Как найти общие касательные к окружностям

Содержание

Угловой мерой дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается (по определению).

Если провести два радиуса, то образуется два центральных угла (сумма которых 360°) и две дуги окружности (сумма длин которых 2πR). Большему центральному углу соответствует большая дуга.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Когда говорят, что вписанный угол опирается на дугу – имеют в виду часть окружности, не содержащую вершину угла.

Проще говоря, угол (и центральный и вписанный) опирается на ту дугу, которая принадлежит части плоскости между сторонами угла.

Радианы — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r. Таким образом, на единичной окружности величина центрального угла в радианах равна длине стягивающей дуги.

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

Теорема. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или иначе говоря, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следствия:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

2. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90° (прямые).

Следствие из 2-го следствия:

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.

Касательная прямая к окружности в евклидовой геометрии на плоскости — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Также можно определить касательную как предельное положение секущей, когда точки пересечения её с окружностью бесконечно сближаются.

англ Tangent line (танго – касаться)

Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.

Соединить данную точку P и центр окружности O. На отрезке OP нужно «восстановить» прямоугольный треугольник. Воспользуемся тем, что если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то этот угол прямой.

Разделим отрезок OP пополам – получили точку H. Радиусом OH проводим еще одну окружность. Точка пересечения окружностей и есть точка касания.

Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r

Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

напоминает яйцо – скорлупа и желток – это две окружности радиуса R и r, а белок – это кольцо толщиной R-r

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r

Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

Общие касательные к двум окружностям – варианты касательных к двум окружностям, сохранено в pdf

также хорошо написано в Tangent lines to circles – Wikipedia

Система касательных прямых прицеливания битка использует прямую, проходящую через середину кия, для создания двух касательных прямых от битка в направлении прицельного шара. Две касательные прямые и прямая через середину битка пересекают прямую, проходящую через середину прицельного шара и центр лузы. Необходимо направить удар так, чтобы конечное положение битка (воображаемый шар на рисунке) касалось прицельного шара в точке касания прямой, перпендикулярной направлению на лузу (на рисунке эта касательная выделена зелёным цветом).

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Угол между касательной и хордой является вырожденным случаем вписанного угла, в котором вершина угла совпадает с одним из концов дуги.

Доказательство

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть $angle MCA=varphi$. Тогда $angle OCA = 90 ^{circ}-varphi$. Треугольник $OCA$ – равнобедренный, $OA = OC$ (как радиусы окружности). Значит, $angle AOC= 180 ^{circ}-2left ( 90 ^{circ} – varphi right )=2varphi$, что и требовалось доказать.

Заметим, что $angle ABC = varphi$ – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Квадрат отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей.

или

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

$ PM cdot PN=PT^2$

Мысленно сближать точки пересечения секущей с окружностью: тогда PN будет стремиться к PT с одной стороны, а PM – с другой стороны, а произведение их длин будет стремиться к $PT^2$

Доказательство следует из подобия треугольников PMT и PTN https://i.imgur.com/C5EMn1t.jpg

Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.

Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают.

Теорема выполняется, если заменить секущую на касательную к окружности.

• Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

• Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности.

• Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.

• Наибольшая хорда является диаметром.

• Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.

• Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам.

• Равные дуги стягиваются равными хордами.

• Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

• Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, раны.

• Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

• Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

• Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

• Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180.

• Другими словами: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма 180°.

• Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащейся в этом угле дуги окружности.

• Угол с вершиной внутри окружности: Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

• Величина угла, образованного  двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство α = π – γ. Далее получаем γ = 2π – β, значит, α = β – π. Складываем два выражения для α и делим пополам. α = (β-γ)/2

• Величина угла, образованного  касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. α = (β-γ)/2

• Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Еще рисунки:

∠ABC = ½∪AB Кут між хордою і дотичною

∠AEB = ½(∪AB+∪CD) Кут між хордами

∠AED = ½(∪AB-∪CD) Кут між січними