Excel обладает мощным инструментарием, позволяющим выполнять множество математических, статистических, логических и прочих задач. В программе также можно выполнить такое действие, как нахождение обратной матрицы. Ниже мы на практическом примере рассмотрим, как именно это сделать.
Примечание: Найти обратную матрицу можно только при условии, что исходная является квадратной (количество столбцов и строк одинаковое). К тому же, ее определитель не должен равняться цифре 0.
Этап 1. Вычисляем определитель
В программе данное действие выполняется с помощью функции МОПРЕД.
- Переходим в свободную ячейку, в которой планируем производить расчеты, после чего кликаем по кнопке “Вставить функцию” (fx) слева от строки формул.
- В открывшемся окне вставки функций выбираем категорию “Математические”, в которой кликаем по оператору “МОПРЕД”, затем – по кнопке OK.
- В следующем окне нужно заполнить единственный аргумент функции – “Массив”, в значении которого указываем координаты нашей матрицы. Сделать это можно вручную, прописав адреса ячеек, используя клавиши клавиатуры. Либо можно сначала кликнуть внутри области ввода информации, затем зажав левую кнопку мыши выделить диапазон ячеек непосредственно в самой таблице. Когда все готово, нажимаем кнопку OK.
- В выбранной ячейке отобразился результат, а именно, определитель матрицы. С учетом наших данных получилось число 157894, что значит, что у нашей матрицы обратная матрица существует, так как определитель не равен нулю.
Этап 2. Находим обратную матрицу
Итак, после того, как мы вычислили, что определитель матрицы не равен нулю, можно приступить к нахождению обратной.
- Встаем в ячейку, которая станет самым верхним левым элементом новой обратной матрицы. Заходим в окно Вставки функции, нажав на соответствующую кнопку.
- В категории “Математические” выбираем функцию “МОБР”, после чего щелкаем по кнопке OK.
- Аналогично заполнению значения аргумента “Массив” для функции МОПРЕД, рассмотренной в первом разделе, указываем координаты первичной матрицы, после чего нажимаем OK.
- Получаем требуемый результат в выбранной ячейке.
- Чтобы скопировать функцию в другие ячейки, выделяем область, которая совпадает по количеству столбцов и строк с начальной матрицей. Затем нажимаем клавишу F2 на клавиатуре, после чего жмем комбинацию Ctrl+Shift+Enter.
- Все готово. В результате выполненных действий нам удалось найти обратную матрицу.
Заключение
Нахождение обратной матрицы – не такая распространенная математическая задача, как, например, сложение, вычитание, умножение, деление, расчеты с процентами и т.д. Но, если все же возникнет такая потребность, вовсе необязательно делать это вручную на листке бумаги, ведь Эксель позволяет быстро и безошибочно справиться с этой задачей.
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, храняной в массиве.
Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.
Синтаксис
МОБР(массив)
Аргументы функции МОБР описаны ниже.
-
Массива Обязательный. Числовой массив с равным количеством строк и столбцов.
Замечания
-
Массив может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9} или как имя диапазона или массива.
-
Если какие-либо ячейки в массиве пустые или содержат текст, функции МОБР возвращают #VALUE! ошибку “#ВЫЧИС!”.
-
МоБР также возвращает #VALUE! если массив не имеет равного числа строк и столбцов.
-
Обратные матрицы, такие как определители, обычно используются для решения систем математических уравнений с несколькими переменными. Произведением матрицы и обратной является матрица удостоверений — квадратный массив, в котором диагональные значения равны 1, а все остальные — 0.
-
В качестве примера вычисления обратной матрицы, рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов A1:B2, который содержит буквы a, b, c и d, представляющие любые четыре числа. В таблице приведена обратная матрица для массива A1:B2.
|
Столбец A |
Столбец B |
|
|---|---|---|
|
Строка 1 |
d/(a*d-b*c) |
b/(b*c-a*d) |
|
Строка 2 |
c/(b*c-a*d) |
a/(a*d-b*c) |
-
Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления.
-
Некоторые квадратные матрицы невозможно инвертировать и возвращают #NUM! в функции МОБР. Определител непревратимой матрицы 0.
Примеры
Чтобы указанные выше формулы вычислялись правильно, нужно вводить их в виде формул массивов. После ввода формулы нажмите ввод, если у вас есть текущая Microsoft 365 подписка. в противном случае нажмите CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, возвращается единственный результат.
Дополнительные сведения
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.
Нужна дополнительная помощь?
Нужны дополнительные параметры?
Изучите преимущества подписки, просмотрите учебные курсы, узнайте, как защитить свое устройство и т. д.
В сообществах можно задавать вопросы и отвечать на них, отправлять отзывы и консультироваться с экспертами разных профилей.
На чтение 4 мин Опубликовано 28.12.2020
Обратная матрица – это сложное математическое понятие, для нахождения которой необходимо выполнить множество непростых действий на бумаге. Однако программа Excel решает данную задачу в более короткие сроки и без особых усилий со стороны исполнителя. Давайте разберемся, каким образом можно найти обратную матрицу в несколько этапов на одном из примеров.
Замечание эксперта! Обязательным условием для нахождения обратной матрицы, является соответствие исходных данных квадратной матрице, а определителя нулю.
Содержание
- Находим значение определителя
- Определяем значение обратной матрицы
- Сферы использования расчетов с обратной матрицей
- Заключение
Находим значение определителя
Чтобы выполнить это действие, необходимо воспользоваться функцией МОПРЕД. Как именно это делается, рассмотрим на примере:
- Записываем квадратную матрицу в любом свободном месте.
- Выбираем свободную ячейку, после чего находим напротив строки формул кнопку «fx» («Вставить функцию») и кликаем по ней ЛКМ.
- Должно открыться окно, где в строке «Категория:» останавливаемся на «Математические», а ниже выбираем функцию МОПРЕД. Соглашаемся с выполненными действиями кликнув по кнопке «ОК».
- Далее в открывшемся окне заполняем координаты массива.
Совет! Заполнить адресацию можно одним из двух способов: вручную или кликнув кнопкой мыши в месте ввода информации о массиве и, определив выделением зоны место расположения квадратной матрицы, получить адрес массива автоматически.
- После проверки введенных ручным или автоматическим образом данных жмите «ОК».
- После всех проведенных манипуляций свободная ячейка должна отобразить определитель матрицы, значение которого понадобится для нахождения обратной матрицы. Как видно по скриншоту, после вычислений получилось число 338, а, следовательно, потому как определитель не равен 0, то обратная матрица существует.
Определяем значение обратной матрицы
Как только вычисление определителя закончено, можно переходить к определению обратной матрицы:
- Выбираем место расположения верхнего элемента обратной матрицы, открываем окно «Вставка функции».
- Выбираем категорию «Математические».
- В расположившихся снизу функциях пролистываем список и останавливаем выбор на МОБР. Кликаем по кнопке «ОК».
- Аналогично ранее выполняемым действиям при нахождении значений определителя вписываем координаты массива с квадратной матрицей.
- Убеждаемся в правильности выполненных действий и жмем «ОК».
- В выбранной верхней левой ячейке будущей обратной матрицы появится результат.
- Для копирования формулы для нахождения значений в других ячейках используем свободное выделение. Для этого, зажав ЛКМ, растягиваем на всю область будущей обратной матрицы.
- Жмем на клавиатуре кнопку F2 и переходим к набору комбинации «Ctrl+Shift+Enter». Готово!
Рекомендация эксперта! Для удобства выполнения действий по нахождению обратной матрицы в таблице Excel расположение массива с квадратной матрицей и выбранная область для ячеек с обратной матрицей должны располагаться на одном уровне по отношению к столбцам. Таким образом будет проще определить границы адресации второго массива. Пример указан на иллюстрации ниже.
Сферы использования расчетов с обратной матрицей
Экономика – это область, которая требует проведения постоянных и очень сложных расчетов. Для облегчения используется матричная система расчетов. Нахождение обратной матрицы – это быстрый способ обработки большого объема информации за максимально короткие сроки, конечный результат которого будет представлен в наиболее удобном для восприятия виде.
Другая область применения – это 3D моделирование изображений. Всевозможные программы имеют встроенные инструменты для проведения подобного рода расчетов, что в значительной степени облегчает работу конструкторам при производстве расчетов. Наиболее популярной программой среди 3D моделистов считается Компас-3D.
Существуют и другие сферы деятельности, где можно применить систему расчетов обратной матрицы, но все же основной программой для проведения матричных расчетов можно считать Excel.
Заключение
Нахождение обратной матрицы нельзя назвать такой же распространенной математической задачей, как вычитание, сложение или деление, но если появилась необходимость в ее решении, то все действия могут произведены в табличном процессоре Excel. Если человеческий фактор склонен допускать ошибки, то компьютерная программа выдаст 100% точный результат.
Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:
Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция
МОБР()
или англ.
MINVERSE
.
Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля.
СОВЕТ
: О нахождении определителя матрицы читайте статью
Вычисление определителя матрицы в MS EXCEL
Матрица А
-1
называется обратной для исходной матрицы А порядка n, если
справедливы равенства
А
-1
*А=Е и А*А
-1
=Е, где Е единичная матрица порядка n.
Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция
МОБР()
.
Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне
А8:В9
, то для получения
транспонированной матрицы
нужно (см.
файл примера
):
-
выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазоном
А8:В9
,
например,
Е8:F9
-
в
Cтроке формул
ввести формулу
=
МОБР
(A8:B9)
и нажать комбинацию клавиш
CTRL+SHIFT+ENTER
, т.е. нужно ввести ее какформулу массива
(формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу
F2
)
Если матрица большей размерности, то перед вводом формулы нужно выделить соответственно больший диапазон ячеек.
Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например
A8:B9
, но и как
массив констант
, например
=МОБР({5;4: 3;2})
. Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.
Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на
именованный диапазон
.
Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция
МОБР()
возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.
Если функция
МОБР()
вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция
МОБР()
пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает
СУММ()
), а как ошибочное значение.
Вычисление обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений
СОВЕТ
: Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция
МОБР()
.
В
файле примера
приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.
Порядок действий при вычислении обратной матрицы:
-
Вычисляем определитель
матрицы
А
(далее – Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица
А
необратима) - Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
-
Транспонируем матрицу
из алгебраических дополнений
-
Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы
из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу
В качестве проверки можно
перемножить исходную и обратную матрицы
. В результате должна получиться единичная матрица.
В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.
Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.
Формулы массива
Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).
Порядок применения формулы массива:
- Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
- Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
- Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.
В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.
Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.
Решение матриц в Excel
С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.
Транспонирование
Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.
Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.
- 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
- 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.
Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.
Сложение
Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.
В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.
Умножение матриц в Excel
Условие задачи:
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).
Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.
В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.
Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.
Обратная матрица в Excel
Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).
Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.
Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:
Нахождение определителя матрицы
Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.
Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).
Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.
