=50;;A_{23}=87;;A_{24}=4;\
& A_{31}=-93;;A_{32}=50;;A_{33}=83;;A_{34}=36;\
& A_{41}=473;;A_{42}=-250;;A_{43}=-463;;A_{44}=-96.
end{aligned}
$$
Матрица из алгебраических дополнений:
$$A^*=left(begin{array}{cccc} 556 & -300 & -536 & -112\ -77 & 50 & 87 & 4 \ -93 & 50 & 83 & 36\ 473 & -250 & -463 & -96end{array}right)$$
Присоединённая матрица:
$${A^*}^T=left(begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96end{array}right)$$
Обратная матрица:
$$
A^{-1}=frac{1}{100}cdot left( begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96 end{array} right)=
left( begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 end{array} right)
$$
Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.
Ответ: $A^{-1}=left( begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 end{array} right)$.
Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.
Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса).
Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений.
Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.
A·A-1 = A-1 · A = E
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений:
- Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
- Найти матрицу миноров M.
- Из матрицы M найти матрицу алгебраических дополнений C*.
- Транспонировать матрицу (поменяем местами строки со столбцами) C*, получить матрицу C*T.
- По формуле найти обратную матрицу.
Пример
Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:
Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 12 обратная матрица существует.
Найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Остальные миноры и алгебраические дополнения находятся аналогично. В итоге получаем матрицу C*.
Найдем транспонированную союзную матрицу алгебраических дополнений C*T.
Найдем обратную матрицу. Ответ:
Обратной матрицей является матрица A−1A^{-1}, при умножении на исходную матрицу AA мы получаем единичную матрицу EE.
A⋅A−1=A−1⋅A=EA · A^{-1} = A^{-1} · A = E
Онлайн-калькулятор
Алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений:
-
Найти определитель (определитель) матрицы AA. Если определитель ≠0≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель =0= 0, то обратной матрицы не существует.
-
Найти матрицу миноров ММ.
-
Из матрицы MM найдите матрицу алгебраических дополнений C∗C ^*.
-
Транспонировать матрицу (поменять местами столбцы) C∗C ^*, получить матрицу C∗TC ^{* T}.
-
Найти обратную матрицу по формуле.
A−1=C∗TdetAA^{-1} = frac {C^{*T}}{detA}
Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.
Пример 1
Дано:
A=(2543)A= begin{pmatrix} 2 & 5 \ 4 & 3 end{pmatrix}
Решение:
Найдём матрицу алгебраических дополнений.
Вычисляем минор M11M_{11} и алгебраическое дополнение A11A_{11}
M11=3M_{11} = 3
A11=(−1)0⋅3=3A_{11} = (-1)^{0} cdot 3 = 3
Вычисляем минор M12M_{12} и алгебраическое дополнение A12A_{12}
M12=4M_{12} = 4
A12=(−1)1⋅4=(−4)A_{12} = (-1)^{1} cdot 4 = left(-4right)
Вычисляем минор M21M_{21} и алгебраическое дополнение A21A_{21}
M21=5M_{21} = 5
A21=(−1)1⋅5=(−5)A_{21} = (-1)^{1} cdot 5 = left(-5right)
Вычисляем минор M22M_{22} и алгебраическое дополнение A22A_{22}
M22=2M_{22} = 2
A22=(−1)2⋅2=2A_{22} = (-1)^{2} cdot 2 = 2
(3−4−52)begin{pmatrix} 3 & -4 \ -5 & 2 end{pmatrix}
Найдём транспонированную матрицу относительно матрицы алгебраических дополнений:
(3−5−42)begin{pmatrix} 3 & -5 \ -4 & 2 end{pmatrix}
Разделим полученную матрицу на её детерминант:
−114×(3−5−42)=(−31451427−17)-{1 over 14} times begin{pmatrix} 3 & -5 \ -4 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -{3 over 14} & {5 over 14} \ {2 over 7} & -{1 over 7} end{pmatrix}
Ответ:
A−1=(−31451427−17)A^{-1} = begin{pmatrix} -{3 over 14} & {5 over 14} \ {2 over 7} & -{1 over 7} end{pmatrix}
Рассмотрим следующий пример.
Пример 2
Дано:
A=(541421056781)A= begin{pmatrix} 5 & 4 & 1 & 4 \ 2 & 1 & 0 & 5 \ 6 & 7 & 8 & 1 end{pmatrix}
Решение:
Найдём матрицу алгебраических дополнений.
Вычисляем минор M11M_{11} и алгебраическое дополнение A11A_{11}
M11=8M_{11} = 8
A11=(−1)0⋅8=8A_{11} = (-1)^{0} cdot 8 = 8
Вычисляем минор M12M_{12} и алгебраическое дополнение A12A_{12}
M12=16M_{12} = 16
A12=(−1)1⋅16=(−16)A_{12} = (-1)^{1} cdot 16 = left(-16right)
Вычисляем минор M13M_{13} и алгебраическое дополнение A13A_{13}
M13=8M_{13} = 8
$A_{13} = (-1)^{2} cdot 8 = 8$
Вычисляем минор M21M_{21} и алгебраическое дополнение A21A_{21}
M21=25M_{21} = 25
A21=(−1)1⋅25=(−25)A_{21} = (-1)^{1} cdot 25 = left(-25right)
Вычисляем минор M22M_{22} и алгебраическое дополнение A22A_{22}
M22=34M_{22} = 34
A22=(−1)2⋅34=34A_{22} = (-1)^{2} cdot 34 = 34
Вычисляем минор M23M_{23} и алгебраическое дополнение A23A_{23}
M23=11M_{23} = 11
A23=(−1)3⋅11=(−11)A_{23} = (-1)^{3} cdot 11 = left(-11right)
Вычисляем минор M31M_{31} и алгебраическое дополнение A31A_{31}
M31=(−1)M_{31} = left(-1right)
A31=(−1)2⋅(−1)=(−1)A_{31} = (-1)^{2} cdot left(-1right) = left(-1right)
Вычисляем минор M32M_{32} и алгебраическое дополнение A32A_{32}
M32=(−2)M_{32} = left(-2right)
A32=(−1)3⋅(−2)=2A_{32} = (-1)^{3} cdot left(-2right) = 2
Вычисляем минор M33M_{33} и алгебраическое дополнение A33A_{33}
M33=(−3)M_{33} = left(-3right)
A33=(−1)4⋅(−3)=(−3)A_{33} = (-1)^{4} cdot left(-3right) = left(-3right)
(8−168−2534−11−12−3)begin{pmatrix} 8 & -16 & 8 \ -25 & 34 & -11 \ -1 & 2 & -3 end{pmatrix}
Найдём транспонированную матрицу относительно матрицы алгебраических дополнений:
(8−25−1−163428−11−3)begin{pmatrix} 8 & -25 & -1 \ -16 & 34 & 2 \ 8 & -11 & -3 end{pmatrix}
Разделим полученную матрицу на её детерминант:
−0.0625×(8−25−1−163428−11−3)=(−0.51.56250.06251−2.125−0.125−0.50.68750.1875)Ответ:A−1=(−0.51.56250.06251−2.125−0.125−0.50.68750.1875)-0.0625 times begin{pmatrix} 8 & -25 & -1 \ -16 & 34 & 2 \ 8 & -11 & -3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -0.5 & 1.5625 & 0.0625 \ 1 & -2.125 & -0.125 \ -0.5 & 0.6875 & 0.1875 end{pmatrix}
Ответ: A^{-1} = begin{pmatrix} -0.5 & 1.5625 & 0.0625 \ 1 & -2.125 & -0.125 \ -0.5 & 0.6875 & 0.1875 end{pmatrix}
Обратитесь за помощью с решением задач по математике к нашим экспертам!
Как найти обратную матрицу
- Быстрый способ для матриц $2 times 2$
- Пример 1
- Пример 2
- Нахождение с помощью метода Гаусса
- Пример 3
- Пример 4
- Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
- Пример 5
Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.
Быстрый способ для матриц $2 times 2$
Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$
| Пример 1 |
| Найти обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 3&4 \ 5&9 end{pmatrix}$. |
| Решение |
|
Первым делом вычисляем определитель и убеждаемся, что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 3&4 \ 5&9 end{vmatrix} = 3cdot9 – 4cdot5 = 27 – 20 = 7.$$ Итак, определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует. Продолжаем наш алгоритм. Меняем элементы на главной диагонали местами, а у оставшихся элементов меняем знак на противоположный. $$A^{-1} = frac{1}{7} begin{pmatrix} 9&-4 \ -5&3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}.$$ |
| Ответ |
| $$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}$$ |
| Пример 2 |
| Вычислить обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{pmatrix}$. |
| Решение |
|
Находим определитель $$det A = begin{vmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{vmatrix} = 2cdot(-6) – 4cdot(-1) = -12 + 4 = -8.$$ Меняем местами элементы главной диагонали, а остальным меняем знак на противоположный. Не забываем затем каждый элемент разделить на определитель. $$A^{-1} = frac{1}{-8} begin{pmatrix} -6&1 \ -4&2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{-6}{-8}&frac{1}{-8} \ frac{-4}{-8}&frac{2}{-8} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$ |
| Ответ |
| $$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$ |
Нахождение с помощью метода Гаусса
На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.
$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$
Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:
$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$
$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$
| Пример 3 |
| Найти обратную матрицу элементарными преобразованиями $$A = begin{pmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Вычисляем определитель матрицы, чтобы убедиться что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{vmatrix} = 4-1+0-0-2-0=1 neq 0.$$ Выписываем основную матрицу и добавляем справа единичную матрицу. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ -1&-1&1 &|& 0&0&1 end{pmatrix}$$ Проводим элементарные преобразования над строками матриц таким образом, чтобы слева получилась единичная матрица. В то же время как справа получим обратную матрицу. Умножаем третью строку на 2 и прибавляем первую. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&-3&2 &|& 1&0&2 end{pmatrix}$$ Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к ней вторую строку, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Теперь запускаем обратный ход преобразований снизу вверх. Ко второй строке прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Умножаем первую строку на 2 и прибавляем к ней вторую строчку матрицы. $$begin{pmatrix} 4&0&0 &|& 4&4&4 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Теперь, чтобы слева получилась единичная матрица нужно первую строку разделить на 4, вторую на 2. $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& 1&1&1 \ 0&1&0 &|& 1&2&2 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Справа как видим получилась обратная матрица $$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}$$ |
| Пример 4 |
| Дана матрица, найти обратную $$A = begin{pmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Первым делом вычисляем определитель, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы $$det A = begin{vmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{vmatrix} = 0+16+1-0-6-6=5.$$ Теперь справа от матрицы дописываем единичную матрицу $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 1&0&2 &|& 0&1&0 \ 4&1&3 &|& 0&0&1 end{pmatrix}.$$ Теперь с помощью элементарных преобразований делаем так, чтобы слева стояла единичная матрица. А справа получим одновременно обратную матрицу. Умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строчку на 3 и вычитаем первую, умноженную на 4. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&-5&5 &|& -4&0&3 end{pmatrix}$$ Умножаем третью строку на 2 и вычитаем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-15 &|& -3&-15&6 end{pmatrix}$$ Третью строку можно разделить на 3, чтобы уменьшить числа для дальнейшего удобства. Сделаем это. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$ Начинаем проводить преобразования над строками теперь снизу вверх. Умножаем первую строку на 5 и прибавляем к ней третью. Ко второй строке просто прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 15&10&0 &|& 4&-5&2 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$ К первой строке прибавляем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 15&0&0 &|& -6&-15&12 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$ Осталось разделить первую строку на 15, вторую на (-2), а третью на (-5). $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$ |
| Ответ |
| $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$ |
Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом
$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$
Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:
$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$
$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.
| Пример 5 |
| Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 – 0 – 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 – 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 – 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 – 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 – 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 – 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 – 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$ |
| Ответ |
| $$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$ |
Онлайн калькулятор. Обратная матрицы методом алгебраических дополнений.
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления обратной матрицы методом алгебраических дополнений, вы сможете очень просто и быстро найти обратную матрицу.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления обратной матрицы методом алгебраических дополнений, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисления обратной матрицы, а также закрепить пройденный материал.
Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений
Размер матрицы:
Введите значения Матрицы:
A-1
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
