Как найти общее количество измерений

1. Выбор числа измерений

Цель
любого измерения – это получение
результата измерений с оценкой истинного
значения измеряемой величины. Для чего
проводится обработка результатов
измерений. В большинстве случаев
обработка результатов измерений
проводится с помощью вероятностно –
статистических методов, известных из
курсов теории вероятности и математической
статистики.

Вопрос,
сколько измерений необходимо произвести,
чтобы считать их результаты вполне
надежными, однозначного решения не
имеет. Все зависит от целей организуемых
измерений, ответственности их результатов
для оценки состояния объекта измерений,
а также от степени исключения
систематических погрешностей измерений.
Здесь возможны четыре варианта.

1
Однократные измерения (1 – 3 измерения)
допустимы только в порядке исключения,
так как они по существу не позволяют
судить о достоверности измерительной
информации.

2
Если принять, что в погрешности результата
измерений роль систематической
погрешности пренебрежимо мала по
сравнению со случайной погрешностью,
то при определении необходимого
количества измерений следует исходить
из возможности проведения статистической
обработки результатов измерений. Уже
при 25 … 30 измерениях оценки их результатов
являются достоверными.

3
Если метрологически объект измерений
предварительно не исследовался, и кроме
расчетных значений величин о нем мало
что известно, то число измерений должно
быть увеличено до 50 … 100.

4
Если необходимо установить закон
распределения оцениваемых величин
число измерений необходимо увеличить
на порядок (500 … 1000).

Главная
цель увеличения числа измерений состоит
в уменьшении случайности результата
измерений, и следовательно, в наилучшем
приближении результата к истинному
значению величины. Но увеличивать число
измерений с целью нахождения истинного
значения величины бессмысленно, так
как оно не зависит от организации
измерений, а существует независимо от
того, проводятся они или нет.

2.9 Статистические параметры распределения результатов измерений. Законы распределения случайных величин

Производя
оценку истинного значения измеряемой
величины по результатам измерений, мы
пользуемся методами теории вероятностей,
применяемыми для оценки неизвестных
параметров функции распределения
случайной величины. Основными
статистическими параметрами распределения
случайных величин являются: среднее
арифметическое значение измеряемой
величины
,
диапазон рассеянияR,
дисперсия и среднее квадратическое
отклонение s_х.

Среднее
арифметическое значение
– это сумма действительных значений,
деленная на их число:

,
(2)

где
x₁,
x₂,….x_n
– действительные
значения измеряемой величины;

n
– число измерений.

Среднее арифметическое
значение определяет положение центра
группирования и является оценкой
математического ожидания.

Диапазон
распределения значений измеряемой
величины R
– разность между наибольшим и наименьшим
значениями:

,
(3)

где
x_max
и
x_min
– набольшее
и наименьшее значения измеряемой
величины.

Диапазон
распределения значений измеряемой
величины характеризует только разброс
значений около центра группирования.

Другая
статистическая характеристика
распределения значе­ний измеряемой
величины показывает, как тесно группируются
отдельные значения вокруг средней
арифметической или как они рассеиваются
вокруг этой средней. За меру рассе­яния
принимают сумму квадратов отклонений
отдельных значений от сред­него
арифметического, деленную на число
измерений, уменьшенное на еди­ницу.
Эту меру называют дисперсией и обозначают
через
.

.
(4)

Вместо
дисперсии
часто применяют среднее квадратическое
отклонение (СКО)s_х.
Оно имеет ту же размерность, что и средняя
арифметичес­кая и определяется по
фор­муле:

(5)

И дисперсия и СКО
являются характеристиками рассеивания.
СКО характеризует ширину области
рассеивания значений случайной величины.
Чем меньше ширина области рассеивания,
тем точнее проведены измерения, и
наоборот.

Наглядное
представление о характере распределения
дают так называемые кривые распределения,
которые в зависимости от способа
построения делятся на гистограммы
распределения, эмпирические кривые или
полигоны распределения и теоретические
кривые распределения (рис. 6).

При
построении кривых распределения по оси
абсцисс откладывают или сам результат
измерения x_i
или его
отклонения Δx_i
от среднего
арифметического
.
По оси ординат для построения гистограмм
и полигонов распределения откладывают
относительную частоту, равную

,
(6)

где
n_xi
– частота
или число измерений, попадающих в один
и тот же интервал; N
– общее
число измерений.

Рисунок
6 – Гистограмма (1), полигон (3) и

теоретическая
кривая (2) распределения

При
построении теоретической кривой
распределения по оси ординат откладывают
плотность вероятности y
случайной величины. Таким образом,
теоретическая кривая отражает закон
распределения вероятности случайной
величины. Законом распределения
вероятности случайной величины называется
всякое соотношение, устанавливающее
связь между возможными значениями
случайной величины и соответствующими
им вероятностями.

На
гистограмме или полигоне распределения
площадь в пределах интервала равна
относительной частоте, а на теоретической
кривой – вероятности появления результата
измерения в данном интервале.

Под
вероятностью какого-либо события
(например, попадания случайной величины
в пределы от а
до в)
понимается количественная оценка
возможности возникновения данного
события. Вероятность может принимать
значения от 0 до 1. Вероятность, равная
0, соответствует заведомо недостоверному
событию. Вероятность, равная 1, заведомо
достоверному событию.

Помимо
кривой распределения закон распределения
может представляться аналитически в
виде функции распределения.

Закон распределения
обладает рядом свойств. Рассмотрим два
из них:

1
Вероятность появления значения случайной
величины в заданном интервале численно
равна площади под кривой распределения
в том же интервале, т.е.

P
(a < x < b)
=
(7)

2
Полная площадь под кривой распределения,
охватывающая всю совокупность случайных
величин численно равна 1.

P
(-< x <+)
=
=
1
(8)

Математическое
ожидание случайной величины представляет
собой абсциссу центра тяжести фигуры,
лежащей под кривой распределения.
Математическое ожидание определяется
по уравнению

М_x
=

(9)

При
практических расчетах пользуются
теоретическими кривыми распределения,
полученными аппроксимацией гистограмм
или эмпирических кривых распределения.
Для аппроксимации наиболее часто
используют следующие законы распределения.

1
Закон нормального распределения (закон
Гаусса)(рис.7).

Рисунок 7- Закон
нормального распределения

Нормальный
закон распределения величины х
представляется
плотностью распределения

(10)

Это
наиболее распространенный закон
распределения случайных величин имеет
место, когда из большого числа факторов
ни один не является доминирующим, а
каждый играет относительно малую роль
в общей совокупности. Закон нормального
распределения часто имеет место при
обработке деталей, особенно на
станках-автоматах, а также при измерении
размеров универсальными средствами
измерения.

Для
определенного распределения М(х)
и σ
— величины постоянные. Они являются
параметрами гауссовского распределения.
Как видно, кривая распределения имеет
характерную колоколообразную форму.
Максимальная ордината кривой, равная
,
соответствует точкеx
= M(x)
— центру
распределения. Точка перегиба кри­вой
располагается на расстоянии
от центра распределения (как показано
на рис. 7а). По мере удаления от точкиМ(х)
плотность распределения умень­шается,
и при

кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс.

Площадь
под кривой Гаусса равна 1, или 100 % всех
значений случайной величины в генеральной
совокупности. Так как площадь под кривой
всегда должна оста­ваться равной
единице, то при увеличении
кривая опускается вниз, одно­временно
растягиваясь вдоль оси абсцисс. Напротив,
при уменьшениикри­вая вытягивается вверх, одновременно
сжимаясь с боков.

Между
трехсигмовыми границами [М(х)-3;
М(х)+3]
находится 99,73 % всех измерений, т.е.
практически все значения. Только 0,27 %
значений лежит за этими границами. Это
означает, что при проведении 270 измерений
в среднем 1 измерение будет лежать за
трехсигмовыми границами. Поэтому, зная
стандартное отклонение и математи­ческое
ожидание случайной величины, подчиняющейся
гауссовскому закону распределения,
можно ориентировочно указать интервал
ее практически воз­можных минимальных
и максимальных значений. И если какое-либо
значе­ние появляется за пределами
трехсигмового участка, то с большой
вероятно­стью его можно считать чисто
случайным. Так как вероятность появления
такого события очень мала (1/270), то следует
считать, что рассматриваемое событие
является практически невозможным. Такой
способ оценки диапазо­на возможных
значений случайной величины известен
в математической ста­тистике под
названием правила
трех сигм.

2
Закон равной вероятности. Он
характерен для случайных величин, на
которые оказывает влияние резко
доминирующий фактор, равномерно
изменяющийся в пространстве или во
времени (рис. 8а). Описывается следующим
уравнением

.
(11)

3
Закон равнобедренного треугольника
или Симпсона. Этому
закону подчиняются случайные величины,
на которые оказывают суммарное влияние
два резко доминирующих фактора (рис.
8б).

а
б

Рисунок 8 – Законы
распределения случайных величин:

а – закон Симпсона;
б – закон равной вероятности

При
аппроксимации тот или иной закон выбирают
как из общих соображений о законе
распределения, так и исходя из формы
изображений эмпирического распределения,
которая может помочь в предварительном
выборе теоретической кривой распределения.
Окончательное заключение о правильности
выбора закона распределения случайной
величины, делают после определения
соответствия экспериментальной и
теоретической кривых распределения по
одному из критериев согласия, согласно
ГОСТ 11.006 – 74 «Прикладная статистика.
Правила проверки согласия опытного
распределения с теоретическим».

Соседние файлы в папке МСС1

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на тему: “Математическая статистика, элементы статистики”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:
Математическая статистика, элементы статистики (PPTX)

---

Статистика, введение

Темой сегодняшнего урока будет математическая статистика.
Этот предмет занимается статистикой, используя различные математические методы. Математическая статистика – это самостоятельно развивающийся раздел математики, в котором существуют и свои уникальные способы решения различных задач.

Так чем же занимается и для чего нужна математическая статистика?
Предположим, что у учеников девятых классов измерили рост. Как представить полученные данные? Можно записать их в строчку друг за другом, можно разделить данные по классам, можно попробовать создать таблицу. Все эти способы довольно громоздки и неудобны. Будет сложно извлечь информацию из такого набора чисел. А теперь представьте, что измерили рост учеников девятых классов всех школ в городе. Количество измерений может перевалить за тысячу.
Математическая статистика занимается обработкой данных и представлением их в виде удобном для восприятия. Это только одна из задач статистики. Построение прогнозов и оценок; применение различных методов исследования; достоверность проведенных испытаний и многое другое – вот чем занимается статистика.

Как же обрабатывает информацию статистика?

• Данные измерений упорядочивают и группируют.
• Составляют таблицы распределений данных.
• По таблицам строят графики распределений.
• В итоге создается паспорт измерений, в котором собраны числовые характеристики полученной информации.

Давайте рассмотрим эти пункты.

Упорядочивание и группировка данных

Первое, что необходимо сделать при анализе данных, определить рамки, в которых находится исследователь. Выбираются наименьшее и наибольшее допустимые значения, которые могут не совпадать с полученными данными. Например, при измерении роста учеников, шансов, что кто-то будет ниже 140 сантиметров и выше 200 сантиметров очень мало. Если найдется такой вариант, то данные статистики можно подкорректировать.
При измерении роста могут получиться числа: 140,150,160,170,180,190,200 – это общий ряд данных, которые принято располагать в порядке возрастания. Общий ряд данных может быть и другим, например: 140,145,150,155,160,…,190,195,200. Как представить общий ряд данных зависит от конкретной задачи.

Пример. Составить общий ряд данных, включающих:
а) месяцы рождения одноклассников,
б) годов рождения родственников и друзей,
в) буквы, с которых начинается слово.
Решение.
а) Всего месяцев 12, если их перечислить по цифрам, то получим общий ряд: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
б) Шанс, что кто-то из родственников старше 100 лет – мал, а что, кто-то родился в этом году – есть. Тогда общий ряд годов рождения можно составить так: 1910,1911,1912,…, 2009,2010,2011,2012,2013,2014.
в) Слово может начинаться с любой буквы алфавита, кроме ь, ы, ъ. Тогда возможны 30 вариантов, если их представить численным рядом, то получим: 1,2,3,4,…,28,29,30.

Понятие “общий ряд” не является строгим, в примере б) мы могли начать ряд с 1900 года, ряд так же назывался “общим”.

При проведении эксперимента данные из общего ряда могут не встретиться. Вернемся к нашему примеру б) и рассмотрим конкретный случай.
Вова назвал года рождения родственников: 1935,1937,1960,1965,1980,1981,1997,2005.
Общий ряд представлял собой последовательность: 1910,1911,1912,…,2009,2010,2011,2012,2013,2014.
У Вовы встретились конкретные измерения, которые называются “вариантой измерения”.
Варианта измерения – это возможный вариант проведенного измерения.
Если все варианты измерений перечислить по порядку, то получится ряд данных измерения.
Для нашего примера составим таблицу:


Пример. Выписать ряд, состоящий из букв, которые встречаются в словах: мама, папа, брат, сестра, бабушка, дедушка, тетя, дядя.
Решение. Ряд будет выглядеть так: а, б, д, е, к, м, п, р, с, т, у, ш, я. Встретились 13 букв из 33.
Некоторые буквы встречаются несколько раз, например, буква а – девять раз, другие – реже.

Определение. Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась ровно к раз, то число к называют кратностью измерения.
В этом примере буква а имеет кратность – 9.
Запишем кратности для каждой из букв:


Далее варианты нужно сгруппировать. Создадим сгруппированный ряд данных:
а,а,а,а,а,а,а,а,а,б,б,б,д,д,д,д,е,е,е,к,к,м,м,п,п,р,р,с,с,т,т,т,т,у,у,ш,шя,я,я.
Число повторений каждой варианты равно кратности варианты.

Составление таблицы распределения данных

Если сложить все кратности, получится количество всех данных измерения или объем измерения. Объем измерения равен количеству букв встречающихся в наших словах. Для проверки всегда складывают кратности, сумма должна равняться количеству элементов измерения.
Далее вычисляют частоту варианты.

Частота варианты=Кратность варианты/Объем измерения.

Составим таблицу частот измерений:


Сумма всех частот всегда равна единице, так как это сумма всех дробей с одинаковым знаменателем, а сумма всех числителей как раз и равна знаменателю. Для удобства, часто переводят частоты в проценты от объема измерения. Составим таблицу еще одну таблицу, каждую частоту в новой строке помножим на 100.

Графическое представление данных

Давайте построим графики функций распределения по таблицам. Договоримся, что вместо букв будем использовать цифры 1,2,3,…,13.
Тогда наша таблица примет вид:


По оси абсцисс отложим цифры, соответствующие буквам, а по оси ординат – значения частот появления варианта. Графическое изображение имеющейся информации – график распределения частот.
Таблица значений:

График распределения частот:


График распределения частот также называют полигоном распределения.
Давайте построим график распределения частот процентов. Его тоже называют полигоном распределения процентов.
Таблица значений.


Полигон распределения процентов:


Даже не большая по объему данных задача, представляет собой довольно таки утомительную процедуру подсчета и составления таблиц и графиков распределений.

Числовые характеристики данных измерения

Наши данные обладают уникальными числовыми характеристиками. Давайте определим некоторые из них.

Разность между максимальной и минимальной вариантой называют размахом измерения.

На наших графиках – это область определения (разность крайнего правого значения и крайнего левого значения на оси абсцисс). В нашем примере размах равен $13-1=12$.
Варианта, которая встречается чаще других, называется модой. В нашем примере это буква а или число 1, в зависимости от обозначения.
Если у нас есть таблица распределения частот, то в строчке частот ищем наибольшее число, и смотрим, какому варианту оно соответствует. На графике, это точка в которой достигается максимальное значение.
Наиболее важная характеристика – среднее значение (среднее арифметическое или просто среднее).
Чтобы найти среднее значение нужно:
а) Просуммировать все данные измерения.
б) Полученную сумму разделить на количество вариантов.

Для нашего примера найдем среднее значение:

$frac{1*9+2*3+3*4+4*3+5*2+6*2+7*2+8*2+9*2+10*4+11*2+12*2+13*3}{40}=5,775$.

Среднее значение можно найти другим способом:
а) Каждую варианту умножить на ее частоту.
б) Сложить получившиеся значения.

Подсчитаем этим способом:


1*0,225+2*0,075+3*0,1+4*0,075+5*0,05+6*0,05+7*0,05+8*0,05+9*0,05+10*0,1+11*0,05+12*0,05+13*0,075=5,775.

Давайте рассмотрим еще один пример.
На экзамене по математике 25 учеников 9 класса получили такие оценки:
5,4,3,3,5,4,3,3,4,4,5,5,2,2,5,5,5,3,3,4,5,5,4,3,2.
а) Составить общий ряд данных. Упорядочить и сгруппировать.
б) Составить таблицы распределения и распределения частот.
в) Построить графики распределения и распределения частот.
г) Найти среднее, моду, размах.
Решение.
Возможны такие оценки: 1,2,3,4,5 – общий ряд данных.
В нашем примере встречаются оценки: 2,3,4,5 – ряд данных, все числа в ряде – варианты измерений.
Составим сгруппированный ряд: 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5.
б) Объем измерения равен 25, так как 25 оценок выставлено.
Составим таблицу:


в) Нарисуем графики:
Полигон распределения данных:


Полигон распределения частот:


Полигон распределения частот процентов:


Все графики похожи между собой, различия только в масштабе оси ординат.
г)Найдем среднее значение:
$2*0,12+3*0,28+4*0,24+5*0,36=0,24+0,84+0,96+1,8=3,81$.
Мода: чаще всего встречается оценка пять, она и будет модой.
Размах: $5-2=3$.

Задачи статистики для самостоятельного решения

1.На экзамене по математике 50 учеников 9 класса получили такие оценки:
5,3,4,4,5,4,3,2,4,3,5,1,2,3,5,4,5,3,3,4,5,5,4,3,1,3,4,5,4,3,2,2,1,4,4,5,5,4,4,5,3,3,3,2,1,5,4,3,2,5.
а) Составить общий ряд данных. Упорядочить и сгруппировать.
б) Составить таблицы распределения и распределения частот.
в) Построить графики распределения и распределения частот.
г) Найти среднее, моду, размах.

Дискретный вариационный ряд и его характеристики

Урок  282

Тема урока:  Задачи математической статистики.

Цели урока:

              Обучающая:
 Научить  учащихся решать задачи по обработке

                                       
  статистических данных, используя понятия:                                       

                                        
 объём измерения, размах измерения, мода

                                         
измерения, среднее арифметическое, медиана

                   
                      измерения, варианта измерения, кратность

                                         
варианты, и составлять данные в виде таблиц,

                                         
диаграмм, графиков.  Ввести понятия: частота

                                      
   варианты, частота варианты (в процентах).         

                Развивающая: 

                                    
Формировать умения
учащихся, решать задачи на 

                                         
обработку статистических данных, используя 

                                 
        данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.               

                                         
Развивать логическое и математическое мышление. 

                 Воспитывающая:

                                                
Воспитывать культуру речи,
построения плана

                                         
ответа, сознательной дисциплины, культуры   

                                         
конструктивного мышления, активность на уроке,

                                         
аккуратность при выполнении записи на доске и в

                                         
тетради, положительный интерес к изучаемому  

                                         
предмету.

              Тип урока:     Комбинированный.

             Вид
урока:     Урок 
решения задач  на  обработку статистических

                                         
данных, используя  данные в виде таблиц, 

                                        
диаграмм, графиков.               

             Методы
обучения:    Репродуктивный.  

            Материально-техническое
оснащение:

            –Математика Учебник Общеобразовательные
дисциплины   

                                                
Начальное и среднее профессиональное образование  

                               
          Автор М.И. Башмаков.

                                                 
Москва Издательский центр «Академия» 201

                    –Математика Учебник
Общеобразовательные дисциплины    

                                               
для профессий и специальностей социально-экономического

                                               
профиля. Авторы В.А. Гусев, С.Г.Григорьев, С.В.Иволгина

                                               
Москва Издательский центр «Академия» 2011

                     – Математика Задачник Общеобразовательные
дисциплины   

                                               
Начальное и среднее профессиональное образование  

                                        
Автор М.И. Башмаков.         

                                                Москва
Издательский центр «Академия» 2012

                     – дидактический
раздаточный материал (карточки для   

                     индивидуальной
работы) 

Ход урока

1. Организационный момент урока

– сдача рапорта

      2. Целевая ориентация

       (
Преподаватель формулирует тему, цели  и задачи урока. Мотивирует учащихся к
учебной деятельности. Разъясняет последовательность этапов урока, приводящих к
достижению цели)

    3. Проверка
домашнего задания.

   4. Вопросы для закрепления изученного
материала.

1). Перечислить
основные этапы простейшей статистической обработки данных.

2). Что называют
объемом измерения?

3). Что такое размах
измерения?

4). Что называют
модой измерения?

5). Что называют
средним арифметическим?

6). Что называют
вариантой измерения?

7). Что называют
медианой измерения?

5.    
Формирование
навыков умственного труда

Решение задач у доски

Задача 1

В таблице распределения данных часть информации была утеряна.
Восстановить ее. Если известно, что объем измерения равен 20, размах измерения
равен 6, а мода равна 2.

	Варианта	Сумма
	– 1	0		3
Кратность	5	1		7	3

Решение

По определению. В графе «Сумма» должен стоять объём измерения, т.е. 20.
Этот объём равен сумме всех кратностей, значит, кратность варианты «0», равна
20 – (5+1+7+3) = 4.

Самая большая кратность  равна 7. Значит, над ней и расположена мода
измерения, равная 2. Так как размах равен 6, а наибольшая варианта равна 3, то
наименьшая варианта равна  3 – 6 = – 3. эту варианту помещаем в последнюю
свободную графу над кратностью 5.

 Ответ:

	Варианта	Сумма
– 3	– 1	0	2	3
Кратность	5	1	4	7	3	20

Задача 2

По приведённой гистограмме распределения данных найти: количество
вариант измерения, объем, размах. моду измерения, наиболее удалённую от моды
варианту и ее кратность. Составить таблицу распределения данных.

Решение.

Количество вариант – это количество столбиков в гистограмме, т.е. 7.
Объем измерения равен сумме кратностей всех вариант, т.е. равен сумме высот
всех семи столбиков: 3+2+7+3+5+4+1 = 25. Таблица распределения выглядит так:

	Варианта	Сумма
2	4	5	6	7	9	10
Кратность	3	2	7	3	5	4	1	25

1). Наибольшая варианта равна 10, а наименьшая  равна 2.

2). Размах равен 8. (10 – 2) =8.

3). Мода измерения равна 5, так как она встречалась чаще других – 7
раз.

4). На наибольшем расстоянии от моды находится варианта 10, её
кратность равна 1.

Определение: Если кратность варианты разделить на объем измерения,
то получится частота варианты. Это число показывает, какую
часть (долю) среди всех данных составляют данные, равные выбранной варианте.

Частоту варианты  можно измерить и в процентах.

Задача 3

В десятых классах трёх школ микрорайона провели проверочный диктант по
русскому языку. По их результатам изображена гистограмма распределения
полученных отметок.

      а) Найти: общее
количество работ, частоту пятёрок, процентную частоту

         двоек.

б) Заполнить сводную таблицу распределения данных.

в) Построить гистограмму распределения частот ( в процентах).

г) Построить круговую диаграмму распределения частот (в процентах).

Решение.

а) На гистограмме указано, что двоек было 40, троек – 50, четвёрок –
75, пятёрок – 35. значит. Всего было 200 работ. Это есть объём измерения.
Частота пятёрок равна , а частота (в процентах) двоек
равна

б) Так как все кратности известны, то можно заполнить всю таблицу
распределения:

	Варианта	Сумма
2	3	4	5
Кратность	40	50	75	35	200
Частота	0,2	0.25	0.375	0,175	1
Частота,%	20	25	37,5	17,5	100

в) Для построения гистограммы распределения частот (в процентах)
используем первую и четвёртую строки. Получим четыре вертикальных столбика.
Основания которых соответствуют полученным отметкам, а высоты равны найденным
частотам ( в процентах).

г) разделим круг на четыре сектора. Центральный угол сектора двойки
составляет 20% от 360⁰. т.е. 72⁰. Центральный угол
сектора тройки составляет 25% от 360⁰, это прямой угол. Центральные
углы секторов четвёрки и пятёрки равны соответственно 135⁰ и 63⁰.

 

5. Вопросы для
закрепления изученного материала.

1). Что называют частотой
варианты?

2). По какой формуле
измеряют частоту варианты в процентах?

6. Итог урока.
Домашнее задание.

Задача.

По приведённой гистограмме распределения данных найти:

а) количество вариант  и объем измерения;

б) размах и  моду измерения;

в) таблицу распределения данных;

г) среднее результатов измерения.

Решение.

1) Количество вариант – это количество столбиков в гистограмме, т.е. 9.
Объем измерения равен сумме кратностей всех вариант, т.е. равен сумме высот
всех девяти столбиков: 5+6+3+7+4+11+5+4+5 = 50. Таблица распределения выглядит
так:

	Варианта	Сумма
2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кратность	5	6	3	7	4	11	5	4	5	50

2). Наибольшая варианта равна 10, а наименьшая  равна 2.

Размах равен 8. (10 – 2) = 8.

 Мода измерения равна 7, так как она встречалась чаще других – 11 раз.

3). Таблица распределения выглядит так:

	Варианта	Сумма
2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кратность	5	6	3	7	4	11	5	4	5	50

4). Среднее арифметическое
– это частное от деления суммы всех результатов измерения на объём измерения.
Среднее удобно вычислять после того, как составлена таблица распределения. В
данном случае вычисления выглядят так:

Получили многоугольник или полигон распределения данных. Собственно, polygon  и переводится как «многоугольник».

Чтобы представить большой объём информации в графическом виде, можно использовать гистограммы или столбчатые диаграммы.

4. Числовые характеристики данных измерения.

У любого из нас имеются не только данные о рождении, но и ряд иных свойств и качеств.

Такие измерения имеют свои числовые характеристики.