Нахождение НОД и НОК чисел
Онлайн-калькулятор “Нахождение НОД и НОК чисел“. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку “Вычислить” и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:
2 числа
3 числа
4 числа
| Первое число | Второе число |
Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6
Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144
Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7
Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».
Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:
a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1
Мы можем закончить деление тогда, когда rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b).
Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48.
Решение
Введем обозначения: a=64, b=48.
На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48.
Получим 1 и остаток 16. Получается, что q1=1, r1=16.
Вторым шагом разделим 48 на 16, получим 3. То есть q2=3, а r2=0. Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.
Ответ: НОД(64, 48)=16.
Чему равен НОД чисел 111 и 432?
Решение
Делим 432 на 111. Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432=111·3+99, 111=99·1+12, 99=12·8+3, 12=3·4.
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3.
Ответ: НОД(111, 432)=3.
Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113.
Решение
Проведем последовательно деление чисел и получим НОД(661, 113)=1. Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.
Ответ: НОД(661, 113)=1.
Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.
Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими в этих двух произведениях будут множители 2,2 и 5. Это значит, что НОД(220, 600)=2·2·5=20.
Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.
Решение
Найдем все простые множители чисел 72 и 96:
72361893122233
96482412631222223
Общими для двух чисел простые множители: 2, 2, 2 и 3. Это значит, что НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.
Ответ: НОД(72, 96)=24.
Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1), где m– любое целое положительное число.
Нахождение НОД трех и большего количества чисел
Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, НОД(d3, a4)=d4, …, НОД(dk-1, ak)=dk.
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78, 294, 570 и 36.
Решение
Введем обозначения: a1=78, a2=294, a3=570, a4=36.
Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d2=НОД(78, 294)=6.
Теперь приступим к нахождению d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570). Согласно алгоритму Евклида 570=6·95. Это значит, что d3=НОД(6, 570)=6.
Найдем d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36). 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d4=НОД(6, 36)=6.
d4=6, то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6.
Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.
А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.
Вычислите НОД чисел 78, 294, 570 и 36.
Решение
Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2·3·3.
Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3.
Получается, что НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и -n имеют одинаковые делители.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.
Решение
Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140. Запишем это кратко: НОД(−231, −140)=НОД(231, 140). Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6. Получаем, что НОД(231, 140)=7.
А так как НОД(−231, −140)=НОД(231, 140), то НОД чисел −231 и −140 равен 7.
Ответ: НОД(−231, −140)=7.
Определите НОД трех чисел −585, 81 и −189.
Решение
Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189). Затем разложим все данные числа на простые множители: 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7. Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3. Получается , что НОД(585, 81, 189)=НОД(−585, 81, −189)=9.
Ответ: НОД(−585, 81, −189)=9.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.
НОД — это наибольший общий делитель.
НОК — это наименьшее общее кратное.
Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.
Наибольший общий делитель
Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.
Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.
Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.
Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.
Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.
12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)
12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)
12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)
12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)
12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)
12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)
12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)
12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)
12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)
12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)
12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)
Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9
9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)
9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)
9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)
9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)
9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)
9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)
9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)
9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)
9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)
Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:
Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.
Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3
И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:
12 : 3 = 4
9 : 3 = 3
Значит НОД (12 и 9) = 3
Второй способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители:
Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:
Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.
Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.
Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:
Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:
2 × 3 = 6
Значит НОД (24 и 18) = 6
Третий способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.
Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.
В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:
Получили два разложения: 
и 
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:
Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:
Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:
28 : 4 = 7
16 : 4 = 4
НОД (28 и 16) = 4
Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40
Раскладываем на множители число 100
Раскладываем на множители число 40
Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:
100 : 20 = 5
40 : 20 = 2
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128
Раскладываем на множители число 72
Раскладываем на множители число 128
Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:
72 : 8 = 9
128 : 8 = 16
НОД (72 и 128) = 8
Нахождение НОД для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
Разложим на множители число 18
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Получили три разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:
18 : 6 = 3
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42
Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.
Разложим на множители число 12
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Разложим на множители число 42
Получили четыре разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:
12 : 6 = 2
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
42 : 6 = 7
НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6
Наименьшее общее кратное
Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.
Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.
Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.
Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:
Теперь выпишем кратные обоих чисел:
Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:
Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.
Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Второй способ нахождения НОК
Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.
Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.
Разложим на множители число 9
Разложим на множители число 12
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.
Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12
Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180
Разложим на множители число 50
Разложим на множители число 180
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:
900 : 50 = 18
900 : 180 = 5
НОК (50 и 180) = 900
Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33
Разложим на множители число 8
Разложим на множители число 15
Разложим на множители число 33
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:
1320 : 8 = 165
1320 : 15 = 88
1320 : 33 = 40
НОК (8, 15 и 33) = 1320
Третий способ нахождения НОК
Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.
Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.
К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:
Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.
Итак, перемножим числа 24 и 12
Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12
Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24
НОК (24 и 12) = 24
Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48
Найдем НОД чисел 36 и 48
Перемножим числа 36 и 48
Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48
Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144
НОК (36 и 48) = 144
Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144
Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16
Решение:
Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16
Решение:
Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32
Решение:
Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32
Решение:
Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86
Решение:
Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86
Решение:
Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35
Решение:
Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35
Решение:
Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82
Решение:
Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82
Решение:
Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76
Решение:
Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
При решении задач по математике в начальных классах иногда требуется найти наибольший общий делитель, или сокращенно — НОД. Однако не все учащиеся знают правильный алгоритм этой операции, а также путают ее с НОК (наименьшим общим кратным). Чтобы не совершать таких ошибок, специалисты-математики разработали универсальные алгоритмы отличия и нахождения искомых значений.
Оглавление:
- Признаки делимости
- Разложение на простые элементы
- Нахождение НОД
- Определение НОК
При решении задач по математике в начальных классах иногда требуется найти наибольший общий делитель, или сокращенно — НОД. Однако не все учащиеся знают правильный алгоритм этой операции, а также путают ее с НОК (наименьшим общим кратным). Чтобы не совершать таких ошибок, специалисты-математики разработали универсальные алгоритмы отличия и нахождения искомых значений.
Общие сведения
Специалисты перед обучением рекомендуют составить список базовых знаний, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Он состоит из таких элементов:
- Определения величин.
- Признаки делимости чисел.
- Разложение на простые элементы или множители.
- Алгоритмы или методики нахождения.
НОД — максимальное значение величины, на которую делятся 2 или большее количество чисел. НОК — параметр, характеризующий наименьшее общее делимое. Чтобы понять разницу между этими терминами, нужно разобрать операцию деления двух чисел.
Первый элемент — делимое, т. е. оно делится на определенный элемент (делитель). Результатом является частное. Математики называют последнее частным двух или более значений. Далее нужно разобрать признаки делимости.
Признаки делимости
В математике существуют 2 понятия: цифры и числа. Главное отличие — при комбинации цифр получаются числа. Кроме того, каждое значение состоит из разрядов (единиц, десятков, сотен, тысяч). Последние читаются слева направо, т. е. 657 состоит из единиц (7), десятков (5) и сотен (6). Если объединить их, получится искомая величина. Операция имеет такой вид: 7+50+600=657.
Признаками делимости называются критерии, на основании которых число можно разделить на искомое значение без остатка. К ним относятся следующие правила:
- R (любое действительное число).
- Последняя цифра — четная, т. е. 24/2 — делится, т. к. 4 — четное.
- Сумма цифр, составляющих число, возможно разделить на 3. Пример: 36/3={3+6=9/3=9}=12.
- Последние 2 цифры можно разделить на 4, т. е. 844/4={44/4=11}=211.
- Последний разряд эквивалентен одному из двух значений (0 или 5), 810/5={0}=162.
- Для числа 6 одновременно выполняются второй и третий пункт. Пример: 96/6={6-четное} и {9+6=15/3=15}=16.
- 7: расчет по формуле [a*b*c*d+e]/7, где e — разряд единиц, а все остальные (слева направо) — десятки, сотни, тысячи и десятки тысяч. Правило справедливо и для величин с разным количеством разрядов. Пример: 861/7={(8*6+1)/7=49/7=7}=123.
- Деление на 8 осуществляется по второму и четвертому признакам одновременно, т. е. 184/8={4 — четное} и {84/4=21}=23.
- Сумму разрядов можно разделить на 9. Пример: 108/9={1+0+8=9/9=1}=12.
- Последняя цифра эквивалентна 0, т. е. 140/10={0}=14.
- 2 разряда равны между собой (11, 22, 33 и т. д. ) или величина, образованная разрядами сотен и десятков без единиц, делится на 11 (121={(12−1)/11=1}).
Однако признаков делимости недостаточно для перехода к соответствующим алгоритмам. Следующий этап — разложение числа на простые элементы натурального типа.
Разложение на простые элементы
Простые множители — числа, которые делятся только на единицу или на эквивалентную величину, т. е. 7/1 и 7/7. Разложение величины на простые элементы — найти совокупность чисел, произведение которых и будет составлять искомое значение. Например, 30=3*5*2. Для выполнения этой операции математики разработали специальный алгоритм:
- Написать значение.
- Определить по признакам делимости первый множитель.
- Выполнить операцию деления.
- Подобрать второй множитель для величины, полученной в 3 пункте.
- Реализовать пункты со 2 по 4 включительно.
Однако для понимания принципа работы алгоритма, нужно выполнить разложение на простые значения на практике. Например, для 176 реализация методики имеет следующий вид:
- 176.
- 2: 176/2=88.
- 11: 88/11=8.
- 2: 8/2=4.
- 2: 4/2=2.
- 2: 2/2=1.
Следовательно, 176=2*11*2*2*2. Однако результат можно записать в более упорядоченной форме: 176=11*2*2*2*2*2. Далее следует перейти к алгоритмам, посредством которых можно вычислить НОК и НОД.
Нахождение НОД
Найти НОД двух чисел можно следующими способами: разложением на простые множители или посредством алгоритма Евклида. Первый имеет такой вид:
- Раскладываются первое и второе значения на простые множители.
- Выбираются общие множители и перемножаются между собой.
Для реализации методики на практике нужно разобрать нахождение НОД 86 и 92. Она имеет такой вид:
- 92: 92/2=46/2=23, т. е. 92=23*2*2.
- 86: 86/2=43*2.
- НОД: 2.
Наиболее простой является методика Евклида для нахождения НОД. Она позволяет быстро найти искомое значение и имеет такой вид:
- Разделить большее значение на меньшее (записать отдельно целую часть и остаток).
- Если есть остаток, искомое большое число нужно на него разделить.
- Выполнять пункты алгоритма, пока остаток не будет равным 0. Результат — это и есть НОД.
Чтобы понять смысл, нужно применить ее к числам 92 и 86. Это выглядит следующим образом:
- 92/86=1{6}.
- 86/6=14{2}.
- 14/2=7{0}.
- НОД=2, т. к. в третьем пункте нет остатка от деления.
Далее нужно рассмотреть методику нахождения НОК, чтобы окончательно понять отличие от НОД.
Определение НОК
НОК находится также посредством разложения на множители, но алгоритм существенно отличается от НОД. Он имеет следующий вид:
- Разложить величины на множители.
- Взять наименьшее и дополнить его недостающими элементами.
- Вычислить искомое значение НОК.
Чтобы понять принцип работы алгоритма, его нужно реализовать на практике. Для числовых значений 18 и 12 он имеет такой вид:
- 18=3*3*2.
- 12=2*2*3.
- НОК=12*3=36.
Следовательно, наименьшим общим кратным двух чисел является 36. Искомую величину нужно находить в алгебре для приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю при выполнении арифметических операций сложения и вычитания. Следует отметить, что операцию можно выполнять не только для двух, но и для трех чисел. При этом алгоритм существенно усложняется.
Примеры решения
Одной из сложных задач является следующая: найти наибольший общий делитель чисел 32, 66 и 84. Для решения можно воспользоваться одним из способов. Оптимальным из них является разложение на множители:
- 32=2*2*2*2*2.
- 66=11*3*2.
- 84=2*3*2*2*2*2.
- НОД=2.
По методике Евклида решать не рекомендуется, т. к. это усложнит вычисления. Основной принцип физико-математических дисциплин — оптимизация расчетов, т. е. нужно искать способ с наименьшим количеством преобразований и расчетов.
В следующей задаче требуется осуществить поиск НОД для 66, 121, 77 и 110. В этом случае также рекомендуется разложить на простые множители все 4 числа. Поиск решения выполняется по такой методике:
- 66=11*3*2.
- 121=11*11.
- 77=11*7.
- 110=11*5*2.
- НОД=11.
Если рассмотреть 2 этих примера, можно сделать вывод, что считать НОД довольно просто. Далее нужно найти НОК для 22 и 32. Это осуществляется по такой методике:
- 22=11*2.
- 32=8*4=2*2*2*2*2.
- НОК=11*2*2*2*2*2=22*16=352.
Еще одним типом задачи является одновременное нахождение НОД и НОК для чисел 45, 85, 94 и 96. Решение имеет следующий вид:
- 45=5*3*3.
- 85=17*5.
- 94=2*47.
- 96=2*2*3*2*2*2.
- НОД=1 (нет общих множителей, кроме единицы).
- НОК=5*3*3*17*2*47*2*2*2*2*2=1150560.
В математике встречаются более сложные задачи. Одна из них имеет такую формулировку: НОД двух чисел эквивалентен 9, первое число равно 90 и больше второго. Необходимо найти второе ближайшее целое значение. Решается задание по такому алгоритму:
- 90=9*10.
- 81=9*9.
- НОД=9.
Задача решается методом подбора, поскольку по условию ближайшая целая величина эквивалентна 81.
Таким образом, нахождение НОД является довольно простой операцией, если следовать алгоритму и иметь базовые знания.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.
Как найти НОД?
Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
- выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наибольшего общего делителя
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОД 12 и 8
1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2
3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4
Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.
Пример 2: найти НОД 75 и 150
Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:
1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5
3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75
Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.
Частный случай или взаимно простые числа
Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:
Пример 3: найти НОД 9 и 5
1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:
Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.
