Как найти обратный линейный оператор пример

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 апреля 2019 года; проверки требует 1 правка.

Если A отображает X на Y, то A−1 отображает Y на X

Обратный оператор к оператору A — оператор, который каждому y из множества значений mbox{Im},A оператора A ставит в соответствие единственный элемент x из области определения {displaystyle {mathcal {D}}(A)} оператора A, являющийся решением уравнения {displaystyle Ax=y}. Если оператор A имеет обратный, то есть уравнение {displaystyle Ax=y} имеет единственное решение при любом y из mbox{Im},A, то A называется обратимым. Обратный оператор обозначается A^{{-1}}[1].

Определение и условия существования[править | править код]

Другое определение: оператор B называется обратным к оператору A, если {displaystyle BA=I,,AB=I}, где I — единичный оператор. Если выполняется только соотношение {displaystyle BA=I} или только {displaystyle AB=I,} то оператор B называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор A имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор A является обратимым[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом[3].

Оператор A обратим, если он отображает {displaystyle {mathcal {D}}(A)} на {displaystyle {mbox{Im}},A} взаимно однозначно, то есть при различных {displaystyle xin {mathcal {D}}(A)} принимает различные значения y.[4] Если оператор A — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы A x = 0 выполнялось только при x = 0[5].

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве ell _{2} линейный оператор

{displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3},dots )=(0,x_{1},x_{2},dots )}

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: x_{1}=0[5].

Свойства[править | править код]

Теоремы об обратном операторе[править | править код]

Теорема Банаха[править | править код]

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение A банахова пространства E на (всё) банахово пространство E_1 открыто[9].

Достаточные условия существования обратного оператора[править | править код]

{displaystyle |Ax|geq m|x|,}

где m>0 — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор A^{{-1}}[10].

{displaystyle |B^{-1}-A^{-1}|leq {frac {|Delta A|}{1-|A^{-1}||Delta A|}}|A^{-1}|^{2}}[11][12].
{displaystyle (I-A)^{-1}=sum limits _{k=0}^{infty }A^{k}}[13].

Примеры[править | править код]

Преобразование Фурье[править | править код]

{displaystyle g(lambda )=int limits _{-infty }^{infty }f(t)e^{-ilambda t}dt}

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства {displaystyle L_{2}(-infty ,infty )} в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

{displaystyle f(t)={frac {1}{2pi }}int limits _{-infty }^{infty }g(lambda )e^{ilambda t}dlambda }[14].

Операторы интегрирования и дифференцирования[править | править код]

Для оператора интегрирования

{displaystyle Ax=int limits _{0}^{t}x(tau ),dtau ,}

действующего в пространстве непрерывных функций {displaystyle C[0,1]}, обратным будет оператор дифференцирования:

{displaystyle A^{-1}y={frac {d}{dt}}y(t),}

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что y(0) = 0[15].

Оператор Штурма-Лиувилля[править | править код]

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
{displaystyle Ax={frac {d}{dt}}left{p(t){frac {dx}{dt}}right}+q(t)x,}
определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что {displaystyle x(0)=x(1)=0},
обратным оператором является интегральный оператор

{displaystyle A^{-1}y=int limits _{0}^{1}G(t,tau )y(tau ),dtau ,}

где {displaystyle G(t,tau )} — функция Грина. A^{{-1}} — линейный ограниченный оператор в {displaystyle C[0,1]}[15].

Интегральный оператор[править | править код]

Пусть

{displaystyle Ax=int limits _{0}^{1}K(t,s)x(s),ds}

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций {displaystyle C[0,1]}. При достаточно малых значениях параметра lambda оператор {displaystyle (I-lambda A)} (где I — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

{displaystyle (I-lambda A)^{-1}y=y(t)+lambda int limits _{0}^{1}R(t,s,lambda )y(s),ds},

где {displaystyle R(t,s,lambda )} — резольвента ядра K(t, s). Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

{displaystyle x(t)=y(t)+lambda int limits _{0}^{1}K(t,s)x(s),ds}

при любом свободном члене {displaystyle y(t)}[16].

Обратный оператор в конечномерном пространстве[править | править код]

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица[17].

См. также[править | править код]

  • Линейное отображение
  • Обратная функция
  • Изоморфизм
  • Банахово пространство
  • Линейный непрерывный оператор

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
  3. 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
  4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
  5. 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
  6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
  7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
  8. Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
  9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
  10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
  11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
  12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
  13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
  14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
  15. 1 2 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
  16. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
  17. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

Литература[править | править код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
  • Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
  • Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.

Рассмотрим теперь
множество линейных ограниченных
операторов, отображающих линейное
нормированное пространство

в себя.

B
пространстве операторов

,
действующих в ба­наховом пространстве
X
можно
рас­сматривать произведение операторов.
Именно, если

,
то АВ
есть оператор, определяемый равенством

Отличительной
особенностью этого произведения является
его некоммутативность, потому что,
вообще говоря, АВ

ВА. Чтобы
получить пример некоммутирующих
операторов, достаточно взять в Rn
два оператора, A
и В,
заданные некоммути­рующими матрицами

и
.
Так как оператор АВ
за­дается произведением матриц

и

,
что легко прове­рить, то некоммутируемость
таких операторов очевидна. Свойством
дистрибутивности произведение операторов
обла­дает, так как из определения
суммы и произведения опера­торов
следует, что

т.е. что

Отметим, что если
I –
единичный оператор, то

для любого


.

Нетрудно проверить,
что

В самом деле, пусть

и

Тогда

Поэтому

Из доказанного
неравенства, в частности, следует, что
если

и

в смысле равномерной сходимости, то

Прежде всего из
сходимости последовательности

к А
следует, что

есть ограниченная числовая
последовательность, т. е.

для любого n.
Поэтому

при

так как в каждом слагаемом справа один
множитель ограничен, а другой стремиться
к нулю.

Частным случаем
произведения операторов являются
степени оператора

Ясно, что

Положим, кроме
того, по определению, что

Теорема 7. Пусть

где X
– банахово пространство и

Тогда оператор

имеет обратный линейный и ограниченный
оператор, причём

Доказательство.
Рассмотрим
ряд

(12)

и составим частичные
суммы этого ряда:

Имеем

где

Отсюда следует, что

при

т.е. последовательность частичных сумм
ряда (12) является фундаментальной. В
силу полноты пространства операторов
существует

Покажем, что

Имеем

ибо

как общий член сходящегося ряда.
Аналогично убеждаемся, что

и теорема полностью доказана.

Применим доказанную
теорему к интегральным уравнениям.

Пример 19.
Пусть

непрерывное
на

ядро и

непрерывная на

функция. Тогда

есть линейный
оператор, действующий в пространстве

а интегральное уравнение

(13)

называется
уравнением
Фредгольма второго рода
,
можно записать в операторной форме

На основании
предыдущей теоремы мы получаем, что
если

то уравнение (13) имеет единственное
решение, которое даётся равенством

Рассмотрим подробнее
это решение и условия, при которых оно
существует. Так как

то условие

очевидно, выполняется, если

Будем считать, что

удовлетворяет этому неравенству.
Выясним, что представляют в нашем случае
степени оператора. Имеем

Пусть

Функция

называется второй
итерацией ядра


Итак,

или, меняя обозначение
переменной интегрирования,

Далее,

и, снова пологая

можем написать

где

третья
итерация ядра


Вообще

где

n-я
итерация ядра



определяемая формулой

Равенства

которое мы отмечали выше, дают

С помощью
итерированных ядер решение интегрального
уравнения может быть записано так:

(14)

Ряд, стоящий в
правой части этого равенства, сходится
в смысле сходимости в пространстве C[a,
b],
т.е. равномерно. Преобразуем выражение
для решения интегрального уравнения.
Рассмотрим формальный ряд

(15)

Этот ряд равномерно
сходится на

если

.
В самом деле, прежде всего имеем

и вообще

Отсюда

где

Таким образом, общий член исследуемого
функционального ряда не превосходит
по абсолютной величине члена сходящегося
числового ряда, и тре­буемая равномерная
сходимость доказана. Обозначим сумму
этого ряда R(t,
s,

).
Это – непрерывная функция. Умножая члены
ряда (15) на

и интегрируя ряд почленно, получим

Сравнивая это
выражение с выражением (14) для решения
интегрального уравнения, можем написать

(16)

Это и есть выражение
для обратного оператора

в компактной форме. Функция R(t,
s,
)
называется
разре­шающим
ядром

рассматриваемого уравнения Фредгольма.

Сравните полученное
решение с решение в главе 2 п. 2.

Пример. 20.
Рассуждениями, аналогичными проведённым
выше, легко показать, что если

и

то интегральное уравнение (13) при
значениях параметра ,
удовлетворяющих неравенству

имеет решение, выражаемое формулой
(16), где разрешающее ядро R(t,
s,

),
по переменным
t
и s
имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15),
его изображающий, сходится в среднем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Привет, Вы узнаете про 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C)., Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C). , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Рассмотрим теперь множество линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). в себя.

B пространстве операторов 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., действующих в ба­наховом пространстве X можно рас­сматривать произведение операторов. Именно, если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., то АВ есть оператор, определяемый равенством 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Отличительной особенностью этого произведения является его некоммутативность, потому что, вообще говоря, АВ 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). ВА. Чтобы получить пример некоммутирующих операторов, достаточно взять в Rn два оператора, A и В, заданные некоммути­рующими матрицами 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).. Так как оператор АВ за­дается произведением матриц 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., что легко прове­рить, то некоммутируемость таких операторов очевидна. Свойством дистрибутивности произведение операторов обла­дает, так как из определения суммы и произведения опера­торов следует, что

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

т.е. что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Отметим, что если I – единичный оператор, то 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). для любого 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)..

Нетрудно проверить, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). В самом деле, пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Тогда

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Поэтому

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Из доказанного неравенства, в частности, следует, что если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). в смысле равномерной сходимости, то 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Прежде всего из сходимости последовательности 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). к А следует, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). есть ограниченная числовая последовательность, т. е. 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). для любого n. Поэтому

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

при 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). так как в каждом слагаемом справа один множитель ограничен, а другой стремиться к нулю.

Частным случаем произведения операторов являются степени оператора

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Ясно, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Положим, кроме того, по определению, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Теорема 7 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). где X – банахово пространство и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Тогда оператор 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). имеет обратный линейный и ограниченный оператор, причем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Доказательство. Рассмотрим ряд

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (12)

и составим частичные суммы этого ряда:

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Отсюда следует, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). при 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). т.е. последовательность частичных сумм ряда (12) является фундаментальной. В силу полноты пространства операторов существует 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Покажем, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

ибо 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). как общий член сходящегося ряда. Аналогично убеждаемся, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и теорема полностью доказана.

Применим доказанную теорему к интегральным уравнениям.

Пример 19. Пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).непрерывное на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). ядро и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). непрерывная на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). функция. Тогда

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

есть линейный оператор, действующий в пространстве 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). а интегральное уравнение

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (13)

называется уравнением Фредгольма второго рода, можно записать в операторной форме 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

На основании предыдущей теоремы мы получаем, что если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). то уравнение (13) имеет единственное решение, которое дается равенством

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Рассмотрим подробнее это решение и условия, при которых оно существует. Так как 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). то условие 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). очевидно, выполняется, если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Будем считать, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). удовлетворяет этому неравенству. Выясним, что представляют в нашем случае степени оператора. Имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Функция 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). называется второй итерацией ядра 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Итак,

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

или, меняя обозначение переменной интегрирования,

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Далее,

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

и, снова пологая

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

можем написать

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).третья итерация ядра 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Вообще

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).n-я итерация ядра 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). определяемая формулой

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Равенства 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). которое мы отмечали выше, дают

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения может быть записано так:

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (14)

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится в смысле сходимости в пространстве C[a, b], т.е. равномерно. Преобразуем выражение для решения интегрального уравнения. Рассмотрим формальный ряд

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (15)

Этот ряд равномерно сходится на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).. В самом деле, прежде всего имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

и вообще 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Отсюда 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Таким образом, общий член исследуемого функционального ряда не превосходит по абсолютной величине члена сходящегося числового ряда, и тре­буемая равномерная сходимость доказана. Обозначим сумму этого ряда R(t, s, 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).). Это – непрерывная функция. Умножая члены ряда (15) на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и интегрируя ряд почленно, получим

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Сравнивая это выражение с выражением (14) для решения интегрального уравнения, можем написать

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (16)

Это и есть выражение для обратного оператора 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). в компактной форме. Функция R(t, s, 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).) называется разре­шающим ядром рассматриваемого уравнения Фредгольма.

Сравните полученное решение с решение в главе 2 п. 2.

Пример. 20. Рассуждениями, аналогичными проведенным выше, легко показать, что если

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). то интегральное уравнение (13) при значениях параметра m, удовлетворяющих неравенству 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). имеет решение, выражаемое формулой (16), где разрешающее ядро R(t, s, 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).), по переменным t и s имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15), его изображающий, сходится в среднем.

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C).. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I – A) и (A – C).
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Функциональный анализ

Из статьи мы узнали кратко, но емко про

Добавить комментарий