Как найти общий множитель двух дробей

Как найти общий множитель двух дробей

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Обыкновенные дроби состоят из числителя – верхней части, и знаменателя – нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 1114, 1714, 914 имеют одинаковый знаменатель 14. Другими словами, они приведены к общему знаменателю.

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Очевидно, что дроби 45 и 34 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 45 на 4, а числитель и знаменатель дроби 34  умножим на 5. Вместо дробей 45 и 34 получим соответственно 1620 и 1520.

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель

Общий знаменатель дробей – это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 16 и 35. Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5. Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Общий знаменатель

Можно ди дроби 13, 216, 512 привести к общему знаменателю, который равен 150?

Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3, 6, 12. Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3, 6, 12.  Проверим:

150÷3=50, 150÷6=25, 150÷12=12,5

Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель дробей – это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.

Наименьший общий делитель данного набора чисел – это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель

Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 110 и 12728.

Ищем НОК чисел 10 и 28.  Разложим их на простые множители и получим:

10=2·528=2·2·7НОК(15, 28)=2·2·5·7=140

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю
  1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
  2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
  3. Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

Есть дроби 314 и 518. Приведем их к наименьшему общему знаменателю.

По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.

14=2·718=2·3·3НОК(14, 18)=2·3·3·7=126

Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 314 дополнительный множитель находится как 126÷14=9, а для дроби 518 дополнительный множитель будет равен 126÷18=7.

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

3·914·9=27126, 5·718·7=35126.

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Привести дроби 32, 56,38 и 1718 к наименьшему общему знаменателю.

Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:

НОК(2, 6)=6НОК(6, 8)=24НОК(24, 18)=72НОК(2, 6, 8, 18)=72

Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби. 

Для 32 дополнительный множитель равен 72÷2= 36, для 56 дополнительный множитель равен 72÷6= 12, для 38 дополнительный множитель равен 72÷8= 9, наконец, для 1718 дополнительный множитель равен 72÷18= 4.

Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

32·36=1087256·12=607238·9=27721718·4=6872

Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)

Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.

Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”

Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции

Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)

Пример 3. Найти наименьшее общее кратное

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.

Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.

Удобный способ нахождения общего знаменателя
Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями (числа, стоящие под дробной чертой) сначала необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Таким числом будет наименьшее кратное, которое встречается в списке кратных каждого знаменателя, то есть число, делящееся нацело на каждый знаменатель.[1]
 Также вы можете вычислить наименьшее общее кратное (НОК) двух или более знаменателей. В любом случае речь идет о целых числах, методы нахождения которых весьма схожи. Определив НОЗ, вы сможете привести дроби к общему знаменателю, что в свою очередь позволит вам складывать и вычитать их.

  1. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 1

    1

    Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.

    • Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5
    • Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; и так далее.
    • Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; и так далее.
    • Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; и так далее.

  2. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 2

    2

    Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для всех знаменателей. После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.

    • Обратите внимание, что если общий знаменатель не найден, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
    • Лучше (и легче) пользоваться этим методом в том случае, когда в знаменателях стоят небольшие числа.
    • В нашем примере общим кратным всех знаменателей является число 30: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
    • НОЗ = 30

  3. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 3

    3

    Перепишите исходное уравнение. Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, при этом не изменив их значения, умножьте каждый числитель (число, стоящее над дробной чертой) на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

    • Пример: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
    • Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30

  4. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 4

    4

    Решите полученное уравнение. После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто решите полученное уравнение. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

    • Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 5

    1

    Перечислите делители каждого знаменателя. Делитель – это целое число, которое делит нацело данное число.[4]
     Например, делителями числа 6 являются числа 6, 3, 2, 1. Делителем любого числа является 1, потому что любое число делится на единицу.

    • Пример: 3/8 + 5/12
    • Делители 8: 1, 2, 4, 8
    • Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

  2. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 6

    2

    Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих знаменателей. Перечислив делители каждого знаменателя, отметьте все общие делители. Самый большой общий делитель является наибольшим общим делителем, который понадобится вам для решения задачи.

    • В нашем примере общими делителями для знаменателей 8 и 12 являются числа 1, 2, 4.
    • НОД = 4.

  3. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 7

    3

    Перемножьте знаменатели между собой. Если вы хотите использовать НОД для решения задачи, сначала перемножьте знаменатели между собой.

    • Пример: 8 * 12 = 96

  4. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 8

    4

    Разделите полученное значение на НОД. Получив результат перемножения знаменателей, разделите его на вычисленный вами НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).

    • Пример: 96 / 4 = 24

  5. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 9

    5

    Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.

    • Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
    • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
    • 9/24 + 10/24

  6. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 10

    6

    Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

    • Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 11

    1

    Разложите каждый знаменатель на простые множители. Разложите каждый знаменатель на простые множители, то есть простые числа, которые при перемножении дают исходный знаменатель. Напомним, что простые множители – это числа, которые делятся только на 1 или самих себя.[6]

    • Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
    • Простые множители 4: 2 * 2
    • Простые множители 5: 5
    • Простые множители 12: 2 * 2 * 3

  2. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 12

    2

    Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя. То есть определите, сколько раз каждый простой множитель появляется в списке множителей каждого знаменателя.

    • Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
    • Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
    • Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5

  3. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 13

    3

    Возьмите только наибольшее число раз для каждого простого множителя. Определите наибольшее число раз наличия каждого простого множителя в любом знаменателе.

    • Например: наибольшее число раз для множителя 2 – 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.

  4. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 14

    4

    Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители. Не записывайте число раз наличия каждого простого множителя во всех исходных знаменателях – делайте это с учетом наибольшего числа раз (как описано в предыдущем шаге).

    • Пример: 2, 2, 3, 5

  5. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 15

    5

    Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равен НОЗ.

    • Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
    • НОЗ = 60

  6. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 16

    6

    Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.

    • Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
    • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
    • 15/60 + 12/60 + 5/60

  7. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 17

    7

    Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

    • Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 18

    1

    Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).

    • Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
    • 8 = 8/1
    • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
    • Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3

  2. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 19

    2

    Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным в предыдущих разделах. Для этого примера мы будем использовать метод “перечисление кратных”, в котором выписываются кратные каждого знаменателя и на их основе вычисляется НОЗ.

    • Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
    • Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
    • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
    • НОЗ = 12

  3. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 20

    3

    Перепишите исходное уравнение. Числители и знаменатели исходных дробей умножьте на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

    • Например: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
    • 96/12 + 27/12 + 8/12

  4. Изображение с названием Find the Least Common Denominator Step 21

    4

    Решите уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

    • Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

    Реклама

Что вам понадобится

  • Карандаш
  • Бумага
  • Калькулятор (по желанию)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 222 990 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Нахождение наименьшего общего знаменателя бывает нужно для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, которое нацело делится и на первый, и на второй знаменатель двух дробей.

Правило нахождения наименьшего знаменателя следующее:

Наименьший знаменатель

Для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, нужно найти методом подбора наименьшее общее число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель. После этого нужно умножить каждую дробь на такое число, чтобы в знаменателе этих дробей получилось найденное нами наименьшее общее число.

Пример 1

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 56frac{5}{6} и 34frac{3}{4}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 6, и на 4. Это число 12. Далее умножаем каждую дробь на такие числа, чтобы в знаменателе получилось 12. Первую дробь умножаем на 2, а вторую на 3:

56=5⋅26⋅2=1012frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2}=frac{10}{12}

34=3⋅34⋅3=912frac{3}{4}=frac{3cdot3}{4cdot3}=frac{9}{12}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 12.

Ответ

12

Пример 2

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 521frac{5}{21} и 27frac{2}{7}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 21, и на 7. В этом случае это – один из знаменателей, число 21. Далее нужно умножить вторую дробь на такое число, чтобы в знаменателе получилось 21. Умножаем вторую дробь на 3:

27=2⋅37⋅3=621frac{2}{7}=frac{2cdot3}{7cdot3}=frac{6}{21}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 21.

Ответ

21

Решение задач по алгебре онлайн от экспертов Студворк!

Тест по теме “Наименьший общий знаменатель”

Источник

Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю.
Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ.
Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к
общему знаменателю.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби frac{1}{12} и frac{3}{8}.

Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 8) = 24. Это число и будет новым
знаменателем.

Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 =
24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.

Приводим к общему знаменателю первую дробь:

    [frac{1}{12} = frac{1cdot2}{12cdot2} = frac{2}{24}.]

Приводим к общему знаменателю вторую дробь:

    [frac{3}{8}=frac{3cdot3}{8cdot3} = frac{9}{24}.]

Общий знаменатель трёх дробей

Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен
алгоритму для двух дробей.

Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.

Пример. Привести к общему знаменателю три дроби frac{2}{3}, frac{1}{4} и frac{5}{6}.

Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12.
Число 12 будет новым знаменателем.

Чтобы знаменатели дробей стали равны 12,
числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3,
числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4,
а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.

Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:

    [frac{2}{3} = frac{2cdot4}{3cdot4} = frac{8}{12},]

    [frac{1}{4}=frac{1cdot3}{4cdot3} = frac{3}{12},]

    [frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2} = frac{10}{12}.]

Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число,
которое будет новым знаменателем.

Источник

Добавить комментарий