Как найти обратную матрицу с помощью преобразований

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса).
Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Обратной матрицей называется матрицы A^-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A^-1 = A^-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
2. Дописываем справа единичную матрицу
3. Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
4. Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
5. Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.

Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.

Чтобы сделать нули под элементом a₁₁, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a₁₁.

Чтобы сделать нули над элементом a₃₃, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a₃₃.

Чтобы сделать нули над элементом a₂₂, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a₂₂.

Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.

Вот мы и нашли обратную матрицу.

Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:

A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*

det⁡Adet A — определитель матрицы A,A,

A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}

Решение

Вычислим детерминант:

det⁡A=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} – (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8

Так как det⁡A≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,

A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,

A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,

A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,

A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,

A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,

A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,

A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,

A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.

Обратная матрица:

A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}

Решение

det⁡A=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.

A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,

A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,

A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,

A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.

Ответ:

A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

1. Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Задача 1

Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.

Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.

Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:

(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 – 0 – 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 – 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 – 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 – 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 – 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 – 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 – 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$

Обратная матрица и её свойства

15 февраля 2018

• Домашняя работа
• Ответы

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $left[ mtimes n right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

[A=left[ mtimes n right]=underbrace{left[ begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} \ … & … & … & … \ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & … & {{a}_{mn}} \end{matrix} right]}_{n}]

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $left( x;y right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $left( A;B right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $left( B;A right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. Произведение согласованных матриц $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$ — это новая матрица $C=left[ mtimes k right]$, элементы которой ${{c}_{ij}}$ считаются по формуле:

[{{c}_{ij}}=sumlimits_{k=1}^{n}{{{a}_{ik}}}cdot {{b}_{kj}}]

Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=Acdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

1. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $Acdot Bne Bcdot A$;
2. Однако умножение ассоциативно: $left( Acdot B right)cdot C=Acdot left( Bcdot C right)$;
3. И даже дистрибутивно: $left( A+B right)cdot C=Acdot C+Bcdot C$;
4. И ещё раз дистрибутивно: $Acdot left( B+C right)=Acdot B+Acdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $Acdot B=Bcdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется единичной, если $Acdot E=A$ или $Ecdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

[Acdot E=Ecdot A=A]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Определение. Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$, если

[Acdot B=Bcdot A=E]

Обратная матрица обозначается через ${{A}^{-1}}$ (не путать со степенью!), поэтому определение можно переписать так:

[Acdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}cdot A=E]

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

1. Всегда ли существует обратная матрица? И если не всегда, то как определить: когда она существует, а когда — нет?
2. А кто сказал, что такая матрица ровно одна? Вдруг для некоторой исходной матрицы $A$ найдётся целая толпа обратных?
3. Как выглядят все эти «обратные»? И как, собственно, их считать?

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Начнём с того, как в принципе должна выглядеть матрица $A$, чтобы для неё существовала ${{A}^{-1}}$. Сейчас мы убедимся в том, что обе эти матрицы должны быть квадратными, причём одного размера: $left[ ntimes n right]$.

Лемма 1. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда обе эти матрицы — квадратные, причём одинакового порядка $n$.

Доказательство. Всё просто. Пусть матрица $A=left[ mtimes n right]$, ${{A}^{-1}}=left[ atimes b right]$. Поскольку произведение $Acdot {{A}^{-1}}=E$ по определению существует, матрицы $A$ и ${{A}^{-1}}$ согласованы в указанном порядке:

[begin{align} & left[ mtimes n right]cdot left[ atimes b right]=left[ mtimes b right] \ & n=a end{align}]

Это прямое следствие из алгоритма перемножения матриц: коэффициенты $n$ и $a$ являются «транзитными» и должны быть равны.

Вместе с тем определено и обратное умножение: ${{A}^{-1}}cdot A=E$, поэтому матрицы ${{A}^{-1}}$ и $A$ тоже согласованы в указанном порядке:

[begin{align} & left[ atimes b right]cdot left[ mtimes n right]=left[ atimes n right] \ & b=m end{align}]

Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $A=left[ mtimes n right]$, ${{A}^{-1}}=left[ ntimes m right]$. Однако согласно определению $Acdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}cdot A$, поэтому размеры матриц строго совпадают:

[begin{align} & left[ mtimes n right]=left[ ntimes m right] \ & m=n end{align}]

Вот и получается, что все три матрицы — $A$, ${{A}^{-1}}$ и $E$ — являются квадратными размером $left[ ntimes n right]$. Лемма доказана.

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Лемма 2. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная.

Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:

[begin{align} & Acdot B=Bcdot A=E; \ & Acdot C=Ccdot A=E. \ end{align}]

Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $left[ ntimes n right]$. Следовательно, определено произведение:

[Bcdot Acdot C]

Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:

[begin{align} & Bcdot Acdot C=left( Bcdot A right)cdot C=Ecdot C=C; \ & Bcdot Acdot C=Bcdot left( Acdot C right)=Bcdot E=B; \ & Bcdot Acdot C=C=BRightarrow B=C. \ end{align}]

Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $bne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

Лемма 3. Дана матрица $A$. Если обратная к ней матрица ${{A}^{-1}}$ существует, то определитель исходной матрицы отличен от нуля:

[left| A right|ne 0]

Доказательство. Мы уже знаем, что $A$ и ${{A}^{-1}}$ — квадратные матрицы размера $left[ ntimes n right]$. Следовательно, для каждой из них можно вычислить определитель: $left| A right|$ и $left| {{A}^{-1}} right|$. Однако определитель произведения равен произведению определителей:

[left| Acdot B right|=left| A right|cdot left| B right|Rightarrow left| Acdot {{A}^{-1}} right|=left| A right|cdot left| {{A}^{-1}} right|]

Но согласно определению $Acdot {{A}^{-1}}=E$, а определитель $E$ всегда равен 1, поэтому

[begin{align} & Acdot {{A}^{-1}}=E; \ & left| Acdot {{A}^{-1}} right|=left| E right|; \ & left| A right|cdot left| {{A}^{-1}} right|=1. \ end{align}]

Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:

[left| A right|ne 0;quad left| {{A}^{-1}} right|ne 0.]

Вот и получается, что $left| A right|ne 0$. Лемма доказана.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:

Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $left[ ntimes n right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $left[ 2times 2 right]$ и — частично — размера $left[ 3times 3 right]$. А вот начиная с размера $left[ 4times 4 right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=left[ ntimes n right]$, элементы которой именуются ${{a}_{ij}}$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Определение. Алгебраическое дополнение ${{A}_{ij}}$ к элементу ${{a}_{ij}}$, стоящего в $i$-й строке и $j$-м столбце матрицы $A=left[ ntimes n right]$ — это конструкция вида

[{{A}_{ij}}={{left( -1 right)}^{i+j}}cdot M_{ij}^{*}]

Где $M_{ij}^{*}$ — определитель матрицы, полученной из исходной $A$ вычёркиванием той самой $i$-й строки и $j$-го столбца.

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $left( i;j right)$ обозначается как ${{A}_{ij}}$ и считается по схеме:

1. Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_{ij}^{*}$.
2. Затем умножаем этот определитель на ${{left( -1 right)}^{i+j}}$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_{ij}^{*}$.
3. Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Саму матрицу $M_{ij}^{*}$ называют дополнительным минором к элементу ${{a}_{ij}}$. И в этом смысле приведённое выше определение алгебраического дополнения является частным случаем более сложного определения — того, что мы рассматривали в уроке про определитель.

Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:

1. Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $left[ ktimes k right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается ${{M}_{k}}$.
2. Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_{k}^{*}$.
3. Умножаем $M_{k}^{*}$ на ${{left( -1 right)}^{t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.

Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=left[ ntimes n right]$ — это новая матрица размера $left[ ntimes n right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:

[A=left[ begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} \ … & … & … & … \ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & … & {{a}_{nn}} \end{matrix} right]Rightarrow S=left[ begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & … & {{A}_{1n}} \ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & … & {{A}_{2n}} \ … & … & … & … \ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & … & {{A}_{nn}} \end{matrix} right]]

Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $left| A right|ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска ${{A}^{-1}}$. Зацените:

Теорема об обратной матрице. Пусть дана квадратная матрица $A=left[ ntimes n right]$, причём её определитель отличен от нуля: $left| A right|ne 0$. Тогда обратная матрица ${{A}^{-1}}$ существует и считается по формуле:

[{{A}^{-1}}=frac{1}{left| A right|}cdot {{S}^{T}}]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

1. Посчитать определитель $left| A right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
2. Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений ${{A}_{ij}}$ и расставить их на месте ${{a}_{ij}}$.
3. Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q={1}/{left| A right|};$.

И всё! Обратная матрица ${{A}^{-1}}$ найдена. Давайте посмотрим на примеры:

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{matrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{matrix} right]]

Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:

[left| A right|=left| begin{matrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{matrix} right|=3cdot 2-1cdot 5=6-5=1]

Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:

[S=left[ begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \end{matrix} right]]

Посчитаем алгебраические дополнения:

[begin{align} & {{A}_{11}}={{left( -1 right)}^{1+1}}cdot left| 2 right|=2; \ & {{A}_{12}}={{left( -1 right)}^{1+2}}cdot left| 5 right|=-5; \ & {{A}_{21}}={{left( -1 right)}^{2+1}}cdot left| 1 right|=-1; \ & {{A}_{22}}={{left( -1 right)}^{2+2}}cdot left| 3 right|=3. \ end{align}]

Обратите внимание: определители |2|, |5|, |1| и |3| — это именно определители матриц размера $left[ 1times 1 right]$, а не модули. Т.е. если в определителях стояли отрицательные числа, убирать «минус» не надо.

Итого наша союзная матрица выглядит так:

[S=left[ begin{array}{*{35}{r}}2 & -5 \ -1 & 3 \end{array} right]]

Осталось посчитать обратную:

[{{A}^{-1}}=frac{1}{left| A right|}cdot {{S}^{T}}=frac{1}{1}cdot {{left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -5 \ -1 & 3 \end{array} right]}^{T}}=left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{array} right]]

Ну вот и всё. Задача решена.

Ответ. $left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{array} right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \ 0 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 1 \end{array} right]]

Решение. Опять считаем определитель:

[begin{align} & left| begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \ 0 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 1 \end{array} right|=begin{matrix} left( 1cdot 2cdot 1+left( -1 right)cdot left( -1 right)cdot 1+2cdot 0cdot 0 right)- \ -left( 2cdot 2cdot 1+left( -1 right)cdot 0cdot 1+1cdot left( -1 right)cdot 0 right) \end{matrix}= \ & =left( 2+1+0 right)-left( 4+0+0 right)=-1ne 0. \ end{align}]

Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. И каждое из них будет содержать определитель $left[ 2times 2 right]$. Полетели:

[begin{matrix} {{A}_{11}}={{left( -1 right)}^{1+1}}cdot left| begin{matrix} 2 & -1 \ 0 & 1 \end{matrix} right|=2; \ {{A}_{12}}={{left( -1 right)}^{1+2}}cdot left| begin{matrix} 0 & -1 \ 1 & 1 \end{matrix} right|=-1; \ {{A}_{13}}={{left( -1 right)}^{1+3}}cdot left| begin{matrix} 0 & 2 \ 1 & 0 \end{matrix} right|=-2; \ … \ {{A}_{33}}={{left( -1 right)}^{3+3}}cdot left| begin{matrix} 1 & -1 \ 0 & 2 \end{matrix} right|=2; \ end{matrix}]

Короче, союзная матрица будет выглядеть так:

[S=left[ begin{matrix} 2 & -1 & -2 \ 1 & -1 & -1 \ -3 & 1 & 2 \end{matrix} right]]

Следовательно, обратная матрица будет такой:

[{{A}^{-1}}=frac{1}{-1}cdot left[ begin{matrix} 2 & -1 & -2 \ 1 & -1 & -1 \ -3 & 1 & 2 \end{matrix} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & 1 & -2 \end{array} right]]

Ну и всё. Вот и ответ.

Ответ. $left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & 1 & -2 \end{array} right]$

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $left[ 2times 2 right]$ и $left[ 3times 3 right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $left[ 10times 10 right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

1. Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $kne 0$;
2. Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $kne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
3. Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?

Определение. Пусть дана матрица $A=left[ ntimes n right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $left[ Aleft| E right. right]$ — это новая матрица размера $left[ ntimes 2n right]$, которая выглядит так:

[left[ Aleft| E right. right]=left[ begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & … & 0 \{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & … & 0 \… & … & … & … & … & … & … & … \{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & … & {{a}_{nn}} & 0 & 0 & … & 1 \end{array} right]]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $left[ Aleft| E right. right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $left[ Eleft| B right. right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

[left[ Aleft| E right. right]to left[ Eleft| B right. right]Rightarrow B={{A}^{-1}}]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

1. Записать присоединённую матрицу $left[ Aleft| E right. right]$;
2. Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
3. Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
4. PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $left[ 3times 3 right]$ и $left[ 4times 4 right]$.

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \ 3 & 2 & 1 \ 6 & -2 & 1 \end{array} right]]

Решение. Составляем присоединённую матрицу:

[left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]]

Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} downarrow \ -1 \ -1 \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.

Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} \ downarrow \ -2 \end{matrix}to \ & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right]begin{matrix} -1 \ -2 \ uparrow \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right]begin{matrix} \ left| cdot left( -1 right) right. \ \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right]begin{matrix} -6 \ updownarrow \ +1 \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \end{array} right] \ end{align}]

Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:

[left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \end{array} right]]

Готово! Справа — искомая обратная матрица.

Ответ. $left[ begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \ 3 & -5 & 2 \ -18 & 32 & -13 \end{array} right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \ 1 & -2 & 1 & -2 \ 1 & -1 & 1 & 1 \ 0 & -10 & -2 & -5 \end{matrix} right]]

Решение. Снова составляем присоединённую:

[left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]]

Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать… и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} downarrow \ -1 \ -1 \ \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} \ left| cdot left( -1 right) right. \ left| cdot left( -1 right) right. \ left| cdot left( -1 right) right. \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} right]begin{matrix} -2 \ -1 \ updownarrow \ -2 \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right] \ end{align}]

Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right]begin{matrix} +1 \ -3 \ -2 \ uparrow \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right] \ end{align}]

Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right]begin{matrix} 6 \ updownarrow \ -5 \ \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right] \ end{align}]

И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)

Ответ. $left[ begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \ 6 & -1 & -5 & 3 \ -25 & 5 & 20 & -13 \ -2 & 0 & 2 & -1 \end{matrix} right]$

Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)

Смотрите также:

1. Определитель
2. Дополнительные соображения
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: площадь кольца
6. Случай четырехугольной пирамиды

Метод элементарных преобразований (методы Гаусса и Гаусса-Жордана для нахождения обратных матриц).

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием элементарных преобразований.

Пусть нам задана квадратная матрица $A_{ntimes{n}}$. Допишем справа к матрице $A$ единичную матрицу $E$ n-го порядка. После такого дописывания мы получим матрицу $left(A|Eright)$. Со строками этой матрицы можно выполнять такие преобразования:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Конечная цель указанных выше преобразований: привести матрицу $left(A|Eright)$ к такому виду: $left(E|A^{-1}right)$. Т.е. нужно сделать так, чтобы матрица до черты стала единичной, тогда после черты будет записана обратная матрица $A^{-1}$.

Добиться этой цели можно, выполняя над исходной матрицей $left(A|Eright)$ преобразования метода Гаусса или Гаусса-Жордана. Перед тем, как перейти к описанию этих методов, оговорим, что изначально матрица $A_{ntimes{n}}$ не должна иметь нулевых строк или столбцов. Если в матрице $A$ есть хоть один нулевой столбец или нулевая строка, то обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Строки матрицы станем обозначать буквами $r$ (от слова “row”): $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Метод Гаусса

Этот метод делят на два этапа, которые называют прямым ходом и обратным.

Прямой ход метода Гаусса

В процессе выполнения прямого хода мы последовательно используем строки матрицы. На первом шаге работаем с первой строкой, на втором шаге – со второй и так далее. Если в ходе решения в матрице до черты возникла нулевая строка, то прекращаем преобразования, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

На первом шаге прямого хода обратимся к первой строке $r_1$. Если первый элемент $a_1$ первой строки не равен нулю, то выполняем обнуление всех ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой. Если же $a_1=0$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых первый элемент отличен от нуля, а затем уже производим обнуление.

На втором шаге прямого хода обратимся к второй строке $r_2$. Если второй элемент $a_2$ второй строки не равен нулю, то выполняем обнуление всех ненулевых элементов второго столбца, лежащих под второй строкой. Если же $a_2=0$, то меняем местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля, а затем уже производим обнуление. В случае, когда второй элемент равен нулю как у второй строки, так и у всех нижележащих строк, прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Полагаю, логика прямого хода ясна. На некоем k-м шаге мы работаем с строкой $r_k$. Если k-й элемент $a_k$ этой строки не равен нулю, то выполняем обнуление всех ненулевых элементов k-го столбца, лежащих под строкой $r_k$. Если же $a_k=0$, то меняем местами строку $r_k$ с одной из тех нижележащих строк, у которых k-й элемент отличен от нуля, а затем уже производим обнуление. В случае, когда k-й элемент равен нулю как у строки $r_k$, так и у всех нижележащих строк, прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Когда мы придём к последней строке, матрица до черты станет верхней треугольной, т.е. все элементы под главной диагональю будут равны нулю. Это будет означать конец прямого хода метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

На этом этапе мы поднимаемся по матрице “снизу вверх”. Сначала используем последнюю строку $r_n$, затем предпоследнюю $r_{n-1}$ и так далее, пока не дойдём до первой строки. С каждой строкой выполняем однотипные операции.

Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_{kk}$. Если $a_{kk}=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_{kk}neq{1}$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $frac{1}{a_{kk}}$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помощью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как только мы дойдём до первой строки, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

Метод Гаусса-Жордана

Последовательно используем строки матрицы. На первом шаге работаем с первой строкой, на втором шаге – со второй и так далее. Если в ходе решения в матрице до черты возникла нулевая строка, то прекращаем преобразования, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

На первом шаге прямого хода обратимся к первой строке $r_1$. Первый элемент этой строки обозначим как $a_1$. Если $a_1=0$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых первый элемент отличен от нуля. Затем, если $a_1neq{1}$, умножаем строку $r_1$ на $frac{1}{a_1}$ (если $a_1=1$, то никакого домножения делать не надо). Далее с помощью строки $r_1$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов первого столбца, после чего переходим к следующему шагу.

На втором шаге прямого хода работаем с второй строкой $r_2$. Второй элемент этой строки обозначим как $a_2$. Если $a_2=0$, то меняем местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Если таких строк нет, т.е. у всех нижележащих строк второй элемент равен нулю, то прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует. Затем, если $a_2neq{1}$, умножаем строку $r_2$ на $frac{1}{a_2}$ (если $a_2=1$, то никакого домножения делать не надо). Далее с помощью строки $r_2$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов второго столбца, после чего переходим к следующему шагу.

Полагаю, логика данного метода ясна. На k-м шаге работаем с k-й строкой $r_k$, k-й элемент которой обозначим как $a_k$. Если $a_k=0$, то меняем местами строку $r_k$ с одной из тех нижележащих строк, у которых k-й элемент отличен от нуля. Если таких строк нет, т.е. у всех нижележащих строк k-й элемент равен нулю, то прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует. Затем, если $a_kneq{1}$, умножаем строку $r_k$ на $frac{1}{a_k}$ (если $a_k=1$, то никакого домножения делать не надо). Далее с помощью строки $r_k$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов k-го столбца, после чего переходим к следующему шагу.

Когда мы обработаем последнюю строку, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

Перед тем, как переходить к примерам, я введу один дополнительный термин: ведущий элемент. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Пример №5

Найти матрицу $A^{-1}$, если
$A=left(begin{array}{ccc}
-5 & 23 & -24\
-1 & 4 & -5\
9 & -40 & 43 end{array} right)$.

Решение

Заданная нам матрица не имеет нулевых строк или столбцов, поэтому можем приступать к нахождению $A^{-1}$. Поставленную задачу решим двумя способами: как преобразованиями метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. Для начала запишем матрицу $(A|E)$, которая в нашем случае будет иметь такой вид:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
$$

Наша цель: привести матрицу $(A|E)$ к виду $left(E|A^{-1}right)$.

Метод Гаусса

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге прямого хода мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов первого столбца, расположенных под первой строкой. Однако для тех преобразований, которые мы станем делать для обнуления элементов, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Почему это так, станет ясно из дальнейших действий. Чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен -1, поменяем местами первую строку с одной из нижележащих строк – с второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}

left(begin{array}{ccc|ccc}
boldred{-1} & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
$$

Теперь ведущий элемент первой строки стал равен -1 (я выделил этот элемент красным цветом). Приступим к обнулению ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой (они выделены синим цветом). Для этого над строками матрицы нужно выполнить такие действия:

$$
begin{aligned}
&r_2-frac{normblue{-5}}{boldred{-1}}cdot{r_1}=r_2-5r_1;\
&r_3-frac{normblue{9}}{boldred{-1}}cdot{r_1}=r_3+9r_1.
end{aligned}
$$

Запись $r_2-5r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$
r_2-5r_1
=(-5;;23;;-24;;1;;0;;0)-5cdot(-1;;4;;-5;;0;;1;;0)=\

=(-5;;23;;-24;;1;;0;;0)-(-5;;20;;-25;;0;;5;;0)
=(0;;3;;1;;1;;-5;;0)
$$

Действие $r_3+9r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-5r_1 \ r_3+9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
$$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение. Кстати, теперь, я полагаю, ясно, зачем надо было менять местами строки. Если бы не смена мест строк, нам пришлось бы выполнять действия $r_2-frac{1}{5}cdot{r_1}$ и $r_3+frac{9}{5}cdot{r_1}$, что привело бы к появлению дробей. А легче, разумеется, работать с целыми числами, чем с дробями.

Второй шаг

На втором шаге прямого хода мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов второго столбца, расположенных под второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0} \ r_3+4/3cdot{r_2} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
$$

Матрица до черты стала верхней треугольной, поэтому прямой ход метода Гаусса окончен.

Пару слов насчёт действий со строками, которые мы выполняли на втором шаге. На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен -1. Здесь такая смена строк ничего не даст, так как доступна к обмену лишь третья строка, а у неё ведущий элемент тоже не равен ни 1, ни -1. В этом случае можно выполнить дополнительное преобразование со второй строкой: $r_2+r_3$:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2+r_3 \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 1\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
$$

После этого текущий шаг прямого хода будет продолжен без дробей. Можно было сделать и такое действие: $3r_3+4r_2$, тогда и необходимый элемент третьего столбца был бы обнулён, и дробей бы не появилось. Выполнять такие действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если работы с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов прямого хода, то, возможно, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. К слову, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $left(frac{1}{3};;-frac{4}{5};;2;0right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $left(5;;-12;;30;0right)$.

Обратный ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $-frac{2}{3}$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $-frac{3}{2}$, а затем с помощью третьей строки обнулим ненулевые элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ -3/2cdot{r_3} end{array} rightarrow\

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+5r_3 phantom{0}\ r_2-r_3\ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Второй шаг

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей, домножив вторую строку на $frac{1}{3}$, а затем с помощью второй строки обнулим ненулевой элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ 1/3cdot{r_2} \ phantom{0} end{array} rightarrow\

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-4r_2\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Третий шаг

Работаем с первой строкой. Сделаем диагональный элемент в первой строке (число -1) равным единице, домножив первую строку на -1:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\
1 & -1/2 & 1/2\
-2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-5r_1 \ r_3+9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0} \ r_3+4/3cdot{r_2} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ -3/2cdot{r_3} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+5r_3 phantom{0}\ r_2-r_3\ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ 1/3cdot{r_2} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-4r_2\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Теперь решим этот же пример методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем следовать стандартному алгоритму: домножить первую строку на $-frac{1}{5}$, чтобы первый элемент стал равен единице, а затем обнулить все иные ненулевые элементы первого столбца. Однако, как и при решении методом Гаусса, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Поэтому как и на первом шаге метода Гаусса, поменяем местами первую строку с второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
$$

Теперь первый элемент первой строки стал равен -1. Чтобы этот элемент стал равен 1, домножим первую строку на -1, а потом обнулим все остальные ненулевые элементы первого столбца (они выделены в матрице выше синим цветом):

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow\

rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2+5r_1 \ r_3-9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
$$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому домножаем вторую строку на $frac{1}{3}$, чтобы второй элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы второго столбца.

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\1/3cdot{r_2} \phantom{0}end{array} rightarrow\

rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+4r_2\ phantom{0} \ r_3+4r_2 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
$$

Замечание относительно облегчения работы с дробями, сделанное после второго шага прямого хода метода Гаусса, остаётся в силе и здесь.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. Третий элемент этой строки (число -2/3) не равен нулю, поэтому домножаем третью строку на $-frac{3}{2}$, чтобы третий элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы третьего столбца.

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\phantom{0} \ -3/2cdot{r_3}end{array} rightarrow\

rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-19/3r_3\ r_2-1/3cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\
1 & -1/2 & 1/2\
-2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2+5r_1 \ r_3-9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\1/3cdot{r_2} \phantom{0}end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+4r_2\ phantom{0} \ r_3+4r_2 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\phantom{0} \ -3/2cdot{r_3}end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-19/3r_3\ r_2-1/3cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Ответ: $A^{-1}
=left(begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\
1 & -1/2 & 1/2\
-2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)$.

Пример №6

Найти матрицу $A^{-1}$, если
$A=left(begin{array}{cccc}
-2 & 3 & 0 & 1\
-6 & 9 & -2 & 7\
0 & -2 & -18 & 27\
-4 & 5 & -8 & 14end{array} right)$.

Решение

В предыдущем примере были даны подробные пояснения каждого шага как метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. В этом примере я стану комментировать лишь некие нюансы, которые возникнут в ходе решения.

Метод Гаусса

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
-6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
-4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2-3r_1 \ phantom{0} \ r_4-2r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
$$

Пора переходить ко второму шагу прямого хода метода Гаусса. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
overset{r_2leftrightarrow{r_4}}{rightarrow}

left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ r_3-2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\
0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} \ r_4-r_3 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\
0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 end{array} right)
begin{array} {l} r_1-r_4 \ r_2-12r_4 \ r_3-3r_1 \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\
0 & 0 & -2 & 0 & 25 & -3 & 4 & -8\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ -1/2cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+8r_3 \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & -1 & 0 & 0 & -18 & 0 & -4 & 9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-3r_2 \ phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 0 & 0 & 0 & -46 & -1 & -11 & 25\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} -1/2cdot{r_1} \ phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{cccc}
23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
18 & 0 & 4 & -9\
-25/2 & 3/2 & -2 & 4\
-7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Метод Гаусса-Жордана

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
-6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
-4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
begin{array} {l} -1/2cdot{r_1} \ phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
-6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
-4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+6r_1 \ phantom{0} \ r_4+4r_1 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
$$

Пора переходить ко второму шагу метода Гаусса-Жордана. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
overset{r_2leftrightarrow{r_4}}{rightarrow}
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} r_1+3/2cdot{r_2} \ phantom{0} \ r_3+2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\
0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ -1/2cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\
0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-12r_3 \ r_2-8r_3 \ phantom{0} \ r_4+2r_3 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & -1/2 & 53/2 & 0 & 6 & -27/2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9 \
0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} r_1+1/2cdot{r_4} \ phantom{0} \ r_3+3/2cdot{r_4} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{cccc}
23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
18 & 0 & 4 & -9\
-25/2 & 3/2 & -2 & 4\
-7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Ответ: $
A^{-1}
=left(begin{array}{cccc}
23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
18 & 0 & 4 & -9\
-25/2 & 3/2 & -2 & 4\
-7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$.

Пример №7

Найти матрицу $A^{-1}$, если
$A=left(begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5\
-2 & 5 & -13\
-3 & 4 & -9end{array} right)$.

Решение

В данном примере применим метод Гаусса.

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\
-2 & 5 & -13 & 0 & 1 & 0\
-3 & 4 & -9 & 0 & 0 & 1end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+2r_1 \ r_3+3r_1 end{array} rightarrow\
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\
0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\
0 & -2 & 6 & 3 & 0 & 1end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ r_3+2r_2 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\
0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 7 & 2 & 1end{array}right)
$$

В матрице до черты появилась нулевая строка. Это означает, что обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.