Как найти обратную матрицу второго порядка

Как найти обратную матрицу второго порядка

Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:

A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*

det⁡Adet A — определитель матрицы A,A,

A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}

Решение

Вычислим детерминант:

det⁡A=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} – (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8

Так как det⁡A≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,

A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,

A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,

A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,

A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,

A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,

A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,

A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,

A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.

Обратная матрица:

A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}

Решение

det⁡A=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.

A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,

A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,

A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,

A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.

Ответ:

A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

  1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
  2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
  3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

  1. Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
  2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
  3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.
Задача 1

Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.

Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.

Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:

(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!

Источник

Как найти обратную матрицу

  1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
    1. Пример 1
    2. Пример 2
  2. Нахождение с помощью метода Гаусса
    1. Пример 3
    2. Пример 4
  3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
    1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Пример 1
Найти обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 3&4 \ 5&9 end{pmatrix}$.
Решение

Первым делом вычисляем определитель и убеждаемся, что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 3&4 \ 5&9 end{vmatrix} = 3cdot9 – 4cdot5 = 27 – 20 = 7.$$

Итак, определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует. Продолжаем наш алгоритм. Меняем элементы на главной диагонали местами, а у оставшихся элементов меняем знак на противоположный. $$A^{-1} = frac{1}{7} begin{pmatrix} 9&-4 \ -5&3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}.$$
Ответ
$$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}$$
Пример 2
Вычислить обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{pmatrix}$.
Решение

Находим определитель $$det A = begin{vmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{vmatrix} = 2cdot(-6) – 4cdot(-1) = -12 + 4 = -8.$$

Меняем местами элементы главной диагонали, а остальным меняем знак на противоположный. Не забываем затем каждый элемент разделить на определитель. $$A^{-1} = frac{1}{-8} begin{pmatrix} -6&1 \ -4&2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{-6}{-8}&frac{1}{-8} \ frac{-4}{-8}&frac{2}{-8} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$
Ответ
$$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Пример 3
Найти обратную матрицу элементарными преобразованиями $$A = begin{pmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{pmatrix}.$$
Решение

Вычисляем определитель матрицы, чтобы убедиться что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{vmatrix} = 4-1+0-0-2-0=1 neq 0.$$

Выписываем основную матрицу и добавляем справа единичную матрицу. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ -1&-1&1 &|& 0&0&1 end{pmatrix}$$

Проводим элементарные преобразования над строками матриц таким образом, чтобы слева получилась единичная матрица. В то же время как справа получим обратную матрицу.

Умножаем третью строку на 2 и прибавляем первую. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&-3&2 &|& 1&0&2 end{pmatrix}$$

Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к ней вторую строку, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Теперь запускаем обратный ход преобразований снизу вверх. Ко второй строке прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Умножаем первую строку на 2 и прибавляем к ней вторую строчку матрицы. $$begin{pmatrix} 4&0&0 &|& 4&4&4 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Теперь, чтобы слева получилась единичная матрица нужно первую строку разделить на 4, вторую на 2. $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& 1&1&1 \ 0&1&0 &|& 1&2&2 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$

Справа как видим получилась обратная матрица $$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}$$
Пример 4
Дана матрица, найти обратную $$A = begin{pmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{pmatrix}.$$
Решение

Первым делом вычисляем определитель, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы $$det A = begin{vmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{vmatrix} = 0+16+1-0-6-6=5.$$

Теперь справа от матрицы дописываем единичную матрицу $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 1&0&2 &|& 0&1&0 \ 4&1&3 &|& 0&0&1 end{pmatrix}.$$

Теперь с помощью элементарных преобразований делаем так, чтобы слева стояла единичная матрица. А справа получим одновременно обратную матрицу.

Умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строчку на 3 и вычитаем первую, умноженную на 4. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&-5&5 &|& -4&0&3 end{pmatrix}$$

Умножаем третью строку на 2 и вычитаем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-15 &|& -3&-15&6 end{pmatrix}$$

Третью строку можно разделить на 3, чтобы уменьшить числа для дальнейшего удобства. Сделаем это. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$

Начинаем проводить преобразования над строками теперь снизу вверх. Умножаем первую строку на 5 и прибавляем к ней третью. Ко второй строке просто прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 15&10&0 &|& 4&-5&2 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$

К первой строке прибавляем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 15&0&0 &|& -6&-15&12 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$

Осталось разделить первую строку на 15, вторую на (-2), а третью на (-5). $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$
Ответ
$$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5
Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$
Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $

Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю:

$$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 – 0 – 6 + 4 = 36 neq 0 $$

Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец:

$$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 – 2 = 10 $$

Убираем первую строку и второй столбец:

$$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 – 0) = 4 $$

Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя.

$$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 – 0 = 1 $$

$$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$

$$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 – 0 = 12 $$

$$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 – 0) = 3 $$

$$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 – 6 = -8 $$

$$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$

$$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$

Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений:

$$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$

Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $:

$$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$

В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $:

$$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$

Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$
Ответ
$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$
Источник

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^{{-1}}, при умножении которой на исходную матрицу A получается единичная матрица E:

{displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E.}

Обратную матрицу можно определить как:

{displaystyle A^{-1}={frac {{mbox{adj}}A}{|A|}},}
где {displaystyle {mbox{adj}}A} — соответствующая присоединённая матрица,
|A| — определитель матрицы A.

Из этого определения следует критерий обратимости: матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы[править | править код]

Пусть квадратные матрицы {displaystyle A,~B} — невырожденные. Тогда:

Способы нахождения обратной матрицы[править | править код]

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы[править | править код]

Метод Жордана—Гаусса[править | править код]

Возьмём две матрицы: саму A и единичную матрицу E. Приведём матрицу A к единичной методом Гаусса—Жордана, применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A^{{-1}}.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Lambda _{i} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

{displaystyle Lambda _{1}cdot dots cdot Lambda _{n}cdot A=Lambda A=ERightarrow Lambda =A^{-1}.}
{displaystyle Lambda _{m}={begin{bmatrix}1&dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&dots &0\&&&dots &&&\0&dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&dots &0\0&dots &0&1/a_{mm}&0&dots &0\0&dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&dots &0\&&&dots &&&\0&dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&dots &1end{bmatrix}}.}

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Lambda , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n^{3}).

С помощью матрицы алгебраических дополнений[править | править код]

Матрица, обратная матрице A, представима в виде:

{displaystyle {A}^{-1}={{{mbox{adj}}(A)} over {det(A)}},}
где {mbox{adj}}(A) — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности {displaystyle O_{det }} алгоритма расчета определителя и равна {displaystyle O(n^{2})cdot O_{det }}.

Использование LU- или LUP-разложения[править | править код]

Матричное уравнение AX=I_{n} для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax=b. Обозначим i-й столбец матрицы X через X_{i}; тогда AX_{i}=e_{i}, i=1,ldots ,n, поскольку i-м столбцом матрицы I_{n} является единичный вектор e_{i}. Иными словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. Решение этих уравнений может быть упрощено с помощью LU- или LUP-разложения матрицы A. После выполнения LUP-разложения за время O(n^{3}) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n^{2}), так что и этот алгоритм требует времени O(n^{3})[1].

Матрицу, обратную к заданной невырожденной матрице A, можно также вычислить непосредственно с помощью матриц, полученных в результате разложения.

Результатом LUP-разложения матрицы A является равенство PA=LU. Пусть PA=B, B^{{-1}}=D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D=U^{{-1}}L^{{-1}}. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD=L^{{-1}} и DL=U^{{-1}}. Первое из этих равенств представляет собой систему из n^{2} линейных уравнений, для n(n+1)/2 из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе также представляет систему из n^{2} линейных уравнений, для n(n-1)/2 из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n^{2} равенств. С их помощью можно рекуррентно определить все n^{2} элементов матрицы D. Тогда из равенства {displaystyle (PA)^{-1}=A^{-1}P^{-1}=B^{-1}=D} получаем равенство A^{{-1}}=DP.

В случае использования LU-разложения (A=LU) не требуется перестановки столбцов матрицы D, но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность обоих алгоритмов — O(n^{3}).

Итерационные методы[править | править код]

Матрицу A^{{-1}} можно вычислить с произвольной точностью в результате выполнения следующего итерационного процесса, называющегося методом Шульца и являющегося обобщением классического метода Ньютона:

{displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.}

Последовательность матриц X_{k} сходится к A^{{-1}} при kto infty . Существует также так называемый обобщённый метод Шульца, который описывается следующими рекуррентными соотношениями[2]:

{displaystyle {begin{cases}Psi _{k}=E-AX_{k},\X_{k+1}=X_{k}sum limits _{i=0}^{n}Psi _{k}^{i}.end{cases}}}

Выбор начального приближения[править | править код]

Проблема выбора начального приближения X_{0} в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору X_{0}, обеспечивающие выполнение условия {displaystyle rho (Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости итерационного процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать оценку сверху спектра обращаемой матрицы A либо матрицы {displaystyle AA^{T}} (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и {displaystyle rho (A)leqslant beta }, то можно взять {displaystyle X_{0}={alpha }E}, где {displaystyle alpha in left(0,2/beta right)}; если же A — произвольная невырожденная матрица и {displaystyle rho (AA^{T})leqslant beta }, то полагают {displaystyle X_{0}={alpha }A^{T}}, где также {displaystyle alpha in left(0,2/beta right)}; можно, конечно, упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что {displaystyle rho (AA^{T})leqslant {mathcal {k}}AA^{T}{mathcal {k}}}, положить {displaystyle X_{0}=A^{T}/|AA^{T}|}). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что {displaystyle |Psi _{0}|} будет малой (возможно, даже окажется {displaystyle |Psi _{0}|>1}), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Для метода Ньютона в качестве начального приближения можно выбрать {displaystyle X_{0}=A^{H}/left(||A||_{1}||A||_{infty }right)}, где верхний индекс H обозначает эрмитово сопряжение, {displaystyle ||cdot ||_{1}} и {displaystyle ||cdot ||_{infty }} — соответствующие матричные нормы. Такое X_{0} вычисляется всего за O(n^{2}) операций, где n — порядок матрицы, и обеспечивает сходимость алгоритма[3].

Примеры[править | править код]

Матрица 2 × 2[править | править код]

{displaystyle mathbf {A} ^{-1}={begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={frac {1}{det mathbf {A} }}{begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix}}={frac {1}{ad-bc}}{begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix}}.}[4]

Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что ad-bc=det Aneq 0.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (с. 700).
  2. ↑ Petković, M. D. Generalized Schultz iterative methods for the computation of outer inverses (англ.) // Computers & Mathematics with Applications. — 2014. — June (vol. 67, iss. 10). — P. 1837—1847. — doi:10.1016/j.camwa.2014.03.019.
  3. ↑ Pan, V., Reif, J. Fast and efficient parallel solution of dense linear systems (англ.) // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Vol. 17, iss. 11. — P. 1481—1491. — doi:10.1016/0898-1221(89)90081-3.
  4. ↑ Как найти обратную матрицу? mathprofi.ru. Дата обращения: 18 октября 2017. Архивировано 17 октября 2017 года.

Ссылки[править | править код]

  • Реализация с полным выбором ведущего элемента на C++
Источник

Вместо
операции деления матриц вводится понятие
обратной
матрицы.

    • Если
      при умножении квадратных матриц


      и


      в любом
      порядке получается единичная матрица
      (
      ),
      то матрица

      называется
      обратной
      матрицей
      для квадратной матрицы

      ,
      а матрица


      – обратная для матрицы

      .

Обозначается
обратная матрица

,
то
есть

.

Очевидна
аналогия с числами: для числа 2 число ½
есть обратное, так как

.
Именно поэтому матрица, обратная к А,
обозначается

.

Теорема
«Необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы». Для
того чтобы квадратная матрица

имела обратную матрицу
,
необходимо и достаточно, чтобы определитель
матрицы

был не равен нулю.

Правило нахождения обратной матрицы

0)
Смотрим, является ли матрица квадратной.
Если нет, то обратной матрицы не
существует; если квадратная, то переходим
к пункту 1.

1)
Вычисляем определитель матрицы

:
если он не равен нулю, то обратная матрица
существует:

;


если
равен нулю, то обратной матрицы нет.

2)
Для каждого элемента матрицы

вычисляем его алгебраическое дополнение

.

3)
Составляем матрицу из алгебраических
дополнений, которая затем транспонируем:

.

4)
Каждый элемент матрицы

делим на определитель

:


Получаем матрицу, обратную данной.

10. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка

Пример
10. Дана
матрица

.
Найти обратную матрицу.

Решение.






Проверка.
Убедимся, что найдена действительно
обратная матрица. Найдем произведение
матриц

и

.

11. Свойства обратной матрицы

1.

,
где А и В – невырожденные квадратные
матрицы одинакового порядка.

2.

.

3.

.

4.

.

Контрольные вопросы

  1. Дайте определение
    матрицы и укажите ее виды.

  1. Как проводятся
    линейные операции над матрицами –
    сложение матриц, умножение на число?

  2. Даны матрицы

    .
    При каких условиях на

    определены матрицы

    ?

  3. Как умножить
    матрицу на матрицу? Запишите условие,
    которому должны удовлетворять первая
    и вторая матрицы-сомножители.

  1. Как найти любой
    элемент произведения матриц?

  1. Даны матрицы

    .
    При каких условиях на

    определены матрицы

    ?

  2. Запишите свойства
    суммы и произведения матриц.

  3. Какая матрица
    называется транспонированной к данной?
    Составьте матрицу

    и транспонируйте ее. Какова ее размерность?
    Запишите свойства операции транспонирования.

  4. Какая матрица
    называется единичной? Нулевой? Приведите
    примеры.

  5. Запишите элементы

    матрицы

    и элементы

    матрицы

    .

  6. Что называется
    определителем второго порядка?

  7. Как вычислить
    определитель третьего порядка?

  8. Как вычислить
    определитель 3 порядка по правилу
    треугольников?

  9. Что называется
    алгебраическим дополнением элемента
    определителя? Приведите примеры для
    определителей 2 и 3 порядков.

  10. Напишите разложения
    определителя третьего порядка по
    элементам произвольной строки и
    произвольного столбца.

  11. Сформулируйте
    основные свойства определителей.

  12. В каком случае
    определители равны нулю? Приведите
    примеры.

  13. Представьте
    определитель

    в виде суммы двух определителей.

  14. Заполните
    пропущенные места так, чтобы значения
    определителей были одинаковы:

    и

    .

  15. Запишите определитель
    третьего порядка треугольного вида.
    Как его вычислить?

  16. Какая матрица
    называется обратной для данной матрицы?

  17. Для любой ли
    квадратной матрицы существует обратная?

  18. Пусть

    .
    Будут ли матрицы

    и

    взаимно обратными?

  19. При каких значениях
    параметра

    существует матрица, обратная матрице

    ?

  20. Запишите формулу
    для нахождения обратных матриц 2 и 3
    порядков.

  21. Сформулируйте
    правило нахождения обратной матрицы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Что такое обратная матрица

Что такое обратная матрица

Сложная тема из линейной алгебры.

Что такое обратная матрица

Сложная тема из линейной алгебры.

Недавно мы начали говорить о линейной алгебре и матрицах. Сначала всё было хорошо и легко: 

  • Познакомились с вектором
  • Поделали с ними операции
  • Научились определять их параллельность
  • Познакомились с матрицами

Но начав заниматься линейной алгеброй, бывает трудно остановиться. Сегодня мы познакомимся с обратной матрицей и научимся её вычислять. Это навык, который в будущем нам пригодится для решения матричных уравнений.

С точки зрения арифметики материал не сложный. Но он требует вдумчивого чтения для понимания правил. В итоге статья довольно большая, мозги кипят и танки наши быстры. 

Читать ли эту статью?

❌ Если вам нужны простые быстрые решения для жизни — нет, можно объявить, что у вас сегодня выходной. 

✅ Если вашему мозгу не хватает вызова и новых горизонтов — велком ту зе матрикс. 

Обратное — это как? 

В математике есть взаимно обратные числа. Они получаются так: вы берёте какое-то число, добавляете отрицательную степень и получаете обратное число: 

Что такое обратная матрица

Обратные числа при умножении друг на друга всегда дают единицу:

Что такое обратная матрица

Обратная матрица

В линейной алгебре есть обратные матрицы. По свойствам они напоминают обратные числа: если обычную матрицу умножить на обратную к ней, получится единичная матрица.

Что такое обратная матрица

Единичная матрица работает как единица с числами: если умножить любое число на единицу, получится исходное число; если умножить любую матрицу на единичную матрицу — получится исходная матрица:

Что такое обратная матрица

Единичная матрица состоит из единиц и нулей: на диагонали находятся единицы; остальные элементы — нули. Единичные матрицы не используются при расчёте обратных матриц, но без них не получится решать матричные уравнения.

Пример квадратной единичной матрицы размером 5×5

Пример квадратной единичной матрицы размером 5×5. Единичная матрица может быть любого размера — состоять из любого количества строк и столбцов

Как рассчитать обратную матрицу

Для расчёта обратной матрицы нужно выполнить три действия. Пока что не обращайте внимание на термины:

  1. Разделить единицу на матричный определитель. 
  2. Найти транспонированную матрицу алгебраических дополнений. 
  3. Перемножить полученные значения.

Далее мы по порядку во всём разберёмся.

Формула расчёта обратной матрицы

Формула расчёта обратной матрицы: |A| — матричный определитель; Aᵀᵢⱼ — матрица алгебраических дополнений

Определитель — это особое число, которое «определяет» свойства матрицы. 

Порядок вычисления определителя зависит от размера матрицы, которому он соответствует — чем больше матрица, тем сложнее считать определитель. Мы только знакомимся с матрицами, поэтому остановимся на определителях второго и третьего порядка — они подходят для квадратных матриц размером 2×2 и 3×3. 

Чтобы найти определитель второго порядка, нам достаточно умножить элементы главной диагонали и вычесть из значения произведение чисел второй диагонали.

Формула для расчёта определителя второго порядка

Формула для расчёта определителя второго порядка
Пример расчёта определителя второго порядка
Пример расчёта определителя второго порядка

Определитель третьего порядка находится путём умножения диагоналей на треугольники. Здесь много операций, поэтому формулу соберём по частям. 

Сначала работаем по главной диагонали: идём от верхнего левого элемента и движемся к правому нижнему элементу. Перемножаем элементы между собой.

Считаем определитель третьего порядка: 1-й этап — главная диагональ

Считаем определитель третьего порядка: 1-й этап — главная диагональ

Прибавляем к произведению элементов первой диагонали произведение первого треугольника. Основание первого треугольника находится параллельно главной диагонали и состоит из элементов А₂₁ и А₃₂. Вершина — элементА₁₃.

Считаем определитель третьего порядка: 2-й этап — первый треугольник

Считаем определитель третьего порядка: 2-й этап — первый треугольник

Прибавляем к полученному результату произведение второго треугольника, в котором основание состоит из элементов А₁₂ и А₂₃, а вершина — А₃₁.

Считаем определитель третьего порядка: 3-й этап — второй треугольник

Считаем определитель третьего порядка: 3-й этап — второй треугольник

Вычитаем из полученного значения произведение элементов второй диагонали. Вторая диагональ начинается в левом нижнем углу и идёт в правый верхний угол.

Считаем определитель третьего порядка: 4-й этап — вторая диагональ

Считаем определитель третьего порядка: 4-й этап — вторая диагональ

Вычитаем произведение элементов третьего треугольника, в котором основание — элементы А₁₂ и А₂₁, а вершина — А₃₃.

Считаем определитель третьего порядка: 5-й этап — третий треугольник

Считаем определитель третьего порядка: 5-й этап — третий треугольник

Последний шаг: вычитаем произведение четвёртого треугольника, с основанием из элементов А₂₃ и А₃₂ и вершиной А₁₁.

Считаем определитель третьего порядка: 6-й этап — четвёртый треугольник

Считаем определитель третьего порядка: 6-й этап — четвёртый треугольник
Общий вид формулы для расчёта определителя третьего порядка
Общий вид формулы для расчёта определителя третьего порядка
Пример расчёта определителя третьего порядка
Пример расчёта определителя третьего порядка

Транспонированная матрица алгебраических дополнений вычисляется в три шага: 

  1. Мы из исходной матрицы находим матрицу миноров. 
  2. Меняем в матрице миноров знак некоторых элементов и получаем матрицу алгебраических дополнений. 
  3. Находим транспонированную матрицу из матрицы алгебраических дополнений. 

Алгоритм вычислений матрицы миноров и матрицы алгебраических дополнений зависит от размера исходной матрицы — чем она больше, тем сложнее формула расчёта. Поэтому мы рассматриваем только матрицы второго и третьего порядка. 

Чтобы найти матрицу миноров второго порядка, нам нужно последовательно зачеркнуть три элемента исходной матрицы: 

  • Вычёркиваем первую строку и первый столбец исходной матрицы — получаем первый элемент первой строки матрицы миноров. 
  • Вычёркиваем первую строку и второй столбец — получаем второй элемент первой строки матрицы миноров. 
  • Вычёркиваем вторую строку и первый столбец — получаем первый элемент второй строки матрицы миноров. 
  • Вычёркиваем вторую строку и второй столбец — получаем второй элемент второй строки матрицы миноров. 

Когда матрица миноров составлена — меняем знаки элементов второй диагонали и получаем матрицу алгебраических дополнений. Теперь берём эту матрицу и проводим транспонирование — меняем расположение строк и столбцов. Готово.

Пример вычисления матрицы миноров из матрицы второго порядка

Пример вычисления матрицы миноров из матрицы второго порядка
Пример вычисления матрицы алгебраических дополнений (Aᵢⱼ ) из матрицы миноров второго порядка
Пример вычисления матрицы алгебраических дополнений (Aᵢⱼ ) из матрицы миноров второго порядка
Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров второго порядка
Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров второго порядка

Матрица миноров третьего порядка рассчитывается по следующему принципу: 

  1. Последовательно вычёркиваем строки и столбцы. 
  2. Получаем четыре элемента и считаем определитель. 
  3. Записываем результат в матрицу миноров третьего порядка. 

Чтобы не запоминать порядок вычёркивания элементов — попробуйте схему: 

  1. Определите элемент, который вы ищете для матрицы. Пусть это будет A₁₁.
  2. Найдите этот же элемент в исходной матрице и отметьте его точкой. 
  3. Проведите от этой точки две линии: вдоль строки и вдоль столбца. 

После вычёркивания останется квадратная двухразмерная матрица, определитель которой равен разности произведений двух диагоналей.

Пример вычисления первого элемента матрицы миноров из матрицы третьего порядка. Треугольник, или греческая дельта, — это обозначение определителя вне матрицы

Пример вычисления первого элемента матрицы миноров из матрицы третьего порядка. Треугольник, или греческая дельта, — это обозначение определителя вне матрицы

Матрицу миноров третьего порядка удобно находить на бумаге с помощью ручки, карандаша и ластика — записываете исходную матрицу, карандашом вычёркиваете линии, считаете определитель, вытираете линии и повторяете процедуру. Рекомендуем попробовать и сверить результат с нашими расчётами. 

1-я строка 1-й элемент:  

Δ = 5×1 – 8×6 = -43

1-я строка 2-й элемент: 

Δ = 4×1 – 7×6 = -38

1-я строка 3-й элемент: 

Δ = 4×8 – 7×5 = -3

2-я строка 1-й элемент: 

Δ = 2×1 – 8×3 = -22

2-я строка 2-й элемент: 

Δ = 1×1 – 7×3 = -20

2-я строка 3-й элемент: 

Δ = 1×8 – 7×2 = -6

3-я строка 1-й элемент: 

Δ = 2×6 – 5×3 = -3

3-я строка 2-й элемент: 

Δ = 1×6 – 4×3 = -6

3-я строка 3-й элемент: 

Δ = 1×5 – 4×2 = -3

Считаем матрицу алгебраических дополнений: берём матрицу миноров и меняем на противоположный знак в четырёх элементах — изменяем А₁₂, А₂₁, А₂₃ и А₃₂. Транспонируем полученную матрицу и можем переходить к последнему действию.

Получаем из матрицы третьего порядка матрицу миноров

Получаем из матрицы третьего порядка матрицу миноров
Меняем знаки в матрице миноров и получаем матрицу алгебраических дополнений (Aᵢⱼ)
Меняем знаки в матрице миноров и получаем матрицу алгебраических дополнений (Aᵢⱼ)
Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров третьего порядка
Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров третьего порядка

Мы нашли все компоненты для вычисления обратной матрицы. Осталось их подставить в формулу, перемножить и записать ответ:

Пример вычисления обратной матрицы второго порядка: мы внесли дробь в матрицу, но могли этого не делать — просто так захотелось

Пример вычисления обратной матрицы второго порядка: мы внесли дробь в матрицу, но могли этого не делать — просто так захотелось
Пример вычисления обратной матрицы третьего порядка
Пример вычисления обратной матрицы третьего порядка: мы оставили дробь за пределами матрицы и вынесли из матрицы минус. Матрица — это таблица с числами, поэтому не обращайте внимание, если числа получаются большими или неудобными

Господи, зачем всё это?

Мы понимаем, что это всё кажется совершенно оторванным от жизни. Какие-то миноры, детерминанты, о чём вообще речь? 

Смотрите: 

  • Вам не нужно уметь решать все эти уравнения самостоятельно. Для этого давно есть мощные алгоритмы. 
  • Достаточно понимать, из чего всё это складывается. Вот матрица. Вот некий алгоритм, который делает из этой матрицы какую-то другую матрицу. Это всё просто арифметика, числа туда, числа сюда. 
  • В конце этого пути мы покажем, как из этих кубиков собрано машинное обучение. И вы увидите, что машинное обучение — это просто много алгебры. Просто арифметика, числа туда, числа сюда.
  • И вы понимаете, что никакого искусственного интеллекта не существует. Это всё, от начала и до конца, работа с числами и расчёты по формулам. Просто когда это делается в больших масштабах, создаётся иллюзия осмысленной деятельности. Ключевое слово — иллюзия. 

Спокойствие, всё будет хорошо. 

Получите ИТ-профессию

В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.

Начать карьеру в ИТ

Получите ИТ-профессию
Получите ИТ-профессию
Получите ИТ-профессию
Получите ИТ-профессию

Источник

Добавить комментарий