Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.
Взаимно обратные числа. Определение
Взаимно обратные числа – такие числа, произведение которых дает единицу.
Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.
Самый простой пример взаимно обратных чисел – две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 – взаимно обратные числа. Другой пример – числа 3 и 13, -23 и -32, 613 и 136, log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.
Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел – натуральных, целых, действительных и комплексных.
Как найти число, обратное данному
Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.
Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.
Число, обратное обыкновенной дроби
Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab – это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.
Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 – число 256789.
Число, обратное натуральному числу
Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.
Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.
Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.
Число, обратное смешанному числу
Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.
Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.
Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.
Число, обратное десятичной дроби
Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.
Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.
Рассмотрим еще один пример.
Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2,(18).
Переводим десятичную дробь в обыкновенную:
2,18=2+18·10-2+18·10-4+…=2+18·10-21-10-2=2+1899=2+211=2411
После перевода можем легко записать обратное число для дроби 2411. Этим числом, очевидно, будет 1124.
Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789… обратное число будет иметь вид 13,6025635789….
Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.
К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.
Взаимно обратные числа с корнями
Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.
Обратимся к практике.
Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4-23 и 1+32.
Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.
4-23·1+32=4-23+23-3=1
Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.
Рассмотрим еще один пример.
Запишите число, обратное числу 53+1.
Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 153+1. Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 253-53+1. Получим:
153+1=253-53+153+1·253-53+1=253-53+1533+13=253-53+16
Взаимно обратные числа со степенями
Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.
Найдем обратное число для 5-3+4.
Согласно написанному выше, искомое число равно 5–3+4=53-4
Взаимно обратные числа с логарифмами
Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a.
logab и logba – взаимно обратные числа.
Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.
Найти число, обратное log35-23.
Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 35-2 будет логарифм числа 35-2 по основанию 3.
Число, обратное комплексному числу
Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.
Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь
1x+iy. Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.
Пусть есть комплексное число z=4+i. Найдем число, обратное ему.
Число, обратное z=4+i, будет равно 14+i.
Умножим числитель и знаменатель на 4-i и получим:
14+i=4-i4+i4-i=4-i42-i2=4-i16-(-1)=4-i17.
Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:
z=r·cosφ+i·sinφ
z=r·ei·φ
Соответственно, обратное число будет иметь вид:
1rcos(-φ)+i·sin(-φ)
или
1rei(-φ)
Убедимся в этом:
r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1
Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Найдем число, обратное для 23cosπ6+i·sinπ6.
Учитывая, что r=23, φ=π6, запишем обратное число
32cos-π6+i·sin-π6
Какое число будет обратным для 2·ei·-2π5.
Ответ: 12·ei2π5
Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство
Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.
Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.
Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:
a+b2≥a·b
Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:
a+1a2≥a·1aa+1a≥2
Что и требовалось доказать.
Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.
Вычислим сумму чисел 23 и обратного ему числу.
23+32=4+96=136=216
Как и говорит теорема, полученное число больше двух.
Обратными (или взаимно-обратными) называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа:
Как найти обратное число?
Для нахождения обратного числа, нужно единицу поделить на это число. В случае обыкновенной дроби просто поменять числитель и знаменатель местами.
Обратное число обыкновенной дроби
Когда ищем обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, так как запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, то есть такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.
Обратное число десятичной дроби
Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из двух способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.
Как найти обратное число?
Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.
Свойства обратных чисел
Свойство №1
Обратное число существует для любого числа, кроме 0.
Ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, то есть фактически делить на него.
Свойство №2
Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:
Свойство №3
Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Математически:
Свойство №4
Взаимно-обратными могут быть числовые выражения.
Свойство №5
Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:
Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.
Даниил Романович | Просмотров: 3.6k
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Обратные числа нужны при решение всех типов алгебраических уравнений. Например, если вам нужно разделить одно дробное число на другое, вы умножаете первое число на обратное число второго. Кроме того, обратные числа применяют при нахождении уравнения прямой.
-
1
Найдите обратное число для дробного числа, перевернув его. “Обратное число” определяется очень просто. Чтобы вычислить его, просто рассчитайте значение выражения “1 ÷ (исходное число).” Для дробного числа обратным числом является другое дробное число, которое можно вычислить просто “перевернув” дробь (поменяв местами числитель и знаменатель).[1]
- Например, обратным числом дроби 3/4 является 4/3.
-
2
Запишите обратное число для целого числа в виде дроби. И в этом случае обратное число вычисляется, как 1 ÷ (исходное число). Для целого числа запишите обратное число в виде обычной дроби, не нужно производить вычисления и записывать его в виде десятичной дроби.
- Например, обратное число для 2 равно 1 ÷ 2 = 1/2.
Реклама
-
1
Что такое “смешанная дробь”. Смешанной дробью называется число, записанное в виде целого числа и простой дроби, например, 24/5. Находжение обратного числа для смешанной дроби осуществляется в два этапа, описанных ниже.
-
2
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби. Вы, конечно, помните, что единица может быть записана в виде (число)/(то же число), а дроби с одинаковым знаменателей (числом под чертой) можно сложить друг с другом. Вот как это можно сделать для дроби 24/5:
- 24/5
- = 1 + 1 + 4/5
- = 5/5 + 5/5 + 4/5
- = (5+5+4)/5
- = 14/5.
-
3
Переверните дробь. Когда смешанная дробь записана в виде неправильной дроби, мы можем легко найти обратное число, просто поменяв местами числитель и знаменатель.
- Для вышеприведенного примера обратное число будет равно 14/5 – 5/14.
Реклама
-
1
Если это возможно, выразите десятичную дробь в виде простой дроби. Вам нужно знать, что многие десятичные дроби можно легко превратить в простые дроби. Например, 0,5 = 1/2, а 0,25 = 1/4. Когда вы записали число в виде простой дроби, то сможете легко найти обратное число, просто перевернув дробь.
- Например, обратное число для 0,5 равно 2/1 = 2.
-
2
Решите задачу с помощью деления. Если вы не можете записать десятичную дробь в виде простой дроби, рассчитайте обратное число, решив задачу делением: 1 ÷ (десятичная дробь). Для решения вы можете воспользоваться калькулятором или перейти к следующему шагу, если хотите рассчитать значение вручную.
- Например, обратное число для 0,4 рассчитывается как 1 ÷ 0,4.
-
3
Измените выражение, чтобы работать с целыми числами. Первый шаг в деление десятичной дроби – это перемещение позиционной запятой до тех пор, пока все числа в выражении не станут целыми числами. Поскольку вы перемещаете позиционную запятую на одинаковое количество знаков, как в делимом, так и в делителе, вы получаете правильный ответ.
- Например, вы берете выражение 1 ÷ 0,4 и записываете его как 10 ÷ 4. В этом случае вы переместили запятую на один знак вправо, что равносильно тому, если бы вы умножили каждое число на десять.
-
4
Решите задачу, разделив числа столбиком. С помощью деления столбиком вы сможете рассчитать обратное число. Если вы разделите 10 на 4, у вас должно получиться 2,5, что и будет обратным числом для 0,4.
Реклама
Советы
- Значение отрицательного обратного числа будет равно обратному числу, умноженному на -1. [2]
Например, отрициательное обратное число для 3/4 равно –4/3. - Обратное число иногда называют “обратным значением” или “обратной величиной”. [3]
- Число 1 является своим собственным обратным числом, поскольку 1 ÷ 1 = 1.
- Ноль не имеет обратного числа, поскольку выражение 1 ÷ 0 не имеет решений.[4]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 62 240 раз.
Была ли эта статья полезной?
Найти обратное число
Правила ввода
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то целую часть от дробной необходимо отделить пробелом(1 4/5)
Определение взаимно обратных чисел
Взаимно обратными числами называются числа, произведение которых равно единице.
Две дроби называются обратными дробями если их произведение равно единице.
Примеры взаимно обратных чисел
- 1/3 и 3
- 0.25 и 4
- 5 и 1/5
- 2/3 и 3/2
- 1 целая 2/5 и 5/7
При умножении этих чисел получится 1
Как найти число обратное обыкновенной дроби
Для этого необходимо числитель и знаменатель поменять местами. Для проверки можно перемножить исходную дробь и перевернутую, получится 1.
Например: 2/3 × 3/2 = 1
Как найти число обратное смешанному числу
Для начала необходимо смешанное число преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель поменять местами.
Например: 2 7/8 = 23/8
23/8 × 8/23 = 1
Два числа называются взаимообратными (обратными друг для друга), если их произведение равно 1.
Например: числа (5) и (0,2) – взаимообратные, так как (5·0,2=1).
Обратным для числа (a) будет число (frac{1}{a})
Например:
|
число обратное (3): |
(frac{1}{3}) |
|
|
число обратное (5): |
(frac{1}{5})(=0,2) |
Если число представляет собой дробь, то обратным ему будет «перевернутая» дробь.
Например:
|
число обратное (frac{3}{7}): |
(frac{7}{3}) |
|
|
число обратное (frac{5}{4}): |
(frac{4}{5})(=0,75) |
Пример: Запишите число, обратное числу (1,2).
Решение: Число (1,2) представляет собой десятичную дробь, и значит, может быть превращено в дробь обыкновенную: (1,2=) (frac{12}{10})(=)(frac{6}{5}). Отсюда получаем, что обратное число будет: (frac{5}{6}).
Проверка: (1,2cdot) (frac{5}{6})(=)(frac{1,2cdot5}{6})(=)(frac{6}{6})(=1).
Ответ: (frac{5}{6})
Отметим, что обратного числа для (0) не существует, потому что (frac{1}{0}) – не вычисляется (на ноль делить нельзя).
Если исходное число отрицательно, то и обратное ему также будет отрицательным, потому что иначе при их перемножении получится не (1), а (-1).
Пример: Запишите число, обратное числу (-1)(frac{2}{3}).
Решение: Число (-1)(frac{2}{3}) – является смешанной дробью, превращаем в обыкновенную: (-1)(frac{2}{3})(=-)(frac{5}{3}). На какое число надо умножать эту дробь, чтоб получилось (1)? На (-)(frac{3}{5}) . Это и есть ответ.
Ответ: (-)(frac{3}{5})
Не путайте обратные числа с противоположными. Напомним, что противоположные – это числа одинаковым значением, но разным знаком, например, (2) и (-2) или (7) и (-7).
|
Число (a) |
Обратное |
Противоположное числу (a) |
||
|
(5) |
(frac{1}{5}) |
(-5) |
||
|
(-)(frac{1}{3}) |
(-3) |
(frac{1}{3}) |
||
|
(frac{7}{6}) |
(frac{6}{7}) |
(-) (frac{7}{6}) |
||
|
(3,25) |
(frac{4}{13}) |
(-3,25) |
||
|
(1) |
(1) |
(-1) |
||
|
(0) |
не существует |
(0) |
