Как найти общие уравнения прямой в пространстве - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Пусть в координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

$begin{aligned}rho_{1}colon & ,A_{1}cdot x+B_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0;\[2pt] rho_{2}colon & ,A_{2}cdot x+B_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0,end{aligned}$

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. $operatorname{rang}!begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\A_{2}&B_{2}&C_{2}end{pmatrix}=2$ . Это условие означает, что плоскости $rho_{1}$ и $rho_{2}$ пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали $vec{n}_{1}=A_{1}vec{i}+B_{1}vec{j}+C_{1}vec{k}$ и $vec{n}_{2}=A_{2}vec{i}+B_{2}vec{j}+C_{2}vec{k}$ неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

$begin{cases} A_{1}cdot x+D_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0,\ A_{2}cdot x+D_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0. end{cases}$

(4.31)

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой в пространстве как пересечение двух плоскостей

Пример 4.13. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту треугольника.

Решение. Прямая является линией пересечения двух плоскостей: плоскости $rho_{1}$ , треугольника ABC и плоскости $rho_{2}$ , проходящей через точку перпендикулярно вектору overrightarrow{BC} (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости $rho_{1},$ проходящей через три точки A,,B,,C:

$begin{vmatrix}x-1&y-2&z-3\3-1&0-2&2-3\7-1&4-2&6-3end{vmatrix}= begin{vmatrix} x-1&y-2&z-3\ 2&-2&-1\ 6&2&3 end{vmatrix}=0 quad Leftrightarrow quad x+3y-4z+5=0.$

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости $rho_{2}$ , проходящей через точку перпендикулярно вектору overrightarrow{BC}=(7-3)vec{i}+(4-0)vec{j}+(6-2)vec{k}=4vec{i}+4vec{j}+4vec{k}:

4cdot(x-1)+4cdot(y-2)+4cdot(z-3)=0 quad Leftrightarrow quad x+y+z-6=0.

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой имеет вид $begin{cases}x+3y-4z+5=0,\x+y+z-6=0.end{cases}$

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы точка $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ и ненулевой вектор vec{p}= avec{i}+ bvec{j}+ cvec{k} (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору vec{p} и проходящей через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ .

Выберем на прямой произвольную точку $M_{0}(x,y,z)$ . Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, $vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}}$ — радиус-векторы точек M(x,y,z) и $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ (рис.4.28).

Параметрическое уравнение прямой в пространстве и направляющий вектор прямой

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы $overrightarrow{M_{0}M}$ и vec{p} коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: $overrightarrow{M_{0}M}=tvec{p}$ , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что $overrightarrow{M_{0}M}=vec{r}-vec{r}_{0}$ , получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

$vec{r}=vec{r}_{0}+tcdotvec{p}, quad tinmathbb{R},,$

(4.32)

где vec{p} — направляющий вектор прямой, а $vec{r}_{0}$ — радиус-вектор заданной точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

$begin{cases}x=x_{0}+acdot t,\y=y_{0}+bcdot t,\z=z_{0}+ccdot t,end{cases}tinmathbb{R},,$

(4.33)

где a,b,c — координаты направляющего вектора vec{p} прямой. Параметр в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от заданной точки $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ до точки $M(x,y,z)equiv M(x_{0}+at,y_{0}+bt,z_{0}+ct)$ . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки по прямой. При t=0 точка M(x,y,z) совпадает с заданной точкой $M_{0}$ . При возрастании параметра движение происходит в направлении направляющего вектора.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Выразим параметр из каждого уравнения системы (4.33): $t=frac{x-x_{0}}{a},, t=frac{y-y_{0}}{b},, t=frac{z-z_{0}}{c}$ , а затем исключим этот параметр:

$frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}, quad a^2+b^2+c^2ne0.$

(4.34)

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты a,b,c не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

Замечания 4.6.

1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) каноническое уравнение $frac{x-x_{0}}{0}=frac{y-y_{0}}{0}=frac{z-z_{0}}{c}$ — это уравнение $begin{cases}x=x_{0},\y=y_{0}end{cases}$ прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);

б) каноническое уравнение $frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{0}$ — это уравнение $begin{cases}z=z_{0},\dfrac{x-x_{0}}{a}=dfrac{y-y_{0}}{b}end{cases}$ прямой, параллельной координатной плоскости Oxy (рис.4.29,б).

Прямые в пространстве, параллельные координатным плоскостям

2. Направляющий вектор vec{p} прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор lambdacdotvec{p} , где lambdainmathbb{R} , также является направляющим вектором для той же прямой.

Переход от общего уравнение к каноническому

3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение $(x_{0},y_{0},z_{0})$ системы $begin{cases} A_{1}cdot x+B_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0,\ A_{2}cdot x+B_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0, end{cases}$ определяя тем самым координаты точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ , принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор vec{p} прямой как векторное произведение нормалей $vec{n}_{1}=A_{1}vec{i}+B_{1}vec{j}+C_{1}vec{k},$ $vec{n}_{2}= A_{2}vec{i}+ B_{2}vec{j}+ C_{2}vec{k},$ заданных плоскостей:

$vec{p}= begin{bmatrix}vec{n}_{1},vec{n}_{2}end{bmatrix}= acdotvec{i}+ bcdotvec{j}+ ccdotvec{k}= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\ A_{2}&B_{2}&C_{2} end{vmatrix}.$

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы

$left{!begin{aligned}frac{x-x_{0}}{a}&=frac{y-y_{0}}{b},,\frac{y-y_{0}}{b}&=frac{z-z_{0}}{c},,end{aligned}right.$ и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

$frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}=t quad Leftrightarrow quad begin{cases}x=x_{0}+acdot t,\y=y_{0}+bcdot t,\z=z_{0}+ccdot t,end{cases} tinmathbb{R},.$

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты $x_{0},y_{0},z_{0}$ точки $M_{0}$ , а коэффициентам a,b,c придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ , т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку $M_{0}$ .

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

Пример 4.14. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис. 4.30). Требуется:

В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1,2,3), B(3,0,2), C(7,4,6) треугольника

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису треугольника.

Решение. а) Общее уравнение прямой получено в примере 4.13: $begin{cases}x+3cdot y-4cdot z+5=0,\x+y+z-6=0.end{cases}$ Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение $(x_{0},y_{0},z_{0})$ системы, например, $x_{0}=1,$ $y_{0}=2,$ $z_{0}=3$ (это координаты точки A(1;2;3) ).

2) Найдем направляющий вектор vec{p} прямой как векторное произведение нормалей $vec{n}_{1}=vec{i}+3vec{j}-4vec{k},$ $vec{n}_{2}=vec{i}+vec{j}+vec{k}$ заданных плоскостей

$vec{p}= begin{bmatrix}vec{n}_{1},vec{n}_{2}end{bmatrix}= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\ 1&3&-4\ 1&1&1 end{vmatrix}= 7cdotvec{i}-5cdotvec{j}-2cdotvec{k},.$

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): $frac{x-1}{7}=frac{y-2}{-5}=frac{z-3}{-2}$ .

б) Сначала составим каноническое уравнение прямой . Для этого нужно найти направляющий вектор vec{l} этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, vec{l}=vec{b}+vec{c} , где vec{b} и vec{c} — единичные векторы, одинаково направленные с векторами overrightarrow{AB} и overrightarrow{AC} соответственно. Находим

$begin{gathered}overrightarrow{AB}= 2cdotvec{i}-2cdotvec{j}-1cdotvec{k}, quad begin{vmatrix}overrightarrow{AB}end{vmatrix}=3, quad vec{b}= frac{overrightarrow{AB}}{begin{vmatrix} overrightarrow{AB}end{vmatrix}}= frac{2}{3}cdot vec{i}-frac{2}{3} cdotvec{j}-frac{1}{3}cdot vec{k},;\[3pt] overrightarrow{AC}= 6cdot vec{i}+ 2cdotvec{j}+3cdotvec{k}, quad begin{vmatrix} overrightarrow{AC} end{vmatrix}=7, quad vec{c}= frac{overrightarrow{AC}}{begin{vmatrix} overrightarrow{AC}end{vmatrix}}= frac{6}{7}cdotvec{i}+ frac{2}{7}cdotvec{j}+ frac{3}{7}cdotvec{k},;\[3pt] vec{l}=vec{a}+vec{c}= left(frac{2}{3}cdotvec{i}-frac{2}{3}cdotvec{j}-frac{1}{3}cdotvec{k}right)+ left(frac{6}{7}cdotvec{i}+frac{2}{7}cdotvec{j}+frac{3}{7}cdotvec{k}right)= frac{32}{21}cdotvec{i}-frac{8}{21}cdotvec{j}+frac{2}{21}cdotvec{k},. end{gathered}$

Составляем каноническое уравнение прямой $ALcolon,frac{x-1}{32/21}=frac{y-2}{-8/21}=frac{z-3}{2/21}$ .

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL:

$left{!begin{aligned}frac{x-1}{32/21}&=frac{y-2}{-8/21},\ frac{y-2}{-8/21}&=frac{z-3}{2/21},end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad begin{cases}x+4cdot y-9=0,\ y+4cdot z-14=0.end{cases}$

Расстояние от точки до прямой, заданной каноническим уравнением

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдем расстояние от точки $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ до прямой , заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):

$lcolon, frac{x-x_{0}}{a}= frac{y-y_{0}}{b}= frac{z-z_{0}}{c},.$

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах

vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} и $vec{m}=overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}$ , то есть.

$d=frac{begin{vmatrix}begin{bmatrix}vec{m},vec{p}end{bmatrix}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}vec{p}end{vmatrix}}= frac{sqrt{begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}\a&bend{vmatrix}^2+ begin{vmatrix}y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\b&cend{vmatrix}^2+ begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&z_{1}-z_{0}\a&cend{vmatrix}^2}}{sqrt{a^2+b^2+c^2}},.$

(4.35)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы две точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ и $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разд., точка M(x,y,z) принадлежит прямой $M_{0}M_{1}$ тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор overrightarrow{OM} удовлетворяет условию (рис.4.32): $overrightarrow{OM}= (1-t)cdot overrightarrow{OM_{0}}+ tcdotoverrightarrow{OM_{1}}$ , где — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму

$begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}= (1-t)cdot!begin{pmatrix}x_{0}\y_{0}\z_{0}end{pmatrix}+tcdot!begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}\z_{1}end{pmatrix}! quad Leftrightarrow quad !begin{cases} x=(1-t)cdot x_{0}+tcdot x_{1},\ y=(1-t)cdot y_{0}+tcdot y_{1},\ z=(1-t)cdot z_{0}+tcdot z_{1}.end{cases} tinmathbb{R}$

(4.36)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ и $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ .

Выражая параметр из каждого уравнения системы (4.36), получаем: $frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}=t$ . Исключая параметр , приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ и $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ :

$frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}},.$

(4.37)

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} вектор $overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k},$ т.е. подставляя $a=x_{1}-x_{0},$ $b=y_{1}-y_{0},$ $c=z_{1}-z_{0}.$

Треугольник в пространстве по координатам вершин, его высота и медиана

Пример 4.15. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой ;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану треугольника;

в) найти высоту h=|AH| треугольника, опущенную на сторону .

Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6):

$frac{x-3}{7-3}=frac{y-0}{4-0}=frac{z-2}{6-2}~ Leftrightarrow~ frac{x-3}{1}=frac{y}{1}=frac{z-2}{1},.$

б) Находим координаты середины стороны BCcolon M(5;2;4) . Составляем уравнение (4.37) прямой AM:

$frac{x-1}{5-1}=frac{y-2}{2-2}=frac{z-3}{4-3}~ Leftrightarrow~ frac{x-1}{4}=frac{y-2}{0}=frac{z-3}{1},.$

в) Искомую высоту находим по формуле (4.35), полагая vec{m}=overrightarrow{BA}=-2vec{i}+2vec{j}+vec{k} и vec{p}=vec{i}+vec{j}+vec{k}:

$h=|AH|=frac{begin{vmatrix}begin{bmatrix}vec{m},vec{p}end{bmatrix}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}vec{p}end{vmatrix}}= frac{sqrt{begin{vmatrix}-2&2\1&1end{vmatrix}^2+begin{vmatrix}2&1\1&1end{vmatrix}^2+begin{vmatrix}-2&1\1&1end{vmatrix}^2}}{sqrt{1^2+1^2+1^2}}=frac{sqrt{16+1+9}}{sqrt{3}}= sqrt{frac{26}{3}},.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Определение 1

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy – это линейное уравнение с переменными x и y, которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x, y, z, которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение Ax+By+Cz+D=0, где x, y, z – переменные, а А, В, С и D – некоторые действительные числа (А, В, С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Вспомним аксиому:

Определение 2

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β, которые соответственно описываются уравнениями плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β, то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

Общее же решение системы уравнений _A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 определит координаты каждой точки прямой a, т.е. по сути задает саму прямую a.

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x+3y-21z+113y+14z-2=0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, где x1, y1, z1 – координаты некой точки прямой; аx, аy и az (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а·λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел (x, y, z), соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ=0, тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x=x1+ax·0y=y1+ay·0z=z1+az·0⇔x=x1y=y1z=z1

Рассмотрим конкретный пример:

Пример 1

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x=3+2·axy=-2·ayz=2+2·az.

Заданная прямая проходит через точку М1(3, 0, 2); направляющий вектор этой прямой имеет координаты2, -2, 2.

Ответ: 2, -2, 2,

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ относительно параметра λ, возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az.

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М1(x1, y1, z1), и у которой направляющий вектор равен a→=(ax, ay, az). Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x-11=y2=z+57. Эта прямая проходит через точку с координатами (1, 0, -5), ее направляющий вектор имеет координаты (1, 2, -7).

Отметим, что одно или два числа из чисел аx, аy и аz в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, где λ∈R.

Если одно из чисел аx, аy и az канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел аx, аy и az равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x+43=y-52=z+20, лежит в плоскости z=-2, параллельной координатной плоскости Oxy, а координатная ось Oy описывается каноническими уравнениями x0=y1=z0.

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Источник

1. Общее уравнение прямой.

Прямая в пространстве
может быть задана как пересечение двух
плоскостей:

.
(1)

О1.
Геометрическое место точек пространства,
удовлетворяющих системе уравнений (1),
называется
прямой
в пространстве,
а
система уравнений (1) называется общим
уравнением прямой.

З1. Для того чтобы
система уравнений (1) определяла прямую
в пространстве необходимо и достаточно,
чтобы нормальные вектора плоскостей,

определяющих
прямую,
ибыли неколлинеарными, т.е. выполняется
одно из неравенств:или.

Пусть прямая
проходит через точку

параллельно вектору
,
который называется направляющим
вектором прямой
(см. Лекцию
№ 7),
тогда ее уравнение называется каноническим
и имеет вид:

.
(2)

З2. Если в уравнении
(2) одна из проекций направляющего вектора
равна 0, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей
координатной оси.

Пример 1.
Как расположена прямая
относительно координатных осей.

Согласно замечанию
2 эта прямая будет перпендикулярна осям
абсцисс и ординат (параллельна оси
аппликат) и будет проходить через точку

.

Приравняв каждую
дробь уравнения (2) параметру
,
получимпараметрическое
уравнение прямой:

Пример 2.
Записать уравнение прямой
в параметрическом виде.

Приравняем каждую
дробь к параметру
:.
Если пря-

мая проходит через
две известные точки
и,
то ее уравнение имеет вид (см.Лекцию
№ 7):
и назы-ваетсяуравнением
прямой,
проходящей
через две заданные точки.

2. Основные задачи.

а) Переход
от общего уравнения прямой к каноническому.
Пусть прямая задана общим уравнением
.
Для того, чтобы перейти от этого уравнения
прямой к каноническому, поступают
следующим образом:

– находят
координаты любой точки, удовлетворяющие
приведенной системе, для чего одну из
переменных величин, например
,
полагают равной нулю и решают систему
линейных алгебраических уравнений
относительно оставшихся переменных
величин;

– направляющий
вектор
прямой находят как векторное произведение
нормальных векторов
и
:

;

– зная
точку, через которую проходит прямая,
и направляющий вектор прямой записывают
каноническое уравнение прямой.

Пример 3.
Записать уравнение прямой
в каноническом и параметрическом виде.

Положив
,
получим СЛАУСкладывая уравнения, найдем.
Подставив это значение переменнойво второе уравнение системы, по-лучим.
Таким образом, прямая проходит через
точку
.
Найдем направляющий вектор прямой как
векторное произведение нормальных
векторов заданных плоскостей:

б)
Угол
между пересекающимися прямыми.
Угол
между двумя пересека-ющимися прямыми
определяется как угол между их
направляющими векторами.
Если прямые
иимеют направляющие вектора

и
,

соответственно,
то угол между прямыми определяется по
формуле:

Сл1.
Если
прямые перпендикулярны (),
тоусловием
перпен-дикулярности
прямых является
равенство:
.

Сл2.
Если прямые параллельны, то направляющие
вектора коллинеарны, следовательно,
условие
параллельности прямых:

.

в)
Координаты
точки пересечения прямой и плоскости.
Пусть прямая
задана общим уравнением,
а плоскостьуравнением.Так
как точка пересечения прямой и плоскости
принадлежит одновременно обоим этим
объектам, то ее координаты находят из
решения системы уравнений:

Если прямая
задана
каноническим уравнением,

а плоскость
уравнением,
то поступают по следующей

схеме:

– переходят
от канонического уравнения прямой к
параметрическому, т.е. записывают
уравнение прямой в виде
;

– полученные
выражения подставляют в уравнение
заданной плоскости

и
находят параметр
:.

Рассмотрим возможные
случаи:

1) если
выполняются условия
,
то прямая не пересекает плоскость
(прямая параллельна плоскости);

2) при
условиях
прямая лежит на плоскости;

3) если
,
прямая пересекает плоскость в одной
точке.

– вычисляют
координаты точки пересечения, подставив
найденное значение
в параметрическое уравнение прямой

.

г)
Угол
между прямой и плоскостью.
Пусть дана плоскость
с нормальным вектороми пересекающая ее прямаяс направляющим вектором

(Рис.
53).

Рис.
53.
Угол между
прямой

и
плоскостью.

Угол
является углом между прямойи плоскостью.
Угол между нормальным вектором плоскости
и прямой обозначим через.
Из рисунка видно, что.
Следовательно,

Сл1.
Если прямая
перпендикулярна плоскости (),
тоусловие
перпендикулярности прямой и плоскости
имеет вид:

.

Сл2.
Если прямая
параллельна плоскости (),
то направляющий вектор прямой и нормальный
вектор плоскости перпендикулярны (),
следовательно,условие
параллельности прямой и плоскости:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Общие уравнения прямой в пространстве. Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Если плоскости π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 не параллельны, то пересекаются по прямой. Точка M(x; y; z) принадлежит этой прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению каждой из плоскостей, т.е. являются решениями системы уравнений

которую называют общими уравнениями прямой.

Векторное уравнение прямой. Описание прямой в пространстве при помощи общих уравнений — не единственный способ. Прямую L в пространстве можно также однозначно задать любой ее точкой M₀ и параллельным ей ненулевым вектором s.

Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором прямой.

Если точка M принадлежит прямой L, то это эквивалентно тому, что вектор M₀M коллинеарен вектору s (рис. 6.1). Так как s ≠ 0, то вектор s является базисом в пространстве V₁ коллинеарных ему векторов. Поэтому для некоторого числа t выполняется равенство M₀M = ts. Так как M₀M = OM — OM₀ = r — r₀, где r и r₀ — радиус-векторы точек M и M₀ соответственно, то условие M ∈ L можно записать в виде уравнения

r = r₀ + ts, (6.2)

которое называют векторным уравнением прямой в пространстве.

Параметрические уравнения прямой в пространстве. Предположим, что известны координаты {l; m; n} направляющего вектора s прямой L и точки M₀(x₀; y₀; z₀) ∈ L в прямоугольной системе координат. Обозначим через (x; y; z) координаты произвольной точки M.

Критерием принадлежности точки M прямой L является условие коллинеарности векторов M₀M = {x — x₀; y — y₀; z — z₀} и s (см. рис. 6.1), что равносильно пропорциональности их координат (см. теорему 2.6). Обозначив через t коэффициент пропорциональности, получим равенства x — x₀ = tl, y — y₀ = tm, z — z₀ = tn. Но тогда

M₀M и s, состоящую в пропорциональности их координат (см. следствие 2.1).

В знаменателе канонических уравнений допускается нулевое значение. Чтобы понять смысл нулевых значений параметров l, m, n, обратим внимание на параметрические уравнения прямой (6.3), в которых нет проблемы нулевых знаменателей. Например, при l = 0 из (6.3) следует, что x = x₀. Мы видим, что если в канонических уравнениях один из знаменателей (или два, но не все три) равен нулю, то соответствующий числитель тоже равен нулю.

Уравнения прямой, проходящей через две точки. Каждая прямая в пространстве однозначно задается любыми двумя своими различными точками. Если известны координаты этих точек M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂), то в качестве направляющего вектора прямой подходит ненулевой вектор M₁M₂ = {x₂ — x₁; y₂ — y₁; z₂ — z₁}. Зная его координаты и координаты точки M₁ на прямой, можно записать канонические уравнения прямой (6.4). В результате получим

(x – x₁)/(x₂ – x₁) = (y – y₁)/(y₂ – y₁) = (z – z₁)/(z₂ – z₁) –

уравнения прямой, проходящей через две точки.

Пример 6.1. Точки M₁(1;2;3) и M₂(3; 2; 1) определяют проходящую через них прямую
(x – 1)/ (3 – 1) = (y – 2)/ (2 – 2) = (z – 3)/ (1 – 3). Нуль в знаменателе второй дроби означает, что для координат всех точек прямой выполнено равенство y = 2. Поэтому прямая расположена в плоскости y – 2 = 0, параллельной координатной плоскости xOz и пересекающей ось ординат в точке с ординатой 2.

Изменение формы уравнений прямой. Переход от канонических уравнений прямой к параметрическим и обратно достаточно очевиден и сводится к введению или исключению параметра t. Одна форма уравнений непосредственно записывается по другой, так как в них используются одни и те же параметры, задающие координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора.

Пример 6.2. Найдем координаты точки B, симметричной точке A(2; 3; — 1) относительно
прямой L: (x – 1)/1 = (y + 2)/-1 = (z – 1)/2.

В вычислениях будем опираться на следующее геометрическое построение точки B: а) через точку A проводим плоскость π, перпендикулярную прямой L; б) находим точку M пересечения прямой L и плоскости π; в) отрезок AM удлиняем до отрезка AB так, чтобы точка M оказалась в середине отрезка AB (рис. 6.2).

Так как плоскость π перпендикулярна прямой L, то в качестве нормального вектора n плоскости можно выбрать направляющий вектор прямой L: n = {1; — 1; 2}. По известным координатам нормального вектора плоскости п и принадлежащей ей точки A записываем уравнение плоскости π в виде (5.2): 1(х — 2) + (—1)(у — 3) + 2(z + 1) = 0.

Чтобы найти координаты точки M пересечения прямой и плоскости по их уравнениям, запишем параметрические уравнения прямой L: х = 1 + t, у = —2 — t, z = 1 + 2t. Подставив эти выражения для координат точки на прямой в уравнение плоскости, для параметра t получим уравнение (1 + t — 2) — (—2 — t — 3) + 2(1 + 2t + 1) = 0, решение которого дает значение параметра для точки M. Найдя это значение t = —4/3 и подставив его в параметрические уравнения прямой, получим координаты точки пересечения x = 1 — 4/3 = —1/3, у = —2 + 4/3 = —2/3, z =1 — 8/3 = —5/3. Поскольку эта точка должна делить отрезок AB пополам, ее координаты, согласно (4.13), равны полусумме соответствующих координат точек A и B. Следовательно, обозначив через (х_B; у_B; z_B) координаты точки B, получим равенства (2 + x_B)/2 = -1/3(3 + y_B)/2 = – 2/3(-1 + z_B)/2 = -5/3. Отсюда x_B = -8/3, y_B = -13/3, z_B = -7/3#

Достаточно просто выполняется переход от канонических уравнений к общим. Нетрудно увидеть, что на самом деле канонические уравнения представляют собой особую форму записи общих уравнений. Действительно, двойное равенство (6.4) равносильно системе двух линейных уравнений

(x – x₀)/l – (y – y₀)/m = 0, (x – x₀)/l – (z – z₀)/n = 0, (6.5)

которые представляют собой частный вид общих уравнений прямой в пространстве.

Самым сложным является переход от общих уравнений к каноническим или параметрическим.

Так как плоскости π₁ и π₂, соответствующие отдельным уравнениям из общих у (6.1) прямой, не параллельны, то хотя бы один из определителей второго порядка , представляющих собой координаты векторного произведения нормальныхвекторов этих плоскостей, не равен нулю. Предполагая, что первый из этих определителей является ненулевым: изложим три способа перехода от общих уравнений к каноническим или параметрическим.

Первый способ состоит в том, что в системе (6.1) для z назначают два различных значения и по формулам Крамера находят два различных решения системы двух уравнений с двумя неизвестными х и у. Эти два решения системы (6.1) дают координаты двух разных точек M₁ и M₂ на прямой. А две известные точки прямой позволяют найти уравнение прямой, проходящей через две точки, которое фактически совпадает с каноническими уравнениями прямой.

Отметим, что в качестве направляющего вектора s прямой, заданной общими уравнениями (6.1), можно выбрать n₁×n₂ — векторное произведение двух нормальных векторов плоскостей (рис. 6.3). Действительно, это векторное произведение является вектором, который ортогонален каждому нормальному вектору, а потому он параллелен как одной, так и другой плоскости, т.е. параллелен их линии пересечения. Нахождение одной точки на прямой и ее направляющего вектора можно рассматривать как второй способ перехода от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям.

Пример 6.3. Найдем канонические уравнения прямой, совпадающей с линией пересечения плоскостей π₁: х — у + z — 2 = 0, π₂: х + у — z = 0.

Чтобы найти координаты некоторой точки на прямой, подставляем в уравнения плоскостей z = 0 и решаем соответствующую систему двух линейных уравнений относительно х и у

Значения х =1 и у = —1 единственного решения системы получаются сложением и вычитанием уравнений системы. Итак, точка с координатами (1; —1; 0) расположена на прямой.

В качестве направляющего вектора прямой берем векторное произведение n₁ × n₂ нормальных векторов n₁ = {1; — 1; 1} и n₂ = {1; 1; —1} плоскостей π₁ и π₂. По формуле (3.2) для вычисления векторного произведения в координатах находим

т.е. направляющим вектором прямой будет s = {0;2; 2}. Найденный вектор s для простоты
заменим коллинеарным ему вектором {0; 1; 1}.

Проведенные вычисления позволяют написать канонические уравнения искомой прямой

(x – 1)/0 = (y + 1)/1 = z/1. #

Третий способ перехода от общих уравнений прямой к ее каноническим или параметрическим уравнениям состоит в следующем. Решаем систему (6.1) по правилу Крамера относительно неизвестных х и у, рассматривая неизвестное z как параметр:

Обозначив z через t и добавив уравнение z = t, получим параметрические уравнения прямой:

Источник

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Примеры решения задач

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой , которая проходит через данную точку $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ параллельно направляющему вектору .

Пусть, – произвольная точка прямой, тогда векторы $overline{M_{1}M} = (x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1})$ и коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:

${x - x_{1}over{l}} = {y - y_{1}over{m}} = {z - z_{1}over{p}}$

(1)

это и есть канонические уравнения прямой.

Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру , запишем параметрические уравнения прямой:

$left{ begin{aligned} x = lt + x_{0}\ y = mt + y_{0}\ z = pt + z_{0} end{aligned}$

(2)

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.

Итак, через две точки $M_{1}(x_{1}, y_{1}z_{1}$ и $M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.

За направляющий вектор возьмём $overline{S} = overline{M_{1}M} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ , тогда по формуле (1) у нас получается:

${x - x_{1}over{x_{2} - x_{1}}} = {y - y_{1}over{y_{2} - y_{1}}} = {z - z_{1}over{z_{2} - z_{1}}}$

(3)

уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.

Пусть известны их уравнения:

$left{begin{aligned}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0\A_{2}x + B_{2}y + C{2}z + D_{2} = 0 end{aligned}$

(4)

Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор и точку $M_{0}$ этой прямой.

Точку $M_{0}$ находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) находим $x_{0}, y_{0}$ , тогда и точку $M_{0} (x_{0}, y_{0}, 0)$ . Направляющий вектор , который параллелен к каждой из плоскостей $P_{1}$ и $P_{2}$ и перпендикулярен к их нормальным векторам $overline{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ и $overline{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ , то есть $overline{S}perp{overline{n_{1}}}$ , $overline{S}perp{overline{n_{2}}}$ . (см. рис. 1). Поэтому вектор можно найти при помощи векторного произведения $overline{n_{1}}$ и $overline{n_{2}}$

= $overline{n}_{1}$ x $overline{n}_{2}$ = $begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\ A_{2}&B_{2}&C_{2} end{vmatrix}$

Найдены координаты $M_{0}$ и подставим в каноническое уравнение (1).

Например, от общих уравнений прямой:

$left{begin{aligned} 2x + 7y - z - 4 = 0\ 4x - 9y - 2z - 8 = 0 end{aligned}$

Перейдём к каноническим, положив в системе (при нём относительно больше коэффициенты). найдём $x = 2, z = 0, M_{0} (2, 0, 0)$ . Нормальные векторы $overline{n_{1}} = (2, 7, -1)$ и $overline{n_{2}} = (4, -9, -2)$ . Тогда направляющий вектор

Рис. 1

$overline{S} = overline{n}_{1}$ x $overline{n}_{2}$ = $begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\ 2&7&-1\ 4&-9&-2 end{vmatrix} = -23overline{i} - 0overline{j} - 46overline{k}$ ,

и канонические уравнения станут:

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми :

${x - x_{1}over{l_{1}}} = {y - y_{1}over{m_{1}}} = {z - z_{1}over{p_{1}}}$ и ${x - x_{2}over{l_{2}}} = {y - y_{2}over{m_{2}}} = {z - z_{2}over{p_{2}}}$

равен углу между их направляющими векторами $overline{S_{1}} = (l_{1}, m_{1}, p_{1})$ и $overline{S_{2}} = (l_{2}, m_{2}, p_{2})$ , поэтому

${cosvarphi = cos(overline{S}_{1}}, overline{S}_{2}})$ = ${l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2}}over{sqrt{l_{1}^2 + m_{1}^2 + p_{1}^2}} * {sqrt{l_{2}^2 + m_{2}^2 + p_{2}^2}}$

(5)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:

${l_{1}over{l_{2}}} = {m_{1}over{m_{2}}} = {p_{1}over{p_{2}}}$ и $l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2} = 0$ .

(6)

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:

Задача

При точке и направляющем векторе необходимо:

составить каноническое уравнение прямой;
построить эту прямую.

Решение

1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой :

= .

2) Рассмотрим два способа построения прямой .

Первый способ

В системе координат строим вектор и точку и проводим через точку прямую параллельную вектору .

Второй способ

По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:

$left{begin{aligned} x = 3t + 1\ y = 0 * t + 5\ z = 4t + 2 end{aligned} right$

На рисунке видно, что при произвольных значениях из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой . Так при находим координаты $M_{1}(4, 5, 6)$ . Через две точки и $M_{1}$ проводим прямую .

Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:

Задача

Найти острый угол между прямыми:

(7)

Решение

По формуле (7) получаем:

= ${6 * (-2) + (-2)(-1) + 3 * (-2)}over{sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} * sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}$ = =

Так как , тогда угол тупой, , а острый угол .

Ответ

Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.

Задача

Составить уравнение прямой , которая проходит через точку и параллельна прямой .

Решение

От параметрического уравнения переходим к каноническому При условии параллельности прямых $overline{S}||overline{S_{1}}$ то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор и по формуле (1) у нас получается:

Ответ

Источник

Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Переход от общего уравнение к каноническому

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Канонические уравнения прямой в пространстве

1. Общее уравнение прямой.

2. Основные задачи.

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Примеры решения задач

Вам также может понравиться

Как педагог может мотивировать обучаемого найдите ошибку

Как составить годовой план закупок по фз 223

Как найти растворимость при определенной температуре

Добавить комментарий Отменить ответ