Пусть
переменных
называются основными (или базисными),
если определитель матрицы из коэффициентов
при них (т.е. базисный минор) отличен от
нуля. Остальные
переменных
называются неосновными (или свободными).
Каждому разбиению переменных на основные
и неосновные соответствует одно базисное
решение, а число способов разбиения не
превосходит числа сочетаний
то
и базисных решений имеется не более
Совместная
система
линейных уравнений с
переменными
имеет
бесконечное множество решений, среди
которых базисных решений конечное
число, не превосходящее
Достоинства
метода Гаусса по сравнению с другими:
–
менее трудоемкий метод;
–
позволяет однозначно установить,
совместна система или нет и в случае
совместности найти ее решение;
–
дает возможность найти максимальное
число линейно независимых уравнений –
ранг матрицы системы.
Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений
Составим
расширенную матрицу по данной системе
поменяем
местами первую и вторую строку
умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой; умножим
первую строку на
и сложим с третьей строкой
умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой
последняя
строка вычеркивается, так как все ее
элементы равны нулю
Ранг
основной матрицы
ранг
расширенной матрицы
следовательно, система совместна. Число
строк в основной матрице
число
столбцов в основной матрице
следовательно, система имеет множество
решений.
Выявим
базисные переменные
следовательно,
базисные
переменные, тогда
3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Система
линейных уравнений с
переменными называетсясистемой
линейных однородных уравнений,
если все их свободные члены равны нулю.
Системы
линейных однородных уравнений:
Система
линейных однородных уравнений всегда
совместна, так как имеет, по крайней
мере, нулевое решение
Если
в однородной системе
а
ее определитель отличен от нуля, то
такая система имеет только нулевое
решение.
Система
линейных однородных уравнений имеет
ненулевое решение тогда и только тогда,
когда ранг ее матрицы коэффициентов
при переменных меньше числа переменных,
т.е. при
Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений
Составим
по данной системе расширенную матрицу
поменяем
местами первую и третью строки
умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой, а затем с
третьей строкой, получим
умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой
разделим
последнюю строку на
Таким
образом, ранг расширенной матрицы и
ранг основной матрицы равны
следовательно,
система совместна. Число строк в основной
матрице равно 3, а число столбцов равно
4, т.е. решений множество. Определим
базисные переменные
базисные
переменные.
Перейдем
от матрицы к системе, выразим переменные
через другие переменные
Контрольные
вопросы
-
Сформулировать
теорему Кронекера
– Капелли. -
Сформулировать
Метод Гаусса решения систем m
линейных
уравнений с n
неизвестными. -
Дать
определение базисному решению систем
линейных алгебраических уравнений. -
Какие
системы линейных алгебраических
уравнений называют однородными?
Лекция
№4. Векторы
4.1.
Векторы в науке и технике. Понятие
вектора. Координаты вектора.
4.2.
Линейные операции над векторами.
4.3.
Декартова система координат. Базис
векторного пространства.
4.4.
Скалярное произведение векторов,
основные свойства и выражение в
координатной форме.
4.5.
Векторное произведение векторов.
Основные свойства векторного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.
4.6.
Применение векторного произведения
векторов к решению задач.
4.7.
Смешанное произведение векторов.
Основные свойства смешанного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.
4.8.
Применение смешанного произведения
векторов к решению задач.
-
Векторы
в науке и технике. Понятие вектора.
Координаты вектора
В
физике и математике вектор – это
величина, которая характеризуется
численным значением и направлением. В
физике встречается немало важных
величин, которые характеризуются
направлением. Например, сила, скорость,
ускорение, вращающий момент, импульс,
напряженность электрического и магнитного
полей. Их можно противопоставить другим
величинам, таким как масса, объем,
давление, температура, плотность, которые
можно описать обычным числом и называются
они скалярными величинами.
Векторная
запись используется при работе с
величинами, которые невозможно задать
полностью с помощью обычных чисел.
Например, необходимо описать положение
предмета, но полностью определить
местоположение предмета невозможно,
пока не будет известно направление, в
котором он находится. Таким образом,
местонахождение предмета характеризуется
численным значением (расстоянием в
километрах) и направлением.
При
изучении и расчете цепей переменного
тока удобно пользоваться векторными
диаграммами, на которых синусоидальные
напряжения и токи условно изображают
с помощью векторов. Применение этих
диаграмм упрощает изучение и расчет
цепей и вносит наглядность в рассматриваемые
соотношения.
Вектором
на плоскости называется
направленный отрезок
с начальной точкой
и конечной точкой
который
можно перемещать параллельно самому
себе.
Рис.
1
Вектор
на плоскости
От
любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один,
используя параллельный перенос. При
параллельном переносе точки смещаются
по параллельным или совпадающим прямым
на одно и тоже расстояние.
Нулевой
вектор – точка
в пространстве. Начало и конец нулевого
вектора совпадают, и он не имеет длины
и направления.
Абсолютной
величиной или модулем вектора называется
длина отрезка, изображающего вектор.
Другими словами длина
вектора есть
расстояние между началом и концом
вектора
Векторы
называются коллинеарными,
если они
расположены на одной или на параллельных
прямых. Нулевой вектор коллинеарен
любому вектору. Если векторы
и
коллинеарны и их лучи сонаправлены, то
векторы
и
называютсонаправленными.
Обозначают
Если векторы
и
коллинеарны,
а их лучи не являются сонаправленными,
то векторы называютпротивоположно
направленными.
Обозначают
Нулевой вектор условились считать
сонаправленным с любым вектором.
Рис.2
Коллинеарные
вектора
Свойство
коллинеарных векторов.
Если
векторы
и
коллинеарны и
,
то существует число
такое,
что
.
Причем, если
то векторы
и
сонаправленные, если
то
противоположно направленные.
Векторы
называются компланарными,
если при
откладывании их от одной и той же точки
они будут лежать в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Коллинеарные
векторы всегда компланарны, но не все
компланарные векторы коллинеарны.
Признак
компланарности трех векторов.
Если
вектор
можно разложить по векторам
и
,
т.е. представить в виде
,
где
-некоторые
числа, то векторы
-компланарны.
Рис.3
Компланарные
вектора
,
где
;
,
где
,
где
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Структура общего решения системы уравнений
Однородная система линейных уравнений
или
всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных
, то тривиальное решение единственное. Предположим, что
. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица
однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду
, т.е.
. Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений:
(5.13)
Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.
Свойства решений однородной системы уравнений
1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация
также является решением однородной системы.
В самом деле, из равенств следует, что
т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.
2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет
линейно независимых решений.
Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений
, придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):
Получим решений
которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних
строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен
. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).
Любая совокупность линейно независимых решений
однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.
Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.
Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец
(5.14)
при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных
, при которых это решение
удовлетворяет равенству (5.14).
Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу
, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец
Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то
. Так как каждый из столбцов матрицы
является решением системы
, то по первой формуле из (5.13) получаем
Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних
строк этой матрицы.
По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последних
строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы
является линейной комбинацией последних
строк этой матрицы. Значит, первые
строк матрицы
можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно,
, так как после вычеркивания в матрице
будет всего
строк. Таким образом,
. Значит, есть базисный минор матрицы
, который расположен в первых
ее столбцах, а столбец
не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа
, что
Итак, обратное утверждение доказано.
Алгоритм решения однородной системы уравнений
1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).
Если ранг матрицы системы равен числу
неизвестных
, то система имеет единственное тривиальное решение
и процесс решения заканчивается.
Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.
6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно
стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).
7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).
Замечания 5.3
1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.
2. Матрица столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде
, где
— столбец произвольных постоянных.
3. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых
строках и первых
столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы
Тогда блочная матрица размеров
является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.
Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы
Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы
2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы , приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):
Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.
5. Переменные — базисные, а
— свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы
6. Находим фундаментальную систему решений. Так как и
, надо подобрать
линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:
1) если , то
;
2) если , то
.
В результате получили фундаментальную систему решений
7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):
Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, и
. Тогда получим другую фундаментальную систему решений
и общее решение системы
Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.
Структура общего решения неоднородной системы уравнений
Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.
Рассмотрим неоднородную систему и соответствующую ей однородную систему
. Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.
Свойства решений неоднородной системы уравнений
1. Разность двух решений и
неоднородной системы есть решение однородной системы.
Действительно, из равенств и
следует, что
.
2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решение
неоднородной системы можно представить в виде
, где
— решение однородной системы.
В самом деле, для любого решения неоднородной системы разность
по свойству 1 является решением однородной системы, т.е.
— решение однородной системы.
Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.
Пусть — решение неоднородной системы, а
— фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец
(5.15)
при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения
этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных
, при которых это решение
удовлетворяет равенству (5.15).[/i]
Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.
Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.
Алгоритм решения неоднородной системы уравнений
1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).
6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.
7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно
стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.
8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).
Замечания 5.4
1. Используя фундаментальную матрицу однородной системы
, решение неоднородной системы
можно представить в виде
где — частное решение неоднородной системы, а
— столбец произвольных постоянных.
2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых
строках и первых
столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы
Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец
является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде
(5.16)
где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.
Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы
Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:
Переменные — базисные, а
— свободные.
6. Полагая , получаем частное решение неоднородной системы
.
7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):
8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы
Искомая структура множества решений найдена.
Получим формулу общего решения вторым способом, используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:
Записываем частное решение неоднородной системы
и составляем фундаментальную матрицу:
По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):
которое совпадает с ранее полученным.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Метод Гаусса
- Метод Гаусса
- Пример 1
- Пример 2
- Несовместность системы (нет решений)
- Пример 3
- Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
- Пример 4
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: $$begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 end{cases}. $$
- Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов и столбца свободных членов. Вертикальная черта используется для удобства оформления. $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
- С помощью элементарных преобразований матрицы (вычитание одной строки из другой, умноженной на коэффициент, удаление одинаковых и нулевых строк, деление строки на число отличное от нуля) получаем нули под главной диагональю $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ 0 & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
- Используя элементарные преобразования, изложенные в пункте 2, приводим матрицу к виду содержащему нули везде, кроме главной диагонали $$ begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & | & b_1 \ 0 & a_{22} & 0 & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
| Пример 1 |
| Решить систему уравнений методом Гаусса $$begin{cases} x_1 + 2 x_2 + x_3 = 5 \ -x_1 + 3 x_2 -2 x_3 = 3 \ – x_1 -7 x_2 + 4 x_3 = -5 end{cases}. $$ |
| Решение |
|
Запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных $x_1, x_2, x_3$ и отдельно столбец свободных членов $b_1, b_2, b_3$. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ -1 & 3 & -2 & | & 3 \ -1 & -7 & 4 & | & -5 end{pmatrix} $$ Приведем матрицу к нижнетреугольному виду (под главной диагональю должны быть нули) с помощью элементарных преобразований. Прибавим ко второй строке первую. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ -1 & -7 & 4 & | & -5 end{pmatrix} $$ Далее прибавляем к третьей строке первую. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & -5 & 5 & | & 0 end{pmatrix}$$ Теперь осталось к третьей строке прибавить вторую строку, чтобы под главной диагональю были только нули. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & 0 & 4 & | & 8 end{pmatrix}$$ Замечаем, что в третьей строке стоят числа, которые можно сократить на четыре. Для этого выполняем деление всей третьей строки на 4. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Теперь выполняем обратный ход Гаусса снизу вверх. Прибавляем ко второй строке третью строку. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & 0 & | & 10 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Сразу замечаем, что вторую строку можно сократить на 5. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Продолжаем обратный ход, вычитаем третью строку из первой. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 3 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Осталось из первой строки вычесть вторую строку, умноженную на 2, для того, чтобы в первой строке появился ноль. $$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Теперь перепишем получившуюся матрицу в виде системы уравнений, чтобы в дальнейшем получить чему равны неизвестные $x_1, x_2, x_3$. $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 end{cases}$$ |
| Ответ |
| $$x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 2$$ |
| Пример 2 |
| Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$begin{cases} 2x_1 + 5 x_2 + 4x_3 + x_4 = 20 \ x_1 + 3 x_2 + 2x_3 +x_4 = 11 \ 2x_1 +10 x_2 + 9 x_3 + 7x_4 = 40 \ 3x_1 + 8x_2 + 9x_3 + 2x_4 = 37 end{cases}. $$ |
| Решение |
|
Записываем расширенную матрицу $$ begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 1&3&2&1&|&11 \ 2&10&9&7&|&40 \ 3&8&9&2&|&37 end{pmatrix}.$$ Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую строчку. Из третьей строки просто вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем из неё первую строку, умноженную на 3. Получаем матрицу $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&5&5&6&|&20 \ 0&1&6&1&|&14 end{pmatrix}.$$ Берем вторую строку, умноженную на 5 и вычитаем из третьей. Затем вторую строку вычитаем из четвертой. $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&6&0&|&12 end{pmatrix}$$ Теперь умножаем третью строку на 6 и вычитаем её из четвертой строки, умноженной на 5. $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&0&-6&|&0 end{pmatrix}$$ Получили нижнетреугольную матрицу, то есть ниже главной диагонали расположены нули. Теперь проделываем элементарные преобразования снизу вверх, так называемый обратный ход Гаусса. Но прежде замечаем, что появилась строка, в которой можно выполнить сокращение. А именно в четвертой строке можно разделить все числа на (-6). И получаем $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Вот теперь вычитаем четвертую строчку из третьей, второй и первой. $$begin{pmatrix} 2&5&4&0&|&20 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Из второй строки мы не будем вычить третью, потому что там итак стоит ноль, ради которого мы проводим элементарные преобразования, поэтому пропускаем этот шаг. Умножаем на 4 третью строку и вычитаем её из первой, умноженной на 5. $$begin{pmatrix} 10&25&0&0&|&60 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Замечаем, что в первой строке можно все числа сократить на 5. $$begin{pmatrix} 2&5&0&0&|&12 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Теперь остался последний шаг это умножить вторую строку на 5 и вычесть из первой. $$begin{pmatrix} 2&0&0&0&|&2 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Замечаем, что первую строку можно сократить на 2, а третью строку на 5. $$begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&1&0&|&2 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Переписываем матрицу в виде привычной системы уравнений и получаем ответ $$begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&1&0&|&2 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix} sim begin{cases} x_1 = 1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 \ x_4 = 0 end{cases}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2, x_4 = 0$$ |
Несовместность системы (нет решений)
Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&b end{pmatrix} text{ где } b neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений.
| Пример 3 |
| Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса $$begin{cases} 7x_1 – 2x_2 – x_3 = 2 \ 6x_1 – 4x_2 – 5x_3 = 3 \ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5 end{cases}.$$ |
| Решение |
|
Как обычно пишем расширенную матрицу по коэффициентам при неизвестных переменных и столбцу свободных членов $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 6&-4&-5&|&3 \ 1&2&4&|&5 end{pmatrix}.$$ Запускаем алгоритм Гаусса. Идём сверху вниз. Умножаем вторую строку на 7 и вычитаем из неё первую строчку умноженную на 6. Затем первую строку вичитаем из третьей, умноженной на 7. $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 0&-16&-29&|&9 \ 0&16&29&|&33 end{pmatrix}$$ Далее по алгоритму прибавляем вторую строку к третьей. $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 0&-16&-29&|&9 \ 0&0&0&|&42 end{pmatrix}$$ Видим, что в результате элементарных преобразований появилась строка в которой все нули, кроме свободного члена. Это означает, что система несовместа, то есть у системы уравнений нет решения. |
| Ответ |
| Нет решений, так как система несовместна. |
Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
Часто после элементарных преобразований в расширенной матрице появляются нулевые строки вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&0 end{pmatrix}.$$ Такую строку нужно вычеркивать из матрицы и система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. Разберем это на практике.
| Пример 4 |
| Найти общее и два частных решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$begin{cases} x_1+x_2-x_3=4 \ 3x_1+2x_2-5x_3=7 \ 3x_1+x_2-7x_3=2 end{cases}.$$ |
| Решение |
|
Составляем расширенную матрицу $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 3&2&-5&|&7 \ 3&1&-7&|&2 end{pmatrix}.$$ Из второй и третьей строки вычетаем первую, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&-2&-4&|&-10 end{pmatrix}$$ Из третьей строки вычитаем вторую, домноженную на 2. $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix}$$ Теперь согласно обратному ходу Гаусса вторую строку прибавляем к первой. $$begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix}$$ По окочанию элементарных преобразований получилась строка, в которой все элементы равны нулю. Значит, система имеет бесконечное множество решений. Для его записи понадобится отличать базисные и свободные переменные. Обычно за базисные берут переменные, которые стоят на главной диагонали, а остальные свободные. В нашем случае базисными будут $x_1, x_2$, а свободной $x_3$. Переписываем матрицу в виде системы $$begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix} sim begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end{cases}.$$ Так как $x_1, x_2$ являются базисными переменными, то их переносим в левую часть равенства, а всё остальное в правую часть. Получившееся называют общим решением решением системы уравнений $$begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end{cases} sim begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end{cases}.$$ Чтобы получить частное решение системы уравнений нужно вместо свободного $x_3$ подставить любое число, например $x_3 = 0$. Тогда получаем, что $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 5 end{cases}.$$ Возьмем ещё например $x_3 = 1$ и получаем $$begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 end{cases}.$$ Можно брать различные числа вместо $x_3$ и получать бесконечное множество решений. |
| Ответ |
|
Общее решение системы уравнений $$begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end{cases}.$$ Частные решения системы уравнений $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 5 end{cases}, begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 end{cases}.$$ |
Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пусть 
переменных 
называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные 
переменных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний 
то и базисных решений имеется не более 
Совместная система 
линейных уравнений с 
переменными 
имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее 
Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:
– менее трудоемкий метод;
– позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;
– дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.
Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений
Составим расширенную матрицу по данной системе
поменяем местами первую и вторую строку
умножим первую строку на 
и сложим со второй строкой; умножим первую строку на 
и сложим с третьей строкой
умножим вторую строку на 
и сложим с третьей строкой
последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю
Ранг основной матрицы 
ранг расширенной матрицы 
следовательно, система совместна. Число строк в основной матрице 
число столбцов в основной матрице 
следовательно, система имеет множество решений.
Выявим базисные переменные
следовательно, 
базисные переменные, тогда
Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений
Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5.
x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.
Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.
Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение
Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.
Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x3 = – 1 + x4 + x5; x2 = 1 – x4; x1 = 2 + x4 – 3x5
Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x3 =
– x2 + 13x3 = – 1 + 3x4 – 6x5
2x1 + 3x2 – 3x3 = 1 – 3x4 + 2x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:
x3 = 0
x2 = 1 – 3x4 + 6x5
x1 = – 1 + 3x4 – 8x5
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡2 = 2 – 1.67x3 + 0.67x4
x1 = 5 – 3.67x3 + 0.67x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли. Согласно теореме Кронекера – Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение
Разрешенная система уравнений. Общее, частное и базисное решения
Определение. Неизвестная х, называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.
Определение. Неизвестная х. называется разрешенной, если в системе линейных уравнений (2.2) существует s-e уравнение, содержащее это неизвестное с коэффициентом asj = 1, а в остальных уравнениях системы (2.2) коэффициенты при этом неизвестном равны нулю, т.е. а- = 0 при / ф s.
Определение. Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, отличную от разрешенных переменных в остальных уравнениях.
Разрешенные неизвестные, взятые по одной из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. Заметим, что полный набор разрешенных неизвестных определяется неоднозначно.
Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными переменными, а не входящие в полный набор — свободными переменными.
В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид
Определение. Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены (правые части) и свободные неизвестные:
Определение. Частным решением системы уравнений называется решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях свободных неизвестных.
Определение. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных неизвестных.
Определение. Базисное решение называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
Определение. Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.
Любое общее решение системы представляет собой совокупность соотношений, используя которые можно получить любое частное решение из множества всех возможных частных решений системы.
Разрешенная система уравнений всегда совместна; причем если система не имеет свободных неизвестных, то она является определенной; если же имеется хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.
Пример 2.3. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы
Решение. Система является разрешенной, поэтому, включив в набор разрешенных неизвестных х и х2, записываем общее решение
Если включить в набор разрешенных неизвестных х5 вместо х<, то можно записать другое общее решение
Найдем частное решение, соответствующее значениям свободных переменных х3 = 0, х4 = 1, х5 = 2, для этого, подставляя в первое общее решение заданные значения свободных неизвестных, получим
Запишем частное решение Хч = (9, 24, 0, 1, 2).
Если принять свободные переменные равными нулю х3 = х4 = ,rg = О, то из первого общего решения получим ту = 10, х2 = 20 и запишем базисное решение Х6 = (10, 20, 0, 0, 0).
Если для какой-либо заданной системы уравнений получена равносильная ей разрешенная система, то общее, частное и базисное решения этой разрешенной системы являются также решениями исходной системы.
Е1еобходимо заметить, что любые две разрешенные системы уравнений, равносильные заданной системе, совпадают, если они имеют одни и те же разрешенные, а следовательно и свободные, неизвестные.
[spoiler title=”источники:”]
http://math.semestr.ru/gauss/example-system.php
http://bstudy.net/719710/estestvoznanie/razreshennaya_sistema_uravneniy_obschee_chastnoe_bazisnoe_resheniya
[/spoiler]
Содержание:
- СЛАУ: основные понятия, виды
- Критерий совместности системы
- Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
- Метод / Теорема Крамера
- Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных
- Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений
Методы решения систем линейных уравнений широко используются в задачах математики, экономики, физики, химии и других науках.
На практике, они позволяют не делать лишних действий, а записать систему уравнений в более компактной форме и сократить время
выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять основные методы решения и научиться выбирать оптимальный.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по СЛАУ, прочитать все теоремы и методы
решения. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
- СЛАУ: основные понятия, виды
- Критерий совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли
- Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
- Решение методом Крамера
- Решение методом Гаусса
- Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений
СЛАУ: основные понятия, виды
Теоретический материал по теме – СЛАУ: основные понятия, виды.
Пример
Задание. Проверить, является ли набор ${0,3}$
решением системы $left{begin{array}{l}
3 x-2 y=-6 \
5 x+y=3
end{array}right.$
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы
$x=0$ и
$y=3$ :
$$3 x-2 y=-6 Rightarrow 3 cdot 0-2 cdot 3=-6 Rightarrow-6=-6$$
$$5 x+y=3 Rightarrow 5 cdot 0+3=3 Rightarrow 3=3$$
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является
решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор ${0,3}$ является решением
системы $left{begin{array}{l}
3 x-2 y=-6 \
5 x+y=3
end{array}right.$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Систему $left{begin{array}{l}
x-y+z-4 t=0 \
5 x+y+t=-11
end{array}right.$
записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме
$A cdot X=B$ , где матрица системы:
$$A=left(begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & -4 \
5 & 1 & 0 & 1
end{array}right)$$
вектор-столбец неизвестных:
$$A=left(begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & -4 \
5 & 1 & 0 & 1
end{array}right)$$
вектор-столбец свободных коэффициентов:
$$B=left(begin{array}{c}
0 \
-11
end{array}right)$$
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
$$left(begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & -4 \
5 & 1 & 0 & 1
end{array}right)left(begin{array}{l}
x \
y \
z \
t
end{array}right)=left(begin{array}{r}
0 \
-11
end{array}right)$$
Пример
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы
$left{begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \
x_{1}-x_{2}=5
end{array}right.$
Решение. Матрица системы $A=left(begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1 \
1 & -1 & 0
end{array}right)$ ,
тогда расширенная матрица $tilde{A}=(A mid B)=left(begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1 & 4 \
1 & -1 & 0 & 5
end{array}right)$
Критерий совместности системы
Теоретический материал по теме – критерий совместности системы, теорема Кронекера-Капелли.
Пример
Задание. При каких значениях $lambda$
система $left{begin{array}{l}
2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \
x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4}=2 \
x_{1}+7 x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=lambda
end{array}right.$ будет совместной?
Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к
ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы
$tilde{A}$ (слева от вертикальной черты находится
матрица системы $A$ ):
$$tilde{A}=left(begin{array}{rrrr|r}
2 & -1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \
1 & 7 & -4 & 2 & lambda
end{array}right)$$
и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от второй строки
отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrrr|r}
0 & -5 & 3 & -1 & -3 \
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \
0 & 5 & -3 & 1 & lambda-2
end{array}right)_{+I} sim$$
Третью строку складываем с первой:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrrr|r}
0 & -5 & 3 & -1 & -3 \
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & lambda-5
end{array}right)$$
и меняем первую и вторую строки матрицы местами
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrrr|r}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \
0 & -5 & 3 & -1 & -3 \
0 & 0 & 0 & 0 & lambda-5
end{array}right)$$
Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что $rangA=2$
, $operatorname{rang} tilde{A}=left{begin{array}{l}
2, lambda=5 \
3, lambda neq 5
end{array}right.$ . Таким образом,
при $lambda=5$ система совместна, а при
$lambda neq 5$ – несовместна.
Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
Теоретический материал по теме – матричный метод решения.
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ $left{begin{array}{l}5 x_{1}+2 x_{2}=7 \ 2 x_{1}+x_{2}=9end{array}right.$
матричным методом.
Решение. Выпишем матрицу системы $left{begin{array}{l}
5 x_{1}+2 x_{2}=7 \
2 x_{1}+x_{2}=9
end{array}right.$ и
матрицу правых частей $B=left(begin{array}{l}
7 \
9
end{array}right)$ . Найдем обратную
матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1)
матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: $|A|=1$ ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами,
а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель
матрицы. Итак, получаем, что
$$A^{-1}=left(begin{array}{rr}
1 & -2 \
-2 & 5
end{array}right)$$
Тогда
$$X=left(begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2}
end{array}right)=A^{-1} B=left(begin{array}{rr}
1 & -2 \
-2 & 5
end{array}right) cdotleft(begin{array}{l}
7 \
9
end{array}right)=$$
$$=left(begin{array}{r}
-11 \
31
end{array}right) Rightarrowleft(begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2}
end{array}right)=left(begin{array}{r}
-11 \
31
end{array}right)$$
Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что
$x_{1}=-11$, $x_{2}=31$
Ответ. $x_{1}=-11$, $x_{2}=31$
Пример
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $left{begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \
x_{1}-x_{2}=-2 \
3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2
end{array}right.$
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
$AX=B$,
где $A=left(begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \
1 & -1 & 0 \
3 & -1 & 2
end{array}right)$ – матрица системы,
$X=left(begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2} \
x_{3}
end{array}right)$ – столбец неизвестных,
$B=left(begin{array}{r}
2 \
-2 \
2
end{array}right)$ – столбец правых частей. Тогда
$$X=A^-1B$$
Найдем обратную матрицу $A^-1$ к матрице $A$ с помощью союзной матрицы:
$$A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot widetilde{A}^{T}$$
Здесь $Delta=|A|$ – определитель матрицы $A$ ;
матрица $tilde{A}$ – союзная матрица, она получена из исходной матрицы
$A$ заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем
$tilde{A}$ , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы $A$ :
$A_{11}=(-1)^{1+1}left|begin{array}{rr}-1 & 0 \ -1 & 2end{array}right|=-2$ $A_{12}=(-1)^{1+2}left|begin{array}{cc}
1 & 0 \
3 & 2
end{array}right|=-2$
$A_{13}=(-1)^{1+3}left|begin{array}{cc}
1 & -1 \
3 & -1
end{array}right|=2$ $A_{21}=(-1)^{2+1}left|begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & 2
end{array}right|=-3$
$A_{22}=(-1)^{2+2}left|begin{array}{cc}
2 & 1 \
3 & 2
end{array}right|=1$ $A_{23}=(-1)^{2+3}left|begin{array}{rr}
2 & 1 \
3 & -1
end{array}right|=5$
$A_{31}=(-1)^{3+1}left|begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & 0
end{array}right|=1$ $A_{32}=(-1)^{3+2}left|begin{array}{cc}
2 & 1 \
1 & 0
end{array}right|=1$
$A_{33}=(-1)^{3+3}left|begin{array}{rr}
2 & 1 \
1 & -1
end{array}right|=-3$
Таким образом,
$tilde{A}=left(begin{array}{rrr}
-2 & -2 & 2 \
-3 & 1 & 5 \
1 & 1 & -3
end{array}right)$
Определитель матрицы $A$
$$Delta=left|begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \
1 & -1 & 0 \
3 & -1 & 2
end{array}right|=2 cdot(-1) cdot 2+1 cdot(-1) cdot 1+1 cdot 0 cdot 3-$$
$$-3 cdot(-1) cdot 1-(-1) cdot 0 cdot 2-1 cdot 1 cdot 2=-4 neq 0$$
А тогда
$$tilde{A}=-frac{1}{4}left(begin{array}{rrr}
-2 & -3 & 1 \
-2 & 1 & 1 \
2 & 5 & -3
end{array}right)$$
Отсюда искомая матрица
$$X=left(begin{array}{c}
x_{1} \
x_{2} \
x_{3}
end{array}right)=-frac{1}{4}left(begin{array}{rrr}
-2 & -3 & 1 \
-2 & 1 & 1 \
2 & 5 & -3
end{array}right)left(begin{array}{r}
2 \
-2 \
2
end{array}right)=$$
$$=left(begin{array}{r}
-1 \
1 \
3
end{array}right) Rightarrowleft{begin{array}{l}
x_{1}=-1 \
x_{2}=1 \
x_{3}=3
end{array}right.$$
$$left{begin{array}{l}
x_{1}=-1 \
x_{2}=1 \
x_{3}=3
end{array}right.$$
Метод / Теорема Крамера
Теоретический материал по теме – метод Крамера.
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ
$left{begin{array}{l}
5 x_{1}+2 x_{2}=7 \
2 x_{1}+x_{2}=9
end{array}right.$ при помощи метода Крамера.
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
$$Delta=left|begin{array}{ll}
5 & 2 \
2 & 1
end{array}right|=5 cdot 1-2 cdot 2=1 neq 0$$
Так как $Delta neq 0$ , то по теореме Крамера система
совместна и имеет единственное решение. вычислим вспомогательные определители. Определитель $Delta_{1}$ получим из определителя $Delta$ заменой его первого столбца столбцом
свободных коэффициентов. Будем иметь:
$$Delta_{1}=left|begin{array}{ll}
7 & 2 \
9 & 1
end{array}right|=7-18=-11$$
Аналогично, определитель $Delta_{2}$ получается
из определителя матрицы системы $Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:
$$Delta_{2}=left|begin{array}{ll}
5 & 7 \
2 & 9
end{array}right|=45-14=31$$
Тогда получаем, что
$$x_{1}=frac{Delta_{1}}{Delta}=frac{-11}{1}=-11, x_{2}=frac{Delta_{2}}{Delta}=frac{31}{1}=31$$
Ответ. $x_{-1}=-11$, $x_{2} = 31$
Пример
Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы
$left{begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \
x_{1}-x_{2}=-2 \
3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2
end{array}right.$
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
$$Delta=left|begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \
1 & -1 & 0 \
3 & -1 & 2
end{array}right|=2 cdot(-1) cdot 2+1 cdot(-1) cdot 1+1 cdot 0 cdot 3-$$
$$-3 cdot(-1) cdot 1-(-1) cdot 0 cdot 2-1 cdot 1 cdot 2=-4 neq 0$$
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система
совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
$$Delta_{1}=left|begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \
-2 & -1 & 0 \
2 & -1 & 2
end{array}right|=2 cdot(-1) cdot 2+(-2) cdot(-1) cdot 1+$$
$$+1 cdot 0 cdot 2-2 cdot(-1) cdot 1-(-1) cdot 0 cdot 2-(-2) cdot 1 cdot 2=4$$
$$Delta_{2}=left|begin{array}{rrr}
2 & 2 & 1 \
1 & -2 & 0 \
3 & 2 & 2
end{array}right|=2 cdot(-2) cdot 2+1 cdot 2 cdot 1+2 cdot 0 cdot 3-$$
$$-3 cdot(-2) cdot 1-2 cdot 0 cdot 2-1 cdot 2 cdot 2=-4$$
$$Delta_{3}=left|begin{array}{rrr}
2 & 1 & 2 \
1 & -1 & -2 \
3 & -1 & 2
end{array}right|=2 cdot(-1) cdot 2+1 cdot(-1) cdot 2+$$
$$+1 cdot(-2) cdot 3-3 cdot(-1) cdot 2-(-1) cdot(-2) cdot 2-1 cdot 1 cdot 2=-12$$
Таким образом,
$x_{1}=frac{Delta_{1}}{Delta}=frac{4}{-4}=-1$
$x_{2}=frac{Delta_{2}}{Delta}=frac{-4}{-4}=1$
$x_{3}=frac{Delta_{3}}{Delta}=frac{-12}{-4}=3$
Ответ. $left{begin{array}{l}x_{1}=-1 \ x_{2}=1 \ x_{3}=3end{array}right.$
Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных
Теоретический материал по теме – метод Гаусса.
Пример
Задание. Решить СЛАУ
$left{begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \
x_{1}-x_{2}=-2 \
3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2
end{array}right.$ методом Гаусса.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее
строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса
(сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{1}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения
вычислений):
$$tilde{A}=A mid B=left(begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & 1 & 2 \
1 & -1 & 0 & -2 \
3 & -1 & 2 & 2
end{array}right) simleft(begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \
2 & 1 & 1 & 2 \
3 & -1 & 2 & 2
end{array}right)$$
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых,
от третьей – три первых:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 0 & -2 \
0 & 3 & 1 & 6 \
0 & 2 & 2 & 8
end{array}right)$$
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $frac{1}{2}$:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \
0 & 3 & 1 & 6 \
0 & 1 & 1 & 4
end{array}right)$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений
поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 1 & 4 \
0 & 3 & 1 & 6
end{array}right)$$
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 1 & 4 \
0 & 0 & -2 & -6
end{array}right)$$
Умножив третью строку на $left(-frac{1}{2}right)$ , получаем:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 1 & 4 \
0 & 0 & 1 & 3
end{array}right)$$
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю.
Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент
$$tilde{A} simleft(begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \
0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 3
end{array}right)$$
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
$$tilde{A} simleft(begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 3
end{array}right)$$
Полученной матрице соответствует система
$left{begin{array}{l}
x_{1}+0 cdot x_{2}+0 cdot x_{3}=-1 \
0 cdot x_{1}+x_{2}+0 cdot x_{3}=1 \
0 cdot x_{1}+0 cdot x_{2}+x_{3}=3
end{array}right.$
или $left{begin{array}{l}
x_{1}=-1 \
x_{2}=1 \
x_{3}=3
end{array}right.$
Ответ. $left{begin{array}{l}
x_{1}=-1 \
x_{2}=1 \
x_{3}=3
end{array}right.$
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений
Теоретический материал по теме – однородные СЛАУ.
Пример
Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ
$left{begin{array}{l}
3 x-2 y=-1 \
x+3 y=7
end{array}right.$ ненулевые решения.
Решение. Вычислим определитель матрицы системы:
$$Delta=left|begin{array}{rr}
3 & -2 \
1 & 3
end{array}right|=9-(-2)=9+2=11 neq 0$$
Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$
Ответ. Система имеет только нулевое решение.
Пример
Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы
$Delta=left|begin{array}{rr}
3 & -2 \
1 & 3
end{array}right|=9-(-2)=9+2=11 neq 0$
Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем
матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец
свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут
получаться нули):
$$A=left(begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \
1 & -2 & 2 & -1 & 0 \
4 & -2 & 6 & 3 & -4 \
2 & 4 & -2 & 4 & -7
end{array}right)$$
с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем
первую, от третьей – четыре первых, от четвертой – две первых:
$$A simleft(begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \
0 & -6 & 6 & 15 & 0 \
0 & 2 & -2 & 10 & -5
end{array}right)$$
Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три
вторых, к четвертой прибавляем вторую:
$$A simleft(begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \
0 & 0 & 0 & 9 & -3 \
0 & 0 & 0 & 12 & -4
end{array}right)$$
От четвертой строки отнимем $$frac{4}{3}$$ третьей и третью
строку умножим на $$frac{1}{3}$$ :
$$A simleft(begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \
0 & 0 & 0 & 3 & -1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)$$
Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что
$$A simleft(begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \
0 & 0 & 0 & 3 & -1
end{array}right)$$
Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а
ко второй строке прибавляем третью:
$$A simleft(begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -6 & 0 \
0 & -2 & 2 & 5 & 0 \
0 & 0 & 0 & 3 & -1
end{array}right)$$
то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:
$$left{begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}-6 x_{4}=0 \
-2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=0 \
3 x_{4}-x_{5}=0
end{array}right.$$
Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:
$$left{begin{array}{l}
x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \
x_{2}=x_{2} \
x_{3}=x_{2}-frac{5}{2} x_{4} \
x_{4}=x_{4} \
x_{5}=3 x_{4}
end{array}right.$$
Здесь $x_{2}, x_{4}$ – независимые (или свободные)
переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1},x_{3},x_{5}$ – зависимые (связанные) переменные
(то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества
переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом
случае получили, что $r=3$ – количество
ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$
Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных
системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3-2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).
Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть
для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки).
В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным
придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными
находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:
$$left{begin{array}{l}
x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \
x_{3}=x_{2}-frac{5}{2} x_{4} \
x_{5}=3 x_{4}
end{array}right.$$
Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения
$x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что
$left{begin{array}{l}
x_{1}=-1+6 cdot 0=-1 \
x_{3}=1-frac{5}{2} cdot 0=1 \
x_{5}=3 cdot 0=0
end{array}right.$ . Полученные значения записываем в первую
строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что
$x_{1}=12,x_{3}=-5,x_{5}=6$ , что и определяет второе решение ФСР.
В итоге получаем следующую таблицу:
Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:
$$left{begin{array}{l}
x_{1}=-1+6 cdot 0=-1 \
x_{3}=1-frac{5}{2} cdot 0=1 \
x_{5}=3 cdot 0=0
end{array}right.$$
Общее решение является линейной комбинацией частных решений:
$$X=C_{1} X_{1}+C_{2} X_{2}=C_{1}left(begin{array}{r}
-1 \
1 \
1 \
0 \
0
end{array}right)+C_{2}left(begin{array}{r}
12 \
0 \
-5 \
2 \
6
end{array}right)$$
где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:
$left{begin{array}{l}
x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \
x_{2}=C_{1} \
x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \
x_{4}=2 C_{2} \
x_{5}=6 C_{2}
end{array}right.$
$C_{1}, C_{2} neq 0$
Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения
и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.
Читать первую тему – СЛАУ: основные понятия, виды,
раздела системы линейных алгебраических уравнений.
