Как найти общее сопротивление контуров

Содержание:

Метод контурных токов:

Контурным током называют условный ток, протекающий внутри независимого контура.

Напомним, что контуры называются независимыми (подробнее см. разд. 2.1), если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (ветвью). Направление отсчёта контурного тока выбирается произвольно и независимо от выбора направлений отсчётов контурных токов в других контурах. В отличие от метода токов ветвей, рассмотренного в лекции 4, данный метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной числу

Предварительно покажем, что при известных контурных токах можно найти токи всех ветвей, а потому и напряжения на всех элементах цепи. Действительно, ток в любом элементе (ветви) определяется по первому закону Кирхгофа (ЗТК) как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в этом элементе. Например, при выбранных в удлинителе (рис. 5.3) направлениях отсчётов токов элементов и контурных токов имеем:

Зная токи, протекающие в элементах, можно по закону Ома определить напряжения на каждом из них.

Определение:

Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются контурные токи, называется методом контурных токов.

Составление контурных уравнений

При составлении системы контурных уравнений воспользуемся вторым законом Кирхгофа и будем полагать, что (рис. 5.4):

При этих условиях, выбранных независимых контурах и заданных направлениях отсчётов контурных токов запишем уравнение для первого контура (см. рис. 5.4) согласно второму закону Кирхгофа:

    (5.5)

Выразим напряжения на элементах 1-го контура через токи ветвей по закону Ома:

или в общем виде:

   (5.6)

Подставим (5.6) в (5.5)

        (5.7)

и выразим токи ветвей через контурные токи, нумерация которых осуществляется римскими цифрами и прямыми латинскими буквами. Из рис. 5.4 видно, что:

Произведём замену токов ветвей в выражении (5.7) через соотношения (5.8):

Умножим полученное уравнение на-1, раскроем скобки, приведём подобные члены и перенесём в правую часть известные значения напряжений источников; после выполнения этих действий контурное уравнение принимает вид

Подобное уравнение можно было бы составить и для любого другого контура, поэтому полученный результат позволяет сделать обобщающие выводы:

Аналогично записываются узловые уравнения для всех других контуров цепи, в результате чего образуется система контурных уравнений вида:

          (5.9)

где:

Система контурных уравнений (5.9) составлена относительно неизвестных контурных токов и записана в канонической форме, а именно:

• контурные ЭДС, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
• неизвестные контурные токи записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
• уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами контуров.

Пример 5.2.

Записать систему контурных уравнений для удлинителя (рис. 5.3).

Решение. Предварительно найдём собственные и взаимные сопротивления трёх контуров:

 I контура:

•    собственное сопротивление
•    взаимные сопротивления: со вторым контуром с третьим контуром

II контура:

•    собственное сопротивление
•    взаимные сопротивления: с первым контуром с третьим контуром

III контура:

•    собственное сопротивление
•    взаимные сопротивления: с первым контуром с третьим контуром 

Заметим, что:

Теперь можно записать систему контурных уравнений, руководствуясь указанными ранее правилами:

 

Особенности составления контурных уравнений

Рассмотренные ранее цепи не содержали независимых источников тока, поэтому количество контурных уравнений согласно (5.4) равно количеству независимых контуров. Однако цепь может иметь несколько источников токов. В этом случае следует выбрать такое дерево цепи, при котором источники токов входили бы в число соединительных элементов. Тогда через каждый источник тока будет проходить ток только одного контура, который равен задающему току источника. Поэтому уменьшается как число неизвестных контурных токов, так и число контурных уравнений. Следовательно, если цепь содержит источников тока, то известно контурных токов, а число контурных уравнений оказывается равным

       (5.10)

Пример 5.3.

Записать систему контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на рис. 5.5.

Решение. Цепь содержит два источника тока: в первом и четвёртом контурах, где контурные токи совпадают с токами источников:

поэтому достаточно записать только два контурных уравнения — для второго и третьего контуров.

В уравнении для третьего контура отсутствует слагаемое, содержащее ток поскольку взаимное сопротивление этого контура с четвёртым равно нулю, т. е. между этими контурами нет никакой связи.

Важно:
метод контурных токов применяют в тех случаях, когда число контурных уравнений меньше числа узловых уравнений, а также при анализе колебаний в линейных электрических цепях произвольной конфигурации, содержащих все виды элементов.

Решение системы контурных (узловых) уравнений

Решение системы контурных (узловых) уравнений состоит в нахождении неизвестных контурных токов (узловых напряжений) для последующего вычислением токов и напряжений на элементах цепи. Если параметры цепи (сопротивления, проводимости, токи источников токов, ЭДС источников напряжений) заданы численно, то решение систем осуществляется с помощью специальных пакетов программ математического моделирования, например, Matlab или Matcad.

Основные понятия теории определителей

При теоретическом анализе удобнее использовать методы теории определителей, позволяющие записать решения в компактной форме. Прежде чем обращаться к этим методам, дадим основные понятия теории определителей.

        (5.11)

Стоящее в знаменателях полученных дробей выражение  называется определителем (детерминантом) второго порядка и записывается в виде

           (5.13)

где вертикальные чёрточки являются знаком определителя. С помощью этого обозначения формулы (5.13) можно записать в виде

         (5.14)

где — определитель, полученный из определителя системы заменой столбца коэффициентов при -ой неизвестной столбцом свободных членов.

Из соотношений (5.14) следует: каждая из неизвестных и   равна дроби, у которой в знаменателе стоит определитель системы а в числителе — определитель  и  соответственно, полученный из определителя системы подстановкой столбца свободных членов вместо столбца коэффициентов при данной неизвестной.

Подобным образом решается система уравнений любого порядка. Остаётся выяснить, как вычислять определители, если их порядок больше двух.

Рассмотрим вычисление определителя на примере системы третьего порядка:

решение которой приводит к дробям вида (5.12), где в знаменателе оказывается выражение

          (5.15)

называемое определителем третьего порядка и обозначаемое

           (5.16)

по которой можно вычислять значение определителя третьего порядка. Нетрудно видеть, что правая часть равенства состоит из суммы произведений коэффициентов (элементов) первой строки и определителей второго порядка с нужными знаками. Эти определители называются минорами и получаются из исходного определителя вычёркиванием первой строки и соответствующего данному элементу столбца. Например, минор относительно элемента получается вычёркиванием первой строки и первого столбца (рис. 5.6, а), минор относительно элемента получается вычёркиванием первой строки и первого столбца (рис. 5.6, б). Таким образом, получено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Подобные разложения можно произвести относительно элементов любой строки, предварительно записав соответствующие миноры.

Определение:

Минором  относительно -ой строки и -ro столбца (относительно элемента аи) называется определитель, получаемый из исходного определителя, если в последнем вычеркнуть -ю строку и -ый столбец.

Знак минора определяется по формуле или же по мнемоническому правилу: для левого верхнего элемента всегда берётся “+”, а для других элементов — в шахматном порядке по схеме, представленной на рис. 5.7.

Определение:

Алгебраическим дополнением относительно к-ой строки и 1-го столбца (относительно элемента ) называется минор, взятый с нужным знаком по правилу  ,  т. е.

    (5.18)

Из сказанного следует: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь из рядов (строки или столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

При вычислении определителей больших порядков их предварительно разлагают на алгебраические дополнения. Отметим также, что подобно (5.14) для любой системы, у которой имеет место формула для вычисления -ой неизвестной (формула, или правило Крамера)

       (5.19)

т. е. каждая -ая неизвестная равна дроби, у которой в знаменателе стоит определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы подстановкой столбца свободных членов вместо столбца коэффициентов при -ой неизвестной.

Габриэль Крамер (1704—1752) — швейцарский математик, заложивший в 1750 г. основы теории определителей.
 

Применение теории определителей для решения контурных (узловых) уравнений

Применяя методы теории определителей к системе контурных уравнений (5.9), по формуле Крамера находим решение для первого контурного тока

где

        (5.20)

представляет собой определитель системы контурных уравнений (5.9), а

находится из определителя (5.20) при замене в нём первого столбца свободными членами. Заметим, что определитель (5.20) является симметричным относительно главной диагонали, поскольку при

Разлагая определитель на алгебраические дополнения по элементам первого столбца, получаем выражение для первого контурного тока

    (5.21)

Аналогичное решение можно найти и для L-го контурного тока, разлагая определитель на алгебраические дополнения по элементам 1-го столбца:

        (5.22)

Полученное общее решение (5.22) системы контурных уравнений (5.9) показывает, что реакция в виде токов в электрической цепи представляет собой сумму реакций, вызываемых каждым из воздействий в отдельности в предположении, что все другие источники отсутствуют. Этот факт является следствием линейности электрической цепи, описываемой системой линейных уравнений, и составляет содержание принципа наложения.

Аналогичным образом рассчитывается система узловых уравнений (5.2).
 

Примеры использования теории определителей

Задача 5.1.

Цепь имеет единственный источник напряжения по отношению к которому сама цепь представляет собой пассивный резистивный двухполюсник (рис. 5.8). Требуется найти входное сопротивление двухполюсника.

Решение. Для удобства назовём контур, замыкающийся через источник, первым. Тогда из (5.21) следует

       (5.23)

и согласно закону Ома имеем

откуда получаем соотношение

     (5.24)

называемое входным сопротивлением двухполюсника. Оно представляет собой эквивалентное сопротивление пассивного резистивного двухполюсника.

Заметим, что в резистивном двухполюснике электрическая энергия может только рассеиваться, поэтому при выбранных на рис. 5.8 направлениях отсчёта тока и напряжения коэффициент в (5.23) представляет собой вещественное положительное число, что справедливо и для (5.24). Следовательно, любой резистивный двухполюсник ведёт себя подобно резистивному элементу, сопротивление которого равно входному сопротивлению двухполюсника.

Задача 5.2.

Найти ток в заданной ветви резистивной цепи (рис. 5.9), имеющей единственный источник напряжения в 

Решение. Такую цепь можно рассматривать как резистивный четырёхполюсник, в котором вновь для удобства обозначим контур, содержащий источник напряжения, первым (I), а контур, содержащий интересующую нас ветвь, вторым (II).

При выбранных направлениях отсчёта ЭДС источника и тока второго контура согласно (5.22) при получаем:

     (5.25)

где

 

представляет собой собственное сопротивление второго контура и потому эквивалентное сопротивление четырёхполюсника.

Метод контурных токов

При расчете сложных цепей методом узловых и контурных уравнений (по законам Кирхгофа) необходимо решать систему из большого количества уравнений, что значительно затрудняет вычисления.

Так, для схемы рис. 4.13 необходимо составить и рассчитать систему из 7-ми уравнений

Ту же задачу можно решить, записав только 4 уравнения по второму закону Кирхгофа, если воспользоваться методом контурных токов.

Суть метода состоит в том, что в схеме выделяют т независимых контуров, в каждом из которых произвольно направлены (см. пунктирные стрелки) контурные токи . Контурный ток — это расчетная величина, измерить которую невозможно.

Как видно из рис. 4.13, отдельные ветви схемы входят в два смежных контура. Действительный ток в такой ветви определяется алгебраической суммой контурных токов смежных контуров.

Таким образом

Для определения контурных токов составляют т уравнений по второму закону Кирхгофа. В каждое уравнение входит алгебраическая сумма ЭДС, включенных в данный контур (по одну сторону от знака равенства), и общее падение напряжения в данном контуре, созданное контурным током данного контура и контурными токами смежных контуров (по другую сторону знака равенства).

Для данной схемы (рис. 4.13) необходимо составить 4 уравнений. Со знаком «плюс» записываются ЭДС и падения напряжено разные стороны знака равенства), действующие в направлении контурного тока, со знаком «минус» — направленные проконтурного тока.

Система уравнений для схемы (рис. 4.13):

Решением системы уравнений вычисляются значения контур-токов, которые и определяют действительные токи в каждой и схемы (рис. 4.13).

Пример 4.11

Определить токи во всех участках сложной цепи (рис. 4.14), если:

Решение

Необходимо составить 3 уравнения по второму закону для определения контурных токов 1 (направление урных токов выбрано произвольно указано пунктирными линиями).

Подставляются числовые значения величин

Из уравнения (2) определяется ток

Значение тока (выражение (2′)) подставляется в уравнение (1):

То же значение тока подставляется в уравнение (3):

Из полученного уравнения (3) вычитается полученное уравнение (1). В результате получим

Откуда контурный ток

Из уравнения (3) определяется контурный ток

Из уравнения (2′) определяется ток

Вычисляются реальные токи в заданной цепи:

Проверяется правильность решения для 1 -го контура (рис. 4.14).

Решение правильное.

Такую же проверку можно произвести и для других контуров (2-го и 3-го):

Проверка показала правильность решения.

Определение метода контурных токов

Данный метод является фундаментальным и применим для расчета любых электрических цепей. Он базируется на уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа. В схеме выделяются независимые контуры, в каждом из них произвольно выбираются направления контурных токов и составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Для цепи по рис. 3.1 имеем:

Введем в полученную систему уравнений обобщенные параметры:

собственное сопротивление контура – сумма сопротивлений, входящих в состав контура, например, для первого контура:

смежные сопротивления – сопротивления на границах контуров, например,  сопротивление на границе первого и второго контуров, суммарная ЭДС, например, для первого контура:

Тогда система уравнений примет вид:

Используя матричный метод расчета, можем записать:

В уравнении (3.8) – главный определитель системы (3.7a), a  – алгебраическое дополнение для соответствующей контурной ЭДС. В ветвях, которые не граничат с другими контурами, реальные токи будут:

Токи ветвей, находящихся на границах контуров:

Справочный материал по методу контурных токов

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурное токи, замыкающиеся в контурах.

На рис. 7-4 в виде примера показана двухконтурная электрическая цепь, в которой — контурные токи. Токи в сопротивлениях и равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении являющемся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов так как эти токи направлены в ветви встречно*. При этом если положительное направление искомого тока в ветви принять совпадающим с направлением контурного тока то ток в ветви будет равен В противном случае он будет равен

Число уравнений, записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, т. е. для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей р задача нахождения контурных токов сведется к решению системы р — q + I уравнений. Так, в схеме рис. 7-4 q = 2, р = 3; следовательно, число уравнений равно 3 — 2+1=2 (число независимых контуров). 

Следует отметить, что если положительное направление одного из контурных токов изменить на обратное, то ток в ветви будет равен сумме этих токов.

Условимся сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, называть собственным сопротивлением контура, а комплексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум или нескольким контурам, — общим сопротивлением этих контуров.

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от данного контурного тока в собственном сопротивлении контура берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис. 7-4, где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис. 7-4) могут быть записаны два уравнения по второму закону Кирхгофа, а именно:,

где — собственные сопротивления контуров 1 и 2; — общее сопротивление контуров 1 и 2 (знак минус в уравнениях обусловлен выбором положительных направлений контурных токов).

Если заданная электрическая схема содержит п независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система из п уравнений:

Здесь — контурная э. д. с. в контуре т. е. алгебраическая сумма э. д. с., действующих в данном контуре; э. д. с., совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а направленные встречно — со знаком минус;

— собственное сопротивление контура i;

— общее сопротивление контуров i и k. 

Индексы собственных и общих сопротивлений контуров заключены в скобки для отличия их от входных и передаточных сопротивлений, приводимых в последующих разделах книги.

В соответствии со сказанным ранее собственные сопротивления войдут со знаком плюс, поскольку обход, контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока Общие сопротивления войдут со знаком минус, когда токи направлены в них встречно.

Решение уравнений (7-2) относительно искомых контурных токов может быть найдено с помощью определителей:

ит. д., где определитель системы

Согласно правилу разложения определителя по элементам столбца определитель равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения. Поэтому решение уравнений запишется в виде

 Определитель снабжен индексом z, так как его элементами являются комплексные сопротивления.

На практике во многих случаях решение системы уравнений (7-2) может быть выполнено более просто последовательным исключением неизвестных,

Здесь Дitl — алгебраическое дополнение элемента Z{lk) определителя системы, т. е. умноженный на (—1)‘+* минор элемента (минор образуется из определителя системы исключением из него i-й строки и столбца).

Сокращенно система уравнений (7-3) записывается в виде:

Первый индекс алгебраического дополнения i, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру контура, контурная э. д. с. которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру контура, для которого вычисляется контурный ток.

Уравнения (7-2), выражающие второй закон Кирхгофа, записаны в предположении, что источниками электрической энергии служат источники э. д. с. При наличии в электрической схеме источников тока они могут быть заменены эквивалентными источниками э. д. с.

Если проводимости источников тока равны нулю, то целесообразно выбрать заданные токи в качестве контурных; тогда число неизвестных контурных токов и соответственно число уравнений сократятся на число заданных токов.

Если в заданной электрической схеме имеются параллельные ветви, то замена их эквивалентным комплексным сопротивлением сокращает число контуров (за счет тех, которые образованы параллельными ветвями).

Электрические цепи могут быть планарными или непланарными.

Планарная, или плоская, электрическая цепь может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с непере-крещивающимися ветвями. В некоторых случаях пересечение ветвей в электрической схеме, являющееся результатом Принятого способа начертания схемы, устраняется при другом способе изображения данной планарной электрической цепи, как это, например, представлено на рис. 7-5.

Электрическая цепь, приведенная на рис. 7-5, а, планарна, так как имеющееся пересечение ветвей устранимо в соответствии с рис. 7-5, б.

Не планарная электрическая цепь не может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещиваю-щимися ветвями. Примером такой электрической цепи служит приведенная на рис. 7-5, в непланарная цепь, пересечение ветвей в которой не может быть устранено.

Если направление контурных токов во всех контурах планарной электрической цепи одинаково, например совпадает с ходом часовой стрелки, то общие сопротивления смежных контуров входят в систему уравнений (7-2) со знаком минус, так как контурные токи смежных контуров

направлены в общих ветвях встречно. Направление контурных токов по ходу часовой стрелки принимается во всех контурах, кроме внешнего, охватывающего всю схему. В последнем контурный ток направляется против часовой стрелки'(см. пример 7-2). Это правило, однако, не является обязательным.

В случае непланарной электрической цепи не представляется возможным иметь в общих ветвях только разности контурных токов, как это, например, видно из схемы рис. 7-5, в.

Пример 7-2. 

Пользуясь методом контурных токов, определить ток в диагонали бюстовой схемы рис. 7-6.

Выбранные положительные направления контурных токов указаны на схеме стрелками. Число уравнений, записываемых по второму закону Кирхгофа, равно трем (по числу независимых контуров):

Решение полученной системы уравнений относительно контурных токов дает:

где М имеет то же значение, что и в примере 7-1.

Искомый ток в диагонали мостовой схемы равен разности контурных токов:

что совпадает с полученным в примере 7-1 ответом.

Следует заметить, что если в заданной схеме контуры выбрать так, чтобы через ветвь проходил только один контурный ток, то искомый ток в ветви будет равен именно Рис. 7-6. Пример 7-2. этому контурному току, т, е.

задача сведется к нахождению только одного контурного тока (вместо двух).

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m – количество ветвей, а n  – количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток – это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС – это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I₁-I₆. 

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R₁₁=R₁+R₄+R₅=10+25+30= 65 Ом

R₂₂=R₂+R₄+R₆=15+25+35 = 75 Ом

R₃₃=R₃+R₅+R₆=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R₁₂=R₂₁=R₄=25 Ом

R₂₃=R₃₂=R₆=35 Ом

R₃₁=R₁₃=R₅=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом: 

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E₁ этого контура.  Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему: 

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.  

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус. 

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R₄ протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Рекомендуем – Метод двух узлов

Просмотров: 186635

Метод контурных
токов является одним из основных методов
расчета сложных электрических цепей,
которым широко пользуются на практике.

При расчете методом
контурных токов полагают, что в каждом
независимом контуре течет свой контурный
ток. Уравнения составляют относительно
контурных токов, после чего определяют
токи ветвей через контурные токи.

Таким образом, метод
контурных токов можно определить как
метод расчета, в котором за искомые
принимают контурные токи. Число
неизвестных в этом методе равно числу
уравнений, которые необходимо было бы
составить для схемы по II
закону Кирхгофа, т.е.
.
Следовательно, этот метод более экономичен
при вычислениях, чем метод уравнений
Кирхгофа.

Разработаем алгоритм
расчета цепей методом контурных токов
на примере приведенной на рис. 2.3. схемы,
в которой три независимых контура.
Предположим, что в каждом контуре
протекает свой контурный ток в указанном
направлении. Для каждого из контуров
составим уравнения по II
закону Кирхгофа. При этом учтем, что по
смежной ветви для контурных токов
 и

 (ветвь
bd,
содержащая сопротивление
)
протекает ток
,
по смежной ветви для контурных токов

 и

 (ветвь
dс,
содержащая сопротивление
)
протекает ток
,
по смежной ветви для контурных токов

 и

 (ветвь
аd,
содержащая сопротивление
)
протекает ток
.

Тогда уравнения
по II
закону Кирхгофа для каждого контура
принимают следующий вид:

Сгруппируем
слагаемые при одноименных токах:

                                                 
          (2.5)

Введем обозначения:

В окончательном
виде система уравнений для контурных
токов приобретает следующий вид:

                           
(2.6)

в матричной форме

                                 
(2.7)

Собственное
сопротивление контура (R_ii)
представляет собой арифметическую
сумму сопротивлений всех потребителей,
находящихся в      i-ом
контуре.

Общее сопротивление
контура (R_ij
= R_ji)
представляет собой алгебраическую
сумму сопротивлений потребителей ветви
(нескольких ветвей), одновременно
принадлежащих i-ому
и  j-ому
контурам. В эту сумму сопротивление
входит со знаком «+», если контурные
токи протекают через данное сопротивление
в одном направлении (согласно), и знак
«–», если они протекают встречно.

Контурные ЭДС
представляют
собой алгебраическую сумму ЭДС источников,
входящих в контур. Со знаком «+» в эту
сумму входят ЭДС источников, действующих
согласно с обходом контура, со знаком
«–» входят ЭДС источников, действующих
встречно.

Решение полученной
системы удобно выполнить методом Крамера

,                                                
(2.8)

где ,
₁,
₂,
₃, 
– соответственно определители матриц:

  
(2.9)

По найденным контурным
токам при помощи I
закона Кирхгофа определяются токи
ветвей.

Таким образом,
методика расчета цепи постоянного тока
методом контурных токов следующая:

1.   Обозначить
все токи ветвей и их положительное
направление.

2.   Произвольно
выбрать совокупность p
независимых контуров,  нанести на
схему положительное направление
контурных токов, протекающих в выбранных
контурах.

3.   Определить
собственные, общие сопротивления и
контурные ЭДС и подставить их в систему
уравнений вида (2.3).

4.   Разрешить
полученную систему уравнений относительно
контурных токов, используя метод Крамера.

5.   Определить
токи ветвей через контурные токи по I
закону Кирхгофа.

6.   В случае
необходимости, с помощью обобщенного
закона Ома определить потенциалы узлов.

7.   Проверить
правильность расчетов при помощи баланса
мощности.

Если в цепи содержится
q
источников
тока, количество
совместно рассматриваемых уравнений
сокращается на q
и становится равным р
– q,
поскольку токи в таких ветвях известны
(для контуров с I_ii = J
уравнение
можно не записывать). В этом случае
следует выбирать такую совокупность
независимых контурных токов, чтобы
часть из них стала известными. Для этого
необходимо, чтобы каждый источник тока
входил только в один контур. Напряжения
U_J
источников
войдут в качестве неизвестных в правые
части уравнений, т.е. в состав контурных
ЭДС.

13.Метод узловых
потенциалов.

Ток в любой ветви
схемы можно найти по обобщенному закону
Ома. Для того, чтобы можно было применить
закон Ома, необходимо знать значение
потенциалов узлов схемы. Метод расчета
электрических цепей, в котором за
неизвестные принимают потенциалы узлов
схемы, называют методом узловых
потенциалов. Число неизвестных в методе
узловых потенциалов равно числу
уравнений, которые необходимо составить
для схемы по I
закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов,
как и метод контурных токов, – один из
основных расчетных методов. В том случае,
когда п-1
< p
(n
– количество
узлов, p – количество
независимых контуров), данный метод
более экономичен, чем метод контурных
токов.

Проиллюстрируем на
простом примере получение методики
расчета электрической цепи методом
узловых потенциалов:

1. Записываем
(n
– 1) уравнение
по I
закону Кирхгофа (при выбранном опорном
узле 4,
потенциал которого условно принимаем
равным нулю)

узел
1: – I₁
+ I₄
– I₆
= 0

узел
2:  I₁
– I₂
+
J₃
= 0

узел 3: 
I₂
– I₄
+ I₅
= 0

2. Для каждого из
m
токов записываем выражение по обобщенному
закону Ома через потенциалы узлов с
учетом, что потенциал ₄
=
0:

3. Полученные в п. 2
выражения подставляем в уравнения,
составленные по I
закону Кирхгофа

Приведем подобные
слагаемые при различных потенциалах и
получим каноническую систему уравнений:

         
(2.10)

Введем обозначения:

В окончательном
виде система уравнений для контурных
токов приобретает следующий вид:

                              
(2.11)

в матричной форме

                                  
(2.12)

Собственная
проводимость узла (G_ii)
представляет собой арифметическую
сумму проводимостей всех ветвей,
соединенных в i-ом
узле.

Общая проводимость
i-ого
и j-ого
узлов (G_ij
= G_ji)
представляет собой взятую со знаком
«–» сумму проводимостей ветвей,
присоединенных одновременно к i–ому
и j–ому
узлам.

Проводимости
ветвей с источниками тока полагаются
равными нулю и в собственные и общие
проводимости не входят!

Узловой  ток
(J_ii)
состоит из двух алгебраических сумм:
первая содержит токи источников тока,
содержащиеся в ветвях, соединенных в i
–ом узле; вторая
представляет собой произведение ЭДС
источников напряжения на проводимости
соответствующих ветвей, соединенных в
i
–ом узле. Со
знаком «+» в эту сумму входят E
и J
источников,
действие которых направлено к узлу, со
знаком «–» остальные.

Решение системы
уравнений по методу узловых потенциалов
в общем случае выполняется методом
Крамера при помощи определителей:

Тогда неизвестные
потенциалы могут вычислены следующим
образом:

                                        
(2.14)

Нетрудно, показать,
что аналогичную систему уравнений можно
построить для случая n
узлов в цепи.
Тогда необходимо составить для (n–1)
узлов
соответствующие уравнения, полагая
потенциал n-ого
узла, равным нулю.

Таким образом,
методика расчета цепи постоянного тока
методом узловых потенциалов следующая:

1.    Обозначить
все токи ветвей и их положительное
направление.

2.    Произвольно
выбрать опорный узел (_n)и
пронумеровать все остальные (n–1)–e
узлы.

3.    Определить
собственные и общие проводимости узлов,
а также узловые токи, т.е. рассчитать
коэффициенты в системе уравнений.

4.    Записать
систему уравнений в виде

Соседние файлы в папке Билеты с ответами

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В соответствии с уравнениями (1.43) можно принять, что каждый из токов I₁ , I₂ и I₃ замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 1.21, а и б), и назвать такие токи контурными: Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r₁, r₅ и r₄ разность ЭДС E₁ — Е₄ равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока I_1к на всех сопротивлениях этого контура и от токов I_2к и I_3к соответственно на сопротивлениях r₅ и r₄. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 1.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I_2к, I_3к и I_4к, замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам

Выражение для тока I₅ получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S₅, след которого показан на рис. 1.21, в штриховой линией.
Таким образом, система взаимно не-зависимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.
Схема рис. 1.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.
Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей В на число узлов схемы без одного (У — 1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 1.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: , или для контурных токов .
Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.
В качестве примера рассмотрим схему на рис. 1.17. На основании второго закона Кирхгофа

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I₅, I₄ и I₆; в результате после группировки слагаемых получим

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r₅ и r₄, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.
Обозначив в уравнениях (1.46) составляющие напряжений r₄J и r₅J соответственно через E_т4 и Е_т5, можно переписать их иначе:

Здесь следует отметить, что перенос слагаемых r₄J и r₅J из левой в правую часть уравнений (1.47) и замена этих напряжений на схеме ЭДС E_т4 и Е_т5 иллюстрируют применение так называемого принципа компенсации, изложенного более подробно в разделе.
Уравнениям (1.47) соответствует эквивалентная схема (рис. 1.22, а), на которой источник тока J заменен источниками ЭДС E_т4 = r₄J и E_т5 = r₅J, при этом токи в ветвях с сопротивлениями r₄ и r₅ не равны соответствующим токам в ветвях заданной схемы (см. рис. 1.17) и отличаются от них на ток J источника тока. Иначе говоря, после определения контурных токов I_1к, I_2к и I_3к необходимо для вычисления токов I₄ и I₅ в ветвях заданной схемы (рис. 1.17) записать уравнения по первому закону Кирхгофа именно для заданной схемы:

Аналогично можно показать, что если принять ток J замыкающимся по ветви с сопротивлением r₁, то получится новая эквивалентная схема (рис. 1.22, 6); контурный ток I_1к в эквивалентной схеме не равен току I₁ в ветви с сопротивлением r1 заданной схемы (см.рис. 1.17) и отличается от него на ток J.
Замена источника тока J двумя эквивалентными источниками напряжения E_т4 и Е_т5 (рис. 1.22, а) основана на предварительном преобразовании одного источника тока, включенного к узлам 1 и 4 (см. рис. 1.17) двумя источниками тока, включенными к узлам 1 и 3, 3 и 4. Покажем справедливость такого преобразования для более общего случая.
На рис. 1.23, а изображена часть разветвленной схемы с одним источником тока J, присоединенным к узлам 1 и 4. Режим в этой схеме, очевидно, не изменится, если вместо одного источника тока J, присоединенного к выводам 1 и 4, включить три источника тока соответственно к узлам 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, поскольку токи . в ветвях присоединения к узлам 2 и 2′, 3 и 3′ равны нулю (рис. 1.23,6). Переход от схемы рис. 1.23, б к эквивалентной схеме рис. 1.23,в, где уже не требует особых пояснений.

Таким образом, при расчете режима цепи методом контурных токов можно предварительно заменить источники тока эквивалентными источниками ЭДС, а затем ввести контурные токи и на основании второго закона Кирхгофа составить систему уравнений для их определения. Токи в ветвях без эквивалентных источников ЭДС, заменяющих источники тока, определяются по первому закону Кирхгофа суммированием контурных токов; в ветвях заданной схемы, в которых на эквивалентной схеме включены источники ЭДС, учитываются и токи источников тока.
При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 1.21,а три ячейки с контурными токами I_1к, I_2к и I_3к), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.
Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.
Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.
Для схемы, имеющей К независимых контуров, уравнения, аналогичные (1.43), запишутся в виде

В этих уравнениях сопротивление вида ru (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и к. Правые части уравнений (1.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е1 равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (1.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.
В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде

где обозначает собственное сопротивление контура l; — общее сопротивление двух контуров: l и j; — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением ; — контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).
Решив систему уравнений (1.48) при помощи определителей относительно любого из токов, например , получим

где — определитель системы уравнений (1.48), т. е.

алгебраические дополнения определителя , причем получается из путем вычеркивания l-го столбца и q-й строки и умножения полученного определителя на .
Необходимо отметить, что сопротивления вида нужно записывать в выражении (1.50) с тем знаком, который стоит перед соответствующим напряжением в уравнениях (1.48).

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров У — 1 < К, а методом контурных токов — при У — 1 > К.

Матричные уравнения контурных токов.

Уравнения контурных токов (1.48) с учетом (1.48а) можно записать в матричной форме:



где — квадратная матрица контурных сопротивлений; — матрица-столбец контурных токов; — матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники ЭДС и эквивалентные ЭДС от источников тока.
После умножения уравнения (1.51) слева на получим

Покажем, что матрицу контурных сопротивлений можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы контуров В:

где r — диагональная матрица сопротивлений ветвей; — транспонированная матрица контуров.
Направление обхода каждого контура примем совпадающим с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей — с положительными направлениями токов в ветвях. Чтобы получить независимые контуры, следует сначала выбрать дерево схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следовательно, и контурные токи.
Для иллюстрации рассмотрим схему на рис. 1.21, а с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветвей (рис. 1.21,6). В этом случае независимые контуры содержат контурные токи I_1к, I_2к и I_3к, что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.
Матрица контуров В состоит из трех строк и шести столбцов:

Диагональная матрица сопротивлений

Произведение матриц В и r равно:

Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по (1.53):

Матрица-столбец контурных токов

Матрица-столбец контурных ЭДС

Пользуясь уравнением (1.51), матрицами , можно получить уравнения (1.43).
Подчеркнем, что матрица токов ветвей I определяется через матрицу контурных токов по формуле

Например, для схемы рис. 1.21, а

Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

В дальнейшем индекс «к» у контурных токов, как правило, будем опускать.
В заключение подчеркнем, что все соотношения между токами ветвей и контурными токами для схем, показанных на рис. 1.21, а -в, можно получить из графов, построенных соответственно для этих схем на рис. 1.24, а-в, при этом деревья графа изображены на рис. 1.24, б и в толстыми линиями, а ветви связи — тонкими.