Как найти общее напряжение всего участка цепи

Последовательное и параллельное соединение

Последовательное и параллельное соединение очень широко используется в электронике и электротехнике и порой даже необходимо для правильной работы того или иного узла электроники. И начнем, пожалуй, с самых простых компонентов радиоэлектронных цепей — проводников.

Для начала давайте вспомним, что такое проводник? Проводник — это вещество или какой-либо материал, который отлично проводит электрический ток. Если какой-либо проводник отлично проводит электрический ток, то он в любом случае обладает каким-либо сопротивлением. Сопротивление проводника мы находим по формуле:

ρ – это удельное сопротивление, Ом × м

R – сопротивление проводника, Ом

S – площадь поперечного сечения, м 2

Более подробно об этом я писал здесь.

Следовательно, любой проводник представляет из себя резистор с каким-либо сопротивлением. Значит, любой проводник можно нарисовать так.

Последовательное соединение проводников

Сопротивление при последовательном соединении проводников

Последовательное соединение проводников — это когда к одному проводнику мы соединяем другой проводник и так по цепочке. Это и есть последовательное соединение проводников. Их можно соединять с друг другом сколь угодно много.

последовательное соединение резисторов

Чему же будет равняться их общее сопротивление? Оказывается, все просто. Оно будет равняться сумме всех сопротивлений проводников в этой цепи.

Получается, можно записать, что

формула при последовательном соединении резисторов

У нас есть 3 проводника, которые соединены последовательно. Сопротивление первого 3 Ома, второго 5 Ом, третьего 2 Ома. Найти их общее сопротивление в цепи.

То есть, как вы видите, цепочку из 3 резисторов мы просто заменили на один резистор R_AB .

показать на реальном примере с помощью мультиметра
Видео где подробно расписывается про эти соединения:

Сила тока через последовательное соединение проводников

Что будет, если мы подадим напряжение на концы такого резистора? Через него сражу же побежит электрический ток, сила которого будет вычисляться по закону Ома I=U/R.

Получается, если через резистор R_AB течет какой-то определенный ток, следовательно, если разложить наш резистор на составляющие R₁ , R₂ , R₃ , то получится, что через них течет та же самая сила тока, которая текла через резистор R_AB .

сила тока через последовательное соединение проводников

Получается, что при последовательном соединении проводников сила тока, которая течет через каждый проводник одинакова. То есть через резистор R₁ течет такая же сила тока, как и через резистор R₂ и такая же сила тока течет через резистор R₃ .

Напряжение при последовательном соединении проводников

Давайте еще раз рассмотрим цепь с тремя резисторами

Как мы уже знаем, при последовательном соединении через каждый резистор проходит одна и та же сила тока. Но вот что будет с напряжением на каждом резисторе и как его найти?

Оказывается, все довольно таки просто. Для этого надо снова вспомнить закон дядюшки Ома и просто вычислить напряжение на любом резисторе. Давайте так и сделаем.

Пусть у нас будет цепь с такими параметрами.

Мы теперь знаем, что сила тока в такой цепи будет везде одинакова. Но какой ее номинал? Вот в чем загвоздка. Для начала нам надо привести эту цепь к такому виду.

Получается, что в данном случае R_AB =R₁ + R₂ + R₃ = 2+3+5=10 Ом. Отсюда уже находим силу тока по закону Ома I=U/R=10/10=1 Ампер.

Половина дела сделано. Теперь осталось узнать, какое напряжение падает на каждом резисторе. То есть нам надо найти значения U_R1 , U_R2 , U_R3 . Но как это сделать?

Да все также, через закон Ома. Мы знаем, что через каждый резистор проходит сила тока 1 Ампер, мы уже вычислили это значение. Закон ома гласит I=U/R , отсюда получаем, что U=IR.

Теперь начинается самое интересное. Если сложить все падения напряжений на резисторах, то можно получить… напряжение источника! Он у нас равен 10 Вольт.

Мы получили самый простой делитель напряжения.

Вывод: сумма падений напряжений при последовательном соединении равняется напряжению питания.

Параллельное соединение проводников

Параллельное соединение проводников выглядит вот так.

параллельное соединение резисторов

Ну что, думаю, начнем с сопротивления.

Сопротивление при параллельном соединении проводников

Давайте пометим клеммы как А и В

В этом случае общее сопротивление R_AB будет находиться по формуле

Если же мы имеем только два параллельно соединенных проводника

То в этом случае можно упростить длинную неудобную формулу и она примет вид такой вид.

Напряжение при параллельном соединении проводников

Здесь, думаю ничего гадать не надо. Так как все проводники соединяются параллельно, то и напряжение у всех будет одинаково.

Получается, что напряжение на R1 будет такое же как и на R2, как и на R3, так и на Rn

Сила тока при параллельном соединении проводников

Если с напряжением все понятно, то с силой тока могут быть небольшие затруднения. Как вы помните, при последовательном соединении сила тока через каждый проводник была одинакова. Здесь же совсем наоборот. Через каждый проводник будет течь своя сила тока. Как же ее вычислить? Придется опять прибегать к Закону Ома.

Чтобы опять же было нам проще, давайте рассмотрим все это дело на реальном примере. На рисунке ниже видим параллельное соединение трех резисторов, подключенных к источнику питания U.

Как мы уже знаем, на каждом резисторе одно и то же напряжение U. Но будет ли сила тока такая же, как и во всей цепи? Нет. Поэтому для каждого резистора мы должны вычислить свою силу тока по закону Ома I=U/R. В результате получаем, что

Если бы у нас еще были резисторы, соединенные параллельно, то для них

В этом случае, сила тока в цепи будет равна:

Вычислить силу тока через каждый резистор и силу тока в цепи, если известно напряжение источника питания и номиналы резисторов.

Воспользуемся формулами, которые приводили выше.

Если бы у нас еще были резисторы, соединенные параллельно, то для них

Далее, воспользуемся формулой

чтобы найти силу тока, которая течет в цепи

2-ой способ найти I

Чтобы найти R_общее мы должны воспользоваться формулой

Чтобы не париться с вычислениями, есть онлайн калькуляторы. Вот один из них — «калькулятор резисторов«. Я за вас уже все вычислил. Параллельное соединение 3-ех резисторов номиналом в 2, 5, и 10 Ом равняется 1,25 Ом, то есть R_общее = 1,25 Ом.

Параллельное соединение резисторов в электронике также называется делителем тока, так как резисторы делят ток между собой.

Ну а вот вам бонусом объяснение, что такое последовательное и параллельное соединение проводников от лучшего преподавателя России.

Источник

Задачи на параллельное и последовательное соединение проводников с подробными решениями

Что бы ни происходило в мире, учиться надо всегда. Кстати, для тех, кто не знает, как организовать учебу на удаленке, мы подготовили отдельную статью. А сегодня займемся решением задач на последовательное и параллельное соеднинение проводников. Решение задач – отличный способ, чтобы успокоить нервы и не поддаваться панике.

Присоединяйтесь к нам в телеграме: там вас ждут актуальные новости и приятные скидки.

Последовательное и параллельное соединение проводников: решение задач

Как решать задачи с параллельным и последовательным соединением проводников? Для начала повторите теорию, вспомните общую памятку по решению физических задач и на всякий случай держите под рукой формулы.

Задача №1 на последовательное соединение проводников

Проводники сопротивлением 20 Ом и 30 Ом соединены последовательно. Напряжение на концах первого проводника равно 12 В. Определите напряжение, сопротивление и силу тока в цепи на втором проводнике, а также полное напряжение.

Для последовательного соединения проводников:

Ответ: 50 Ом; 18 В; 0,6 А; 30 В.

Задача №2 на параллельное соединение проводников

Два проводника соединены параллельно. Сила тока в первом проводнике равна 0,5 А, во втором — 1 А. Сопротивление первого проводника составляет 18 Ом. Определите сопротивление второго проводника и силу тока на всем участке цепи.

Для параллельного соединения:

При решении задач не забывайте проверять размерности величин и при необходимости переводить их в систему СИ.

Ответ: 1,5 А; 9 Ом.

Задача №3 на последовательное и параллельное соединение проводников

Электрогрелка состоит из трех одинаковых секций. Во сколько раз быстрее грелка будет нагревать некоторое количество воды от 10 до 100 градусов Цельсия при параллельном включении всех секций, нежели при последовательном их включении?

Пусть сопротивление каждой секции равно R. Тогда при параллельном включении их в сеть напряжение на каждой секции равно напряжению в сети (U), и на трех секциях будет выделяться тепло:

При последовательном соединении суммарное сопротивление цепи равно 3R, а выделяющееся количество теплоты:

Как видим, выделяющееся тепло для первой схемы в 9 раз больше, так что и скорость нагрева воды будет в 9 раз выше.

Ответ: в 9 раз.

Задача №4 на смешанное соединение проводников

Участок цепи состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений, каждое из которых равно 1 Ом. К этим двум резисторам параллельно подключают еще одно сопротивление, значение которого составляет 2 Ом. Всю эту цепь подключают к источнику тока, который создает на концах данного соединения напряжение 2,4 В. Определите силу тока во всей электрической цепи.

Согласно схеме, искомая сила тока – это сила тока, протекающая через амперметр.

Резисторы R1 и R2 соединены последовательно, резистор R3 – параллельно к ним.

Резисторы 1 и 2 можно заменить эквивалентным сопротивлением R со штрихом и перерисовать схему в упрощенном виде:

Сопротивления R3 и R со штрихом соединены параллельно, можно найти общее сопротивление электрической цепи по формуле для параллельного соединения:

Теперь цепь можно перерисовать в еще более упрощенном виде и рассчитать силу тока по закону Ома:

Ответ: 2.4 А.

Задача №5 на закон Кирхгофа

Три сопротивления R1 = 5 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 3 Ом и два источника тока соединены так, как показано на рисунке. Внутренними сопротивлениями источников тока можно пренебречь. ЭДС первого источника тока равна 1,4 В, и сила тока, текущего через сопротивление R3, равна I3= 1 А. Определите ЭДС второго источника тока.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке и запишем закон Кирхгофа для точки A (расположим ее между двумя источниками и сопротивлением R2) и двух контуров:

Решая систему уравнений, получаем ответ: Е2=3.6 В.

Ответ: 3.6 В.

Вопросы на параллельное и последовательное соединение проводников

Вопрос 1. Схематически изобразите последовательное соединение проводников

Ответ. На рисунке ниже изображен участок цепи с последовательно соединенными проводниками:

Вопрос 2. Схематически изобразите параллельное соединение проводников

Ответ. На рисунке ниже изображено параллельное соединение проводников:

Вопрос 3. Приведите основные формулы и соотношения для последовательного соединения проводников.

Ответ. При последовательном соединении:

Сила тока во всех проводниках одинакова.

Общее напряжение равно сумме напряжений на каждом проводнике.

Полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников.

Вопрос 4. Приведите основные формулы и соотношения для параллельного соединения проводников.

Ответ. Для параллельного соединения проводников:

Напряжение на всех проводниках одинаково.

Сила тока в неразветвленной цепи равна сумме токов в параллельно соединенных проводниках.

Величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.

Вопрос 5. Какие электрические цепи нельзя рассчитать с помощью формул для последовательного и параллельного соединения проводников?

Ответ. С помощью приведенных выше формул можно рассчитать лишь относительно простые электрические цепи. Для расчета сложных цепей, включающих в себя несколько источников тока и состоящих из многих резисторов, применяются правила Кирхгофа.

Нужна помощь в решении задач или любых других учебных заданий? Обращайтесь в профессиональный сервис для учащихся: мы найдем верное решение.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Вы уже знаете, что есть два типа соединения элементов электрической цепи: последовательный и параллельный. Последовательно мы подключали в цепь амперметр, а параллельно — вольтметр.

На данном уроке мы более подробно рассмотрим последовательное соединение. Мы будем использовать сразу несколько потребителей электроэнергии и узнаем, каким закономерностям подчиняются уже известные нам величины (сила тока, сопротивление и напряжение) при таком соединении элементов в цепи.  

Последовательное включение элементов в электрическую цепь

Соберем электрическую цепь. Последовательно соединим две электролампы, два источника тока и ключа (рисунок 1).

Обратите внимание, что при таком подключении аккумуляторов соблюдается определенная полярность подключения: провод, идущий от положительного полюса одного аккумулятора необходимо соединить с отрицательным полюсом другого аккумулятора. И, наоборот, провод идущий от отрицательного полюса одного аккумулятора соединяется с положительным полюсом другого.

Если в такой цепи попытаться выключить только одну лампу, то погаснет и вторая.

Схема этой электрической цепи показана на рисунке 2.

В такую цепь мы можем подключить еще несколько ламп или некоторое количество других потребителей электроэнергии. Поэтому все закономерности, которые мы рассмотрим далее, будут справедливы для любого количества последовательно подключенных в цепь проводников.

Сила тока в цепи при последовательном соединении проводников

При изучении силы тока мы измеряли ее на различных участках электрической цепи (рисунок 3). Полученные с помощью амперметра значения силы тока были одинаковы.

При этом все элементы у нас были соединены последовательно. Сделаем вывод.

При последовательном соединении сила тока в любых частях цепи одна и та же:
$I = I_1 = I_2 = … = I_n$.

Сопротивление в цепи при последовательном соединении проводников

Как найти общее сопротивление цепи, зная сопротивление отдельных проводников, при последовательном соединении?

Давайте порассуждаем. В цепи был один проводник с определенным сопротивлением. Мы последовательно подключаем второй. Представим эти два проводника в виде одного элемента цепи. Тогда получается, что, подсоединив второй проводник, мы увеличили длину первого.

Сопротивление же зависит от длины проводника. Поэтому суммарное сопротивление цепи будет точно больше сопротивления одного проводника.

Общее сопротивление цепи при последовательном соединении равно сумме сопротивлений отдельных проводников (или отдельных участков цепи):
$R = R_1 + R_2 + … + R_n$.

На схемах электрических цепей последовательное соединение нескольких проводников изображается так, как показано на рисунке 4.

Напряжение в цепи при последовательном соединении проводников

Используя закон Ома для участка цепи, мы можем найти напряжение и на концах этих участков:
$U_1 = IR_1$,
$U_2 = IR_2$,
…
$U_n = IR_n$.

Получается, что напряжение будет тем больше, чем больше сопротивление на участках цепи. Сила тока же везде будет одинакова.

Как найти напряжение участка цепи, состоящего из последовательно соединенных проводников, зная напряжение на каждом?

Полное напряжение в цепи при последовательном соединении, или напряжение на полюсах источника тока, равно сумме напряжений на отдельных участках цепи:
$U = U_1 + U_2 + … + U_n$.

Полное напряжение в цепи и закон сохранения энергии

Давайте вспомним, что напряжение определяется работой электрического тока. Эта работа совершается при прохождении по участку цепи электрического заряда, равного $1 space Кл$:
$U = frac{A}{q}$.

За счет чего совершается эта работа? Мы уже говорили, что электрическое поле обладает некоторой энергией. Именно за счет нее и идет совершение работы.

Такая работа совершается на каждом участке цепи, которую мы рассматриваем. Пользуясь законом сохранения энергии, мы можем сделать следующий вывод.

Энергия, израсходованная на всей цепи, равна сумме энергий, которые расходуются на отдельных ее участках (проводниках).

Пример задачи

Два проводника сопротивлением $R_1 = 2 space Ом$ и $R_2 = 3 space Ом$ соединены последовательно. Сила тока в цепи равна $1 space А$. Определите сопротивление цепи, напряжение на каждом проводнике и полное напряжение всего участка цепи.

Так как проводники соединены последовательно, мы будем использовать формулы, полученные на данном уроке.

Дано:
$R_1 = 2 space Ом$
$R_2 = 3 space Ом$
$I = 1 space А$

$R — ?$
$U_1 — ?$
$U_2 — ?$
$U — ?$

Решение:

Общее сопротивление цепи будет равно сумме сопротивлений составляющих ее проводников:
$R = R_1 + R_2$.

Рассчитаем его:
$R = 2 space Ом + 3 space Ом = 5 space Ом$.

Сила тока на всех участках цепи будет одинакова и равна $1 space А$.

Запишем закон Ома для участка цепи с первым проводником и выразим из него напряжение на концах первого проводника:
$I = frac{U_1}{R_1}$,
$U_1 = IR_1$.

Рассчитаем его:
$U_1 = 1 space А cdot 2 space Ом = 2 space В$.

Так же рассчитаем напряжение на концах второго проводника:
$I = frac{U_2}{R_2}$,
$U_2 = IR_2$,
$U_2 = 1 space А cdot 3 space Ом = 3 space В$.

При последовательном соединении проводников полное напряжение в цепи мы можем рассчитать двумя способами.

Способ №1
Напряжение на всей цепи равно сумме напряжений на концах проводников в этой цепи:
$U = U_1 + U_2$,
$U = 2 space В + 3 space В = 5 space В$.

Способ №2
Мы уже знаем общее сопротивление двух проводников. Получается, что эти два проводника мы можем представить как один целый. Используем закон Ома для участка цепи:
$I = frac{U}{R}$,
$U = IR$,
$U = 1 space А cdot 5 space Ом = 5 space В$.

Ответ: $R = 5 space Ом$, $U_1 = 2 space В$, $U_2 = 3 space В$, $U = 5 space В$.

Упражнения

Дано:
$R_1 = 4 space Ом$
$R_2 = 6 space Ом$

$I = 0.2 space А$

$U_1 — ?$
$U_2 — ?$
$U — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Такие лампы можно соединить последовательно в одну цепь. Главное, чтобы их суммарное напряжение не превышало общее. Рассчитаем количество таких ламп, которое мы можем включить в цепь.

Дано:
$U = 3000 space В$
$U_1 = 50 space В$

$n — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:

$U = 220 space В$

$U_1 — ?$
$U_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Схема такой цепи изображена на рисунке 5.

Дано:
$U = 6 space В$
$R_1 = 13.5 space Ом$
$R_2 = 3 space Ом$
$R_3 = 2 space Ом$

$I — ?$
$U_1 — ?$
$U_2 — ?$
$U_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

• 

Напряжение при параллельном и последовательном соединении

Напряжение при параллельном и последовательном соединении: в первом случае одинаково для всей цепи, а во втором – равно сумме значений для каждого потребителя.

Напряжение при параллельном соединении

В параллельном соединении все ветви потребителей энергии сходятся в двух точках цепи, что изображено на схеме.

При таком соединении напряжение U₁, U₂ и U₃ для трех компонентов цепи одинаково. То есть общее равно напряжению для любой ветки цепи:

U = U₁ = U₂ = … = U_n

Напряжение при последовательном соединении

При последовательном соединении потребители энергии соединены друг с другом в виде цепочки, как показано в схематическом рисунке.

При последовательном соединении общее напряжение будет равно сумме значений для каждого ее звена:

U = U₁ + U₂ + … + U_n

Общие сведения о напряжении

Напряжение обозначается буквой U. Единица в системе СИ – Вольт. Измеряется специальным прибором – вольтметром. Формула напряжения:

U = I*R,

где I – сила тока, А;

R – сопротивление проводника, Ом.

Примеры вычисления напряжения при параллельном и последовательном соединении

Возьмем для примера цепь с двумя резисторами. Если их соединение параллельно, на вольтметре будут показаны одни и те же значения для любого участка цепи:

U = U1 = U2 = 10 Вольт

При последовательном соединении общее напряжение равно сумме показателей обоих приборов, т.е.

U = 10 + 10 = 20 Вольт.

Применение двух типов соединений на практике

Так как при параллельном соединении напряжение для любой ветки цепи одинаково, его часто применяют на практике. Например, чтобы включить сразу несколько приборов, которым требуется одинаковое напряжение, а работа каждого не зависит от остальных приборов: холодильник, утюг, микроволновая печь и другие. Выключение утюга или холодильника никак не скажется на работе микроволновки. При последовательном соединении выключение одного из участников цепи ведет к обесточиванию всех приборов. Например: в елочной гирлянде при перегорании одной лампочки перестает работать вся гирлянда.

Смешанное соединение проводников. Расчёт электрических цепей

Повторение. Факты про последовательное и параллельное соединение проводников.

1. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков общее со­про­тив­ле­ние участ­ка равно сумме со­про­тив­ле­ний про­вод­ни­ков:

 

2. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков силы тока в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны общей силе тока на участ­ке цепи:

 

3. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков сумма на­пря­же­ний равна об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи:

 

4. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков общая про­во­ди­мость участ­ка равна сумме про­во­ди­мо­стей про­вод­ни­ков:

 

5. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков сумма сил токов равна общей силе тока на участ­ке цепи:

 

6. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков на­пря­же­ния в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи:

 

Задача 1

Че­ты­ре оди­на­ко­вые лампы под­клю­че­ны к ис­точ­ни­ку по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния (см. Рис. 1). Опре­де­ли­те силу тока в каж­дой лампе, если на­пря­же­ние на ис­точ­ни­ке со­став­ля­ет 30 В.

Дано: ;

Найти: , , ,

Ре­ше­ние

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке 1 изоб­ра­же­на элек­три­че­ская цепь со сме­шан­ным со­еди­не­ни­ем про­вод­ни­ков: лампы 2 и 3 со­еди­не­ны па­рал­лель­но, а лампы 2 и 4 со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но с участ­ком цепи, со­сто­я­щим из ламп 2 и 3.

Про­во­ди­мость участ­ка цепи, со­сто­я­ще­го из ламп 2 и 3, равна:

 

Сле­до­ва­тель­но, со­про­тив­ле­ние этого участ­ка равно:

 

Так как лампы 1 и 4 со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но с участ­ком цепи, со­сто­я­щим из ламп 2 и 3, то общее со­про­тив­ле­ние ламп будет равно:

 

Со­глас­но за­ко­ну Ома, сила тока всей цепи равна:

 

Так как при по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков силы тока в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны общей силе тока на участ­ке цепи, то:

 

Необ­хо­ди­мо найти силу тока на лам­пах 2 и 3. Для этого вы­чис­лим на­пря­же­ние на участ­ке цепи, ко­то­рый со­сто­ит из ламп 2 и 3:

 

Так как лампы 2 и 3 со­еди­не­ны па­рал­лель­но, то на­пря­же­ния на этих лам­пах равны:

 

От­сю­да сила тока в каж­дой лампе равна:

 

 

Ответ:  ;  

Задача 2

Уча­сток цепи, ко­то­рый со­сто­ит из че­ты­рёх ре­зи­сто­ров, под­клю­чён к ис­точ­ни­ку с на­пря­же­ни­ем 40 В (см. Рис. 2). Вы­чис­ли­те силу тока в ре­зи­сто­рах 1 и 2, на­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре 3. Со­про­тив­ле­ние пер­во­го ре­зи­сто­ра равно 2,5 Ом, вто­ро­го и тре­тье­го – по 10 Ом, чет­вёр­то­го – 20 Ом.

Дано: ; ; ;

Найти: , ,

Ре­ше­ние

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Через ре­зи­стор  течёт такой же ток, как и через весь уча­сток (), сле­до­ва­тель­но, со­глас­но за­ко­ну Ома:

 

То есть для на­хож­де­ния  нужно вы­чис­лить со­про­тив­ле­ние (R) всего участ­ка цепи, ко­то­рый со­сто­ит из двух по­сле­до­ва­тель­но под­клю­чён­ных ча­стей, одна часть с ре­зи­сто­ром , дру­гая часть с ре­зи­сто­ра­ми :

 

Ре­зи­стор  со­еди­нён па­рал­лель­но ре­зи­сто­рам  и , сле­до­ва­тель­но:

 

Ре­зи­сто­ры  и  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, по­это­му:

 

 

 

Сле­до­ва­тель­но, со­про­тив­ле­ние всей цепи равно:

 

Под­ста­вим дан­ное зна­че­ние в фор­му­лу для на­хож­де­ния тока в ре­зи­сто­ре :

 

Так как при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков на­пря­же­ния в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи, то:

 

От­сю­да:

 

 

 

При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии силы тока оди­на­ко­вы, по­это­му:

 

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

 

Решив эту си­сте­му по­лу­чим, что:

 

 

Так как  и  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но:

 

На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре  равно:

 

Ответ: ;  ;  

Задача 3

Най­ди­те пол­ное со­про­тив­ле­ние цепи (см. Рис. 3), если со­про­тив­ле­ние ре­зи­сто­ров , , . Най­ди­те силу тока, иду­ще­го через каж­дый ре­зи­стор, если к цепи при­ло­же­но на­пря­же­ние 36 В.

Дано: ; ; ;

Найти: , , , , , , ;

Ре­ше­ние

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­зи­сто­ры , ,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, по­это­му со­про­тив­ле­ние на этом участ­ке равно:

 

Ре­зи­стор  под­клю­чён па­рал­лель­но участ­ку с ре­зи­сто­ра­ми , , , по­это­му со­про­тив­ле­ние на участ­ке с ре­зи­сто­ра­ми ,, ,  равно:

 

Ре­зи­сто­ры  и  со­еди­не­ны с участ­ком цепи с ре­зи­сто­ра­ми ,, ,  по­сле­до­ва­тель­но, то есть общее со­про­тив­ле­ние цепи равно:

 

Через ре­зи­стор  и   () нераз­ветв­лён­ной цепи течёт весь ток цепи, по­это­му:

 

По за­ко­ну Ома этот ток равен:

 

Общее на­пря­же­ние цепи будет со­сто­ять из на­пря­же­ний , так как ,,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но (, по­то­му что  и  па­рал­лель­ны):

 

 

Со­глас­но за­ко­ну Ома:

 

Ре­зи­сто­ры , ,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, сле­до­ва­тель­но:

 

Ответ: ; ; ;   

Разветвление: Задача на бесконечную электрическую цепь

Най­ди­те со­про­тив­ле­ние R бес­ко­неч­ной цепи, по­ка­зан­ной на ри­сун­ке 4.

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

По­сколь­ку рас­смат­ри­ва­е­мая в за­да­че цепь бес­ко­неч­на, уда­ле­ние одной «ячей­ки», со­сто­я­щей из ре­зи­сто­ров  и , не вли­я­ет на её со­про­тив­ле­ние. Сле­до­ва­тель­но, вся цепь, на­хо­дя­ща­я­ся пра­вее звена , тоже имеет со­про­тив­ле­ние R. Это поз­во­ля­ет на­ри­со­вать эк­ви­ва­лент­ную схему цепи (см. Рис. 5) и за­пи­сать для неё урав­не­ние.

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

 

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но R. Решая это урав­не­ние и от­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень (от­ри­ца­тель­но­го со­про­тив­ле­ния не су­ще­ству­ет), по­лу­ча­ем фор­му­лу для об­ще­го со­про­тив­ле­ния цепи:

 

Про­ана­ли­зи­ро­вав дан­ную фор­му­лу, можно за­ме­тить, что если , то общее со­про­тив­ле­ние цепи . То есть ре­зи­стор с малым со­про­тив­ле­ние  прак­ти­че­ски за­ко­ро­тит всю по­сле­ду­ю­щую бес­ко­неч­ную цепь.

Ответ:

Итоги

Мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные за­да­чи на сме­шан­ное со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ков, а также на рас­чёт элек­три­че­ских цепей.

Разветвление: Задача из ЕГЭ

Со­про­тив­ле­ние каж­до­го ре­зи­сто­ра в цепи (см. Рис. 6) равно 100 Ом. Уча­сток под­клю­чён к ис­точ­ни­ку по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния вы­во­да­ми AиB. На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре  равно 12 В. Найти на­пря­же­ние между вы­во­да­ми схемы на участ­ке A–B(ва­ри­ан­ты от­ве­та: а) 12 В; б) 18 В; в) 24 В; г) 36 В.

Дано: ;

Найти:

Ре­ше­ние

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­зи­сто­ры  рас­по­ло­же­ны по­сле­до­ва­тель­но, зна­чит, силы тока на этих ре­зи­сто­рах равны:

 

Так как, по усло­вию, , то и на­пря­же­ния на этих ре­зи­сто­рах будут равны:

 

Сле­до­ва­тель­но, общее на­пря­же­ния на участ­ке, со­сто­я­щем из ре­зи­сто­ров , будет равно:

 

Так как уча­сток с ре­зи­сто­ра­ми  со­еди­нён с участ­ком с ре­зи­сто­ра­ми  па­рал­лель­но, то на­пря­же­ния на этих участ­ках равны между собой и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке A–B:

 

Ответ: г) 36 В

Дан­ную за­да­чу, как видим, можно ре­шить, не зная зна­че­ний со­про­тив­ле­ния, а зная толь­ко то, что они равны. Также эту за­да­чу можно ре­шить, зная зна­че­ние со­про­тив­ле­ний , даже если они не равны.

Вопросы к конспектам

Как нужно со­еди­нить че­ты­ре ре­зи­сто­ра, со­про­тив­ле­ния ко­то­рых 0,5 Ом, 2 ОМ, 3,5 Ом и 4 Ом, чтобы их общее со­про­тив­ле­ние было 1 Ом?