Как найти образы базисных векторов

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 – 2 1 – 1 1 2 – 2 A = 3 – 2 1 2 1 2 3 – 1 – 2 = 3 · 1 · ( – 2 ) + ( – 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( – 1 ) – 1 · 1 · 3 – ( – 2 ) · 2 · ( – 2 ) – 3 · 2 · ( – 1 ) = = – 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , – 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , – 1 , – 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 – 1 1 0 1 – 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 – 2 – 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , – 1 , – 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , – 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства – e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n – некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 – x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 – x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 – x 2 ) , . . . , ( x

n – x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , – 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , – 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , – 3 ) x = ( 6 , 2 , – 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 – 1 1 3 2 – 5 2 1 – 3

1 – 1 1 0 5 – 8 0 3 – 5

1 – 1 1 0 5 – 8 0 0 – 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 – 1 2 1 1 – 5 – 3 = – 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 – 7 – 5 – 3 = – 1 , x

1 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 – 1 2 1 1 – 7 – 3 = – 1 , x

2 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 – 1 2 2 1 – 5 – 7 = – 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) – координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

Линейное отображение с примерами решения и образцами выполнения

Линейное отображение — обобщение линейной числовой функции, а точнее, функции на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Определение линейного отображения. Образ и ядро линейного отображения

Пусть V и W — линейные пространства (либо оба вещественные, либо оба комплексные). Линейным отображением линейного пространства V в линейное пространство W называется правило А, согласно которому каждому элементу х из пространства V ставится в соответствие (единственный) элемент у = Ах из пространства W так, что

Эти два требования можно объединить в одно:

Обозначение: A:V → W.

Примеры линейных отображений

1. Пусть V = W = Мп, где Мп — пространство многочленов, степень которых не выше п. Правило

согласно которому каждому многочлену из Мп ставится в соответствие его производная, является линейным отображением (производная суммы равна сумме производных, постоянный сомножитель можно выносить из-под знака производной).

2. Правило, по которому каждому элементу х из V ставится в соответствие элемент λх из V ( λ ≠ 0 и фиксировано), — преобразование подобия — является линейным отображением (рис. 1).

3. Пусть у = (еi…, еn) — базис пространства V. Поставим произвольному элементу

в соответствие элемент

(здесь k

4. Cовокупность Т2 тригонометрических многочленов вида

образует линейное пространство. Правило

является линейным отображением

5. Пусть — фиксированная матрица, X — произвольный столбец высоты п. Умножение столбца X на матрицу А слева является линейным отображением пространства столбцов высоты п в пространство столбцов высоты m,

Образом линейного отображения А: V → W называется множество im А всех элементов из пространства W, обладающих следующим свойством элемент у лежит в im А, если в пространстве V найдется элемент х, такой, что Ах = у. Примеры.

1′. Образом операции дифференцирования V : Мn — Мп является совокупность многочленов, степень которых не выше п — 1,

2′. Образ отображения подобия совпадает со всем пространством V.

3′. Образ отображения проектирования V : V → V является подпространством

4′. Образ операции дифференцирования V : T2 → Т2 совпадает со всем пространством Т2

Теорема:

Образ im А линейного отображения А: V → W является линейным подпространством пространства W.

Пусть у1 и у2 — элементы из im А. Это означает, что в пространстве V найдутся элементы x1 и х2, такие, что -Ax1 = y1 и Ах2 = у2. Из формулы

вытекает, что произвольная линейная комбинация элементов y1 и у2 также лежит в im А.

Размерность образа линейного отображения называется рангом этого линейного отображения.

Обозначение: rang А.

Определение:

Линейные отображения А: V → W и В: V W называются равными, если для любого элемента х из пространства V выполняется равенство Ах = Вх.

Обозначение: А = В.

Теорема:

Построение линейного отображения. Пусть V и W — линейные пространства, e = (e1… , еn) — базис пространства V, a f1. . ., fn — произвольные элементы из пространства W. Тогда существует и притом ровно одно линейное отображение

A :V → W,

А. Существование. Разложим произвольный элемент х из пространства V по базису с этого пространства,

и построим отображение А: V → W по следующему правилу:

В линейности отображения А убедимся непосредственно. Пусть

Тогда согласно правилу (2)

Б. Единственность. Покажем, что требованием (1) линейное отображение А определяется однозначно.

Пусть В: V → W — линейное отображение и

Вычисляя действия А и В на произвольный элемент х из V, убеждаемся в том, что в обоих случаях результат один и тот же —

Значит, отображения A и В совпадают.

Таким образом, линейное отображение можно задать его действием только на элементы базиса.

Ядром линейного отображения А: V → W называется множество ker А всех элементов из пространства V, каждый из которых отображение А переводит в нулевой элемент θ_w пространства W.

Примеры:

1″. Многочлены нулевой степени образуют ядро операции дифференцирования V: Мп -> Мп.

2″. Ядро отображения подобия состоит из нулевого элемента θ_v пространства V.

3″. Ядром отображения проектирования P: V→V является линейное подпространство L(ek+1,…, еn) (рис. 3).

4″. Ядро операции дифференцирования D:T2→Т2 состоит из нуля.

5″. Ядром отображения

является множество решений однородной линейной системы

АХ = 0.

Теорема:

Ядро линейного отображения А: V
→W является линейным подпространством пространства V.

Из равенств Ах = θ_w и Ay = θ_w вытекает, что

Размерность ядра линейного отображения называется дефектом этого отображения.

Обозначение: defect . Операции над линейными отображениям

Пусть V и W — линейные пространства и A:V W, B:V→W — линейные отображения. Суммой линейных отображений А и В называется отображение С: V→W, определяемое п о следующему правилу:

Сх = Ах + Вх

для любого элемента х из V. Нетрудно убедиться в том, что отображение С является линейным. В самом деле,

Обозначение: С = А + В.

Произведением линейного отображения A:V→W на число а называется отображение В: V —> W, определяемое по правилу:

Вх = аАх

для любого элемента х из V. Отображение В линейно:

Обозначение: В = а А.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линейных операторов — линейных отображений, действующих из пространства V в это же пространство V. Среди рассмотренных выше примеров отображений линейными операторами являются дифференцирование, подобие и проектирование; умножение столбца на квадратную матрицу также является линейным оператором.

Оператор I: V —> V, задаваемый правилом Ix = х для любого элемента х из V, называется тождественным.

Введем операцию умножения линейных операторов. Пусть А: V → V и В: V→V — линейные операторы. Произведением оператора А на оператор В называется отображение С: V → V, определяемое по правилу

Сх = В(Ах),

где х — произвольный элемент из V. Покажем, что С — линейный оператор:

Обозначение: С = В А.

Замечание:

Порядок сомножителей в произведении линейных операторов является существенным, как показывает следующий пример.

Пример:

Пусть V = R 2 . Отображения

— линейные операторы, действующие из R 2 в R 2 (рис. 4). Тогда

Пусть A: V → V — линейный оператор. Линейный оператор В: V → V называется обратным оператору А, если выполнены следующие равенства

ВА = АВ= I,

где I: V —> V — тождественный оператор.

Теорема:

Для того, чтобы у линейного оператора А: V → V был обратный, необходимо и достаточно, чтобы образ оператора А совпадал со всем пространством,

im А = V.

Предположим сначала, что обратный оператор В у заданного оператора А существует и покажем, что произвольно взятый элемент у из пространства V непременно лежит в im А. Подействовав оператором А на элемент х = В у, согласно определению (1), получим

Ах = А(Ву) = (АВ)у = Iу — у.

Значит, элемент у является образом элемента х = By и, следовательно, лежит в im А. Тем самым imA = V.

Пусть теперь образ оператора А совпадает со всем пространством V:

imA = V.

rang А = dim V.

Поэтому оператор А переводит базис пространства V снова в базис:

Построим линейный оператор В по следующему правилу

Согласно теореме 1, условием (2) оператор В определяется однозначно.

Пусть х — произвольный элемент пространства V. Вычислим (ВA)х и (АВ)х. Разложим х по базису с. Имеем

Подействовав на него оператором В А, с учетом формул (2) получаем, что

Аналогично, раскладывая элемент х по базису f,

и действуя на него оператором АВ, имеем

ВAх = х, АВх = х

для любого элемента х из V и, значит,

В А = АВ = I.

Замечание:

В ходе доказательства этой теоремы мы установили также, что обратный к А оператор В определен однозначно.

Для оператора, обратного к А, принято следующее обозначение: А -1 .

Следствие:

Линейный оператор А: V → V обратим (имеет обратный) тогда и только тогда, когда его ядро тривиально,

ker А= < θ _v>.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 3 и формулы.

Пример:

осуществляет равномерное сжатие плоскости к оси ξ 1 (с коэффициентом); обратный оператор

— равномерное растяжение (с коэффициентом 3/2) (рис. 5).

Матрица линейного оператора

Пусть линейный оператор А: V —> V преобразует элементы базиса e = (e1,…, еn) пространства V по следующему правилу

столбцами которой являются координаты образов базисных элементов, называется матрицей линейного оператора А в базисе e.

Пример:

Матрица D(с) оператора дифференцирования V: Мз → Mз в базисе ео = l. e1 = t, имеет вид

Пример:

Матрица D(e) оператора дифференцирования V: T2 → T2 в базисе e1 = cos t, е2 = sin t имеет вид

У = Ax.

Разложим элементы x и у no базису e:

элементов х и у в базисе с связаны соотношением

у(e) = A(e)х(e). (1)

в силу единственности разложения элемента у по базису e получаем

Записывая полученные п равенств в матричной форме

получаем требуемое равенство (1).

Теорема:

Ранг матрицы А(с) линейного оператора А: V —> V не зависит от выбора базиса с и равен рангу rang А оператора А.

то rang A равен максимальному числу линейно независимых элементов в системе Ае1,…, Аеn. В силу теоремы 4 главы V, последнее совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов матрицы А(e), т. е. с ее рангом. Таким образом,

rang А(с) = rang A.

Легко убедиться в том, что при сложении линейных операторов их матрицы (вычисленные в одном базисе) складываются, а при умножении линейного оператора на число его матрица умножается на это число.
Матрица произведения С = ВА операторов А и B равна произведению матриц этих операторов (относительно одного и того же базиса e):

С(e) = В(e)А(e). (2)

Вследствие того, что из формул (3) и (4) получаем

С (e) = В(e)А(e).

Отсюда, в частности, вытекает, что

матрица оператора A -1 , обратного к A, является обратной к его матрице А.

В самом деле, из соотношений

определяющих обратный оператор, получаем, что его матрица В удовлетворяет равенствам

ВА = I, АВ = I,

и, значит, является обратной к А:

В = A -1 .

Теорема:

Матрицы А = А(е) и А’ = А(е’) линейного оператора А: V → V относительно базисов с и с’ пространства V связаны равенством

где S — матрица перехода от базиса е к базису е’.

Пусть у = Ах. Координатные столбцы элементов х и у относительно базисов с и с’ связаны равенствами

у(е) = Ах (е), у(е’) = А’х(е’) (6)

соответственно. Согласно свойству 2 матрицы перехода имеем

х(е) = Sx(c’), у(е) = Sy(е’). (7)

Заменяя в первом из равенств (6) столбцы х(е) и у(е) их выражениями (7), получаем

Sy(е’) = ASx(е’).

Пользуясь вторым равенством (6), имеем

SA’x(е’) = ASx(е’).

Отсюда в силу произвольности столбца х(е’) получаем, что

SA’ = AS.

Так как матрица перехода S невырождена и, значит, обратима, то умножая обе части последнего равенства на матрицу S -1 слева приходим к требуемой формуле (5).

Следствие:

Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Вычислим определитель матрицы

Последнее равенство выполняется в силу того, что

Таким же свойством обладает и определитель матрицы линейного оператора

А — tI,

где I — тождественный оператор, a t — произвольное число. * Рассмотрим матрицы этого оператора в базисах e и e’ соответственно:

Воспользовавшись равенством (5)

и доказанным выше следствием, получаем, что

Пусть — матрица линейного оператора A в каком-нибудь базисе. Функция

является многочленом от t и, согласно только что доказанному, не зависит от выбора базиса. Расписав определитель матрицы А — t1 подробнее, получаем, что

называется характеристическим многочленом линейного оператора А (матрицы А). Его корни называются характеристическими, или собственными, числами линейного оператора А (матрицы А).

Собственные значения и собственные элементы

Ненулевой элемент х ∈ V называется собственным элементом линейного оператора А: V —> V, если найдется такое число λ — собственное значение линейного оператора А, что

Ах = λх.

Пример:

Всякий многочлен нулевой степени является собственным элементом оператора дифференцирования

соответствующее собственное значение равно нулю:

Пример:

Оператор дифференцирования собственных элементов не имеет.

Пусть некоторый тригонометрический многочлен a cos t + β sin t после дифференцирования переходит в пропорциональный:

Это означает, что

Последнее равенство выполняется в том и только в том случае, если

откуда вытекает, что а = β = 0 и, значит, многочлен может быть только нулевым.

Теорема:

Вещественное число λ является собственным значением линейного оператора А в том и только в том случае, когда это число — корень его характеристического многочлена: х( λ ) = 0.
Необходимость, Пусть λ — собственное значение оператора А. Тогда найдется ненулевой элемент х, для которого Ах = λх.

Пусть е = (е1 …, еп) — базис пространства. Тогда последнее равенство можно переписать в эквивалентном матричном виде

Из того, что х — собственный элемент, вытекает, что его координатный столбец х(е) ненулевой. Это означает, что линейная система (1) имеет ненулевое решение. Последнее возможно лишь при условии, что

x (λ) = у.

Достаточность. Способ построения собственного элемента

Пусть λ — корень многочлена т- е-

Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей А(е) — λ1:

В силу условия (2) эта система имеет ненулевое решение .

Построим элемент х по правилу

Координатный столбец х(е) этого элемента удовлетворяет условию

Последнее эквивалентно тому, что

Ах = λх.

Следовательно, х — собственный элемент линейного оператора λ, а А — соответствующее ему собственное значение.

Замечание:

Для нахождения всех собственных элементов, отвечающих заданному собственному значению λ, необходимо построить ФСР системы (3).

Пример:

Найти собственные векторы линейного оператора

действующего по правилу

(оператор проектирования) (рис.6).

Рассмотрим действия линейного оператора Р на базисные векторы. Имеем

Запишем матрицу оператора:

построим характеристический многочлен

и найдем его корни. Имеем λ1 = λ2,з = 1. Построим однородные линейные системы с матрицами:

Найдем фундаментальные системы решений для каждой из этих систем. Имеем

Таким образом, собственными векторами этого оператора проектирования являются: вектор к с собственным значением 0 и любой вектор с собственным значением 1.

Пример:

Найти собственные элементы линейного оператора дифференцирования D, действующего в пространстве M3 многочленов степени не выше двух:

Матрица D заданного оператора в базисе I, t, t 2 имеет вид

характеристический многочлен — λ 3 имеет ровно один корень λ = 0. Решением системы

является набор 1,0,0, которому соответствует многочлен нулевой степени.

Сопряженный оператор

В евклидовом пространстве над линейными операторами можно ввести еще одно действие — операцию сопряжения.

Пусть V — n-мерное евклидово пространство. С каждым линейным оператором

A: V → V,

действующим в этом пространстве; естественно связан другой линейный оператор, сопряженный данному.

Определение:

Л*: V → V

(читается: «а со звездой») называется сопряженным линейному оператору А: V → , если для любых элементов х и у из пространства V выполняется равенство

(Ах, у) = (х, A*у). (1)

Линейный оператор А*, сопряженный данному оператору А, всегда существует.

Пусть e = (e1…..еn) — ортобазис пространства V и А = А(e) = — матрица линейного оператора А в этом базисе, т. е.

Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что для линейного оператора А*: V —> V, определяемого по правилу

равенство (1) выполнено при любых х и у. Напомним. что согласно теореме 1, для того, чтобы построить линейный оператор, достаточно задать его действие на базисные элементы.

Пример:

Введем в линейном пространстве М многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше первой операцию скалярного умножения по следующему правилу. Пусть

Тем самым, М1 — двумерное евклидово пространство.

Пусть D: М1 — М1 — оператор дифференцирования-. D(a + bt) = b. Построим сопряженный оператор D*: М1 → М1.

Многочлены l и t образуют ортобазис пространства Af (, так как согласно правилу (*) (1. 1) = (t, t) = 1. (l, t) = 0. Матрица оператора D в этом базисе имеет вид

т.к. D(1) = 0, D(t) = 1. Тогда

— матрица сопряженного оператора D* действующего по правилу:

D*(l)=l, D*(t)=0.

Для произвольного многочлена φ(t) = а +bt получаем

Свойства операции сопряжения

1. У каждого линейного оператора существует ровно один сопряженный ему оператор.

Пусть В и С — операторы, сопряженные заданному оператору A. Это означает, что для любых элементов х и у из пространства V выполняются равенства

(Ах, у) = (х, By), (Ах, у) = (х, Су).

Отсюда вытекает, что

(х, Ву)=(х, Су)

(х, By — Су) = 0.

В силу произвольности выбора элемента х заключаем, что элемент Ву-Су ортогонален любому элементу пространства V и, в частности, себе самому. Последнее возможно лишь в случае, когда By — Су = θ и, значит, By = Су. Вследствие того, что у — произвольный элемент, получаем В = С.

2. (аA)* = аA*, где а — произвольное вещественное число.

Пусть A: V —> V н B: V → V — линейные операторы. Тогда

Свойства 2-5 легко вытекают из единственности сопряженного оператора.

6. Пусть e — ортобазис пространства V. Для того, чтобы операторы А: V —> V и В: V —> V были взаимносопряженными, т.е. выполнялись равенства В = А, А= В, необходимо и достаточно, чтобы их матрицы А = А(e) и В = В(e) получались одна из другой транспонированием.

Замечание:

Подчеркнем, что свойство 6 справедливо только для матриц, построенных в ортонормиро-ванном базисе. Для произвольного базиса оно неверно.

7. Если линейный оператор А невырожден, то сопряженный ему оператор А* также невырожден и выполняется равенство

Симметричный оператор

Линейный оператор А называется самосопряженным (или симметричным), если он совпадает с сопряженным ему оператором А*, т. е.

А* = А.

В силу свойства 6 из предыдущего параграфа матрица самосопряженного оператора в ортобазисе симметрична, т. е. не изменяется при транспонировании. Поэтому самосопряженный оператор называют также симметричным оператором.

Пример:

Рассмотрим оператор Р ортогонального проектирования трехмерного евклидова пространства Oxyz на координатную плоскость Оху (рис. 7). В ортобазисе i,j,k матрица этого оператора имеет следующий вид

(так как Рi = i, Рj = j, Pk = θ, т. е. является симметричной. Значит, оператор проектирования P симметричен.
Симметричный оператор обладает рядом замечательных свойств.

Свойства симметричного оператора

Первые два вытекают из его определения.

1. Для того, чтобы линейный оператор А: V → V был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов х и у из пространства V выполнялось равенство
   (Ах, У) = (х, Aу). (6)
2. Для того, чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в (каком-нибудь) ортонормированном базисе была симметрична.
3. Характеристический многочлен симметричного оператора (и симметричной матрицы) имеет только вещественные корни.

Напомним, что вещественный корень λ характеристического многочлена линейного оператора А является его собственным значением, т.е. существует ненулевой элемент х (собственный вектор оператора А), который оператор А преобразует так: Ах = λх.

4. Собственные элементы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Пусть x1 и х2 — собственные элементы оператора А,

И . В силу симметричности оператора имеем

С другой стороны,

Из вытекающего отсюда равенства

Отсюда в силу неравенства имеем

5. Пусть А: V —> V — симметричный оператор. Тогда в пространстве V существует ортонормированный базис е = (е1,… ,еп), состоящий из собственных элементов оператора А:

В приведенном выше примере таким базисом является тройка i, j, к: векторы i и j — собственные векторы оператора проектирования Р с собственными значениями, равными единице, а к — его собственный вектор с нулевым собственным значением.

6. Пусть А: V —» V — невырожденный симметричный оператор. Тогда обратный ему оператор А -1 : V —> V также является симметричным.

Замечание:

Все собственные значения невырожденного оператора отличны от нуля. Если λ ≠ 0 — собственное значение оператора А, то — собственное значение обратного оператора А -1 .

Симметричный оператор называется положительным, если для любого ненулевого элемента х из пространства V выполняется неравенство (Ах, х) > 0.

Свойства положительного оператора

1. Симметричный оператор А: V —» V является положительным в том и только в том случае, когда все его собственные значения λ1…, λп положительны.
2. Положительный оператор невырожден (обратим).
3. Оператор, обратный положительному, также положителен.

Квадратичные формы

Пусть А = (aij) — симметричная матрица порядка п, ajj = Выражение
(1)

называется квадратичной формой переменных . Матрица А называется матрицей этой квадратичной формы.

Примером квадратичной формы двух переменных х и у может служить выражение ах2 + 2bху + су2, где а, b и с — некоторые действительные числа; ее матрица

Набор чисел можно рассматривать как координаты элемента п-мерного евклидова пространства V в некотором фиксированном ортобазисе e = (e1,…, еn) этого пространства,

Тогда выражение (1) будет представлять собой числовую функцию аргумента х, заданную на всем пространстве V. Эту функцию принято обозначать так: A(х, х). О такой квадратичной форме
(2)

говорят, что она задана в n-мерном евклидовом пространстве

Со всякой квадратичной формой A(x, x) естественно связана симметричная билинейная форма
(3)

где — координаты элемента у в ортобазисе e:

Замечание:

Форма (3) называется билинейной, так как она линейна по каждому аргументу — и по х, и по у :

(здесь a1, a2, β1, β2 — произвольные числа).

Билинейная форма (3) называется симметричной вследствие того, что ее значение не зависит от порядка аргументов,

Вычисляя значения билинейной формы A (x, у) на базисных элементах, т. е. полагая х = еk, у = ет, получаем, что (4)

Это означает, что элементы матрицы А квадратичной формы (2) суть значения билинейной формы на элементах базиса с.

Примером билинейной формы может служить скалярное произведение векторов n-мерного координатного пространства Rn

где Соответствующая квадратичная форма

определяет квадрат длины вектора ξ.

При переходе к другому базису координаты элемента х изменяются. Меняется и матрица А = А(e) квадратичной формы.

В приложениях часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду. Таким видом является диагональный, или нормальный вид. Будем говорить, что квадратичная форма в базисе с имеет нормальный вид, если все коэффициенты при произведениях различных координат равны нулю, т.е. аij = 0 при i ≠ j. Тогда

Матрица квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид:

Теорема:

Для каждой квадратичной формы, заданной в евклидовом пространстве, можно указать (ортонормированный) базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, воспользуемся свойствами симметричного оператора. Построим линейный оператор А: V → V так, чтобы его матрица в базисе е совпадала с матрицей (aij) квадратичной формы в этом же базисе е, т.е. положим = aij. В силу симметричности матрицы оператор А симметричен.’

Вычислим (Aх, х). Замечая, что

вследствие ортонормированности базиса e, получаем

Тем самым, м ы установили важную связь

A(х, х) = (Aх, х) (5)

между квадратичной формой, заданной в евклидовом пространстве V, и действующим в нем симметричным оператором.

В силу симметричности построенного оператора А в евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис f = (f1,… ,fn) состоящий из собственных элементов оператора А:

Разложим элемент х по базису f,

и вновь вычислим (Aх, х). Имеем

Отсюда в силу равенства (5) получаем, что

Тем самым, матрица A(f) исходной квадратичной формы в базисе f является диагональной:

Сам диагональный вид квадратичной формы можно (с точностью до порядка слагаемых) записать и не вычисляя элементов базиса f. Достаточно найти собственные значения линейного оператора А или, что тоже самое, собственные значения матрицы А = (aij) и выписать их с учетом кратности.

Пример:

Привести квадратичную форму

A(х, х) = 2ху + 2yz + 2xz

к диагональному виду.
Запишем матрицу квадратичной формы

и построим ее характеристический многочлен:

Приравняв полученное выражение к нулю, найдем его корни:

Построение соответствующего ортобазиxа сложнее.

Собственные векторы симметричного оператора А суть собственные векторы матрицы квадратичной формы. Найдем их.

Пусть λ = 2. Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей

Все решения системы

пропорциональны набору (1 1 1 ) т.

Пусть λ = — I. Однородная линейная система с матрицей

сводится к одному уравнению

х + y + z = 0

и имеет два линейно независимых решения. Выберем их так, чтобы они были ортогональны: (1 -2 1 )Т, (1 0 — 1 )Т. Легко убедиться в том, что векторы с найденными координатными столбцами попарно ортогональны. Пронормируем их:

Искомый базис построен:

Замечание:

В качестве пространства V можно взять любое п-мерное евклидово пространство. Однако в задачах наиболее часто встречается координатное пространство Rn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы действительных чисел — ξ = (), стандартный базис состоит из наборов (1,0,…, 0,0), (0,1…..0,0),… , (0,0,….,), 0), (0,0…..0, I), а скалярное произведение наборов ξ = () и η = () определяется формулой

Опишем алгоритм, посредством которого для произвольной квадратичной формы, заданной в n-мерном координатном пространстве, строится базис, в котором эта квадратичная форма имеет диагональный вид.

— заданная квадратичная форма.

1. Выпишем матрицу квадратичной формы

2. Построим характеристический многочлен

и найдем его корни (в силу симметричности матрицы все корни вещественны). Запишем их с учетом кратности:

3. Пусть λ — один из этих корней, кратности k. Однородная линейная система с матрицей

имеет ровно к линейно независимых решений (образующих фундаментальную систему решений). Ортонормировав ее, получим к попарно ортогональных решений единичной длины.

4. Поступая так с каждым корнем характеристического многочлена, получаем набор ровной попарно ортогональных элементов единичной длины, т. с. ортобазис f1 …, fn пространства Rn.

В построенном ортобазисе f = (f1,…,fn) заданная квадратичная форма имеет диагональный вид:

Определение:

называется положительно определенной или знакоположительной, если для любого ненулевого элемента х (или, что то же, для любого ненулевого набора , выполняется неравенство

A(х, х) > 0.

Примером знакоположительной квадратичной формы может служить скалярный квадрат произвольного вектора ξ = () координатного пространства:

После приведения знакоположительной квадратичной формы к диагональному виду получаем

где λ1 > 0, …, λn > 0

Критерий Сильвестра (знакоположительное квадратичной формы)

Для того, чтобы квадратичная форма (6) была знакоположительной, необходимо и достаточно, чтобы все миноры ее матрицы, расположенные в левом верхнем углу, были положительны, т. е.

Метод Лагранжа

Существует еще один (простой) метод приведения квадратичной формы к диагональному виду, удобный, например, при получении ответа на вопрос, является ли квадратичная форма знакоопределенной или нет. Этот метод Лагранжа, или метод выделения полного квадрата, заключается в следующем. Пусть

— заданная квадратичная форма и a11 ≠ 0. Выпишем сначала все слагаемые, содержащие переменную ξ 1 и преобразуем их так:

Замечая, что выражение

также является квадратичной формой, но уже зависящей от меньшего числа переменных, вновь выделяем полный квадрат и т.д.

Если a11 = 0, но отлично от нуля аii(2

В результате проведенного преобразования координат, в частности, получим

И, тем самым, придем к общему случаю.

Пример:

Методом Лагранжа привести к диагональному виду квадратичную форму

A(x, х) = 2ху + 2yz + 2zx.

Введем новые координаты

Замечание:

Недостаток метола Лагранжа состоит в том, что при указанных преобразованиях координат новые координатные оси уже не являются попарно ортогональными.

Существуют и другие способы приведения квадратичной формы к диагональному виду.

Сравнивая результаты описанных выше двух способов приведения квадратичной формы 2ху + 2yz + 2zx к диагональному виду (речь идет о последних двух разобранных примерах), можно заметить, что в них соответственно одинаковы: число отрицательных коэффициентов и число положительных коэффициентов. Это совпадение не случайно, а является важным свойством квадратичных форм, называемым законом инерции:

число положительных, число отрицательных и число нулевых коэффициентов при квадратах неизвестных в диагональном виде квадратичной формы всегда одни и те же и не зависят от способа приведения квадратичной формы к этому виду.

Классификация кривых и поверхностей второго порядка

Применим описанный выше алгоритм приведения квадратичной формы к диагональному виду для классификации кривых и поверхностей второго порядка.

Кривые

Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка на плоскости Оху :

Построим матрицу квадратичной части ах2 + 2bху+су2:

Найдем корни λ1 и λ2 характеристического многочлена и соответствующие им собственные векторы i и j (единичные и взаимноортогональные).. Возьмем эти векторы за орты новых осей Ох и Оу (рис. 8).

Переходя к новым координатам , получим

Возможны два случая: 1) λ1 • λ2 ≠ 0, 2) λ1 (или λ2 ) равно нулю.

В первом случае сдвигом точки начала отсчета

добиваемся исчезновения линейных членов

Далее, как это и делалось, рассматриваем всевозможные сочетания знаков у коэффициентов λ1, λ2 и f. В результате получаем: эллипс, гиперболу, пару пересекающихся прямых, точку, пустое множество.

Во втором случае (положим для определенности λ1 = 0, λ2 ≠ 0) сдвигом начала отсчета

приходим к уравнению

Если же d= 0,то взяв а = 0, имеем

В зависимости от знака получаем: пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, пустое множество.

Замечание:

Операция отыскания корней характеристического многочлена квадратичной части уравнения кривой и взаимноортогональных единичных собственных векторов, описанная здесь, заменяет уничтожение произведения разноименных координат путем поворота на подходящий угол. В случае поверхностей второго порядка дело обстоит сложнее (и для того, чтобы разобраться с классификацией до конца, нужны и внимание и терпение).

Поверхности

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид

Упростим вид квадратичной части этого уравнения (подчеркнута), пользуясь описанным выше алгоритмом. Построим матрицу

найдем корни λ1, λ2, λз характеристического многочлена

и соответствующие им собственные векторы i, J, k так, чтобы они образовывали ортонормированную тройку (это всегда возможно). Возьмем векторы i, J и k за орты новых координатных осей Ox, Ox, Oz. Производя замену координат, получим (*)

Возможны три случая:

(I) Все три корня λ1, λ2, λ3 отличны от нуля. Путем сдвига начала

уравнение (*) поверхности приводится к следующему виду

имеют один и тот же знак, противоположный знаку .

получаем уравнение эллипсоида

β ) Знаки λ1 и λ2 противоположны знаку , а знаки A3 и совпадают. Полагая

получаем уравнение однополостного гиперболоида

γ ) Знаки λ1 и λ2 совпадают со знаком , а знаки λ3 и противоположны. Полагая

получаем уравнение двуполостного гиперболоида

б. = 0.

а) Если λ1, λ2 и λз имеют один и тот же знак, то получаем точку (0, 0, 0).

β) Если одно из λ, имеет знак, противоположный знаку двух других, то получаем уравнение конуса второго порядка

(II) Ровно один корень равен нулю (для определенности λз = 0). Полагая

Тогда сдвигом точки начала отсчета

получаем уравнение вида

а) Если λ1 и λ2 — одного знака, то, полагая

(можно считать, что знак противоположен знаку λ1 и λ2; этого всегда можно добиться, поменяв в случае необходимости ориентацию оси z на противоположную), получаем уравнение эллиптического параболоида

β) Если λ1 и λ2 имеют противоположные знаки, то, положив

получим уравнение гиперболического параболоида

б. =0. Тогда уравнение поверхности имеет следующий вид

Классификация поверхностей с уравнениями такого типа приводится в таблице.

Замечание:

Отсутствие третьей координаты (точнее, ее неявное присутствие) приводит к цилиндрическим поверхностям, направляющими которых являются кривые второго порядка, лежащие в плоскости Z = 0 и имеющие уравнения вила

(III) Ровно два корня равны нулю (для определенности λ2 = λ3 = 0). Преобразованием координат

приходим к уравнению

Покажем, что этот случай всегда можно свести к такому: , = 0. Преобразованием координат

уравнение поверхности приводится к следующему виду

Замечание:

Преобразование координат, упрощающее вид уравнения, выбирается так, чтобы новая координатная система вновь была прямоугольной декартовой.

Сдвигом начала координат

получаем уравнение параболического цилиндра

описывает либо пару параллельных плоскостей ( λ1 • 0).

Дополнение к линейным отображениям

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Базис векторов и линейные действия над векторами аналитическим путём (теория и решение задач)

Базис – это неопределённое количество векторов в векторном пространстве, и абсолютно любой из этих векторов может создавать линейную комбинацию.

Базис векторов

Так, согласно доказательству (3), произвольные три некомпланарные векторы , , , образуют в трёхмерном пространстве базис, по которому, согласно формуле (2) можно единственным образом разложить произвольный вектор пространства. Векторы , , , которые образуют базис называются базисными.

Будем считать, что базисные векторы , , сведены к точке .

Числ , про которые упоминалось в разделах “линейно зависимая и линейно независимые системы векторов”, называют координатами вектора в заданном базисе, и пишут:

.

Аналогично, на плоскости базис образуют какие-то два неколлинеарные векторы, а любой некомпланарный с ними может быть разложен по этому базису.

Базисным вектором на прямой линии может быть любой ненулевой вектор.Согласно свойствам линейных операций над векторами, следует, что при сложении и вычитании векторов в данном базисе прибавляются и отнимаются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются не это число координаты вектора, то есть:

1. .
2. .
3. .

Линейные действия над векторами аналитическим путём

Если раньше линейные действия над векторами осуществлялись графически, то теперь эти операции можно выполнять аналитически, не пользуясь рисунком. Давайте вспомним и сформулируем линейные действия:

Чтобы прибавлять (отнимать) два вектора, необходимо прибавить (отнять) их соответствующие координаты, то есть:

Найти сумму векторов и , заданных на плоскости .

Решение:

Согласно правилу 1 у нас получается:

= (6, 3).

Построим эти векторы: .

Мы видим, что четырёхугольник OABC – параллелограмм. Координаты вектора мы сначала получили путём вычислений (аналитически), без помощи рисунка. Рисунок только подтверждает правило параллелограмма при прибавлении векторов, поэтому дальше рисунками будем пользоваться для наглядности.

Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую из его координат умножить на это число:

Дан вектор Найти

Решение:

Согласна правилу 2 у нас получается:

Геометрическое изображение смотрите на рис. 4.

Два вектора равны, если у них равны соответствующие координаты:

.

Теперь вы понимаете, как получить координаты вектора не только графическим путём, но и аналитическим. В дальнейшем у вас не возникнет сложностей по этому поводу.

Как найти базис вектора, пример

В некотором базисе заданы своими координатами векторы и Разложить вектор по базису, который образовался из векторов и

Решение:

Разложение вектора по базису и имеет такой вид:

где числа и – неизвестные. Чтобы их найти, подставим в последнее равенство координаты векторов и , а тогда воспользуемся свойствами 1 и 2:

Согласно свойству 3 про равенство векторов, получим систему уравнений:

Первое равенство умножаем на 1, а второе на (- 2) и в итоге у на получается:

.

Значит, ответ у нас выходит:

[spoiler title=”источники:”]

http://lfirmal.com/linejnye-otobrazheniya/

http://nauchniestati.ru/spravka/bazis-vektorov/

[/spoiler]

Линейный
оператор ,
действующий из пространства
в пространство ,
ставит в соответствие каждому вектору

определенный вектор
из .
При этом вектор
называется образом
вектора
,
а вектор
– прообразом
вектора

при отображении .

Пусть

и
– некоторые базисы линейных пространств

и
соответственно. Тогда ,

и координаты вектора – образа
связаны с координатами вектора – прообраза

соотношением

,

(7.2.1)

в
котором
– матрица линейного оператора
в паре базисов
и .

В
случае, когда пространства
и
совпадают, базисы
и
также совпадают, и формула (7.2.1) принимает
вид

.

(7.2.2)

Образом
(областью
значений)
линейного
оператора


называется
множество всех элементов
вида .
Образ линейного оператора является
подпространством пространства
и обозначается .
Размерность образа называется рангом
оператора
и обозначается .

Ядром
линейного оператора


называется
множество всех векторов пространства
,
которые переводятся оператором
в нулевой вектор пространства .
Ядро линейного оператора является
подпространством пространства
и обозначается .
Размерность ядра называется дефектом
оператора
и обозначается .

Сумма
ранга и дефекта оператора

равна размерности пространства
.

Ранг
линейного оператора равен рангу матрицы
этого оператора.

Базис
системы векторов – столбцов матрицы
линейного оператора
образует систему координатных столбцов
базиса образа .
Базис подпространства решений однородной
системы линейных алгебраических
уравнений с матрицей оператора
образует базис ядра .

Пример
1.
Из пространства
с базисом
в пространство
с базисом
действует линейный оператор ,
имеющий в данной паре базисов матрицу
.
Найдите столбец координат в базисе
образа вектора
и столбец координат в базисе
прообраза вектора .

Решение.
Столбец координат образа вектора
в базисе находим
непосредственно по формуле (7.2.1):

.

Для
определения прообраза вектора
по той же формуле (7.2.1) имеем

,

или,
что то же самое,

Отсюда
находим все прообразы
вектора ,
где
– свободная переменная, принимающая
произвольные значения.

Пример
2.
В пространстве с
базисом линейный
оператор
переводит векторы ,
в
векторы ,

соответственно. Найдите матрицу оператора
в
базисе .

Решение.
Пусть –
матрица оператора в
базисе .
Тогда из условий ,

по формуле (7.2.2) имеем ,

или,
в подробной записи,

Отсюда
получаем
Следовательно,
.

Пример
3.
Найдите базис ядра и базис образа
линейного оператора пространства ,
если этот оператор задан матрицей .

Решение.
При помощи элементарных преобразований
над строками матрицы
приведём её к ступенчатому виду:

.

Отсюда
следует, что .
Базис составляют,
например, векторы
и .

Дефект
оператора найдём по формуле

,

т.е.
фундаментальная система решений
однородной системы линейных алгебраических
уравнений с матрицей
будет состоять из одного вектора. Общее
решение однородной системы можно
записать в виде .
Полагая
получаем базисный вектор .

7.2.1.
Линейный оператор переводит
вектор
в вектор.
Найдите образ вектора
и прообраз вектора ,
если

,

,
;

,

,
;

,

,
.

7.2.2.
Линейный оператор в
паре базисов и

имеет матрицу .
Найдите прообраз вектора ,
если

,
;

б)
,
;

в)
,
.

7.2.3.
Выясните, существует ли линейный оператор
двумерного пространства, переводящий
векторы ,

соответственно в векторы ,
,
и найдите матрицу этого оператора в
базисе ,
:

а)

б)

в)

7.2.4.
Выясните, существует ли линейный оператор
трехмерного пространства, переводящий
векторы ,
,

соответственно в векторы ,
,
,
и найдите матрицу этого оператора в том
же базисе, в котором даны координаты
всех векторов:

а)

б)

7.2.5.
Для указанных линейных операторов
пространства
найдите дефект и ранг, а также постройте
базисы ядра и образа. Каждый оператор
описывается своим действием на
произвольный вектор :

а)

б)

в)

7.2.6.
Найдите образ и ядро оператора
дифференцирования в пространстве .

7.2.7.
В пространстве
рассмотрите разностный
оператор

где

– фиксированное
число, отличное от нуля. Найдите его
образ и ядро.

7.2.8.
Найдите образ и ядро оператора
проектирования (см. задачу 7.1.2) на
параллельно
и оператора отражения (см. задачу 7.1.3) в

параллельно .

7.2.9.
Найдите базис ядра и базис образа
линейного
оператора из ,
заданного в некотором базисе матрицей
:

а)
;
б)
;
в)
.

7.2.10.
Найдите размерность линейного пространства

всех линейных операторов, действующих
в
– мерном линейном пространстве
и постройте базис пространства .

Соседние файлы в папке Задачник-2

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Матрица линейного отображения

Пусть — линейное отображение n-мерного пространства в m-мерное пространство . Зафиксируем в пространстве произвольный базис , а в пространстве базис . Линейное отображение однозначно задается образами базисных векторов (см. свойство 6). Разложим образы , базисных векторов по базису

Из координатных столбцов векторов относительно базиса составим матрицу размеров

Она называется матрицей линейного отображения в базисах и . Матрицу отображения обозначают также , чтобы подчеркнуть ее зависимость от выбранных базисов.

При помощи матрицы отображения найдем координаты образа по координатам прообраза . Пусть — координатный столбец вектора , а — координатный столбец вектора , т.е. и . Тогда

В силу единственности разложения вектора по базису получаем

Используя матричные операции, связь координат можно записать в виде

где — матрица (9.1) отображения .

Таким образом, для каждого линейного отображения n-мерного пространства в m-мерное пространство (с фиксированными базисами и соответственно) определена единственная матрица (9.1) этого отображения, и наоборот, любая числовая матрица размеров является матрицей некоторого линейного отображения n-мерного пространства в m-мерное пространство .

Для нахождения матрицы отображения нужно выполнить следующие действия:

1) зафиксировать базисы и пространств и

2) найти образ первого базисного вектора и разложить его по базису . Полученные координаты записать в первый столбец матрицы (9.1) отображения ;

3) найти образ второго базисного вектора и разложить его по базису . Полученные координаты записать во второй столбец матрицы (9.1) отображения и т.д. В последний столбец матрицы (9.1) записать координаты образа последнего базисного вектора.

Найдем матрицы отображений, рассмотренных выше.

1. Матрица нулевого отображения нулевая относительно любых базисов пространств и , так как образ любого базисного вектора равен нулевому вектору , координаты которого равны нулю (относительно любого базиса пространства ).

2. Пусть в n-мерном линейном пространстве задан базис . Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору его координатный столбец относительно заданного базиса. В пространстве выберем стандартный базис . Напомним, что в стандартном базисе координатный столбец вектора совпадает с самим столбцом , так как

Поэтому образ первого базисного вектора имеет координатный столбец , совпадающий с первым базисным вектором . Образ и т.д. Составляя из этих столбцов матрицу отображения , получаем единичную матрицу n-го порядка.

3. В n-мерном евклидовом пространстве возьмем ортонормированный базис . В качестве базиса одномерного линейного пространства возьмем единицу. Рассмотрим отображение , где — алгебраическое значение проекции вектора на направление, задаваемое вектором . Тогда матрица отображения имеет вид , так как , а для .

4. Взяв в пространствах и стандартные базисы, находим образы базисных векторов (первые производные многочленов):

Записывая найденные координаты по столбцам матрицы отображения, получаем матрицу размеров

---

Свойства матриц линейных отображений

При фиксированных базисах линейных пространств:

1) матрица суммы линейных отображений равна сумме их матриц;

2) матрица произведения линейного отображения на число равна произведению матрицы отображения на то же самое число;

3) матрица обратного отображения является обратной для матрицы отображения;

4) матрица композиции отображений равна произведению матриц отображений: .

Докажем, например, последнее свойство. Пусть в линейных пространствах фиксированы базисы соответственно. Отображения , , а также их композиция , имеют матрицы относительно соответствующих базисов. Для координатных столбцов векторов запишем связи (9.2): . Тогда для координатного столбца произвольного вектора . Отсюда следует, что .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.