Как найти образ линии при отображении - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Онлайн-сервисы

Алгоритмы JavaScript

Введение в анализ

Теория множеств

Математическая логика

Алгебра высказываний

Булевы функции

Теория формального

Логика предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Теория алгоритмов

Математическая логика и компьютеры

Дискретная математика

Множества и отношения

Группы и кольца

Полукольца и булевы алгебры

Алгебраические системы

Теория графов

Булева алгебра и функции

Конечные автоматы и регулярные языки

Контекстно-свободные языки

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Приложения интегралов

Интегралы в физике

Основные интегралы

Вариационное исчисление

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Анализ устойчивости

Рыночная активность

Инвестиционная деятельность

Анализ инвестиций

Стоимость компании

Форвардные контракты

Теория вероятностей

Математическая статистика

Теория очередей (СМО)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Системы координат

Геометрия на плоскости

Линии 2-го порядка

Инварианты линий

Геометрия в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Инварианты поверхностей

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Определители

Ранг матрицы

Обратная матрица

Системы уравнений

Функциональные матрицы

Многочленные матрицы

Функции от матриц

Линейные пространства

Подпространства

Линейные отображения

Линейные операторы

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные функции

Функциональные ряды в комплексной области

Особые точки, Вычеты

Операционное исчисление

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

ДУ высших порядков

Системы ДУ

Теория устойчивости

Численные методы

Методы алгебры

Методы теории приближений

Методы решения обыкновенных ДУ

Методы решения ДУ в частных производных

Конформные отображения и их свойства

Геометрические свойства конформных отображений

Рассмотрим подробнее геометрические свойства конформных отображений с помощью аналитических функций.

Исследование геометрического смысла модуля и аргумента производной аналитической функции показало, что отображение с помощью аналитической функции является конформным в любой точке z_0 аналитичности функции, где выполняется условие f'(z_0)ne0 . По определению конформного отображения оно обладает в такой точке свойствами сохранения углов и постоянства растяжения.

Взаимно однозначное в конечной области отображение, т.е. отображение, осуществляемое однолистной функцией, конформное в каждой точке области, называется конформным в области .

Можно показать, что условие f'(z)ne0,~ zin D является следствием (необходимым условием) однолистности функции w=f(z) в . Действительно, отображение w=f(z) можно записать в виде, где u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z)

$begin{cases}u=u(x,y),\ v=v(x,y),end{cases}(x,y)in D.$

(2.32)

Из свойств отображения (2.32), изучаемого в действительном анализе, известно, что условием его взаимной однозначности в является условие I(x,y)ne0,~ (x,y)in D , где I(x,y) — якобиан отображения, определяемый равенством

$I(x,y)= begin{vmatrix}~dfrac{partial u}{partial x}& dfrac{partial u}{partial y}~\[9pt] ~dfrac{partial v}{partial x}& dfrac{partial v}{partial y}~end{vmatrix}.$

Отображение (2.32), удовлетворяющее условию I(x,y)ne0,~ (x,y)in D , обладает в следующими свойствами: переводит внутреннюю точку во внутреннюю, граничную — в граничную.

Для функции w=f(z) , аналитической в , условие I(x,y)ne0 в силу условий Коши-Римана принимает вид

$I(x,y)= begin{vmatrix}~dfrac{partial u}{partial x}& -dfrac{partial v}{partial x}~\[9pt] ~dfrac{partial v}{partial x}& dfrac{partial u}{partial x}~end{vmatrix}ne0$

или, раскрывая определитель, $left(frac{partial u}{partial x}right)^2+ left(frac{partial v}{partial x}right)^2ne0$ . Это последнее условие означает, что |f'(z)|ne0 , так как производная аналитической функции f(z)=u+iv может быть записана в виде $f'(z)=frac{partial u}{partial x}+i,frac{partial v}{partial x}$ .

Утверждение 2.15. Отображение с помощью аналитической, однолистной в конечной области функции является конформным в .

Если функция w=f(z) , аналитическая в , осуществляет взаимно однозначное отображение, то точки называются образами точек , а точки — прообразами. В силу свойств взаимно однозначного отображения образом области как открытого множества, состоящего из внутренних точек, является область , а образом кривой gamma — границы области D~ (gamma=delta D) — является кривая Gamma — граница области G~(Gamma=delta G) .

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи. Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении — прямая задача. Вторая — заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область — обратная задача.

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z_0 при отображении w=f(z) является точка w_0 , такая, что w_0=f(z_0) , т.е. результат подстановки значения z_0 в f(z) . Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w=f(z) , другое — уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной из двух заданных соотношений.

Рассмотрим подробнее задачу отображения линии. Чтобы исключить из заданных соотношений, следует выразить из первого уравнения и подставить во второе, либо наоборот.

Если уравнение линии задано в параметрической форме: $begin{cases}x=x(t),\ y=y(t), end{cases}tin T$ , то, записав уравнение z=z(t) и подставив его в отображающую функцию w=f(z) , получим соотношение, содержащее параметр и связывающее координаты точек, принадлежащих соответствующему образу, т.е. уравнение образа данной линии.

Если линия задана уравнением F(x,y)=0 , что в комплексной форме соответствует равенству $F!left(frac{z+overline{z}}{2},, frac{z-overline{z}}{2i}right)=0$ , то в последнее соотношение подставляются и , полученные из w=f(z) , то есть $z=f^{-1}(w)$ и $overline{z}= overline{f^{-1}(w)}$ . В результате получаем соотношение Phi(w,overline{w})=0 , или после подстановки w=u+iv,~ overline{w}=u-ivcolon, varphi(u,v)=0 . Это соотношение будет искомым уравнением образа.

Таким же методом можно решить задачу отображения области. Для этого в неравенство, определяющее заданную область, следует подставить , полученное из отображающей функции w=f(z) .

Можно решать эту задачу иначе. Известно, что любая замкнутая кривая разбивает плоскость на две области. По свойству конформного отображения граница области переходит в границу, а любая внутренняя точка во внутреннюю. Поэтому для нахождения образа области достаточно найти образ ее границы, а затем по соответствию пары внутренних точек определить, какая из двух областей, имеющих полученную линию своей границей, является искомой.

Результаты приведенных рассуждений сформулируем в виде правил решения прямой задачи для линии и области соответственно.

Правило 2.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w=f(z) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z=z(t) или в комплексной форме $F!left(frac{z+overline{z}}{2},, frac{z-overline{z}}{2i}right)=0$ .

2. В зависимости от вида уравнения линии, заданного или выбранного в п.1, рассмотреть соответствующий случай:

– если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z(t) в w=f(z) . Полученное соотношение w=f(z(t)) — уравнение образа линии z=z(t) при отображении w=f(z) ;

– если линия задана в комплексной форме, то выразить из w=f(z) , то есть $z=f^{-1}(w)$ , и найти $overline{z}= overline{f^{-1}(w)}$ . Затем следует подставить и в уравнение линии. Полученное соотношение — уравнение образа данной линии.

Правило 2.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

Первый способ.

1. Записать уравнение границы заданной области.

2. Найти образ границы заданной области по правилу 2.4.

3. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при заданном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Второй способ.

1. Выразить z из соотношения w=f(z) .

2. Подставить полученное в п.1 выражение $z=f^{-1}(w)$ в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение — искомый образ.

Замечания 2.9

1. На практике при нахождении образов с помощью отображений $w=frac{az+ b}{cz+d},$ w=z^n,~ w=e^z и других используются свойства этих отображений, например круговое свойство дробно-линейного отображения или свойство функции w=z^n увеличивать углы в раз.

2. При решении обратной задачи используются свойства простейших отображений и некоторый набор известных отображений — “таблица” отображений.

Далее в лекции рассмотрим отображения с помощью простейших функций.

Линейное отображение на комплексной плоскости

Линейная функция w=az+b , где и — любые комплексные числа, ane0 , определена в mathbb{C} , а если положить w(infty)=infty , то в overline{mathbb{C}} . Отображение является однолистным в , что вытекает из равенства w_1-w_2= a(z_1-z_2) , так как при ane0 из условия z_1ne z_2 следует w_1ne w_2 (см. также пример 2.4).

Функция является аналитической в mathbb{C} . Исходя из сказанного заключаем, что линейное отображение является конформным всюду в .

Выясним геометрический смысл линейного отображения на комплексной плоскости. Для этого запишем параметр в показательной форме: $a=|a|cdot e^{ia}$ и рассмотрим следующие частные случаи отображения как составляющие:

$w_1=|a|cdot z,qquad w_2=e^{i,a}cdot w_1,qquad w=w_2+b.$

Движение прямой на комплексной плоскости

Первому из этих отображений соответствует изменение длины радиуса-вектора любой точки в |a| раз, а именно растяжение, если |a|>1 , и сжатие при |a|<1 . Это следует из соотношений |w_1|=|a|cdot|z|,~ arg w_1=arg z .

Для второго отображения из соотношений |w_1|=|w_2|,~ arg w_2=arg w_1+alpha получаем, что оно определяет преобразование поворота — радиус-вектор любой точки w_1 поворачивается относительно начала координат на угол а по часовой стрелке, если alpha>0 , и против — если alpha<0 .

Геометрический смысл отображения w=w_2+b получается из геометрического смысла сложения комплексных чисел, как векторов, или, что то же, из соотношений $operatorname{Re}w= operatorname{Re}w_2+ operatorname{Re}b,$ $operatorname{Im}w= operatorname{Im}w_2+ operatorname{Im}b$ . Отображение w=w_1+b есть параллельный перенос радиуса-вектора любой точки w_2 в направлении вектора на его величину.

На рис. 2.18 проиллюстрированы операции, соответствующие всем рассмотренным отображениям; для наглядности все плоскости (z,w_1,w_2,w) совмещены (совмещены их действительные и мнимые оси).

Представляя линейное отображение w=az+b как суперпозицию рассмотренных отображений, можно сформулировать утверждение.

Утверждение 2.16

Гомотетия на комплексной плоскости

1. Отображение w=az+b геометрически сводится к последовательному выполнению над радиусом-вектором любой точки плоскости z следующих операций: растяжению (сжатию) в |a| раз, повороту на угол alpha=arg a и смещению (параллельному переносу) в направлении вектора на величину |b| .

2. Отображение w=az+b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a| раз (гомотетия — подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия k=|a| ), поворачивает эту фигуру на угол alpha=arg a вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину (рис. 2.19).

3. Линейное отображение обладает круговым свойством, т.е. переводит окружности плоскости в окружности плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Справедливость последнего утверждения следует из геометрических свойств составляющих, так как они, очевидно, обладают круговым свойством. Оно также может быть доказано аналитически.

А именно запишем в комплексной форме уравнение прообраза — окружности в плоскости (см. пример 1.27):

Acdot zcdot overline{z}+ Mcdot overline{z}+ overline{M}cdot z+D=0quad (A,Din mathbb{R})

и подставим в него выражение для , полученное из w=az+b , то есть $z=frac{w-b}{a}$ . Будем иметь

A(w-b)(overline{w}-overline{b})+ M(overline{w}-overline{b})a+ overline{M}(w-b)overline{a}+ Da overline{a}=0

или после преобразований: Aw overline{w}+ overline{N}w+ N overline{w}+L=0 , где A,Lin mathbb{R}~ (L=Da overline{a}) . А это и есть уравнение окружности в плоскости .

При A=0 и прообраз, и образ определяют прямые.

Заметим, что доказательство можно рассматривать как пример решения прямой задачи — найти образ окружности (прямой) при линейном отображении и убедиться, что это — окружность (прямая) (см. правило 2.4).

Если использовать уравнение прообраза в виде |z-z_0|=r (см. правило 2.4), после подстановки $z=frac{w-b}{a}$ получим |w-(az_0+b)|=|a|r , т.е. образом центра данной окружности при линейном отображении является центр w_0=az_0+b её образа — центр отображается в центр.

▼ Примеры 2.54-2.62 задач на линейные отображения

Образ отрезка при отображении на комплексной плоскости

Пример 2.54. Найти образ отрезка , где A(1+i),~ B(4+i) , при отображении w=2iz-3i (рис. 2.20).

Решение

Пример 2.55. Найти образ окружности |z|=1 при отображении w=2iz-3i .

Решение

Пример 2.56. Найти образ окружности: a) |z|=1 ; б) |z-1|=1 при отображении w=2z .

Решение

Пример 2.57. Найти образ оси при отображении w=2iz-3i .

Решение

Первый способ. Решаем по правилу 2.4. Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение имеет вид x=0,,-infty<y<+infty , то в комплексной форме запишется как z=iy,,-infty<y<+infty . Это — параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран .

2. Выражаем из w=2iz-3i и подставляем в уравнение оси или, что о же, подставляем z=iy в выражение . Получаем уравнение образа в параметрической форме: w=-2y-3i,,-infty<y<+infty ; параметром является . Отделив действительную и мнимую части, получим уравнение в действительной норме: v=-3,~ u=-2y или v=-3,~ uinmathbb{R} . Это есть уравнение прямой в плоскости , параллельной действительной оси.

Второй способ. Решаем по правилу 2.4, но уравнение оси выберем в комплексной форме.

1. Записываем комплексное уравнение оси Oycolon, z+overline{z}=0 .

2. Выражаем из w=2iz-3i и подставляем $z=frac{w+ 3i}{2i}$ и $overline{z}= frac{overline{w}-3i}{-2i}$ в уравнение z+overline{z}=0 . Получаем в комплексной форме уравнение образа оси Oycolon

$frac{w+3i}{2i}+ frac{overline{w}-3i}{-2i}=0$ , или $frac{w-overline{w}}{2i}+3=0$ . В действительной форме результат записывается в виде operatorname{Im}w+3=0 или v=-3 .

Третий способ. Используем для решения круговое свойство линейного отображения — образом прямой является прямая. Так как прямая определяется двумя точками, то достаточно на оси выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z_1=0,~ z_2=i , их образы w_1=-3i,~ w_2=-2-3i при отображении лежат на прямой operatorname{Im}w=-3 . Следовательно, образом прямой является прямая v=-3 .

Четвертый способ. Можно привести геометрическое решение, как и в примере 2.54. Так как из условия w=2iz-3i следует, что $|a|=2,~arg a=frac{pi}{2}$ b=-3i , то нужно заданную линию (ось ) повернуть на $frac{pi}{2}$ (относительно начала координат), а затем сместить вниз на 3 единицы. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии (оси ), так как она проходит через начало координат.

Пример 2.58. Найти какую-либо линейную функцию, отображающую линию operatorname{Re}z+operatorname{Im}z=0 на линию operatorname{Im}w=0 .

Решение

Поставленная задача есть обратная задача теории отображений — по заданным образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Действительно, существует множество функций, осуществляющих искомое отображение. Для нахождения любой из них достаточно выбрать две точки z_1 и z_2 в плоскости , принадлежащие прообразу (т.е. линии operatorname{Re}z+operatorname{Im}z=0 ), и две любые точки w_1 и w_2 в плоскости , принадлежащие линии operatorname{Im}w=0 (т.е. два действительных числа), и из двух соотношений w_1=az_1+b и w_2=az_2+b определить величины и .

Одно из отображений можно просто получить из рассмотрения рис. 2.22.

Области на комплексной плоскости

Для геометрического решения достаточно повернуть луч , принадлежащий прообразу, на угол $alpha=frac{pi}{4}$ против часовой стрелки, т.е. выбрать отображение $w=e^{i,frac{pi}{4}}z$ . При этом образом точки A(-1+i) будет точка $A_1(-sqrt{2})$ , а образом точки B(1-i) — точка $B_1(sqrt{2})$ . Можно выбрать отображение $w=e^{-frac{3pi}{4},i}z$ — поворот на угол $alpha=frac{3pi}{4}$ по часовой стрелке. Тогда точке будет соответствовать точка $B_1(sqrt{2})$ , а точка A_1 будет образом точки B(1-i) .

Заметим, что ответом может быть также $w=k,e^{i,frac{pi}{4}}z,~ w=k,e^{-i,frac{3pi}{4}}z$ , где — любое положительное число, и $w=k,e^{i,frac{pi}{4}}z+b$ , где и — любые действительные числа.

Пример 2.59. Найти какую-либо линейную функцию, отображающую окружность |z-i|=1 на окружность |w-3|=2 .

Решение

Как и предыдущая, это — обратная задача отображений. Решать её будем, используя свойства линейного отображения — геометрический смысл его составляющих. В связи с этим при решении удобно выделить следующие этапы (см. рис. 2.23).

Окружности на комплексной плоскости

Первый этап. Переместим центр окружности в начало координат. Для .того применим отображение w_1=z-i .

Второй этап. В плоскости w_1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, w_2=2w_1 . Окружность изображена в плоскости (считаем плоскости w_2 и совмещенными) пунктиром.

Третий этап. Окончательный результат получаем, применяя преобразование смещения, w=w_2+3 , то есть w=2(z-i)+3 или w=2z+3-2i .

Здесь, как и в примере 2.58, ответ не единственный и можно рассмотреть другой порядок выполнения операций. Из геометрических соображений ясно, что можно сначала применить не смещение, а поворот или растяжение и получить в результате соответствующее отображение.

Можно получить общий вид линейной функции, осуществляющей заданное отображение, используя тот факт, что окружность определяется положением центра и величиной радиуса, и свойство линейного отображения, переводящего центр окружности в центр.

Поэтому, подбирая искомое отображение в виде w=az+b , из соотношения w_0=az_0+b , то есть 3=ai+b , получаем w=az+(3-ai) или w-3=a(z-i) . Далее из |w-3|=|a|cdot|3-i| , учитывая условие задачи, находим |a|=2 и $a=2e^{ialpha}$ , где alpha — любое действительное число.

Окончательный результат $w=2e^{ialpha}(z-i)+3$ , что также объяснимо из рис. 2.23, так как геометрический вид окружности с центром в начале координат (см. (w_1) или пунктир в плоскости ) не изменяется в результате поворота (умножения на $e^{ialpha}$ ).

Пример 2.60. Найти образ полосы 0<operatorname{Re}z<2 при отображена w=2iz-3i .

Решение

Заданная область — неограниченная односвязная область, границей её на overline{mathbb{C}} является линия, состоящая из двух параллельных прямых (образами эти: прямых на сфере Римана являются две окружности, пересекающиеся в точке . Эта линия делит на две области — внутреннюю (полоса) и внешнюю (внешность полосы).

Образом полосы является полоса, так как при линейном отображение прямые переходят в прямые, а в силу конформности отображения параллельность прямых сохраняется.

Решаем по правилу 2.5 первым способом.

1. Границу области образуют две прямые с уравнениями operatorname{Re}z=0 и operatorname{Re}z=2 .

2. Находим образы прямых operatorname{Re}z=0 и operatorname{Re}z=2 . Образ прямой operatorname{Re}z=x=0 получен в примере 2.57. Его уравнение operatorname{Im}w=-3 . Образ прямой можно получить так же или, учитывая параллельность линий, достаточно найти образ одной точки. Например, точке z=2 соответствует w=4i-3i=i . Поэтому o6pазом прямой operatorname{Re}z=2 будет прямая operatorname{Im}w=1 , проходяшая через точку w=i .

3. Выбираем внутреннюю точку полосы 0<operatorname{Re}z<2 , например z=1 , её oбраз w=2i-3i=-i . Эта точка должна принадлежать искомому образу. Ответом является множество -3<operatorname{Im}w<1 — полоса, границами которой являются operatorname{Im}w=1 и operatorname{Im}w=-3 (рис. 2.24).

Очень простое решение задачи — геометрическое, которое сводится к повороту на $frac{pi}{2}$ против часовой стрелки, растяжению в два раза и смешению вниз мнимой оси на 3 единицы (рис. 2.24).

Области на комплексной плоскости 2

Пример 2.61. Найти линейную функцию, отображающую область Dcolon operatorname{Re}z+operatorname{Im}z<0 на область Gcolon operatorname{Im}w>0 .

Решение

По свойствам искомого отображения как взаимно однозначного отображения граница области , прямая operatorname{Re}z+ operatorname{Im}z=0 , переходит в границу области Gcolon operatorname{Im}w=0 . Функция, устанавливающая соответствие границ, получена в примере 2.58. Это — либо $w=k,e^{i,frac{pi}{4}}z$ , либо $w=k,e^{-i,frac{3pi}{4}}z$ , k>0 . Одна из них отображает область operatorname{Re}z+ operatorname{Im}z<0 на operatorname{Im}w>0 (а соответственно на operatorname{Im}w<0 ), другая — область на . Чтобы выбрать необходимую функцию, достаточно установить соответствие двух пар граничных точек или пары внутренних.

Выберем две граничные точки области — точки и (см. рис. 2.22, решение примера 2.58). Направление обхода границы области от точки к точке (область при обходе расположена слева), области — от точки A_1 к точке B_1 . Поэтому искомая функция — та, которая переводит точку в точку A_1 , то есть $w=k,e^{-i,frac{3pi}{4}}z$ , k>0 или, в частности, $w=k,e^{-i,frac{3pi}{4}}z$ (см. пример 2.58). Можно выбрать внутреннюю точку, .например z=-2in D . Ее образом при отображении $w=k,e^{i,frac{pi}{4}}z$ , k>0 является

$w=k,e^{i,frac{pi}{4}}(-2)= k,e^{i,frac{pi}{4}}2e^{ipi}= 2k,e^{frac{5pi}{4},i}= 2k,e^{-frac{3pi}{4},i}$ , то есть wnotin G .

При отображении же $w=k,e^{-i,frac{3pi}{4}}z$ , k>0 образом точки z=-2 является $w=2k,e^{left(pi-frac{3pi}{4}right)i}= 2k,e^{i,frac{pi}{4}}$ , winoperatorname{Im}w>0 .

Пример 2.62. Найти какую-либо линейную функцию, отображающую область Dcolon operatorname{Re}z>1 на область Gcolon operatorname{Re}w+ operatorname{Im}w+1<0 .

Решение

Как и в предыдущем примере, нужно найти функцию, устанавливающую соответствие границ: прямой operatorname{Re}z=1 в плоскости (z) и прямой operatorname{Re}w+ operatorname{Im}w+1=0 в плоскости (рис. 2.25,а и г).

Прямые и области на комплексной плоскости

Применим геометрический способ решения (см. пример 2.59), используя геометрические свойства составляющих.

Первый этап. Сдвинем границу области на единицу влево, т.е. рассмотрим отображение w_1=z-1 . Образом области будет область G_1 (рис. 2.25,б).

Второй этап. Повернем границу области G_1 на угол $alpha= frac{3pi}{4}$ по часовой стрелке, т.е. рассмотрим отображение $w_2=w_1exp frac{-3pi,i}{4}$ . Образом области G_1 будет область G_2 (рис. 2.25,в).

Третий этап. Сдвинем границу области G_2 на единицу вниз, т.е. рассмотрим отображение w=w_2-i . Образом области G_2 будет область . Искомое отображение получим как суперпозицию составляющих, т.е.

$w= expleft(-frac{3pi}{4},iright)(z-1)-i= zexpleft(-frac{3pi}{4},iright)-left[i+exp left(-frac{3pi}{4},iright)right]!.$

Напомним, что задачи такого типа без дополнительных условий имеют неединственное решение, что в данном случае очевидно из рассмотрения рис. 2.25.

Например, решением будет также функция $w=expleft(-frac{3pi}{4},iright)(z-1)-1$ и др.

Дробно-линейное отображение на комплексной плоскости

Дробно-линейным называется отображение с помощью функции $w=frac{az+b}{cz+d}$ , где a,b,c,d — произвольные комплексные числа (параметры).

Полагаем cne0 , так как при c=0 получается рассмотренная выше линейная функция, и ad-bcne0 , иначе, в силу пропорциональности числителя и знаменателя, w=k=text{const} .

Функция определена в $mathbb{C}setminus left{-frac{d}{c}right}$ . Если положить $w! left(-frac{d}{c}right)= lim_{zto -frac{d}{c}}w(z)=infty$ и $w(infty)= lim_{ztoinfty}f(z)=frac{a}{c}$ , то получаем функцию, которая определена на всей расширенной комплексной плоскости overline{mathbb{C}} .

Функция является однолистной в mathbb{C} и аналитической в за исключением точки $-frac{d}{c}$ . Аналитичность z=infty следует из определения, так как аналитической в xi=0 является функция $w! left(frac{1}{xi}right)= frac{a+bxi}{c+dxi},~ cne0$ .

Так как однолистное отображение с помощью аналитической функции является конформным, то заключаем, что дробно-линейное отображение конформно в mathbb{C} , конформно в любой области Dsubset overline{mathbb{C}} . Заметим, что $w'(z)= frac{ad-bc}{(cz+d)^2}ne0$ для любой точки $zin mathbb{C},~ zne-frac{d}{c}$ .

Геометрические свойства дробно-линейного отображения

Исследуем геометрические свойства дробно-линейного отображения. Как и в случае линейной функции, выделим составляющие. Выделяя целую часть дроби, получаем $w=frac{a}{c}+ frac{bc-ad}{(cz+d)c}$ или, вводя обозначения $A=frac{a}{c},~ B=frac{bc-ad}{c}$ , имеем $w=A+frac{B}{cz+d}$ , из чего следует, что дробно-линейное отображение есть суперпозиция линейного отображения и отображения $w=frac{1}{w}$ . Действительно, можно записать цепочку составляющих

$w_1=cz+d,qquad w_2=frac{1}{w_1},qquad w=A+Bw_2.$

Рассмотрим отдельно отображение $w=frac{1}{z}$ как частный случай дробно-линейного отображения (a=d=0,~b=c=1) . Его также можно записать в виде более простых для исследования составляющих $w_1=frac{1}{overline{z}},~ w=overline{w}_1$ . Особенность первого отображения заключается в соотношениях $|w_1|=frac{1}{|overline{z}|},~ arg w_1=-argoverline{z}$ , которые, учитывая, что |overline{z}|=|z| и argoverline{z}=-arg z , можно переписать в виде

|w_1|cdot |z|=1,qquad arg w_1=arg z,.

(2.33)

Геометрически эти соотношения означают, что точки w_1 и z_1 расположены на одном луче, а произведение длин их радиусов-векторов равно единице. Точки, обладающие таким свойством, называются точками, симметричными (или сопряженными) относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат.

Функция $w_1=frac{1}{overline{z}}$ отображает любую точку, лежащую внутри единичного круга, в точку, лежащую вне единичного круга, так как из |z|<1 следует $|w_1|=frac{1}{|z|}>1$ и обратно.

Следовательно, функция $w=frac{1}{overline{z}}$ переводит внутренность единичного круга во внешность и наоборот. Преобразование такого вида называется инверсией относительно единичной окружности.

Симметрия относительно действительной оси на комплексной плоскости

Заметим, что для построения точки w_1 по заданной точке z~(|z|<1) нужно сначала провести луч из центра окружности |z|=1 , а затем к этому лучу в точке восставить перпендикуляр и провести касательную к окружности в точке её пересечения с перпендикуляром. Точкой пересечения касательной и луча будет w_1 . Обоснование построения следует из рассмотрения подобных треугольников (рис. 2.26). Очевидно, проводя построение в обратном порядке, можно построить по точке, лежащей вне круга (на рис. 2.26 точка w_1 ), симметричную относительно окружности точку , которая будет расположена внутри круга.

Вторая составляющая отображения $w=frac{1}{z}$ функция $w= overline{w}_1$ геометрически есть симметрия относительно действительной оси (рис. 2.26).

Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.
Утверждение 2.17

1. Отображение $w=frac{1}{z}$ геометрически сводится к построению инверсии относительно окружности |z|=1 и симметрии относительно действительной оси.

2. Дробно-линейное отображение геометрически сводится к преобразованиям растяжения, поворота, сдвига (см. линейное отображение), симметрии относительно окружности |z|=1 и симметрии относительно действительной оси.

Круговое свойство дробно-линейного отображения

Дробно-линейное отображение на комплексной плоскости обладает круговым свойством. Достаточно доказать это свойство для функции $w=frac{1}{z}$ , так как для линейных составляющих дробно-линейного отображения оно установлено.

Доказательство проведем в соответствии с правилом 2.4 решения прямой задачи.

1. Записываем уравнение произвольной окружности в комплексной форме: Az overline{z}+M overline{z}+overline{M}z+D=0 . Заметим, что при A=0 уравнение определяет прямую. При Dne0 линия не проходит через начало координат (точку z=0 ), при D=0 — проходит.

2. Выражая из $w=frac{1}{z}$ , получаем $z=frac{1}{w},~ overline{z}= frac{1}{overline{w}}$ и подставляем в уравнение прообраза. Преобразуем полученное равенство:

$Acdotfrac{1}{w}cdot frac{1}{overline{w}}+ Mcdot frac{1}{overline{w}}+ overline{M}cdot frac{1}{w}+D=0$ , или Dw overline{w}+Mw+ overline{M} overline{w}+A=0 .

Полученное уравнение есть уравнение окружности, в частности, при D=0 — прямая.
Для отображения $w=frac{1}{cz+d}$ роль точки z=0 , очевидно, играет $z=-frac{d}{c}$ .

Утверждение 2.18 (круговое свойство дробно-линейного отображения).

1. Окружности и прямые, не проходящие через особую точку $left(z=-frac{d}{c}right)$ , отображаются в окружности, а окружности и прямые, проходящие через эту точку, — в прямые.

2. Дробно-линейное отображение переводит окружности расширенной комплексной плоскости в окружности overline{C} , так как прямые на расширенной комплексной плоскости рассматриваются как окружности.

▼ Примеры 2.63-2.68 задач на дробно-линейные отображения

Пример 2.63. При отображении $w=frac{2}{z}$ найти образы:

а) окружностей x^2+y^2-2x=0 и (x-1)^2+y^2=4 ;

б) прямых x=1 и x=0 .

Решение

а) Первая окружность проходит через точку z=0 — особую точку функции, поэтому её образом будет прямая. Образом второй окружности, уравнение которой можно переписать как x^2+y^2-2x-3=0 , является окружность. Решаем согласно правилу 2.4.

1. Записываем уравнения окружностей в комплексной форме: z overline{z}-(z+overline{z})=0 и .

2. Подставляем в эти уравнения выражения $z=frac{2}{w}$ и $overline{z}= frac{1}{overline{w}}$ Для первой окружности получаем $frac{2}{w overline{w}}-left(frac{1}{w}+frac{1}{overline{w}}right)=0$ , или w+overline{w}=2 , что можно записать $frac{w+overline{w}}{2}=1$ , или operatorname{Re}w=1 . Это — уравнение прямой, параллельной мнимой оси (рис. 2.21,а). Для второй окружности имеем 3woverline{w}+2(w+overline{w})-4=0 . Наличие слагаемого говорит о том, что образом является окружность. Чтобы определить её центр и радиус, перейдем к действительной форме уравнения, используя равенства $woverline{w}=u^2+v^2,~ w+overline{w}=2u$ . Получим уравнение 3u^2+3v^2+ 4u-4=0 , или, выделив полный квадрат переменной $u,~ left(u+frac{2}{3}right)^2+ v^2=frac{16}{9}$ . Это — уравнение окружности радиуса $frac{4}{3}$ с центром в точке $left(-frac{2}{3};0right)$ (рис. 2.21,а).

б) Образом первой прямой является окружность, второй — прямая. Чтобы получить уравнения соответствующих образов, подставим $z=frac{2}{w}$ и $overline{z}= frac{2}{overline{w}}$ в уравнения данных линий, записанных в комплексной форме: z+overline{z}=2 и z+overline{z}=0 . Получим w overline{w}-(w+overline{w})=0 — образ первой прямой и w+overline{w}=0 — второй. Первая линия — окружность (u^2+v^2)-2u=0 или (u-1)^2+v^2=1 ; её радиус R=1 , центр в точке (1;0) (рис. 2.27,6). Уравнение или operatorname{Re}w=0 определяет мнимую ось (рис. 2.21,б).

Окружности на комплексной плоскости 2

Пример 2.64. Найти образ полосы 0<operatorname{Re}z<1 при отображении $w=frac{2}{z}$ .

Решение

Пример 2.65. Найти образ области $Dcolon begin{cases}operatorname{Re}z<1,\ left|z-frac{1}{2}right|>frac{1}{2}end{cases}$ при отображении $w=frac{icdot z}{z-1}$ .

Решение

Область есть пересечение полуплоскости и внешности круга — полуплоскость operatorname{Re}z<1 с выброшенным кругом (рис. 2.28).

Прямая, паралллельная действительной оси, на комплексной плоскости

В соответствии с правилом 2.5 решения задач для областей, как и в предыдущем примере, найдем прежде образ границы области , которая состоит из двух линий, описываемых уравнениями operatorname{Re}z=1 и $left|z-frac{1}{2}right|= frac{1}{2}$ . Так как обе линии проходят через особую точку z=1 , то их образами будут прямые. Для каждой линии решаем задачу по правилу 2.4.

Найдем образ прямой operatorname{Re}z=1 .
1. Запишем уравнение в комплексной форме: z+ overline{z}-2=0 .

2. Выражаем из $w=frac{icdot z}{z-1}colon, wz-w=iz$ , то есть $z=frac{w}{w-i},~ overline{z}=frac{overline{w}}{overline{w}+i}$ . Подставляем эти значения в уравнение z+overline{z}-2=0 . Получаем iw-ioverline{w}+ 2=0 , или w-overline{w}=2i . Это уравнение определяет прямую operatorname{Im}w=1 , параллельную действительной оси (рис. 2.28).

Найдем образ окружности $left|z-frac{1}{2}right|=frac{1}{2}$ .
1. Запишем уравнение окружности в виде |2z-1|=1 .

2. Выразим из $w=frac{icdot z}{z-1}$ и подставим $z=frac{w}{w-i}$ в уравнение |2z-1|=1 . Получаем |w+i|= |w-i| . Это равенство определяет уравнение прямой, проходящей перпендикулярно отрезку, соединяющему точки и (-i) , через его середину. Этой прямой является действительная ось operatorname{Im}w=0 (рис. 2.28). В результате получили, что образ границы области состоит из двух параллельных прямых: operatorname{Im}w=1 и .

Далее в соответствии с п.3 правила 2.5 выберем произвольную точку, например z=-1in D . Так как ее образом при заданном отображении является $w=frac{i}{2}$ , то образом области будет полоса 0<operatorname{Im}w<1 .

Пример 2.66. Найти какую-либо дробно-линейную функцию, отображающую круг единичного радиуса с центром в начале координат:

а) на левую полуплоскость;

б) на нижнюю полуплоскость.

Решение

Решается обратная задача отображения областей. Требуется найти отображение области Dcolon,|z|<1 на область Gcolon a) operatorname{Re}w<0 ; б) operatorname{Im}w<0 . Границей области является окружность |z|=1 . Так как в обоих случаях ее образ — прямая, то, согласно утверждению 2.18, искомая функция должна иметь особой точкой одну из точек окружности — окружность проходит через особую точку.

Используя это свойство, “распрямим” окружность, т.е. на первом этапе решения подберем функцию, переводящую одну из точек окружности в бесконечно удаленную точку.

Первый этап. Рассмотрим $w_1=frac{1}{z+1}$ , где w_1toinfty при zto-1~(w_1(-1)=infty) .

Найдем уравнение прямой, в которую переходит |z|=1 при отображении $w_1=frac{1}{z+1}$ , т.е. решим прямую задачу: $z=frac{1-w_1}{w_1},~ |1-w_1|=|w_1|$ . Получено уравнение прямой, проходящей перпендикулярно отрезку, соединяющему точки w_1=1 и w_1=0 , через его середину, т.е. $operatorname{Re}w_1=frac{1}{2}$ . Образом области будет $Dcolon, operatorname{Re}w_1>frac{1}{2}$ , так как, например, точка z_0=0in D переходит в точку w_1=1in G_1 .

Второй этап. Сравнивая полученный результат и вид области , заключаем, что нужно применить преобразование смещения (сдвиг) влево на $frac{1}{2}$ , т.е. линейное отображение $w_2=w_1-frac{1}{2}$ . Образом $operatorname{Re}w_1=frac{1}{2}$ будет $operatorname{Re}w_2=0$ . Соответствие границ установлено функцией $w_2=frac{1}{z+1}-frac{1}{2}= frac{1-z}{2(z+1)}$ или $w_2=frac{1-z}{z+1}$ . Но при этом отображении образом области является правая полуплоскость $operatorname{Re}w_2>0$ , так как точка z=0 , принадлежащая , переходит в точку $w=1,~ win operatorname{Re}w_2>0$ .

Третий этап. Чтобы получить искомое отображение и для случая “а” , и для случая “б”, достаточно сделать поворот.

Решим задачу для случая “а”. Применим преобразование поворота на угол против часовой стрелки, т.е. линейное отображение $w=e^{ipi}cdot w_2=-w_2colon$

$w=frac{z-1}{z+1},.$

(2.34)

Таким образом, найдено отображение, переводящее круг |z|<1 на полуплоскость operatorname{Re}w<0 (рис. 2.29).

Отображение, переводящее круг на полуплоскость на комплексной плоскости

Заметим, что в силу взаимной однозначности обратная функция $z=frac{1+w}{1-w}$ отображает левую полуплоскость operatorname{Re}w<0 на крут |z|<1 . Отсюда следует вид отображения, переводящего левую полуплоскость operatorname{Re}z<0 на круг |w|<1 (рис. 2.30):

$w=frac{1+z}{1-z},.$

(2.35)

Отображение, переводящее левую полуплоскость на круг, на комплексной плоскости

Решим задачу для случая “б”. Чтобы получить отображение круга |z|<1 на нижнюю полуплоскость operatorname{Im}w<0 (рис. 2.31), достаточно в плоскости w_2 рассмотреть поворот на $alpha=frac{pi}{2}$ , по часовой стрелке, т.е. $w=w_2exp frac{-ipi}{2}=-icdot w_2colon$

$w=frac{iz-i}{z+1},.$

(2.36)

Отображение круга на нижнюю полуплоскость

Пример 2.67. Отобразить область $Dcolon begin{cases}|z-i|>1,\ |z-2i|<2end{cases}$ на область Gcolon 0<operatorname{Re}w<1 .

Решение

Так как образами окружностей — границы области являются прямые, то нужно применить отображение, “распрямляющее” прямые. Для этого следует использовать отображение, переводящее общую точку окружностей z=0 в infty .

Первый этап. Применяем преобразование $w_1=frac{1}{z}$ .

Найдем образ области при этом отображении. Для этого, как и при решении предыдущих примеров, в уравнения границы — окружностей |z-i|=1 и |z-2i|=2 подставляем $z=frac{1}{w_1}$ , то есть

|1-iw_1|=|w_1|,quad |1-2iw_1|=2|w_1| или $|w_1+i|=|w_1|,quad left|w_1+ frac{i}{2}right|=|w_1|$ .

Эти уравнения определяют прямые, уравнения которых в действительной форме имеют вид $operatorname{Im}w_1=-frac{1}{2}$ и $operatorname{Im}w_1=-frac{1}{4}$ , или $v_1=-frac{1}{2},~ v_1=-frac{1}{2}$ . Эти прямые, параллельные мнимой оси, определяют границу области G_1 ; область G_1 — внутренность полосы, так как, например, образом точки 3iin D является точка $-frac{1}{3},i$ , принадлежащая полосе (рис. 2.32).

Образ области при отображении на комплексной плоскости

Второй этап. Сравнивая вид областей G_1 и , убеждаемся, что следует увеличить ширину области G_1 в 4 раза и повернуть ее на угол $alpha=frac{pi}{2}$ против часовой стрелки, т.е. применить преобразование $w_2=w_1exp frac{ipi}{2}= 4iw_1$ . Образом будет полоса G_2 .

Третий этап. Окончательный результат получаем смещением на единиц влево, w=2i,w_1-1 , то есть $w=frac{4i-z}{z}$ .

Пример 2.68. При отображении, полученном в примере 2.67, найти образы прямых operatorname{Re}z=0,~ operatorname{Im}z=0,~ operatorname{Im}z=2 .

Решение

Примеры 2.67 и 2.68 иллюстрируют круговое свойство отображения у свойство конформности. Так, прямая operatorname{Im}z=0 касается окружностей в плоскости и параллельна прямой operatorname{Im}w=2 , т.е. образует с каждой из них угол alpha=0 . Её образ в плоскости (w) с соответствующими линиями также образует угол alpha=1 .

Прямая operatorname{Re}z=0 перпендикулярна любой из рассматриваемых здесь линий — и прямым operatorname{Im}z=0,~ operatorname{Im}z=2 , и окружностям, так как проходит через их центры. Образ этой прямой (действительная ось v=0 ) также перпендикулярен соответствующим линиям — трем прямым и окружности.

Прямая operatorname{Im}z=2 образует угол alpha=0 с окружностью |z-i|=1 1 и прямой operatorname{Im}z=0 , а с другой окружностью |z-2i|=2 и прямой operatorname{Re}z=0 — угол $beta= frac{pi}{2}$ . Такие же углы образует окружность — образ этой прямой в плоскости с соответствующими линиями.

Условия, определяющие дробно-линейное отображение

Дробно-линейное отображение рассматривается, как отмечено выше, при cne0 , поэтому можно записать

$w=frac{frac{a}{c},z+frac{b}{c}}{z+frac{d}{c}}$ или $w=frac{a_1z+b_1}{z+d_1}$ ,

т.е. оно определяется тремя параметрами. Следовательно, для задания дробно-линейного отображения достаточно задать три условия, например соответствие трех пар точек. При этом, так как отображение рассматривается на overline{mathbb{C}} , одна из точек может быть бесконечно удаленной. Имеет место утверждение.

Утверждение 2.19 (условия, определяющие дробно-линейное отображение). Каковы бы ни были три различные точки z_1,,z_2,,z_3 , плоскости и три различные точки w_1,,w_2,,w_3 плоскости , существует единственное дробно-линейное отображение $w=frac{az+b}{cz+d}$ такое, что w(z_k)=w_k,~ k=1,2,3 . При этом справедливо соотношение

$frac{w-w_1}{w-w_2},colon frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}= frac{z-z_1}{z-z_2},colon frac{z_3-z_1}{z_3-z_2},.$

(2.37)

Равенство (2.37) называется ангармоническим отношением. Если его переписать в виде произведения:

$frac{w-w_1}{w-w_2}cdot frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}= frac{z-z_1}{z-z_2}cdot frac{z_3-z_2}{z_3-z_1},.$

(2.38)

то, рассматривая предельный переход в (2.38) при z_ktoinfty или w_ktoinfty~(k=1,2,3) , замечаем, что предел частного, содержащего соответствующие величины, равен единице. Например, $lim_{z_1toinfty} frac{z-z_1}{z_3-z_1}$ . Можно сделать заключение.

Если одна из точек z_k или w_k~(k=1,2,3) есть бесконечно удаленная точка, то в (2.37) (или (2.38)) соответствующая разность заменяется единицей.

Справедливость утверждения о единственности отображения, определяемого указанными условиями, и справедливость отношения (2.37) могут быть установлены из рассмотрения линейной системы $w_k=frac{a_1z_k+b_1}{z_k+d_1}$ или a_1z_k+b_1-w_kd_1=w_kz_k,~ k=1,2,3 .

Отметим некоторые особенности отображения (2.37), запишем их в виде утверждения.

Утверждение 2.20

1. Дробно — линейное отображение переводит круг, граница которого проходит через три данные точки z_k,~ k=1,2,3 , в круг (или во внешность круга), граница которого проходит через три точки w_k,~ k=1,2,3 . Это следует из того, что положение любой окружности (на плоскости) однозначно определяется тремя точками.

2. Любое дробно-линейное отображение, переводящее точку z_1 в ноль и z_2 в бесконечно удаленную точку, имеет вид (что следует из формулы (2.38))

$w=Acdot frac{z-z_1}{z-z_2},,$

(2.39)

С учетом этого утверждения можно сократить процедуру решения примера 2.66. А именно, так как граница области — прямая operatorname{Re}w=0 проходит через w_1=0,~ w_2=infty , то, полагая z_1=1~(1to0), z_2=-1~ (-1toinfty) , отображение ищем в виде $w_1=Acdot frac{z-1}{z+1}$ (на первом этапе). Можно взять $w_1=frac{z-1}{z+1}$ , так как наличие множителя в таких случаях будет определять только поворот на alpha=arg A , a растяжение в |A| для геометрического положения прямых, проходящих через начало координат, не имеет значения. Далее, для решения задачи в случае “а” убеждаемся, что искомое отображение уже получено: $w=w_1=frac{z-1}{z+1}$ , а для решения в случае “б” нужно ещё сделать поворот.

Пример 2.69. Найти дробно-линейную функцию w=f(z) , такую, что w(i)=2i,~ w(infty)=1,~ w(-1)=infty .

Решение

В утверждении 2.20 сказано, что дробно-линейное отображение переводит любой круг (внутренность, внешность) на любой круг (внутренность, внешность) заданием соответствия трех пар граничных точек. Так как прямые на overline{C} рассматриваются как окружности (R=infty) , то речь здесь идет и о прямых, т.е. любой круг (внутренность, внешность) переводится на любую полуплоскость и обратно заданием соответствия трех граничных пар (для прямой одна из точек z=infty ).

По формуле (2.38) при условии w_k=f(z_k),~ k=1,2,3 будет получено определенное отображение области (ее граница — окружность, прямая) на область (граница — окружность, прямая). При этом любой внутренней точке z_0in D будет соответствовать определенная w_0in G .

Сохранение симметричных точек дробно-линейным отображением

Представляют практический интерес задачи, где образом данной точки z_0in D должна быть заранее заданная w_0in G .

Задание соответствия внутренних точек накладывает ограничение на выбор других соответствующих пар. Это связано со следующим свойством дробно-линейного отображения.

Утверждение 2.21

1. Дробно-линейное отображение переводит любые две точки, симметричные относительно окружности расширенной комплексной плоскости, в точки, симметричные относительно образа этой окружности при данном отображении. Свойство называется свойством сохранения симметричных точек.

2. Точки, симметричные границе области (окружности или прямой) при дробно-линейном отображении, переходят в точки, симметричные относительно ее образа при этом отображении.

Свойство означает, что если точки и $z^{ast}$ симметричны относительно линии у (окружности или прямой) в плоскости (z) , а точки и $w^{ast}$ и линия Gamma — их образы при дробно-линейном отображении, то точки и $w^{ast}$ симметричны относительно Gamma . Линия Gamma , согласно круговому свойству отображения, также является окружностью или прямой. Симметрия точек относительно прямой понимается в обычном смысле. Симметрия относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат рассматривалась при исследовании отображения $w=frac{1}{z}$ (формула (2.33)). В общем случае имеет место следующее определение.

Точки и $z^{ast}$ называются симметричными (или сопряженными) относительно окружности |z-z_0|=R , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, т.е. справедливо равенство

$|z-z_0|cdot |z^{ast}-z_0|=R^2.$

(2.40)

Точкой, симметричной точке z_0 — центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

Полученные при решении примера 2.71 (см. ниже в спойлере) результаты запишем в виде утверждения.

Утверждение 2.22

Отображения на комплексной плоскости

1. Любое дробно-линейное отображение полуплоскости operatorname{Im}z>0 на круг |w|<1 имеет вид

$w=e^{i,alpha}cdot frac{z-z_0}{z-overline{z}_0}quad (operatorname{Im}z_0>0,~ alphain mathbb{R}).$

(2.41)

2. Любое дробно-линейное отображение круга |z|<1 на круг |w|<1 имеет вид

$w=e^{i,alpha}cdot frac{z-z_0}{1-z,overline{z}_0}quad (|z_0|<1,~ alphain mathbb{R}).$

(2.42)

3. Значение а определяется из дополнительного условия. Это, как правило, задание аргумента производной искомой функции в некоторой точке, например arg w'(z_0)= beta .

Формулы (2.41) и (2.42) дают решение двух канонических задач. Для удобства использования изобразим их на рис. 2.34 и рис. 2.35 соответственно.

▼ Примеры 2.70-2.73 решения задач с отображениями

Пример 2.70. Отобразить область |z-2i|<2 на область |w+2i|>2 так, чтобы точки 0 и 2i остались неподвижными.

Решение

Задание неподвижной точки z_0 для отображения w=f(z) означает условие w(z_0)=z_0 , то есть z_0to z_0 В данном случае имеет место соответствие двух пар точек: 0to0,~ 2ito 2i , причем первая пара — пара граничных точек, вторая -внутренних. Третью пару, необходимую для применения формулы (2.37), находим, используя свойство сохранения симметричных точек.

Найдем точки, симметричные точкам z=2i и w=2i относительно соответствующих окружностей.

Для точки z=2i точкой, симметричной относительно окружности |z-2i|=2 , будет $z^{ast}=infty$ , так как — центр круга. Для точки w=2i точку, симметричную относительно окружности |w+2i|=2 , находим, используя формулу (2.40), $|2i-(-2i)|cdot |w^{ast}-(-2i)|=4$ , или $|w^{ast}+ 2i|=1$ . Из полученного равенства следует, что $w^{ast}$ расположена на расстоянии d=1 от центра круга (-2i) и, по определению симметричных точек , на одном луче с центром и точкой . Из этих рассуждений очевидно, что $w^{ast}=-i$ . Таким образом, имеем соответствие трех пар точек: 0to0,~ 2ito2i,~ inftyto-i .

Применяя формулу (2.37), получаем $frac{w-2i}{-i-2i}cdot frac{-i}{w}= frac{z-2i}{z}$ , или после преобразований $w=frac{iz}{3i-z}$ .

Пример 2.71. Отобразить область на круг |w|<1 так, чтобы w(z_0)=0,~ z_0in D , если: a) Dcolon operatorname{Im}z>0 ; б) Dcolon |z|<1 .

Решение

Так как точка z_0 отображается в w=0 , т.е. в центр круга |w|<1 , то точка $z_0^{ast}$ , сопряженная точке z_0 относительно границы области , отображается в w=infty . Имеем соответствие двух пар точек, причем z_0to0 и $z_0^{ast}toinfty$ . Можем искать отображение в виде $w=Acdot frac{z-z_0}{z-z_0^{ast}}$ (см. (2.39)). Нужно найти величины $z_{0}^{ast}$ и .

1. Найдем $z_{0}^{ast}$ — точку, симметричную точке го относительно границы области в каждом случае:

а) так как граница области operatorname{Im}z>0 — действительная ось, то $z_{0}^{ast}= overline{z}_0$ ;
б) здесь $z_{0}^{ast}$ симметрична точке $z_{0}$ относительно окружности |z|=1 , поэтому $z_{0}^{ast}= frac{1}{overline{z}_0}$ (см. (2.33)).

2. Значение определяем из соответствия граничных точек: z_1=w_1 , где z_1indelta D,~ w_1indelta G . Так как |w_1|=1 , то получаем условие для нахождения $Acolon, 1=|A|cdot left|frac{z_1-z_0}{z_1-z_{0}^{ast}}right|$ .

Получим решение для каждого из рассматриваемых случаев.

а) Имеем $1=|A|cdot left|frac{z_1-z_0}{z_1-overline{z}_0}right|$ . Так как $z_1in operatorname{Im}z=0$ , то z_1 — действительное число и поэтому $|z_1-z_0|= |z_1-overline{z}_0$ . Получаем |A|=1 и $A=e^{ialpha}$ . Искомое отображение $w=e^{ialpha}cdot frac{z-z_0}{z-overline{z}_0}$ , где alpha — любое число.

Заметим, что неоднозначность ответа, вызванная произволом выбора а, связана с неопределенностью соответствия z_1to w_1 . Указана принадлежность этих точек границам соответствующих областей, но не заданы определенные значения. Каждому фиксированному значению z_1indelta D можно поставить в соответствие произвольное значение w_1indelta D , удовлетворяющее условию |w_1|=1 . Отображение найдено с точностью до поворота окружности |w|=1 , что геометрически очевидно. При задании дополнительного условия для нахождения alpha решение поставленной задачи единственное.

б) Отображение ищем в виде $w=Acdot frac{z-z_0}{z-overline{z}_{0}^{-1}}$ , то есть $w=-A overline{z}cdot frac{z-z_0}{1-z overline{z}_0}$ , или, если обозначить $B=-A overline{z}_0$ , то $w=Bcdot frac{z-z_0}{1-z overline{z}_0}$ .

Из условия |w_1|=1 для z_1indelta D получаем $1=|B|cdot frac{|z_1-z_0|}{|1-z overline{z}_0|}$ .

Так как |z_1|=1 для z_1indelta D , то, подставляя $z_1=e^{ivarphi}$ , перепишем равенство

$1=|B|cdot frac{|e^{ivarphi}-z_0|}{|1-e^{ivarphi} overline{z}_0|}$ , или $1=|B|cdot frac{|e^{ivarphi}-z_0|}{|e^{ivarphi}|cdot |e^{-ivarphi}-overline{z}_0|}$ .

В последнем равенстве $|e^{ivarphi}-z_0|=|e^{-ivarphi}-overline{z}_0|$ как модули комплексных сопряженных чисел и $|e^{ivarphi}|=1$ . Поэтому |B|=1 и $B= e^{ialpha}$ .

Искомое отображение $w=e^{ialpha}cdot frac{z-z_0}{1-z overline{z}_0},~ alphain mathbb{R}$ . Как и в предыдущем случае, оно не является единственным.

Пример 2.72. Отобразить область operatorname{Re}z-operatorname{Im}z>0 на |w-3i|>2 так, чтобы выполнялись условия $w(1)=infty,~ arg w'(2)=frac{pi}{4}$ .

Решение

По условию точка z=1 отображается в w=infty , следовательно, точка z=i , симметричная точке z=1 относительно прямой operatorname{Re}z-operatorname{Im}z=0 , отображается в центр окружности |w-3i|=2 , т.е. в точку w=3i (рис. 2.36,а).

Задача, очевидно, эквивалентна задаче нахождения отображения полуплоскости operatorname{Re}z-operatorname{Im}z>0 на круг |w-3i|<2 , при условии, что данная точка полуплоскости переходит в центр круга (незаштрихованная область на рис. 2.36,а).

Эта задача отображения полуплоскости на круг может быть приведена к канонической. Но чтобы воспользоваться формулой (2.41), нужно применить предварительно два линейных отображения, переводящих область operatorname{Re}z-operatorname{Im}z>0 в верхнюю полуплоскость, а круг |w-3i|<2 в единичный круг с центром в начале координат (рис. 2.36,б).

Области на комплексной плоскости 3

Первый этап. Первое из этих преобразований — поворот на угол $frac{pi}{4}$ по часовой стрелке осуществляется функцией $z_1=z,e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}$ при этом точка z=i переходит в $z_0=icdot e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}= e^{i,pi !not{phantom{|}},,2}cdot e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}= e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}$ .

Для второго преобразования используем функцию $w_1=frac{w-3i}{2}$ — смещение и сжатие; при этом центр круга перейдет в w_0=0 .

Второй этап. Для переменных z_1 и w_1 используем формулу (2.41), т.е. запишем

$w_1= e^{i,alpha}cdot frac{z_1-z_0}{z_1-overline{z}_0},~~ frac{w-3i}{2}= e^{i,alpha}cdot frac{z, e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}-i, e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}}{z, e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}- e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}}$ , или после сокращения на $e^{-i,pi !not{phantom{|}},,4}colon, w=3i+2e^{i,alpha}cdot frac{z-i}{z-1}$ .

Полученная функция при любом alphainmathbb{R} осуществляет отображение operatorname{Re}z-operatorname{Im}z>0 на |w-3i|>2 , при этом w(1)=infty .

Третий этап. Для определения параметра alpha используем условие $arg w'(2)=frac{pi}{4}$ . Находим производную $w'(z)= 2e^{i,alpha}cdot frac{i-1}{(z-1)^2}$ и ее значение в точке z=2 , то есть $w'(2)= 2e^{i,alpha}(-1+i)$ .

По правилу нахождения аргумента произведения комплексных чисел из последнего равенства получаем arg w'(2)= alpha+arg(-1+i) , то есть $arg w'(2)=alpha+ frac{3pi}{4}$ . Из этого равенства и условия $arg w'(2)=frac{pi}{4}$ находим $alpha=-frac{pi}{2}$ . Подставляя $alpha=-frac{pi}{2}$ в полученное выше выражение, находим окончательный результат: $w=3i+2e^{-i,pi!not{phantom{|}},,2}cdot frac{z-i}{z-1}$ , или $w=3i-2,frac{1+iz}{z-1}$ . Искомое отображение $w=frac{iz-(2+3i)}{z-1}$ .

Пример 2.73. Найти образ прямой operatorname{Re}z+ operatorname{Im}z=0 при отображении, полученном в примере 2.72.

Решение

Заметим, что данная прямая перпендикулярна границе области из примера 2.72, поэтому, по свойству отображения ее образ — линия, перпендикулярная окружности |w-3i|=2 . Кроме того, так как данная прямая не проходит через особую точку функции, то, по круговому свойству, ее образом будет окружность. Эта окружность ортогональна окружности |w-3i|=2 в точке их пересечения. Найдем ее уравнение. Решается прямая задача по правилу 2.4.

1. Запишем уравнение линии operatorname{Re}z+ operatorname{Im}z=0 в форме $frac{z+overline{z}}{2}+frac{z-overline{z}}{2i}=0$ , или после преобразований: z+i,overline{z}=0 .

2. Из $w=frac{iz-(2+3i)}{z-1}$ выражаем , получаем $z=frac{w-3i-2}{w-i}$ . Подставляем и $overline{z}= frac{overline{w}+3i-2}{overline{w}+i}$ в уравнение и преобразуем равенство $frac{w-3i-2}{w-i}icdot frac{overline{w}+3i-2}{overline{w}+i}colon$

$wcdot overline{w}-4cdot frac{w+overline{w}}{2} +icdot frac{w-overline{w}}{2i}cdot2i+1=0,$

Полученное уравнение — уравнение окружности, так как в нем присутствует слагаемое wcdot overline{w} . Запишем это уравнение в действительной форме:

u^2+v^2-4u-2v+1=0 , или (u-2)^2+(v-1)^2=4 , где u=operatorname{Re}w,~ v=operatorname{Im}w .

Центр окружности в точке (2,1), радиус равен 2 (рис. 2.37).

Заметим, что эта окружность пересекает окружность из примера 2.72 под прямым углом, так как касательная к одной совпадает с радиусом другой и наоборот. Под прямым углом пересекаются и их прообразы (рис. 2.37), что иллюстрирует конформность отображения в точке z=0 .

Прямые и окружности на комплексной плоскости

Отображение степенной функции на комплексной плоскости

Рассмотрим пример не всюду конформного отображения с помощью функции, которая не является однолистной в mathbb{C} . Ранее исследовалась такая функция : w=z^n (степенная функция), в частности w=z^2 . Напомним полученные результаты.

Утверждение 2.23

1. Отображение w=z^n неоднолистно в mathbb{C} ; областью однолистности является любая область, принадлежащая углу раствора $frac{2pi}{n}$ (сектору), т.е. $alpha<beta<alpha+frac{2pi}{n}$ , где alpha — любое.

2. Функция w=z^n , аналитическая в mathbb{C} и $w'=ncdot z^{n-1}$ , то есть w'(z)ne0 для любого zne0 . Отображение является конформным в , за исключением, быть может, точки z=0 .

3. Функция w=z^n конформно и взаимно однозначно отображает любой сектор $k,frac{2pi}{n}<arg z< (k+1)frac{2pi}{n},;$ (k=0,1,ldots,n-1) на плоскость с разрезом по лучу [0;+infty) , а плоскость mathbb{C} с выброшенной точкой z=0 — на риманову поверхность этой функции.

4. Функция w=sqrt[LARGE{n}]{z} — обратная к неоднолистной (n-листной) функции w=z^n является неоднозначной (n-значной). В областях, не содержащих точек z=0 и z=infty (точек ветвления функции), возможно выделение однозначных ветвей. Каждая ветвь отображает плоскость с разрезом [0;+infty) на один из секторов $k,frac{2pi}{n}<arg z< (k+1)frac{2pi}{n},;$ (k=0,1,ldots,n-1) . Риманову поверхность функции w=z^n функция w=sqrt[LARGE{n}]{z} отображает на mathbb{C} с выброшенной точкой.

Выясним геометрические свойства отображения в точке z=0 . Запишем переменные в показательной форме: $w=rhocdot e^{itheta},~ z=rcdot e^{ivarphi}$ и из равенства $rhocdot e^{itheta}=r^ncdot e^{invarphi}$ получим: rho=r^n,~ theta= nvarphi , или |w|=|z|^n и arg w=narg z . При отображении w=z^n увеличивается в раз аргумент — угол наклона радиуса-вектора точки к действительной оси, а при отображении w=sqrt[LARGE{n}]{z} — уменьшается в раз. Можно сделать заключение.

Утверждение 2.24

1. При отображении w=z^n увеличиваются в раз углы между любыми прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому отображением w=z^n пользуются, если нужно увеличить углы при переходе от прообраза к образу.

2. При отображении w=sqrt[LARGE{n}]{z} уменьшаются в раз углы между любыми прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому отображением пользуются, если нужно уменьшить углы при переходе от прообраза к образу.

3. Используя комбинацию дробно-линейного отображения и отображений w=z^n и w=sqrt[LARGE{n}]{z} , можно конформно отобразить любую “луночку” — область, ограниченную двумя дугами пересекающихся окружностей, на верхнюю полуплоскость.

▼ Примеры 2.74-2.78 задач со степенными отображениями

Пример 2.74. При отображении w=z^4 найти образ области, ограниченной двумя лучами, выходящими из начала координат и образующими угол $frac{pi}{2}$ .

Решение

Область $Dcolon alpha<arg z<alpha+ frac{pi}{2}$ есть угол раствора $frac{pi}{2}$ , и при отображении w=z^4 переходит в угол раствора 2pi . Границами области являются лучи arg z=alpha и $arg z=alpha+frac{pi}{2}$ , их параметрические уравнения имеют вид $z=r,e^{ialpha}$ и $z=r,e^{i left(alpha+ frac{pi}{2}right)}$ , где — любое, r>0 — параметр.

Образами этих прямых будут прямые-лучи $w=r^4e^{i4alpha}$ и $w=r^4 e^{i(4alpha+2pi)}$ или $w=R,e^{ibeta}$ и $w=R, e^{i(beta+ 2pi)}$ , где beta=4alpha . Геометрически линии совпадают. Для однозначности отображения на границе проводим разрез по лучу beta (рис. 2.38). Образом области является плоскость с разрезом получу arg w=beta ; угол $alpha<varphi<alpha+frac{pi}{2}$ отображается в угол beta<theta< beta+2pi .

Разрез по лучу на комплексной плоскости 2

Заметим, что этот же результат получается и для каждого из трех других углов, образованных продолжением выбранных лучей за начало координат (рис. 2.38). Так, для области D_1 , имеем $alpha+frac{pi}{2}<varphi_1<alpha+pi$ и поэтому 4alpha+2pi< theta_1< 4alpha+4pi или beta_1<theta_1< beta_1+2pi , где beta_1=4alpha+ 2pi совпадает геометрически с beta=4alpha .

Для области D_2 из $alpha-pi<varphi_2<alpha-frac{pi}{2}$ получаем 4alpha-4pi<theta_2<4alpha-2pi , или beta_2<theta_2<beta_2+2pi,~ beta_2= 4alpha-4pi и beta_2 совпадает геометрически с beta=4alpha .

Наконец, для D_3 из $alpha-frac{pi}{2}<varphi_3<alpha$ получаем 4alpha-2pi<theta_3<4alpha и beta_3<theta_3<beta_3+2pi,~ beta_3= 4alpha-2pi и beta_3 совпадает геометрически с beta=4alpha .

В частности, при alpha=0 область определяется условием $0<arg z<frac{pi}{2}$ — первый квадрант; D_1,,D_2,,D_3 — другие квадранты. Все эти области функцией w=z^4 отображаются на плоскость с разрезом по лучу [0;+infty),~(beta=4alpha=0) (рис. 2.39).

Отображение на плоскость с разрезом по лучу

При $alpha=frac{pi}{4}$ соответствующие области отображаются на плоскость с разрезом по лучу (-infty;0],~ (beta=4alpha=pi) (рис. 2.40).

Отображение на плоскость с разрезом по лучу 2

Пример 2.75. Отобразить “луночку” $begin{cases}|z-i|<1,\ |z-1|<1end{cases}$ на верхнюю полуплоскости.

Решение

Границу “луночки” образуют дуги двух окружностей, пересекающихся t точках z=0 и z=1+i под углом $alpha=frac{pi}{2}$ , а границу ее образа — два луча, образующие действительную ось, угол между ними равен (рис. 2.41).

Отображение на верхнюю полуплоскость

Так как нужно увеличить угол вдвое, применим отображение w=z^2 . Но прежде надо “распрямить” дугу, т.е. применить преобразование, переводящее все окружности в прямые. Для этого достаточно, чтобы одна из их общих точек отображалась в бесконечно удаленную точку (см. пример 2.67).

Первый этап. Применяем дробно-линейное преобразование $w_1=Acdot frac{z-z_1}{z-z_2}$ , где, например, z_0=0,~ z_2=1+i , то есть переводим 0 в 0 (0to0),~ (1+i) в infty~((1+i)toinfty) .

Образами дуг при отображении $w=frac{Acdot z}{z-(1+i)}$ будут два луча, пересекающиеся в начале координат под прямым углом. Положение лучей (наклон) определяется параметром .

Для определенности отображения на этом этапе зададим значение или найдем его, задав третью пару — соответствие внутренних точек. Из соображений симметрии удобно взять, например, $frac{1+i}{2}to frac{1+i}{2}$ . Образом точки $frac{1+i}{2}$ , принадлежащей луночке , будет точка $frac{1+i}{2}$ , принадлежащая первая квадранту.

Из равенства $frac{1+i}{2}= frac{A}{frac{1+i}{2}-(1+i)}cdot frac{1+i}{2}$ находим $A=-frac{1+i}{2}$ и получаем отображение $w_1=-frac{1+i}{2}cdot frac{z}{z--(1+i)}$ .

Образом “луночки” будет первый квадрант, а образами дуг — действительная и мнимая полуоси, так как из соответствия 0to0 и $frac{1+i}{2}to frac{1+i}{2}$ следует, что образом прямой, соединяющей точки z=0 и $z=frac{1+i}{2}$ , будет биссектриса первого координатного угла в плоскости w_1 .

Второй этап. Применяем преобразование w=w_1^2 , удваивающее углы, и получаем окончательный ответ:

$w=frac{i}{2} left(frac{z}{z-(1+i)}right)^2$ или $w=frac{i,z^2}{(z-(1+i))^2}$ .

Пример 2.76. Отобразить полукруг |z|<1,~ operatorname{Im}z>0 на верхнюю полуплоскость.

Решение

Рассуждая, как и в предыдущем примере, замечаем, что нужно прежде “распрямить” окружность; при этом образом прямой |z|<1,~ operatorname{Im}z>0 должна быть также прямая. Поэтому нужно взять преобразование, переводящее одну из точек пересечения дуги и прямой в бесконечность.

Первый этап. Пусть 1toinfty,,-1to0 (на рис. 2.42,а точки и ) , т.е. выбираем отображение $w_1=Acdot frac{z+1}{z-1}$ . При A=-1 это $w=frac{z+1}{1-z}$ и $w=frac{z+1}{z-1}$ при A=1 .

Второй этап. Определим образ полукруга при выбранном отображении. Для этого достаточно взять еще по одной точке на каждой из частей границы полукруга, например, z=0 (точка на рис. 2.42,а) и z=i (точка на рис. 2.42,а), найти их образы и по направлению обхода границы определить вид области.

Так, в случае $w_1=frac{z+1}{z-1}$ точке z=0 соответствует w_1=-1 , точке z=i соответствует w_1=-i . Образом полукруга будет третий квадрант (рис. 2.42,б).

Если взять A=-1 , т.е. отображение $w_1=frac{z+1}{1-z}$ , то из соответствия 0to1,~ ito i находим, что образом полукруга будет первый квадрант (рис. 2.42,в)

Области на комплексной плоскости 4

Третий этап. В случае выбранного выше отображения $w_1=frac{z+1}{1-z}$ при A=-1 ответом, очевидно, будет w=w_1^2 , то есть $w= left(frac{z+1}{1-z}right)^2$ . В случае $w_1=frac{z+1}{z-1}$ отображение w=w_1^2 приводит к тому же результату. Можно предварительно применить преобразование поворота $w_2=e^{ipi}w_1$ , в результате чего получим первый квадрант и окончательный ответ: w=w_2^2=w_1^2 , то есть $w= left(frac{z+1}{z-1}right)^2$ .

Пример 2.77. Найти образ плоскости с разрезом по лучу [0;+infty) при отображении w=sqrt[LARGE{4}]{z} с условием $w(-1)= frac{sqrt{2}}{2}(1-i)$ .

Решение

Пример 2.78. Отобразить плоскость с разрезом |operatorname{Re}z|>1,~ operatorname{Im}z=0 на верхнюю полуплоскость.

Решение

Из свойств отображения w=sqrt[LARGE{n}]{z} и анализа решений примеров 2.74 и 2.77 замечаем, что для отображения плоскости с разрезом по лучу [0;+infty) на верхнюю полуплоскость нужно применить функцию w= sqrt{z} . В данном случае границa области состоит из двух лучей, пробегаемых дважды и соединяющихся в бесконечности (рис. 2.43). Чтобы получить плоскость с одним разрезом, можно сначала применить преобразование, соединяющее разрезы — сдвиг. При этом одна из точек границы должна отображаться в бесконечно удаленную точку. Следовательно, требуется применить дробно-линейное отображение.

Образ области и разрез на комплексной плоскости

Первый этап. Применим преобразование $w=Acdot frac{z-z_1}{z-z_2}$ , где, например, z_1=-1,~ z_2=1 , то есть -1to0,~ 1toinfty .

Запишем отображение $w_1=frac{z+1}{z-1}$ . При этом получим 0to-1 и infty=1 , так как $lim_{ztoinfty}w_1=1$ . Образом данной области будет плоскость c разрезом [0;+infty) (рис. 2.43).

Второй этап. Применяем $w=sqrt{w_1}$ при условии (w-1)=i . Получим отображение, переводящее заданную область в верхнюю полуплоскость.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

В теории и практике
конформных отображений ставятся и
решаются две задачи: 1) прямая задача
заключается в нахождении образа данной
линии или области при заданном отображении,
2) обратная задача заключается в нахождении
функции, осуществляющей отображение
данной линии или области на другую линию
или область.

Для решения данных
задач необходимо знать некоторые
свойства основных элементарных функций.

1. Линейная функция

a,
b

,

т.е.

. Т.к.
,
тогда имеем, что
,
следовательно,
,

1)
–
аналитическая функция, т.е. u
и v
– гармоническая
пара, т.к. выполняются условия КРЭДа:
,

2)

для всех z

Из 1) и 2) следует,
что отображение, реализуемое линейной
функцией, конформно на всей плоскости
Гаусса.

Пусть плоскости

и

и оси координат совпадают. Рассмотрим
частные случаи.

1)
Пусть

(а
= 1)

Преобразование
сводится к сложению переменного вектора

с данным вектором
,
т.е. параллельному переносу плоскости

на вектор

(рис. 22). Поворота при этом не происходит,
т.к.

2)
Пусть

(b
= 0)

Угол поворота

Коэффициент растяжения

Если а
– действительное число, то поворота не
происходит и вектор всякого комплексного
числа растягивается в

раз, например, окружность единичного
радиуса на плоскости

превращается в окружность радиуса

на плоскости
,
и все точки окружности перемещаются в
соответствующие точки по радиусу.

Если а
– комплексное число, то происходит и
растяжение, и поворот одновременно.

Вывод:
отображение,
осуществляемое линейной функцией,
представляет собой композицию растяжения
,
поворота

и параллельного переноса
.

Замечание 1.
Обратной к линейной функции будет
функция
.

Замечание 2.
Отображение

конформно во всей расширенной плоскости
и имеет две неподвижные точки:

(,

Пример .
С помощью функции

найти отображение окружности

на плоскость (Оuv).

Решение.

Имеем
,

отсюда
,

.
Подставим данные выражения в уравнение
окружности и получим
,
следовательно, искомым отображением
является окружность с радиусом 2 и с
центром в точке (1, 0).

2. Простейшая
дробно-линейная функция

– аналитическая
функция, т.к. выполняются условия КРЭДа.

ни при каком конечном
z
(лишь при
),
следовательно, производная существует
всюду, кроме z
= 0.

Отображение,
реализуемое функцией, конформно всюду
на
,
кроме точки z
= 0 и бесконечно удаленной точки
.
Если положить
,
то отображение будет конформно во всей
плоскости
,
при этом угол между прямыми в точке О
отображается на такой же угол в бесконечно
удаленной точке
.

Геометрический
смысл отображения.

Пусть
,
тогда его образ можно найти по формуле
Муавра
,т.е.

.
Видно, что 1)
,
а
,
2)
,
а

(рис. 23). Отсюда можно сделать вывод:
отображение

может быть представлено в виде двух
составляющих: 1)
и 2).
Разберем подробнее каждую составляющую.

1)
Окружность радиуса r
отображается с помощью функции

в окружность радиуса
,
т.е., если точка z
лежит внутри единичной окружности на
плоскости (Oxy)
, то ее образ точка

лежит вне единичной окружности на
плоскости (Ouv).
Все точки окружности отображаются в
себя, т.е. остаются на месте; концентрические
окружности радиуса < r
переходят в окружность радиуса > r
и обратно. Точки 0 и

переходят друг в друга.

Определение .
Преобразование, переводящее внутренность
единичного круга во внешность и наоборот,
называется инверсией.

То есть инверсия
– зеркальное отображение плоскости z
относительно окружности.

Свойство инверсии:
при инверсии все окружности, а также
прямые преобразуются в окружности или
в прямые, причем окружность, равно как
и прямая, может преобразоваться либо в
окружность, либо в прямую. Вообще говоря,
инверсия представляет собой антиконформное
отображение.

,
т.к.
,
то

(*).

Определение
. Точка

называется симметричной точке

относительно окружности
,
если данные точки лежат на одном луче
и
∙=

(рис. 24). Точки называются симметричными
относительно окружности единичного
радиуса с центром в начале координат,
если они расположены на одном луче, а
произведение длин их радиус-векторов
равно единице.

Следовательно, из
определения и из (*) следует, что функция
отображает
любую точку, лежащую внутри единичного
круга в симметричную ей точку относительного
данной окружности, лежащую вне единичного
круга и обратно, т.е
–
инверсия относительно единичной
окружности.

2) Вторая составляющая
отображения –,
т.е., как было показано выше:
,
а
,
геометрически означает симметрию
относительно действительной оси.

Построение
образа точки.

Построим окружность
с центром в точке О
единичного радиуса (рис. 25). Возьмем
внутри окружности точку z.
Через точки О
и z
проведем луч (b)
и перпендикулярную ему прямую (а).
Через точку пересечения прямой (а)
и окружности построим касательную к
окружности до пересечения с лучом (b).
Это точка
.
Построим симметричную ей точку
относительно оси (Ох).
Эта точка и есть образ точки z
при отображении
.

Вывод:
при отображении, реализуемом функцией
,
происходит инверсия: внутренность
единичного круга отображается в его
внешность и наоборот, при одновременном
симметрическом отображении относительно
оси (Ох).

Замечание 1.
При отображении

окружности и прямые, не проходящие через
точку z
= 0, отображаются в окружности, а окружности
и прямые, проходящие через эту точку, –
в прямые. Прямая считается окружностью
бесконечного радиуса.

Замечание 2.
Обратной к
простейшей дробно-линейной функции
будет функция
,
причем сопряженная функция имеет вид

Замечание 3. Если
бы аргумент не менялся, т.е.
,
то при отображении прообраз переходил
бы в образ, а образ – в прообраз, т.е.
рассматриваемое отображение плоскости
в себя само себе обратно. Такие отображения
называются инволюциями.

Замечание 4. В
некоторых задачах для нахождения образа
данной линии при отображении
удобно
пользоваться следующим правилом: 1)
выразить z
из
,
т.е
,
2) найти
,
3) подставить
и
в
уравнение линии.

Пример .
Найти точку, симметричную точке z
= 1 + i,
относительно
окружности
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

7 / 30 / 9

Регистрация: 13.05.2015

Сообщений: 1,835

Найти образ линии при отображении

15.02.2017, 22:57. Показов 17540. Ответов 1

Имеем отображение w = z².
Как найти образ линии x = C?
Для того что бы решить я сначала нарисовал x = C – прямая параллельная мнимой оси и проходящая через точку (С, 0).
Далее отметил то, что z² = |z|²(cos(2*fi) + i*sin(s*fi)), а значит данное отображение растягивает векторы, обозначающие комплексные числа в модуль числа раз и увеличивает вдвое угол с положительным направление действительной оси. Но всё равно не могу понять каким будет образ данного отображения.

2614 / 2228 / 684

Регистрация: 29.09.2012

Сообщений: 4,578

Записей в блоге: 13

16.02.2017, 00:18

Источник

Конформные отображения и их свойства

Геометрические свойства конформных отображений

Линейное отображение на комплексной плоскости

Дробно-линейное отображение на комплексной плоскости

Геометрические свойства дробно-линейного отображения

Круговое свойство дробно-линейного отображения

Условия, определяющие дробно-линейное отображение

Сохранение симметричных точек дробно-линейным отображением

Отображение степенной функции на комплексной плоскости

Решение.

Найти образ линии при отображении

Вам также может понравиться

Ошибка принтера brother hl 1110 r как исправить ошибку

Как найти собаку доберман

Как найти радиус описанной около правильного треугольника

Добавить комментарий Отменить ответ