Как найти общее решение системы линейных уравнений

Пусть
переменныхназываются основными (или базисными),
если определитель матрицы из коэффициентов
при них (т.е. базисный минор) отличен от
нуля. Остальныепеременных
называются неосновными (или свободными).
Каждому разбиению переменных на основные
и неосновные соответствует одно базисное
решение, а число способов разбиения не
превосходит числа сочетанийто
и базисных решений имеется не более

Совместная
система
линейных уравнений спеременнымиимеет
бесконечное множество решений, среди
которых базисных решений конечное
число, не превосходящее

Достоинства
метода Гаусса по сравнению с другими:

–
менее трудоемкий метод;

–
позволяет однозначно установить,
совместна система или нет и в случае
совместности найти ее решение;

–
дает возможность найти максимальное
число линейно независимых уравнений –
ранг матрицы системы.

Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений

Составим
расширенную матрицу по данной системе

поменяем
местами первую и вторую строку

умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой; умножим
первую строку наи сложим с третьей строкой

умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой

последняя
строка вычеркивается, так как все ее
элементы равны нулю

Ранг
основной матрицы
ранг
расширенной матрицыследовательно, система совместна. Число
строк в основной матрицечисло
столбцов в основной матрицеследовательно, система имеет множество
решений.

Выявим
базисные переменные

следовательно,
базисные
переменные, тогда

3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Система
линейных уравнений спеременными называетсясистемой
линейных однородных уравнений,
если все их свободные члены равны нулю.

Системы
линейных однородных уравнений:

Система
линейных однородных уравнений всегда
совместна, так как имеет, по крайней
мере, нулевое решение

Если
в однородной системе
а
ее определитель отличен от нуля, то
такая система имеет только нулевое
решение.

Система
линейных однородных уравнений имеет
ненулевое решение тогда и только тогда,
когда ранг ее матрицы коэффициентов
при переменных меньше числа переменных,
т.е. при

Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений

Составим
по данной системе расширенную матрицу

поменяем
местами первую и третью строки

умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой, а затем с
третьей строкой, получим

умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой

разделим
последнюю строку на

Таким
образом, ранг расширенной матрицы и
ранг основной матрицы равны
следовательно,
система совместна. Число строк в основной
матрице равно 3, а число столбцов равно
4, т.е. решений множество. Определим
базисные переменные

базисные
переменные.

Перейдем
от матрицы к системе, выразим переменные
через другие переменные

Контрольные
вопросы

1. Сформулировать
   теорему Кронекера
   – Капелли.

2. Сформулировать
   Метод Гаусса решения систем m
   линейных
   уравнений с n
   неизвестными.

3. Дать
   определение базисному решению систем
   линейных алгебраических уравнений.

4. Какие
   системы линейных алгебраических
   уравнений называют однородными?

Лекция
№4. Векторы

4.1.
Векторы в науке и технике. Понятие
вектора. Координаты вектора.

4.2.
Линейные операции над векторами.

4.3.
Декартова система координат. Базис
векторного пространства.

4.4.
Скалярное произведение векторов,
основные свойства и выражение в
координатной форме.

4.5.
Векторное произведение векторов.
Основные свойства векторного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.

4.6.
Применение векторного произведения
векторов к решению задач.

4.7.
Смешанное произведение векторов.
Основные свойства смешанного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.

4.8.
Применение смешанного произведения
векторов к решению задач.

1. Векторы
   в науке и технике. Понятие вектора.
   Координаты вектора

В
физике и математике вектор – это
величина, которая характеризуется
численным значением и направлением. В
физике встречается немало важных
величин, которые характеризуются
направлением. Например, сила, скорость,
ускорение, вращающий момент, импульс,
напряженность электрического и магнитного
полей. Их можно противопоставить другим
величинам, таким как масса, объем,
давление, температура, плотность, которые
можно описать обычным числом и называются
они скалярными величинами.

Векторная
запись используется при работе с
величинами, которые невозможно задать
полностью с помощью обычных чисел.
Например, необходимо описать положение
предмета, но полностью определить
местоположение предмета невозможно,
пока не будет известно направление, в
котором он находится. Таким образом,
местонахождение предмета характеризуется
численным значением (расстоянием в
километрах) и направлением.

При
изучении и расчете цепей переменного
тока удобно пользо­ваться векторными
диаграммами, на которых синусоидальные
напряжения и токи условно изображают
с помощью векто­ров. Применение этих
диаграмм упрощает изучение и расчет
цепей и вносит наглядность в рассматриваемые
соотношения.

Вектором
на плоскости называется
направленный отрезок

с начальной точкой
и конечной точкойкоторый
можно перемещать параллельно самому
себе.

Рис.
1

Вектор
на плоскости

От
любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один,
используя параллельный перенос. При
параллельном переносе точки смещаются
по параллельным или совпадающим прямым
на одно и тоже расстояние.

Нулевой
вектор – точка
в пространстве. Начало и конец нулевого
вектора совпадают, и он не имеет длины
и направления.

Абсолютной
величиной или модулем вектора называется
длина отрезка, изображающего вектор.
Другими словами длина
вектора есть
расстояние между началом и концом
вектора

Векторы
называются коллинеарными,
если они
расположены на одной или на параллельных
прямых. Нулевой вектор коллинеарен
любому вектору. Если векторы
иколлинеарны и их лучи сонаправлены, то
векторыиназываютсонаправленными.
Обозначают
Если векторыиколлинеарны,
а их лучи не являются сонаправленными,
то векторы называютпротивоположно
направленными.
Обозначают
Нулевой вектор условились считать
сонаправленным с любым вектором.

Рис.2

Коллинеарные
вектора

Свойство
коллинеарных векторов.

Если
векторы
иколлинеарны и,
то существует числотакое,
что.
Причем, еслито векторыисонаправленные, еслито
противоположно направленные.

Векторы
называются компланарными,
если при
откладывании их от одной и той же точки
они будут лежать в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Коллинеарные
векторы всегда компланарны, но не все
компланарные векторы коллинеарны.

Признак
компланарности трех векторов.

Если
вектор
можно разложить по векторами,
т.е. представить в виде,
где-некоторые
числа, то векторы-компланарны.

Рис.3

Компланарные
вектора

,
где
;

,
где

,
где

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Метод Гаусса

1. Метод Гаусса
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Несовместность системы (нет решений)
   1. Пример 3
3. Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
   1. Пример 4

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: $$begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 end{cases}. $$

1. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов и столбца свободных членов. Вертикальная черта используется для удобства оформления. $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
2. С помощью элементарных преобразований матрицы (вычитание одной строки из другой, умноженной на коэффициент, удаление одинаковых и нулевых строк, деление строки на число отличное от нуля) получаем нули под главной диагональю $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ 0 & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
3. Используя элементарные преобразования, изложенные в пункте 2, приводим матрицу к виду содержащему нули везде, кроме главной диагонали $$ begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & | & b_1 \ 0 & a_{22} & 0 & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$

Несовместность системы (нет решений)

Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&b end{pmatrix} text{ где } b neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений. 

Система линейных уравнений. Общее решение

Система линейных уравнений (СЛУ) может быть записана в виде

(1)

где m, n натуральные числа, a_ij (i=1,2, …m, j=1,2,…n) называются коэффициентами, b_i (i=1,2,…m) называются свободными членами, x_i (i=1,2,…n) называются неизвестными.

Систему линейных уравнений (1) можно записать в виде

где A матрица порядка m×n , x – вектор порядка n (x∈Rⁿ), b – вектор порядка m (b∈R^m).

Решением системы (2) называется выбор такого вектора x’, что выполнено равенство

Ax’≡b.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместным.

Если СЛУ не имеет решения, то СЛУ называется несовместным.

Если СЛУ имеет единственное решение, то СЛУ называется определенным.

Если СЛУ имеет более одного решения, то СЛУ называется неопределенным.

 Система линейных уравнений (2) называется неоднородной cистемой линейных уравнений, если b≠0.

Система линейных уравнений (2) называется однородной cистемой линейных уравнений, если b=0.

Нахождение общего решения системы линейных уравнений

Общее решение системы линейных уравнений (1)((или (2))− это множество всех решений этой системы.

Пусть A m×n – матрица rankA=r. В общем случае можем предположить что r<n, r<m. Тогда r столбцов матрицы A линейно независимы. Для удобства записи предположим, что это первые r столбцы матрицы A. Запишем систему (2) в блочном виде:

(3)

где M – r×r – матрица, Q -m-r×r – матрица, F – n-r×r – матрица, P – m-r×n-r – матрица, .

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

(4)

где M₁ верхняя треугольная матрица, 0 – нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

(5)

где E – единичная матрица порядка r×r.

Запишем (5) в виде системы линейных уравнений:

(6)

где

Решим систему линейных уравнений (6). Для этого перезапишем в следующем виде:

(7)

Из второго уравнения системы (7) следует, что для совместности системы (6) и, следовательно, (2) (или (1)) должно выполняться условие b₂”≡ 0. Если система совместна, то решаем первое уравнение системы (7) относительно вектора x_r:

(8)

Таким образом первые r координаты вектора x выражены через остальные координаты . – свободные координаты, т.е. могут принимать любые значения.

Найдем, далее, множество всех векторов x, удовлетворяющих уравнению (6) и, следовательно, (2)( или (1)).

Рассмотрим множество всех векторов х, удовлетворяющих условию

(9)

где λ – произвольный вектор-столбец длины n-r.

Подставляя (9) в (6) получим:

Следовательно (9) является решением системы (6) и, следовательно, (2)(или (1)). Отметим что вектор является частным решением неоднородной системы линейных уравнений Ax=b, а является общим решением однородной системы линейных уравнений Ax=0;

Нахождение общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Обозначим через R(A) пространство столбцов матрицы A, т.е.

R(A)={z: z=Ax, ∀x∈Rⁿ}.

1. Пусть A n×n матрица и rank(A)=n. Тогда существует обратная к A матрица A^-1, и следовательно единственное решение СЛУ (2) примет вид:

x’=A⁻¹b.

(10)

Действительно, подставляя (3) в (2) имеем:

Ax’=AA⁻¹b=Eb=b,

где E − единичная матрица.

2. Пусть A m×n − матрица, rank(A)=r.

Вычислим следующий вектор:

x’=A⁺b.

(11)

где A⁺ – псевдообратная к A матрица.

Подставляя (11) в (2), имеем:

AA⁺b=b.

(12)

Из равенства (12) следует, что для того, чтобы система линейных уравнений (2) имела решение, должно выполняться условие

b∈R(A).

Если СЛУ совместна, т.е. если AA⁺b=b, то x’=A⁺b является решением СЛУ (2).

Общее решение системы линейных уравнений является суммой частного решения неоднородной системы линейных уравнений и множества всех решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.

Общее решение системы линейных уравнений (2) имеет следующий вид:

x=x*+(E−A+A)z, ∀z∈Rn.

(13)

где x^* – один из решений неоднородной системы (2) (например (4)), (E−A⁺A) образует ядро (нуль пространство) матрицы A.

Сделаем скелетное разложение матрицы (E−A⁺A):

E−A⁺A=Q·S

где Q n×n−r – матрица rank(Q)=n−r, S n−r×n-матрица rank(S)=n−r.

Тогда (13) можно записать в следующем виде:

x=x*+Q·k,   ∀k∈R^n-r.

где k=Sz.

Итак, процедура нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы можно представить в следующем виде:

1. Вычисляем псевдообратную матрицу A⁺.
2. Вычисляем частное решение неоднородной системы линейных уравнений (2): x*=A⁺b.
3. Проверяем совместность системы. Для этого вычисляем AA⁺b. Если AA⁺b≠b, то система несовместна. В противном случае продолжаем процедуру.
4. Высисляем E−A⁺A.
5. Делаем скелетное разложение E−A⁺A=Q·S.
6. Строим решение

x=x*+Q·k,   ∀k∈R^n-r.

Решение системы линейных уравнений онлайн

Онлайн калькулятор позволяет найти обшее решение системы линейных уравнений с подробными объяснениями.

Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть переменных называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные переменных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний то и базисных решений имеется не более

Совместная система линейных уравнений с переменными имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

– менее трудоемкий метод;

– позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;

– дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Составим расширенную матрицу по данной системе

поменяем местами первую и вторую строку

умножим первую строку на и сложим со второй строкой; умножим первую строку на и сложим с третьей строкой

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю

Ранг основной матрицы ранг расширенной матрицы следовательно, система совместна. Число строк в основной матрице число столбцов в основной матрице следовательно, система имеет множество решений.

Выявим базисные переменные

следовательно, базисные переменные, тогда

Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x₁=-3 → x₁=3; x₂=3-x₁ → x₂=0; x₃=1-2x₁ → x₃=5.
x₄ = 10- 3x₁ – 3x₂ – 2x₃ = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r_B > r_A.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x₃ = – 1 + x₄ + x₅; x₂ = 1 – x₄; x₁ = 2 + x₄ – 3x₅

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x1	x2	x3	x4	x5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x1	x2	x3	x4	x5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x₃ =
– x₂ + 13x₃ = – 1 + 3x₄ – 6x₅
2x₁ + 3x₂ – 3x₃ = 1 – 3x₄ + 2x₅
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₃ = 0
x₂ = 1 – 3x₄ + 6x₅
x₁ = – 1 + 3x₄ – 8x₅
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡₂ = 2 – 1.67x₃ + 0.67x₄
x₁ = 5 – 3.67x₃ + 0.67x₄
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли. Согласно теореме Кронекера – Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение

Разрешенная система уравнений. Общее, частное и базисное решения

Определение. Неизвестная х, называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Определение. Неизвестная х. называется разрешенной, если в системе линейных уравнений (2.2) существует s-e уравнение, содержащее это неизвестное с коэффициентом a_sj = 1, а в остальных уравнениях системы (2.2) коэффициенты при этом неизвестном равны нулю, т.е. а- = 0 при / ф s.

Определение. Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, отличную от разрешенных переменных в остальных уравнениях.

Разрешенные неизвестные, взятые по одной из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. Заметим, что полный набор разрешенных неизвестных определяется неоднозначно.

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными переменными, а не входящие в полный набор — свободными переменными.

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид

Определение. Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены (правые части) и свободные неизвестные:

Определение. Частным решением системы уравнений называется решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях свободных неизвестных.

Определение. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных неизвестных.

Определение. Базисное решение называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.

Определение. Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Любое общее решение системы представляет собой совокупность соотношений, используя которые можно получить любое частное решение из множества всех возможных частных решений системы.

Разрешенная система уравнений всегда совместна; причем если система не имеет свободных неизвестных, то она является определенной; если же имеется хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.

Пример 2.3. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы

Решение. Система является разрешенной, поэтому, включив в набор разрешенных неизвестных х и х₂, записываем общее решение

Если включить в набор разрешенных неизвестных х₅ вместо х_<, то можно записать другое общее решение

Найдем частное решение, соответствующее значениям свободных переменных х₃ = 0, х₄ = 1, х₅ = 2, для этого, подставляя в первое общее решение заданные значения свободных неизвестных, получим

Запишем частное решение Х_ч = (9, 24, 0, 1, 2).

Если принять свободные переменные равными нулю х₃ = х₄ = ,r_g = О, то из первого общего решения получим ту = 10, х₂ = 20 и запишем базисное решение Х₆ = (10, 20, 0, 0, 0).

Если для какой-либо заданной системы уравнений получена равносильная ей разрешенная система, то общее, частное и базисное решения этой разрешенной системы являются также решениями исходной системы.

Е1еобходимо заметить, что любые две разрешенные системы уравнений, равносильные заданной системе, совпадают, если они имеют одни и те же разрешенные, а следовательно и свободные, неизвестные.

[spoiler title=”источники:”]

http://math.semestr.ru/gauss/example-system.php

http://bstudy.net/719710/estestvoznanie/razreshennaya_sistema_uravneniy_obschee_chastnoe_bazisnoe_resheniya

[/spoiler]

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

В теме “Теорема Кронекера-Капелли” было указано, что если ранг расширеной матрицы системы $widetilde{A}$ и ранг матрицы системы $A$ равны между собой, то заданная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, т.е. имеет решение. Вопрос о количестве этих решений разрешим с помощью следствия из теоремы Кронекера. Согласно ему, если $rang A=rangwidetilde{A} = n$ ($n$ – количество неизвестных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $rang A=rangwidetilde{A} < n$, то количество решений заданной СЛАУ бесконечно.

Особый интерес представляет именно случай $rang A=rangwidetilde{A} < n$, которым и займёмся в этой теме. Так как $rang A=rangwidetilde{A}$, то обозначим эти ранги просто буквой $r$, т.е. $rang A=rangwidetilde{A}=r$. Итак, $r < n$ и система неопределена, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Что означает фраза “ранг матрицы равен $r$”? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.

Если коэффициенты при $r$ переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор матрицы системы $A$, то эти $r$ переменных называют базисными или основными. Остальные $n-r$ переменных именуют свободными или неосновными.

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.

Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde{A}$.

Пример №1

Решить СЛАУ $
left { begin{aligned}
& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=9\
& -x_1+2x_2+x_3+x_4=-11;\
& x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5.
end{aligned} right.$. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
3 & -6 & 9 & 13 & 9 \
-1 & 2 & 1 & 1 & -11 \
1 & -2 & 2 & 3 & 5 end{array} right) rightarrow
left|begin{aligned}
& text{поменяем местами первую и третью}\
& text{строки, чтобы первым элементом}\
& text{первой строки стала единица.}
end{aligned}right| rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
-1 & 2 & 1 & 1 & -11 \
3 & -6 & 9 & 13 & 9
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+r_1\ r_3-3r_1 end{array} rightarrow

left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 3 & 4 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\r_3-r_2end{array} rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde{A} = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на “ступеньках”. Что это за “ступеньки” показано на рисунке:

На “ступеньках” стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Примечание. показатьскрыть

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)$ от нулевой строки:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6
end{array}right)
$$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$
left( begin{array} {cc|ccc}
1 & 2 & 5 & 2 & -3\
0 & 3 & -6 & 0 & -4
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ 1/3cdot{r_2} end{array} rightarrow
left( begin{array} {cc|ccc}
1 & 2 & 5 & 2 & -3\
0 & 1 & -2 & 0 & -4/3
end{array}right)
begin{array} {l} r_1-2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow \

rightarrow left(begin{array} {cc|ccc}
1 & 0 & 9 & 2 & -1/3\
0 & 1 & -2 & 0 & -4/3
end{array}right).
$$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-2-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.
$$

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=9;\
& x_2=0;\
& x_3=-2;\
& x_4=0.
end{aligned}right.
$$

Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{2}{3};\
& x_2=-4;\
& x_3=-frac{10}{3};\
& x_4=1.
end{aligned}right.$. Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-2-frac{4}{3}x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$
3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(9+2x_2-frac{1}{3}x_4right)-6x_2+9cdot left(-2-frac{4}{3}x_4right)+13x_4=9.
$$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-2-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.$, базисное решение: $
left{begin{aligned}
& x_1=9;\
& x_2=0;\
& x_3=-2;\
& x_4=0.
end{aligned}right.$.

Пример №2

Решить СЛАУ

$$left{begin{aligned}
& x_1-2x_2+4x_3+2x_5=0;\
& 4x_1-11x_2+21x_3-2x_4+3x_5=-1; \
& -3x_1+5x_2-13x_3-4x_4+x_5=-2.
end{aligned}right.$$

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Похожий пример уже был решен в теме “метод Крамера” (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.

$$
left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
4 & -11 & 21 & -2 & 3 & -1\
-3 & 5 & -13 & -4 & 1 & -2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \r_2-4r_1\r_3+3r_1end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2
end{array} right) rightarrow \

rightarrow left|begin{aligned}
& text{поменяем местами вторую и третью}\
& text{строки, чтобы диагональным элементом}\
& text{второй строки стало число (-1).}
end{aligned}right|rightarrow

left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\
0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\r_3-3r_1end{array} rightarrow \

rightarrow left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\
0 & 0 & 8 & 10 & -26 & 5
end{array} right).
$$

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $rang A=rangwidetilde{A} = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод “ступенек”, что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

$$
left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\
0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\
0 & 0 & 8 & 5 & -10 & 26
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\1/8cdot{r_3}end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\
0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l}r_1-4r_3 \r_2+r_3\ phantom{0}end{array} rightarrow \

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\
0 & -1 & 0 & -11/8 & 11/4 & -15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2}\ phantom{0}end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\
0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l}r_1+2r_2 \ phantom{0}\ phantom{0}end{array} rightarrow\

rightarrowleft( begin{array} {ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1/4 & -1/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
$$

Из последней матрицы имеем общее решение заданной СЛАУ: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4}-frac{1}{2}x_4-frac{15}{2}x_5;\
& x_2=frac{11}{8}-frac{11}{4}x_4+frac{15}{4}x_5;\
& x_3=frac{5}{8}-frac{5}{4}x_4+frac{13}{4}x_5;\
& x_4 in R;\
& x_5 in R.
end{aligned}right.$. Базисное решение получим, если приравняем свободные переменные к нулю, т.е. $x_4=0$, $x_5=0$:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4};\
& x_2=frac{11}{8};\
& x_3=frac{5}{8};\
& x_4=0;\
& x_5=0.
end{aligned}right.
$$

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4}-frac{1}{2}x_4-frac{15}{2}x_5;\
& x_2=frac{11}{8}-frac{11}{4}x_4+frac{15}{4}x_5;\
& x_3=frac{5}{8}-frac{5}{4}x_4+frac{13}{4}x_5;\
& x_4 in R;\
& x_5 in R.
end{aligned}right.$, базисное решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4};\
& x_2=frac{11}{8};\
& x_3=frac{5}{8};\
& x_4=0;\
& x_5=0.
end{aligned}right.$.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.