Как найти обратный линейный оператор пример - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 апреля 2019 года; проверки требует 1 правка.

Если A отображает X на Y, то A⁻¹ отображает Y на X

Обратный оператор к оператору — оператор, который каждому из множества значений оператора ставит в соответствие единственный элемент из области определения оператора , являющийся решением уравнения . Если оператор имеет обратный, то есть уравнение имеет единственное решение при любом из , то называется обратимым. Обратный оператор обозначается $A^{{-1}}$ ^[1].

Определение и условия существования[править | править код]

Другое определение: оператор называется обратным к оператору , если , где — единичный оператор. Если выполняется только соотношение или только то оператор называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор является обратимым^[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом^[3].

Оператор обратим, если он отображает на взаимно однозначно, то есть при различных принимает различные значения .^[4] Если оператор — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы A x = 0 выполнялось только при x = 0 ^[5].

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве $ell _{2}$ линейный оператор

${displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3},dots )=(0,x_{1},x_{2},dots )}$

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: $x_{1}=0$ ^[5].

Свойства[править | править код]

Теоремы об обратном операторе[править | править код]

Теорема Банаха[править | править код]

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа^[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение банахова пространства на (всё) банахово пространство E_1 открыто^[9].

Достаточные условия существования обратного оператора[править | править код]

где m>0 — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор $A^{{-1}}$ ^[10].

${displaystyle |B^{-1}-A^{-1}|leq {frac {|Delta A|}{1-|A^{-1}||Delta A|}}|A^{-1}|^{2}}$

^[11]^[12].

${displaystyle (I-A)^{-1}=sum limits _{k=0}^{infty }A^{k}}$

^[13].

Примеры[править | править код]

Преобразование Фурье[править | править код]

${displaystyle g(lambda )=int limits _{-infty }^{infty }f(t)e^{-ilambda t}dt}$

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства ${displaystyle L_{2}(-infty ,infty )}$ в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

${displaystyle f(t)={frac {1}{2pi }}int limits _{-infty }^{infty }g(lambda )e^{ilambda t}dlambda }$

^[14].

Операторы интегрирования и дифференцирования[править | править код]

Для оператора интегрирования

${displaystyle Ax=int limits _{0}^{t}x(tau ),dtau ,}$

действующего в пространстве непрерывных функций , обратным будет оператор дифференцирования:

${displaystyle A^{-1}y={frac {d}{dt}}y(t),}$

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что ^[15].

Оператор Штурма-Лиувилля[править | править код]

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
${displaystyle Ax={frac {d}{dt}}left{p(t){frac {dx}{dt}}right}+q(t)x,}$
определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что ,
обратным оператором является интегральный оператор

${displaystyle A^{-1}y=int limits _{0}^{1}G(t,tau )y(tau ),dtau ,}$

где — функция Грина. $A^{{-1}}$ — линейный ограниченный оператор в ^[15].

Интегральный оператор[править | править код]

Пусть

${displaystyle Ax=int limits _{0}^{1}K(t,s)x(s),ds}$

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций . При достаточно малых значениях параметра lambda оператор (где — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

${displaystyle (I-lambda A)^{-1}y=y(t)+lambda int limits _{0}^{1}R(t,s,lambda )y(s),ds}$

где — резольвента ядра K(t, s) . Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

${displaystyle x(t)=y(t)+lambda int limits _{0}^{1}K(t,s)x(s),ds}$

при любом свободном члене ^[16].

Обратный оператор в конечномерном пространстве[править | править код]

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица^[17].

См. также[править | править код]

Линейное отображение
Обратная функция
Изоморфизм
Банахово пространство
Линейный непрерывный оператор

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
↑ ¹ ² Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
↑ ¹ ² Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
↑ Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
↑ ¹ ² Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

Литература[править | править код]

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.

Источник

Рассмотрим теперь
множество линейных ограниченных
операторов, отображающих линейное
нормированное пространство

в себя.

B
пространстве операторов

,
действующих в банаховом пространстве
X
можно
рассматривать произведение операторов.
Именно, если

,
то АВ
есть оператор, определяемый равенством

Отличительной
особенностью этого произведения является
его некоммутативность, потому что,
вообще говоря, АВ

ВА. Чтобы
получить пример некоммутирующих
операторов, достаточно взять в R_n
два оператора, A
и В,
заданные некоммутирующими матрицами

и
.
Так как оператор АВ
задается произведением матриц

,
что легко проверить, то некоммутируемость
таких операторов очевидна. Свойством
дистрибутивности произведение операторов
обладает, так как из определения
суммы и произведения операторов
следует, что

т.е. что

Отметим, что если
I –
единичный оператор, то

для любого

Нетрудно проверить,
что

В самом деле, пусть

Тогда

Поэтому

Из доказанного
неравенства, в частности, следует, что
если

в смысле равномерной сходимости, то

Прежде всего из
сходимости последовательности

к А
следует, что

есть ограниченная числовая
последовательность, т. е.

для любого n.
Поэтому

при

так как в каждом слагаемом справа один
множитель ограничен, а другой стремиться
к нулю.

Частным случаем
произведения операторов являются
степени оператора

Ясно, что

Положим, кроме
того, по определению, что

Теорема 7. Пусть

где X
– банахово пространство и

Тогда оператор

имеет обратный линейный и ограниченный
оператор, причём

Доказательство.
Рассмотрим
ряд

(12)

и составим частичные
суммы этого ряда:

Имеем

где

Отсюда следует, что

при

т.е. последовательность частичных сумм
ряда (12) является фундаментальной. В
силу полноты пространства операторов
существует

Покажем, что

Имеем

ибо

как общий член сходящегося ряда.
Аналогично убеждаемся, что

и теорема полностью доказана.

Применим доказанную
теорему к интегральным уравнениям.

Пример 19.
Пусть

непрерывное
на

ядро и

непрерывная на

функция. Тогда

есть линейный
оператор, действующий в пространстве

а интегральное уравнение

(13)

называется
уравнением
Фредгольма второго рода,
можно записать в операторной форме

На основании
предыдущей теоремы мы получаем, что
если

то уравнение (13) имеет единственное
решение, которое даётся равенством

Рассмотрим подробнее
это решение и условия, при которых оно
существует. Так как

то условие

очевидно, выполняется, если

Будем считать, что

удовлетворяет этому неравенству.
Выясним, что представляют в нашем случае
степени оператора. Имеем

Пусть

Функция

называется второй
итерацией ядра

Итак,

или, меняя обозначение
переменной интегрирования,

Далее,

и, снова пологая

можем написать

где

третья
итерация ядра

Вообще

где

– n-я
итерация ядра

определяемая формулой

Равенства

которое мы отмечали выше, дают

С помощью
итерированных ядер решение интегрального
уравнения может быть записано так:

(14)

Ряд, стоящий в
правой части этого равенства, сходится
в смысле сходимости в пространстве C[a,
b],
т.е. равномерно. Преобразуем выражение
для решения интегрального уравнения.
Рассмотрим формальный ряд

(15)

Этот ряд равномерно
сходится на

если

.
В самом деле, прежде всего имеем

и вообще

Отсюда

где

Таким образом, общий член исследуемого
функционального ряда не превосходит
по абсолютной величине члена сходящегося
числового ряда, и требуемая равномерная
сходимость доказана. Обозначим сумму
этого ряда R(t,
s,

).
Это – непрерывная функция. Умножая члены
ряда (15) на

и интегрируя ряд почленно, получим

Сравнивая это
выражение с выражением (14) для решения
интегрального уравнения, можем написать

(16)

Это и есть выражение
для обратного оператора

в компактной форме. Функция R(t,
s,
)
называется
разрешающим
ядром
рассматриваемого уравнения Фредгольма.

Сравните полученное
решение с решение в главе 2 п. 2.

Пример. 20.
Рассуждениями, аналогичными проведённым
выше, легко показать, что если

то интегральное уравнение (13) при
значениях параметра ,
удовлетворяющих неравенству

имеет решение, выражаемое формулой
(16), где разрешающее ядро R(t,
s,

),
по переменным
t
и s
имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15),
его изображающий, сходится в среднем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Привет, Вы узнаете про 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C)., Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C). , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Рассмотрим теперь множество линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство в себя.

B пространстве операторов , действующих в банаховом пространстве X можно рассматривать произведение операторов. Именно, если , то АВ есть оператор, определяемый равенством

Отличительной особенностью этого произведения является его некоммутативность, потому что, вообще говоря, АВ ВА. Чтобы получить пример некоммутирующих операторов, достаточно взять в Rn два оператора, A и В, заданные некоммутирующими матрицами и . Так как оператор АВ задается произведением матриц и , что легко проверить, то некоммутируемость таких операторов очевидна. Свойством дистрибутивности произведение операторов обладает, так как из определения суммы и произведения операторов следует, что

т.е. что

Отметим, что если I – единичный оператор, то для любого .

Нетрудно проверить, что В самом деле, пусть и Тогда

Поэтому

Из доказанного неравенства, в частности, следует, что если и в смысле равномерной сходимости, то

Прежде всего из сходимости последовательности к А следует, что есть ограниченная числовая последовательность, т. е. для любого n. Поэтому

при так как в каждом слагаемом справа один множитель ограничен, а другой стремиться к нулю.

Частным случаем произведения операторов являются степени оператора

Ясно, что

Положим, кроме того, по определению, что

Теорема 7 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть где X – банахово пространство и Тогда оператор имеет обратный линейный и ограниченный оператор, причем

Доказательство. Рассмотрим ряд

(12)

и составим частичные суммы этого ряда:

Имеем

где Отсюда следует, что при т.е. последовательность частичных сумм ряда (12) является фундаментальной. В силу полноты пространства операторов существует

Покажем, что Имеем

ибо как общий член сходящегося ряда. Аналогично убеждаемся, что и теорема полностью доказана.

Применим доказанную теорему к интегральным уравнениям.

Пример 19. Пусть непрерывное на ядро и непрерывная на функция. Тогда

есть линейный оператор, действующий в пространстве а интегральное уравнение

(13)

называется уравнением Фредгольма второго рода, можно записать в операторной форме

На основании предыдущей теоремы мы получаем, что если то уравнение (13) имеет единственное решение, которое дается равенством

Рассмотрим подробнее это решение и условия, при которых оно существует. Так как то условие очевидно, выполняется, если Будем считать, что удовлетворяет этому неравенству. Выясним, что представляют в нашем случае степени оператора. Имеем

Пусть Функция называется второй итерацией ядра

Итак,

или, меняя обозначение переменной интегрирования,

Далее,

и, снова пологая

можем написать

где третья итерация ядра Вообще

где – n-я итерация ядра определяемая формулой

Равенства которое мы отмечали выше, дают

С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения может быть записано так:

(14)

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится в смысле сходимости в пространстве C[a, b], т.е. равномерно. Преобразуем выражение для решения интегрального уравнения. Рассмотрим формальный ряд

(15)

Этот ряд равномерно сходится на если . В самом деле, прежде всего имеем

и вообще

Отсюда где Таким образом, общий член исследуемого функционального ряда не превосходит по абсолютной величине члена сходящегося числового ряда, и требуемая равномерная сходимость доказана. Обозначим сумму этого ряда R(t, s, ). Это – непрерывная функция. Умножая члены ряда (15) на и интегрируя ряд почленно, получим

Сравнивая это выражение с выражением (14) для решения интегрального уравнения, можем написать

(16)

Это и есть выражение для обратного оператора в компактной форме. Функция R(t, s, ) называется разрешающим ядром рассматриваемого уравнения Фредгольма.

Сравните полученное решение с решение в главе 2 п. 2.

Пример. 20. Рассуждениями, аналогичными проведенным выше, легко показать, что если

и то интегральное уравнение (13) при значениях параметра m, удовлетворяющих неравенству имеет решение, выражаемое формулой (16), где разрешающее ядро R(t, s, ), по переменным t и s имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15), его изображающий, сходится в среднем.

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C).. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C).
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Функциональный анализ

Из статьи мы узнали кратко, но емко про

Источник

Определение и условия существования[править | править код]

Свойства[править | править код]

Теоремы об обратном операторе[править | править код]

Теорема Банаха[править | править код]

Достаточные условия существования обратного оператора[править | править код]

Примеры[править | править код]

Преобразование Фурье[править | править код]

Операторы интегрирования и дифференцирования[править | править код]

Оператор Штурма-Лиувилля[править | править код]

Интегральный оператор[править | править код]

Обратный оператор в конечномерном пространстве[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Если прогоркло подсолнечное масло как его исправить

Как найти количество моль водорода

Как найти схему своего участка

Добавить комментарий Отменить ответ