Как найти обратный тангенс

Как найти обратный тангенс

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: {displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},} но они не прижились[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, arcsin 1/2 означает множество углов left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ), синус которых равен 1/2. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии -1leqslant alpha leqslant 1 все решения уравнения sin x=alpha можно представить в виде x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.[3]

Основное соотношение[править | править код]

arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}}
operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac {pi }{2}}

Функция arcsin[править | править код]

График функции y=arcsin x

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого {displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arcsin x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция y=sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arcsin x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок {displaystyle [-pi /2;pi /2]}, на котором функция y=sin x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке {displaystyle [-pi /2;pi /2]} существует обратная функция y=arcsin x, график которой симметричен графику функции y=sin x относительно прямой y=x.

Функция arccos[править | править код]

График функции y=arccos x

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого {displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arccos x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция y=cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arccos x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок [0;pi ], на котором функция y=cos x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке [0;pi ] существует обратная функция {displaystyle y=arccos x}, график которой симметричен графику функции y=cos x относительно прямой y=x.

Функция arctg[править | править код]

График функции y=operatorname {arctg},x

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла {displaystyle y,} выраженное в радианах, для которого {displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}

Функция y=operatorname {arctg}x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {tg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал {displaystyle (-pi /2;pi /2)}, на котором функция y=operatorname {tg},x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале {displaystyle (-pi /2;pi /2)} существует обратная функция y=operatorname {arctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {tg},x относительно прямой y=x.

Функция arcctg[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcctg} x}

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}

Функция y=operatorname {arcctg},x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {ctg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arcctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал (0;pi ), на котором функция y=operatorname {ctg},x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале (0;pi ) существует обратная функция y=operatorname {arcctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {ctg},x относительно прямой y=x.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, xrightarrow -x) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.

Функция arcsec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcsec} x}

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}

Функция {displaystyle y=operatorname {arcsec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arccosec} x}

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}

Функция {displaystyle y=operatorname {arccosec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция f(x) Производная f'(x) Примечание
{displaystyle arcsin {x}} {frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.
{displaystyle sin(arcsin((x))=x}
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.
{displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}
{displaystyle cos(arcsin(x))cdot (arcsin(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{cos(arcsin(x))}}}
Исходя из тригонометрического тождества({displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}) — получаем.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{pm {sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}
Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения.
{displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}
Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}
Получается.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle arccos {x}} -{frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccos(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle mathrm {arctg} x} {displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции:
{displaystyle tg(arctg(x))=x}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}
{displaystyle {frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}cdot (arctg(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:
{displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество({displaystyle cos(x)={frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}):
{displaystyle (arctg(x))'=({frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}
Получается.
{displaystyle (arctg(x))'={frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcctg} x} {displaystyle -{frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккотангенса.
{displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}
Получается.
{displaystyle (arcctg(x))'=-{frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcsec} x} {displaystyle {frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:

{displaystyle arcsec(x)=arccos({frac {1}{x}})}

Теперь находим производную обеих частей этого тождества.

{displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({frac {1}{x}}))'}

{displaystyle (arcsec(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}cdot (-{frac {1}{x^{2}}})}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{sqrt {frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}

Получается.

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

{displaystyle mathrm {arccosec} x} {displaystyle -{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccosec(x))'=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

{begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}

Для действительных x ≥ 1:

{begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}
См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины a является противолежащим для угла alpha , то

{displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

{displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}})=-ioperatorname {arsh} ,iz,end{aligned}}}
{displaystyle arccos(z)={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})=-ioperatorname {arch} (iz)}
{displaystyle operatorname {arctg} (z)={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz))=-ioperatorname {arth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcctg} (z)={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right)=ioperatorname {arcth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcsec}(z)=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),}
{displaystyle operatorname {arccosec} ,(z)=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).}

См. также[править | править код]

  • Обратные гиперболические функции
  • Теорема Данжуа — Лузина

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
  • Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
  • Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
  • Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
  • Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист.

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных доменов

  • dic.academic.ru
Источник

Арктангенс(y = arctg(x)) – это обратная тригонометрическая функция к тангенсу x = tg(y). Область определения -∞ ≤ x ≤ +∞ и множество значений -π/2 ≤ y ≤ +π/2.

arctg(0) = 0° arctg(-1.732050808) = 120° arctg(1.732050808) = 240°
arctg(0.01745506493) = 1° arctg(-1.664279482) = 121° arctg(1.804047755) = 241°
arctg(0.03492076949) = 2° arctg(-1.600334529) = 122° arctg(1.880726465) = 242°
arctg(0.05240777928) = 3° arctg(-1.539864964) = 123° arctg(1.962610506) = 243°
arctg(0.06992681194) = 4° arctg(-1.482560969) = 124° arctg(2.050303842) = 244°
arctg(0.08748866353) = 5° arctg(-1.428148007) = 125° arctg(2.144506921) = 245°
arctg(0.1051042353) = 6° arctg(-1.37638192) = 126° arctg(2.246036774) = 246°
arctg(0.1227845609) = 7° arctg(-1.327044822) = 127° arctg(2.355852366) = 247°
arctg(0.1405408347) = 8° arctg(-1.279941632) = 128° arctg(2.475086853) = 248°
arctg(0.1583844403) = 9° arctg(-1.234897157) = 129° arctg(2.605089065) = 249°
arctg(0.1763269807) = 10° arctg(-1.191753593) = 130° arctg(2.747477419) = 250°
arctg(0.1943803091) = 11° arctg(-1.150368407) = 131° arctg(2.904210878) = 251°
arctg(0.2125565617) = 12° arctg(-1.110612515) = 132° arctg(3.077683537) = 252°
arctg(0.2308681911) = 13° arctg(-1.07236871) = 133° arctg(3.270852618) = 253°
arctg(0.2493280028) = 14° arctg(-1.035530314) = 134° arctg(3.487414444) = 254°
arctg(0.2679491924) = 15° arctg(-1) = 135° arctg(3.732050808) = 255°
arctg(0.2867453858) = 16° arctg(-0.9656887748) = 136° arctg(4.010780934) = 256°
arctg(0.3057306815) = 17° arctg(-0.9325150861) = 137° arctg(4.331475874) = 257°
arctg(0.3249196962) = 18° arctg(-0.9004040443) = 138° arctg(4.704630109) = 258°
arctg(0.3443276133) = 19° arctg(-0.8692867378) = 139° arctg(5.144554016) = 259°
arctg(0.3639702343) = 20° arctg(-0.8390996312) = 140° arctg(5.67128182) = 260°
arctg(0.383864035) = 21° arctg(-0.8097840332) = 141° arctg(6.313751515) = 261°
arctg(0.4040262258) = 22° arctg(-0.7812856265) = 142° arctg(7.115369722) = 262°
arctg(0.4244748162) = 23° arctg(-0.7535540501) = 143° arctg(8.144346428) = 263°
arctg(0.4452286853) = 24° arctg(-0.726542528) = 144° arctg(9.514364454) = 264°
arctg(0.4663076582) = 25° arctg(-0.7002075382) = 145° arctg(11.4300523) = 265°
arctg(0.4877325886) = 26° arctg(-0.6745085168) = 146° arctg(14.30066626) = 266°
arctg(0.5095254495) = 27° arctg(-0.6494075932) = 147° arctg(19.08113669) = 267°
arctg(0.5317094317) = 28° arctg(-0.6248693519) = 148° arctg(28.63625328) = 268°
arctg(0.5543090515) = 29° arctg(-0.600860619) = 149° arctg(57.28996163) = 269°
arctg(0.5773502692) = 30° arctg(-0.5773502692) = 150° arctg(∞) = 270°
arctg(0.600860619) = 31° arctg(-0.5543090515) = 151° arctg(-57.28996163) = 271°
arctg(0.6248693519) = 32° arctg(-0.5317094317) = 152° arctg(-28.63625328) = 272°
arctg(0.6494075932) = 33° arctg(-0.5095254495) = 153° arctg(-19.08113669) = 273°
arctg(0.6745085168) = 34° arctg(-0.4877325886) = 154° arctg(-14.30066626) = 274°
arctg(0.7002075382) = 35° arctg(-0.4663076582) = 155° arctg(-11.4300523) = 275°
arctg(0.726542528) = 36° arctg(-0.4452286853) = 156° arctg(-9.514364454) = 276°
arctg(0.7535540501) = 37° arctg(-0.4244748162) = 157° arctg(-8.144346428) = 277°
arctg(0.7812856265) = 38° arctg(-0.4040262258) = 158° arctg(-7.115369722) = 278°
arctg(0.8097840332) = 39° arctg(-0.383864035) = 159° arctg(-6.313751515) = 279°
arctg(0.8390996312) = 40° arctg(-0.3639702343) = 160° arctg(-5.67128182) = 280°
arctg(0.8692867378) = 41° arctg(-0.3443276133) = 161° arctg(-5.144554016) = 281°
arctg(0.9004040443) = 42° arctg(-0.3249196962) = 162° arctg(-4.704630109) = 282°
arctg(0.9325150861) = 43° arctg(-0.3057306815) = 163° arctg(-4.331475874) = 283°
arctg(0.9656887748) = 44° arctg(-0.2867453858) = 164° arctg(-4.010780934) = 284°
arctg(1) = 45° arctg(-0.2679491924) = 165° arctg(-3.732050808) = 285°
arctg(1.035530314) = 46° arctg(-0.2493280028) = 166° arctg(-3.487414444) = 286°
arctg(1.07236871) = 47° arctg(-0.2308681911) = 167° arctg(-3.270852618) = 287°
arctg(1.110612515) = 48° arctg(-0.2125565617) = 168° arctg(-3.077683537) = 288°
arctg(1.150368407) = 49° arctg(-0.1943803091) = 169° arctg(-2.904210878) = 289°
arctg(1.191753593) = 50° arctg(-0.1763269807) = 170° arctg(-2.747477419) = 290°
arctg(1.234897157) = 51° arctg(-0.1583844403) = 171° arctg(-2.605089065) = 291°
arctg(1.279941632) = 52° arctg(-0.1405408347) = 172° arctg(-2.475086853) = 292°
arctg(1.327044822) = 53° arctg(-0.1227845609) = 173° arctg(-2.355852366) = 293°
arctg(1.37638192) = 54° arctg(-0.1051042353) = 174° arctg(-2.246036774) = 294°
arctg(1.428148007) = 55° arctg(-0.08748866353) = 175° arctg(-2.144506921) = 295°
arctg(1.482560969) = 56° arctg(-0.06992681194) = 176° arctg(-2.050303842) = 296°
arctg(1.539864964) = 57° arctg(-0.05240777928) = 177° arctg(-1.962610506) = 297°
arctg(1.600334529) = 58° arctg(-0.03492076949) = 178° arctg(-1.880726465) = 298°
arctg(1.664279482) = 59° arctg(-0.01745506493) = 179° arctg(-1.804047755) = 299°
arctg(1.732050808) = 60° arctg(0) = 180° arctg(-1.732050808) = 300°
arctg(1.804047755) = 61° arctg(0.01745506493) = 181° arctg(-1.664279482) = 301°
arctg(1.880726465) = 62° arctg(0.03492076949) = 182° arctg(-1.600334529) = 302°
arctg(1.962610506) = 63° arctg(0.05240777928) = 183° arctg(-1.539864964) = 303°
arctg(2.050303842) = 64° arctg(0.06992681194) = 184° arctg(-1.482560969) = 304°
arctg(2.144506921) = 65° arctg(0.08748866353) = 185° arctg(-1.428148007) = 305°
arctg(2.246036774) = 66° arctg(0.1051042353) = 186° arctg(-1.37638192) = 306°
arctg(2.355852366) = 67° arctg(0.1227845609) = 187° arctg(-1.327044822) = 307°
arctg(2.475086853) = 68° arctg(0.1405408347) = 188° arctg(-1.279941632) = 308°
arctg(2.605089065) = 69° arctg(0.1583844403) = 189° arctg(-1.234897157) = 309°
arctg(2.747477419) = 70° arctg(0.1763269807) = 190° arctg(-1.191753593) = 310°
arctg(2.904210878) = 71° arctg(0.1943803091) = 191° arctg(-1.150368407) = 311°
arctg(3.077683537) = 72° arctg(0.2125565617) = 192° arctg(-1.110612515) = 312°
arctg(3.270852618) = 73° arctg(0.2308681911) = 193° arctg(-1.07236871) = 313°
arctg(3.487414444) = 74° arctg(0.2493280028) = 194° arctg(-1.035530314) = 314°
arctg(3.732050808) = 75° arctg(0.2679491924) = 195° arctg(-1) = 315°
arctg(4.010780934) = 76° arctg(0.2867453858) = 196° arctg(-0.9656887748) = 316°
arctg(4.331475874) = 77° arctg(0.3057306815) = 197° arctg(-0.9325150861) = 317°
arctg(4.704630109) = 78° arctg(0.3249196962) = 198° arctg(-0.9004040443) = 318°
arctg(5.144554016) = 79° arctg(0.3443276133) = 199° arctg(-0.8692867378) = 319°
arctg(5.67128182) = 80° arctg(0.3639702343) = 200° arctg(-0.8390996312) = 320°
arctg(6.313751515) = 81° arctg(0.383864035) = 201° arctg(-0.8097840332) = 321°
arctg(7.115369722) = 82° arctg(0.4040262258) = 202° arctg(-0.7812856265) = 322°
arctg(8.144346428) = 83° arctg(0.4244748162) = 203° arctg(-0.7535540501) = 323°
arctg(9.514364454) = 84° arctg(0.4452286853) = 204° arctg(-0.726542528) = 324°
arctg(11.4300523) = 85° arctg(0.4663076582) = 205° arctg(-0.7002075382) = 325°
arctg(14.30066626) = 86° arctg(0.4877325886) = 206° arctg(-0.6745085168) = 326°
arctg(19.08113669) = 87° arctg(0.5095254495) = 207° arctg(-0.6494075932) = 327°
arctg(28.63625328) = 88° arctg(0.5317094317) = 208° arctg(-0.6248693519) = 328°
arctg(57.28996163) = 89° arctg(0.5543090515) = 209° arctg(-0.600860619) = 329°
arctg(∞) = 90° arctg(0.5773502692) = 210° arctg(-0.5773502692) = 330°
arctg(-57.28996163) = 91° arctg(0.600860619) = 211° arctg(-0.5543090515) = 331°
arctg(-28.63625328) = 92° arctg(0.6248693519) = 212° arctg(-0.5317094317) = 332°
arctg(-19.08113669) = 93° arctg(0.6494075932) = 213° arctg(-0.5095254495) = 333°
arctg(-14.30066626) = 94° arctg(0.6745085168) = 214° arctg(-0.4877325886) = 334°
arctg(-11.4300523) = 95° arctg(0.7002075382) = 215° arctg(-0.4663076582) = 335°
arctg(-9.514364454) = 96° arctg(0.726542528) = 216° arctg(-0.4452286853) = 336°
arctg(-8.144346428) = 97° arctg(0.7535540501) = 217° arctg(-0.4244748162) = 337°
arctg(-7.115369722) = 98° arctg(0.7812856265) = 218° arctg(-0.4040262258) = 338°
arctg(-6.313751515) = 99° arctg(0.8097840332) = 219° arctg(-0.383864035) = 339°
arctg(-5.67128182) = 100° arctg(0.8390996312) = 220° arctg(-0.3639702343) = 340°
arctg(-5.144554016) = 101° arctg(0.8692867378) = 221° arctg(-0.3443276133) = 341°
arctg(-4.704630109) = 102° arctg(0.9004040443) = 222° arctg(-0.3249196962) = 342°
arctg(-4.331475874) = 103° arctg(0.9325150861) = 223° arctg(-0.3057306815) = 343°
arctg(-4.010780934) = 104° arctg(0.9656887748) = 224° arctg(-0.2867453858) = 344°
arctg(-3.732050808) = 105° arctg(1) = 225° arctg(-0.2679491924) = 345°
arctg(-3.487414444) = 106° arctg(1.035530314) = 226° arctg(-0.2493280028) = 346°
arctg(-3.270852618) = 107° arctg(1.07236871) = 227° arctg(-0.2308681911) = 347°
arctg(-3.077683537) = 108° arctg(1.110612515) = 228° arctg(-0.2125565617) = 348°
arctg(-2.904210878) = 109° arctg(1.150368407) = 229° arctg(-0.1943803091) = 349°
arctg(-2.747477419) = 110° arctg(1.191753593) = 230° arctg(-0.1763269807) = 350°
arctg(-2.605089065) = 111° arctg(1.234897157) = 231° arctg(-0.1583844403) = 351°
arctg(-2.475086853) = 112° arctg(1.279941632) = 232° arctg(-0.1405408347) = 352°
arctg(-2.355852366) = 113° arctg(1.327044822) = 233° arctg(-0.1227845609) = 353°
arctg(-2.246036774) = 114° arctg(1.37638192) = 234° arctg(-0.1051042353) = 354°
arctg(-2.144506921) = 115° arctg(1.428148007) = 235° arctg(-0.08748866353) = 355°
arctg(-2.050303842) = 116° arctg(1.482560969) = 236° arctg(-0.06992681194) = 356°
arctg(-1.962610506) = 117° arctg(1.539864964) = 237° arctg(-0.05240777928) = 357°
arctg(-1.880726465) = 118° arctg(1.600334529) = 238° arctg(-0.03492076949) = 358°
arctg(-1.804047755) = 119° arctg(1.664279482) = 239° arctg(-0.01745506493) = 359°
Источник
  1. Понятие арктангенса
  2. График и свойства функции y=arctgx
  3. Уравнение tgx=a
  4. Понятие арккотангенса
  5. График и свойства функции y=arcctgx
  6. Уравнение ctgx=a
  7. Формулы преобразований аркфункци
  8. Примеры

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций – см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи (y=tgx) аргумент x – это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb{Z}); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

Арктангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), тангенс которого равен (a). $$ arctg a=x Leftrightarrow begin{cases} tgx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$

Например:

(arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6, arctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{3}, arctg1=fracpi4).

п.2. График и свойства функции y=arctgx

График и свойства функции y=arctg x
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2).
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=fracpi2 text{при} xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=-fracpi2 text{при} xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)).

п.3. Уравнение tgx=a

Уравнение tgx=a На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале (-fracpi2leq xleq fracpi2) соответствует одно действительное число.

Например:
1) Решим уравнение (tgx=frac{1}{sqrt{3}})
Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (fracpi6) на числовой окружности, (arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6).
Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ:
(x=fracpi6+pi k)
Уравнение tgx=a 2) Решим уравнение (tgx=2)
Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (arctg2) на числовой окружности.
Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ:
(x=arctg2+pi k)

В общем случае:

Уравнение (tgx=a) имеет решения $$ x=arctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

Арккотангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin(0;pi)), котангенс которого равен (a). $$ arcctg a=x Leftrightarrow begin{cases} ctgx=a\ 0lt xlt pi end{cases} $$

Например:

(arcctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi3, arcctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{6}, arcctg1=fracpi4).

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

График и свойства функции y=arcctg x
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi).
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=pi text{при} xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=0 text{при} xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text{и} y=pi).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

Уравнение ctgx=a

В общем случае:

Уравнение (ctgx=a) имеет решения $$ x=arcctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$

Часто уравнение (ctgx=a) преобразуют в уравнение (tgx=frac{1}{a}), и ищут его корни.
Например:
1) (ctgx=sqrt{3})
(x=fracpi6+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{sqrt{3}})
Получаем тот же ответ: (x=fracpi6+pi k)

2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{2})
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac{1}{2}) (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

Аркфункции от обратных тригонометрических функций

begin{gather*} arcsin(sinalpha)=alpha, alphainleft[-fracpi2;fracpi2right], arccos(cosalpha)=alpha, alphain[0;pi]\ arctg(tgalpha)=alpha, alphainleft(-fracpi2;fracpi2right), arcctg(ctgalpha)=alpha, alphain(0;pi) end{gather*}

Аркфункции отрицательных аргументов

begin{gather*} arcsin(-alpha)=-arcsinalpha, arccos(-alpha)=pi-arccosalpha\ arctg(-alpha)=-arctgalpha, arcctg(-alpha)=pi-arcctgalpha end{gather*}

Суммы аркфункций

begin{gather*} arcsinalpha+arccosalpha=fracpi2, arctgalpha+arcctgalpha=fracpi2 end{gather*}

Сводная таблица тригонометрических функций от аркфункций

arcsin arccos arctg arcctg
sin begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*}
cos begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*}
tg begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*}
ctg begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*}

Аркфункции, выраженные через другие аркфункции

arcsin
arccos $$ arcsina= begin{cases} arccossqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ -arccossqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arctg $$ arcsina=arctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$
arcctg $$ arcsina= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ -arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}-pi, -1leq alt 0 end{cases} $$

arccos
arcsin $$ arccosa= begin{cases} arcsinsqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ pi-arcsinsqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arctg $$ arccosa= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ pi+arctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arcctg $$ arccosa=arcctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$

arctg
arcsin $$ arctga=arcsinfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$
arccos $$ arctga= begin{cases} arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ -arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$
arcctg $$ arctga=arcctgfrac{1}{a}, ane 0 $$

arcctg
arcsin $$ arcctga= begin{cases} arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ pi-arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$
arccos $$ arcctga=arccosfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$
arctg $$ arcctga=arctgfrac{1}{a}, ane 0 $$

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb{R}), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb{R}).
Строим графики:
Пример 1
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (tg x=-1)
(x=fracpi4+pi k)		 б) (ctgx=-1)
(x=frac{3pi}{4}+pi k)

Если решать через (tgx=-1)
(x=-fracpi4+pi k)
в) (tg x=-5)
(x=arctg(-5)+pi k=-arctg5+pi k)		 г) (ctgx=3)
(x=arcctg3+pi k)

Если решать через (tgx=frac13)
(x=arctgfrac13+pi k)

Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}=2cdotfrac{2pi}{3}-fracpi4+fracpi4=frac{4pi}{3})
б) (arcsin1-arccosfrac{sqrt{3}}{2}-arctg(sqrt{-3})=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+3arccosfrac{sqrt{2}}{2}=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)

Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin{gather*} -1leq frac{1}{x}leq 1Rightarrow 0leq frac{1}{x}+1leq 2Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x+1}{x}leq 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{-x+1}{x}leq 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x-1}{x}geq 0 end{cases} Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ xgeq 1 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ xleq -1 end{cases} end{array} right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac{1}{x}leq 1Leftrightarrow |frac{1}{x}|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xnotin (-1;1) end{cases} $$ Строим график:
Пример 4а

(б) y=arcctg(sqrt{x})+arcctg(-sqrt{x}))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb{R})
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrt{x}right)+arcctgleft(-sqrt{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xgeq 0 end{cases} $$ Строим график:
Пример 4б

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$

Пример 5 Способ 1. С помощью числовой окружности.

Отмечаем точку (fracpi4) на оси синусов (ось OY) и точки (fracpi4) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности).
На пересечении с числовой окружностью получаем искомые углы.
В порядке возрастания: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$
Способ 2. Аналитический
Арктангенс – функция возрастающая: (fracpi4approx 0,79lt 1Rightarrow arctgleft(fracpi4right)lt arctg 1)
Сравним (arctg1=fracpi4=arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)) и (arcsinleft(fracpi4right))
(frac{sqrt{2}}{2} ? fracpi4) – возведем в квадрат обе части
(frac12 ? frac{pi^2}{16}Leftrightarrow 8 ? pi^2)
(8ltpi^2Rightarrowfrac{sqrt{2}}{2}ltfracpi4 Rightarrow arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)lt arcsinleft(fracpi4right)Rightarrow 1lt arcsinleft(fracpi4right))
Получаем: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt{frac{1}{1+tg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt{frac{1}{1+x^2}}Rightarrow x^2=frac{1}{1+x^2}Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac{-1pmsqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac{sqrt{5}-1}{2})
Откуда (x=pmsqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
Ответ: (sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})

б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac{5pi^2}{36})
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin{gather*} arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac{5pi^2}{36}\ arccos^2x+frac{pi^2}{4}-pi arccosx+arccos^2x=frac{5pi^2}{36}\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac{pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac{pi^2}{9}=pi^2-frac89pi^2=frac{pi^2}{9}\ arccosx=frac{pipmfracpi3}{4}Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosfracpi6=frac{sqrt{3}}{2}\ x_2=cosfracpi3=frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{frac12; frac{sqrt{3}}{2}right})

в) (arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}})
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2). begin{gather*} arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{2}lt 1\ 0leq sqrt{frac{2}{x+1}} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{4}lt 1\ frac{4}{x+1}geq 0 end{cases} end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ begin{cases} 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end{cases} Rightarrow begin{cases} -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end{cases} Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt{frac{1}{1+ctg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}})
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)= sqrt{frac{1}{1+left(sqrt{frac{2}{x+1}}right)}}= sqrt{frac{1}{1+frac{2}{x+1}}}=sqrt{frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: begin{gather*} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sqrt{frac{x+1}{x+3}}Rightarrow frac{3x+2}{4}=frac{x+1}{x+3}Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac{-7pm5}{6}Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=-2 – text{ не подходит по ОДЗ}\ x_2=-frac13 end{array} right. end{gather*} Ответ: (-frac13)

Источник
  • Определение

  • График арктангенса

  • Свойства арктангенса

  • Таблица арктангенсов

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График арктангенса

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов
arctg x (°) arctg x (рад) x
-90° -π/2 -∞
-71.565° -1.2490 -3
-63.435° -1.1071 -2
-60° -π/3 -√3
-45° -π/4 -1
-30° -π/6 -1/√3
-26.565° -0.4636 -0.5
0° 0 0
26.565° 0.4636 0.5
30° π/6 1/√3
45° π/4 1
60° π/3 √3
63.435° 1.1071 2
71.565° 1.2490 3
90° π/2 ∞

microexcel.ru

Источник

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол

в радианах

 -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 0° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол

в радианах

 π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30° 0°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 0° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Источник

Добавить комментарий