Как найти общий делитель математика 6 класс

Как найти общий делитель математика 6 класс

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

  1. разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
  2. выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
  3. найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Источник

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

делители числа 12 и 9

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

делители числа 12 и 9 определение НОД

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

разложение 24 и 18 на простые множители

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

нод 24 и 18 на простые множители шаг 2

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

нод 24 и 18 на простые множители шаг 3

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

2 × 3 = 6

Значит НОД (24 и 18) = 6

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

разложение чисел 28 и 16

Получили два разложения: 2 на 2 на 7 и 2 на 2 на 2 на 2

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

2 на 2 на 7 без 7

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

2 на 2 равно 4

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

разложение числа 100 на множители

Раскладываем на множители число 40

разложение числа 40 на множители

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

2 на 2 на 5 на 5

Перемножим оставшиеся числа:

2 на 2 на 5 равно 20

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

разложение числа 72 на множители

Раскладываем на множители число 128

разложение числа 128 на множителиПолучили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

2 на 2 на 2 на 3 на 3

Перемножим оставшиеся числа:

2 на 2 на 2 равно 8

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8

Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

разложение числа 18 на множители

Разложим на множители число 24

разложение числа 24 на множители

Разложим на множители число 36

разложение числа 36 на множители

Получили три разложения:

разложения чисел 18 24 и 36

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

разложения чисел 18 24 и 36 шаг 2

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

разложение числа 12 на множители

Разложим на множители число 24

разложение числа 24 на множители

Разложим на множители число 36

разложение числа 36 на множители

Разложим на множители число 42

разложение числа 42 на множители

Получили четыре разложения:

разложения чисел 42 36 24 12 шаг 1

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

разложения чисел 42 36 24 12 шаг 2

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

нахождение кратных числа 9 вручную

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

нахождение кратных числа 12 вручную

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

-5 -1 i 4 на кп

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

кратные чисел 9 и 12 подчеркивание

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

разложение числа 9 на множители

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

3 на 3 на 2 на 2 шаг 1

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

3 на 3 на 2 на 2 шаг 2

Теперь перемножаем эти множители:

3 на 3 на 2 на 2 шаг 3

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12

Разложение чисел 9 и 12

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

разложение числа 50 на множители

Разложим на множители число 180

разложение числа 180 на множители

Выпишем первое разложение:

255233 шаг 1

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

255233 шаг 2

Теперь перемножаем эти множители:

255233 шаг 3

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

разложение числа 8 на множители

Разложим на множители число 15

разложение числа 15 на множители

Разложим на множители число 33

разложение числа 33 на множители

Выпишем первое разложение:

2223511 шаг 1

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

2223511 шаг 2

Теперь перемножаем эти множители:

2223511 шаг 3

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320

Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

нок для 24 и 12 для второго способа нахождения НОК step 1

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

нок для 24 и 12 для второго способа нахождения НОК step 2

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

нок для 24 и 12 для второго способа нахождения НОК step 3

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24

Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 1

Перемножим числа 36 и 48

нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 2

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 3

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 4

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16

Решение:

Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16

Решение:

Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32

Решение:

Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32

Решение:

Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86

Решение:

Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86

Решение:

Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35

Решение:

Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35

Решение:

Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82

Решение:

Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82

Решение:

Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76

Решение:

Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже


Источник

Наибольший общий делитель


Наибольший общий делитель

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 222.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 222.

Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.

Что такое НОД?

Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел – это наибольшее число, на которое можно без остатка разделить каждое из чисел ряда.

Это значение чаще всего используется для ряда из двух чисел. Просто потому, что сокращаются обычно два числа: числитель и знаменатель дроби. Нахождение НОД для большего количества значений не всегда оправдано, но вырабатывает навык.

Как найти НОД?

Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.

Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.

Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:

  • Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
  • Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
  • Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.

Теперь проведем ту же процедуру на практике.

  • 540 : 2=270
  • 270:2=135
  • 135 : 3 =45
  • 45 : 3=15
  • 15 : 5 = 3

Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.

Аналогично поступим с числом 252:

  • 252 : 2=126
  • 126: 2=63
  • 63 : 3=21
  • 21 : 3 = 7

Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.

В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5.

Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.

НОД=2*2*3*3=36

Как можно это использовать?

Задача: сократить дробь $$252over540$$.

НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.

НОД = 36

Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.

$${252over540} ={7over15}$$ – чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.

Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.

Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.

Заключение

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 222.

А какая ваша оценка?

Источник

План урока:

Наибольший общий делитель

Взаимно простые числа

Минутка истории

Наибольший общий делитель

Встречаются ситуации, когда хочется понимать, на какое максимальное количество делится одновременно несколько числовых значений.

Например:

В городском парке проводился ежегодный марафон. Для участия в марафоне пришло 36 мальчиков, 24 девочки. По условиям соревнования, всех участников необходимо поделить на команды, в которые войдут  и мальчики, и девочки. Сколько одинаковых команд можно сформировать из данного количества детей?

erer

Чтобы ответь на вопрос задачи, вычислим максимальное числовое значение, являющееся делителем для количества всех ребят одновременно.

Выполним необходимые вычисления – определим существующие множители. Вычисления запишем в столбик.

Начнем с 36.

2

36 | 2

18

Полученное частное – 18, оно четное. Делитель остается прежним:

36 | 2

18 | 2

9

9 – нечетное, поэтому берем следующий делитель – 3:

36 | 2

18 | 2

9  | 3

3

Частное – простое числовое значение, делится само на себя:

36 | 2

18 | 2

9  | 3

3  | 3

1

Частное – единица, разложение окончено.

Выпишем составляющие:

36 = 2×2×3×3

Переходим к 24.

24 заканчивается четной цифрой, значит, кратно двум:

242

12

Делитель оставляем прежним, частное 12 – четное:

242

122

6

Результат деления 6, снова делим на 2:

24 | 2

12 | 2

6  | 2

3

Получили простое числовое значение, которое делится само на себя:

24 | 2

12 | 2

6  | 2

3  | 3

1

Разложение окончено. Запишем полученные компоненты:

24 = 2 × 2 × 2 × 3.

В финале выполненных вычислений мы получили:

36 = 2 × 2 × 2 × 3× 3;

24 = 2 × 2 × 2 × 3.

Давайте выберем одинаковые составляющие. Видно, что в каждом выражении такими составляющими будут: 2 ×2 × 3.

Перемножим выделенные компоненты:

2 ×2 × 3 = 12.

12 – самое большое числовое значение, на которое можно разделить оба делимых.

Мы выяснили, что всех участников можно распределить на 12 одинаковых команд.

Решая задачу, нашли самый большой делитель двух данных чисел. В арифметике число, являющееся самым большим делителем, одновременно для нескольких делимых, называют наибольшим общим делителем.

3

Для определения наибольшего общего делителя, нужно придерживаться определенного порядка выполнения математических действий:

4

Выполним задание.

Определите НОД (наибольший общий делитель) 66 и 44.

Чтобы выполнить задание будем придерживаться рассмотренного алгоритма действий.

Определим компоненты, входящие в состав числового значения.

5

Значит:

66 | 2

33

Результат деления оканчивается нечетной цифрой, проверяем по признакам делимости на 3:

6

66 | 2

33 | 3

11

Мы получили простое числовое значение

7

66 | 2

33 | 3

11 | 11

 1

     В итоге вычислений – 1, разложение окончено.

Переходим ко второму известному значению.

  • 1) Определим составляющие, входящие в состав:

Проверяем по признакам делимости. Данное числовое значение заканчивается четной цифрой, значит, оно делится на 2.

44 | 2

          22

Частное снова делится на 2:

          44 | 2    

          22 | 2

          11

В результате простое число, делим само на себя:

44 | 2    

22 | 2

11 | 11

1

Разложение окончено.

  • 2) Выпишем компоненты обоих делимых, определим одинаковые:

66 = 2 × 3 × 11

44 = 2 ×2 × 11

  • 3) Перемножим выделенные составляющие:

2 × 11=22

Выходит, что наибольший общий делитель – 22.

На письме, рядом с обозначением НОД в скобочках записывают делимые, для которых определяли наибольший общий делитель:

НОД (66;44) = 22.

Разберем задачу

Выпускники на праздник последнего звонка, приготовили цветы своим учителям. Они принесли 69 роз и 46 гладиолусов и разделили поровну между всеми учителями. Сколько учителей поздравили выпускники?

8

Зная, что цветы были поделены поровну, нам необходимо найти максимальную численность учителей,на которую можно разделить и розы и гладиолусы.

Для определения НОД данных делимых, воспользуемся алгоритмом вычисления:

  • 1) Разложим на составляющие:

69 | 3               46 | 2

23 | 23             23 | 23

1                       1

  • 2) Выберем общее числовое значение находящееся в составляющих :

69 = 3 × 23

46 = 2 × 23.

Нам подходит только  23.

НОД (69;46) = 23.

Наибольшим общим делителем для данных чисел будет 23. 

Выпускники поздравили 23 учителя.

Взаимно простые числа

Рассмотрим ситуацию.

В первой банке лежало 9 декоративных камней, во второй – 14 . Сколько  предметов интерьера, можно украсить  имеющимся материалом, если на каждое изделие использовать равное, при этом, наибольшее количество,камней из первой и второй коробки?

9

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выполнить определенные вычисления. Для этого, разложим данные значения на простые составляющие:

14 | 2             9 | 3

 7  | 7             3 | 3

 1                   1

Выписываем компоненты, входящие в состав известных значений:

14 = 2 × 7

9 = 3 × 3

 Повторяющихся составляющих нет. Мы знаем, если любое натуральное число  умножить на 1, числовое значение не изменится. Значит, единственный, наибольший общий множитель чисел – 1.

Данным количеством камней получится  украсить только один предмет интерьера, если использовать равное, наибольшее количество материала из обеих банок.

 В арифметике числа, наибольшим общим множителем которых является 1, называют взаимно простыми.

10

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выполнить определенные вычисления. Для этого, разложим данные значения на простые составляющие:

14 | 2             9 | 3

 7  | 7             3 | 3

 1                   1

Выписываем компоненты, входящие в состав известных значений:

14 = 2 × 7

9 = 3 × 3

 Повторяющихся составляющих нет. Мы знаем, если любое натуральное число  умножить на 1, числовое значение не изменится. Значит, единственный, наибольший общий множитель чисел – 1.

Данным количеством камней, получится  украсить только один предмет интерьера, если использовать равное, наибольшее количество материала из обеих банок.

 В арифметике, числа, наибольшим общим множителем которых является 1, называют взаимно простыми

11

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, необходимо определить самое маленькое числовое значение, которое будет, без остатка делиться на 4, на 5, то есть будет кратно 4, 5.

Сначала, подберем значения, кратные четырем: 4,8,12,16,20,24,28.

Теперь, значения, кратные пяти: 5,10,15,20,25,30.

После этого, необходимо найти самое маленькое число, которое будет кратным 4, 5 одновременно.

Из перечисленных числовых значений,  подходит только 20. Оно делится без остатка на 4, на 5. Наименьшим общим кратным двух чисел будет 20.

Важно!

12

В математике существует специальный алгоритм для нахождения наименьшего общего кратного нескольких натуральных числовых значений:

13

Например:

Вычислим НОК для 30 и 32.

Чтобы выполнить нужные вычисления воспользуемся алгоритмом нахождения НОК.

14ris

Разберем задачу

В городе Москва, для  качественной съемки парада, приуроченного к празднику 9 Мая, организаторы подготовили квадрокоптеры с видеокамерами. Из одной точки  одновременно, будут запущены три аппарата. Время полета первого 8 минут, второго – 12.Через какое время,квадрокоптеры снова будут запущены одновременно, если по возвращению в точку запуска им меняют батарею и сразу отправляют назад.

15

Чтобы получить ответ на главный вопрос задачи, найдем наименьшее числовое значение, кратное двум данным величинам.

Для этого будем использовать рассмотренный алгоритм:

16ris

Квадрокоптеры будут одновременно запущены через 24 минуты.

Последняя задачка  на внимательность.

На уроке Ваня около доски выполнял задание. Он написал: НОК (25; 115) = 100. Подскажите Ване, верно ли он выполнил задание (не выполняя вычислений)?

17

Вначале, давайте вспомним определение НОК:

18

Из определения следует, НОК нацело делится на известные данные. Однако,видим, что 100 на 115 нацело разделить невозможно. Поэтому Ваня, допустил ошибку в своих расчетах!

Вот так легко и просто можно решить огромное количество задач, даже не совершая сложных вычислений!

Пока, вы только ученики 6 класса. Пройдет совсем немного времени и каждому придется делать главный выбор в своей жизни – «Кем стать?». Если  решите связать жизнь с программированием, интернет-ресурсами, научной деятельностью, вам нужно запомнить все правила и определения. Рассмотренные сегодня алгоритмы лежат в основе разработки, создания, компьютерных программ, сайтов, игр.

Минутка истории

1. Древнегреческий математик Эвклид, создавший алгоритм нахождения НОД, совершил множество математических открытий, аналогов которым ученые не нашли. Самым интересным, является то, что биографических сведений о самом Эвклиде не существует.

2. Среди бесконечного множества простых чисел, заканчивающихся на два и пять, существует только два: 2 и 5.

3. Результат суммирования  цифр числа 18, в два раза меньше этого числа. Существует только одно число такого плана.

4. Однажды, математик Абрахам де Муавр, живший в Англии, находясь в преклонном возрасте, выяснил, что временной период, занимающий сон, увеличивается ежедневно на четвертую часть часа. Проведя вычисления, он определил день, когда длительность сна достигнет суток. По его расчетам это должно произойти двадцать седьмого ноября 1754 года. Именно эта дата стала датой смерти английского ученого.

Источник

Для этого термина существует аббревиатура «НОД», которая имеет и другие значения, см. Нод.

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей[1]. Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел m и n:

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n — это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или [m,n], а в английской литературе {mathrm {lcm}}(m,n).

НОК для ненулевых чисел m и n всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

(m,n)cdot [m,n]=mcdot n

Это частный случай более общей теоремы: если a_{1},a_{2},dots ,a_{n} — ненулевые числа, D — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

D=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n}]cdot left({frac {D}{a_{1}}},{frac {D}{a_{2}}},dots ,{frac {D}{a_{n}}}right)

Взаимно простые числа[править | править код]

Числа m и n называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме pm 1. Для таких чисел НОД{displaystyle (m,n)=1}. Обратно, если НОД{displaystyle (m,n)=1,} то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа a_{1},a_{2},dots a_{k}, где kgeq 2, называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления[править | править код]

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

n=p_{1}^{{d_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{d_{k}}},
m=p_{1}^{{e_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{e_{k}}},

где p_{1},dots ,p_{k} — различные простые числа, а d_{1},dots ,d_{k} и e_{1},dots ,e_{k} — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

(n,m)=p_{1}^{{min(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{min(d_{k},e_{k})}},
[n,m]=p_{1}^{{max(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{max(d_{k},e_{k})}}.

Если чисел более двух: a_{1},a_{2},dots a_{n}, их НОД находится по следующему алгоритму:

d_{2}=(a_{1},a_{2})
d_{3}=(d_{2},a_{3})

………
d_{n}=(d_{{n-1}},a_{n}) — это и есть искомый НОД.

Свойства[править | править код]

  • Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
  • Если m делится на n, то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
  • {displaystyle (a,b)=(a-b,b)}. В общем случае, если {displaystyle a=b*q+c}, где {displaystyle a,b,c,q} – целые числа, то {displaystyle (a,b)=(b,c)}.
  • (acdot m,acdot n)=|a|cdot (m,n) — общий множитель можно выносить за знак НОД.
  • Если D=(m,n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть, left({{frac {m}{D}},{frac {n}{D}}}right)=1. Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
  • Мультипликативность: если a_{1},a_{2} взаимно просты, то:
(a_{1}cdot a_{2},b)=(a_{1},b)cdot (a_{2},b)
left{acdot m+bcdot nmid a,bin mathbb{Z } right}
и поэтому (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

(m,n)=ucdot m+vcdot n.
Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы mathbb {Z} , порождённая набором {a_{1},a_{2},dots ,a_{n}}, — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a1, a2, … , an).

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей a, b нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители a и b.

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов a и b кольца {mathbb {Z}}left[{sqrt {-3}}right] не существует наибольшего общего делителя:

a=4=2cdot 2=left(1+{sqrt {-3}}right)left(1-{sqrt {-3}}right),qquad b=left(1+{sqrt {-3}}right)cdot 2.

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

См. также[править | править код]

  • Бинарный алгоритм вычисления НОД
  • Делимость
  • Алгоритм Евклида
  • Наименьшее общее кратное

Литература[править | править код]

  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. страница 857
Источник

Добавить комментарий