Как найти общий множитель одночленов

1 Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.2 Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.3 Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.4Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y – 2) и (y + 3).5Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y – 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.6Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.7Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.8Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.9Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² – 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² – 2).

Every algebraic expression has factors as 1 and itself. If the Monomial is a Common Factor, then the product of two or more numbers or variables, then it will have factors of 1 and itself. Find different problems on the Factorization of algebraic expressions and know the process to solve each problem in an easy way. We have included tips and tricks to solve Factorization Problems that help students to learn the Factorization concept easily.

How to Find Factorization of an Expression when a Monomial is a Common Factor?

Follow the below process to find the Factorization of given problems.

(i) Write an algebraic expression.
(ii) Find the H.C.F. of all the individual terms of the expression.
(iii) Divide each individual term of the expression by the H.C.F.
(iv) Keep the H.C.F. outside the bracket and the quotients obtained within the bracket.

The greatest common factor (GCF) of two or more monomials is the product of the greatest common factor of the coefficients and the greatest common factors of the variables

Solved Examples on Monomial as a Common Factor

1. Factorize each of the following algebraic expressions.

(i) 15a + 10

Solution:
The given expression is 15a + 10
Firstly, find the HCF of given terms.
HCF of their numerical coefficients 15 and 10 is 5.
HCF of literal coefficients:
The lowest power of a is 0.
Therefore, the HCF of literal coefficients is nothing.
HCF of two or more monomials = (HCF of their numerical coefficients) × (HCF of their literal coefficients)
HCF of 15a + 10 is 5.
Multiply and divide each term of the given expression 15a + 10 with 5a
5((15a/5) + (10/5)) = 5(3a + 2)

The final answer is 5(3a + 2)

(ii) 18mn² + 9m²n – 12mn

Solution:
The given expression is 18mn² + 9m²n – 12mn
Firstly, find the HCF of given terms.
HCF of their numerical coefficients 18, 9, and 12 is 3.
HCF of literal coefficients:
The lowest power of m is 1.
The lowest power of n is 1.
Therefore, the HCF of literal coefficients is mn.
HCF of two or more monomials = (HCF of their numerical coefficients) × (HCF of their literal coefficients)
HCF of 18mn² + 9m²n – 12mn is 3mn.
Multiply and divide each term of the given expression 15a + 10 with 5a
3mn((18mn²/3mn) + (9m²n/3mn) – (12mn/3mn)) = 3mn (6n + 3m – 4)

The final answer is 3mn (6n + 3m – 4).

(iii) 20x²y – 8xy² + 32xy

Solution:
The given expression is 20x²y – 8xy² + 32xy
Firstly, find the HCF of given terms.
HCF of their numerical coefficients 20, 8, and 32 is 4.
HCF of literal coefficients:
The lowest power of x is 1.
The lowest power of y is 1.
Therefore, the HCF of literal coefficients is xy.
HCF of two or more monomials = (HCF of their numerical coefficients) × (HCF of their literal coefficients)
HCF of 20x²y – 8xy² + 32xy is 4xy.
Multiply and divide each term of the given expression 20x²y – 8xy² + 32xy with 4xy
4xy(20x²y/4xy – 8xy²/4xy+ 32xy/4xy) = 4xy (5x – 2y + 8)

The final answer is 4xy (5x – 2y + 8).

(iv) 13a³ + 39a²b

The given expression is 13a³ + 39a²b
Firstly, find the HCF of given terms.
HCF of their numerical coefficients 13 and 39 is 13.
HCF of literal coefficients:
The lowest power of a is 2.
The lowest power of b is 0.
Therefore, the HCF of literal coefficients is a².
HCF of two or more monomials = (HCF of their numerical coefficients) × (HCF of their literal coefficients)
HCF of 13a³ + 39a²b is 13a².
Multiply and divide each term of the given expression 13a³ + 39a²b with 13a².
13a²(13a³/13a² + 39a²b/13a²) = 13a² (a + 3b)

The final answer is 13a² (a + 3b).

План урока:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Применение разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

a(b + c) = ab + bc

Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

ab + bc = a(b + c)

Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

что, скорее всего, не получится посчитать в уме. Если же вынести a за скобки, то получим иную запись:

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

Рассмотрим полином 14ab – 63b². Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

14ab = 7b * 2a

63b² = 7b * 9b

Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

14ab – 63b² = 7b*2a – 7b*9b = 7b(2a-9b)

Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции – раскрытия скобки:

7b(2a – 9b) = 7b*2a – 7b*9b = 14ab – 63b²

Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

8a³b⁴ + 12a²b⁵v + 16a⁴b³c¹⁰

Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

Далее рассмотрим буквенную часть. В ней должны быть переменные, которые есть во ВСЕХ слагаемых. В данном случае это a и b, а переменная c общей не является, так как не входит в первое слагаемое.

Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a². У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b³:

8a³b⁴ + 12a²b⁵v + 16a⁴b³c¹⁰ = 4a²b³(2ab + 3b²c + 4a²c¹⁰)

В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b²c, 4a²c¹⁰ нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Еще один пример. Необходимо разложить выражение

5t(8y – 3x) + 2s(3x – 8y)

Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

-(8y – 3x) = -8y + 3x = 3x – 8y

Значит, можно заменить (3x – 8y) на – (8y – 3x):

5t(8y – 3x) + 2s(3x – 8y) = 5t(8y – 3x) + 2*(-1)s(8y – 3x) = (8y – 3x)(5t – 2s)

Ответ: (8y – 3x)(5t – 2s).

Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

(a – b) = – (b – a)

Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

Этот прием часто используется при решении заданий.

Способ группировки

Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

ab – 5a + bc – 5c

Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

ab – 5a + bc – 5c = (ab – 5a) + (bc – 5c) = a(b – 5) + c(b – 5)

Теперь можно вынести выражение b – 5:

a(b – 5) + c(b – 5) = (b – 5)(a + c)

Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

Пример. Разложим полином 6xy + ab– 2bx– 3ay.

Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

6xy + ab – 2bx – 3ay = 6xy – 2bx + ab – 3ay = (6xy – 2bx) + (ab – 3ay) = 2x(3y – b) + a(b – 3y)

Разности 3y – b и b – 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

(b – 3y) = – (3y – b)

Используем эту замену:

2x(3y – b) + a(b – 3y) = 2x(3y – b) – a(3y – b) = (3y – b)(2x – a)

В результате получили тождество:

6xy + ab – 2bx – 3ay = (3y – b)(2x – a)

Ответ: (3y – b)(2x – a)

Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

x² – 3xy + xz + 2x – 6y + 2z

можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

x² – 3xy + xz + 2x – 6y + 2z = (x² – 3xy + xz) + (2x – 6y + 2z) = x(x – 3y + z) + 2(x – 3y + z) = (x + 2)(x – 3y + z)

Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

Пример. Разложите квадратный трехчлен x²– 8x +15.

Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

-8x = -3x – 5x

Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

x² – 8x + 15 = x² – 3x – 5x + 15

Сгруппируем слагаемые:

x² – 3x – 5x + 15 = (x² – 3x) + (- 5x + 15) = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3)

Ответ: (x– 5)(х – 3).

Конечно, догадаться о замене – 8х = – 3х – 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

(x + a)(x + b) = x² + xa + xb + ab = x² + (a + b)x + ab

Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x²– 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= – 3 и b = – 5. Тогда

(x – 3)(x – 5) = x² * 8x + 15

в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

x² * 8x + 15 = (2x – 6)(0.5x – 2.5)

Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

(2x – 6)(0.5x – 2.5) = (x – 3) * 2 * (0.5x – 2.5) = (x – 3)(x – 5)

В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

x² – x + 1

невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ 

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = 2(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ )

Обозначим сумму

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

x + 2⁹ = 2(1 + x)

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

x + 2⁹ = 2(1 + x)

x + 2⁹ = 2 + 2x

2x – x = 2⁹ – 2

x = 512 – 2 = 510

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = x + 2⁹ = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

38.4² – 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 – 29.5 * 38.4

Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:

38.4² – 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 – 29.5 * 38.4 = 38.4² – 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 – 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 – 29.5) + 61.6(38.4 – 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 – 29.5) = 8.9*100 = 890

Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение

81⁴ – 9⁷ + 3¹²

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

9 = 3²

81 = 9² = (3²)² = 3⁴

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

81⁴ – 9⁷ + 3¹² = (3⁴)⁴ – (3²)⁷ + 3¹² = 3¹⁶ – 3¹⁴ + 3¹²

Вынесем 3¹²:

3¹⁶ – 3¹⁴ + 3¹² = 3¹²(3⁴ – 3² + 1) = 3¹² * (81 – 9 + 1) = 3¹² * 73

Произведение 3¹²•73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81⁴ – 9⁷ + 3¹² делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = (a² + 3a)(a² + 3a) + 2(a² + 3a) = (a² + 3a)(a² + 3a + 2)

Далее произведем замену 3a = 2a + a:

(a² + 3a)(a² + 3a + 2) = (a² + 3a)(a² + 2a + a + 2) = (a² + 3a)((a² + 2a) + (a + 2) = (a² + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a² + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

(x – y)(x + y) – 2x(x – y)

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х – у:

(x – y)(x + y) – 2x(x – y) = (x – y)(x + y – 2x) = (x – y)(y – x)

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

(x – y) = -(y – x)

Тогда можно записать:

(x – y)(y – x) = -(y – x)(y – x) = -(y – x)²

Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у – х)². Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:

(s – 1)(s + 1) = 0

s – 1 = 0 или s + 1 = 0

s = 1 или s = -1

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Ответ: –1; 1.

Пример. Решите уравнение 5w² – 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

5w² – 15w = 0

5w(w – 3) = 0

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

5w = 0 или (w – 3) = 0

w = 0 или w = 3

Ответ: 0; 3.

Пример. Найдите корни уравнения k³– 8k² + 3k– 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k³– 8k² + 3k– 24 = 0

(k³– 8k²) + (3k– 24) = 0

k²(k – 8) + 3(k – 8) = 0

(k³ + 3)(k – 8) = 0

k² + 3 = 0 или k – 8 = 0

k² = -3 или k = 8

Заметим, что уравнение k² = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Ответ: 8.

Пример. Найдите корни уравнения

(2u – 5)(u + 3) = 7u + 21

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

(2u – 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u – 5)(u + 3) – 7u – 21 = 0

(2u – 5)(u + 3) – 7(u + 3) = 0

(2u – 5 – 7)(u + 3) = 0

(2u – 12)(u + 3) = 0

2u – 12 = 0 или u + 3 = 0

u = 6 или u = -3

Ответ: – 3; 6.

Пример. Решите уравнение

(t² – 5t)² = 30t – 6t²

Решение:

(t² – 5t)² = 30t – 6t²

(t² – 5t)² – (30t – 6t²) = 0

(t² – 5t)(t² – 5t) + 6(t² – 5t) = 0

(t² – 5t)(t² – 5t + 6) = 0

t² – 5t = 0 или t² – 5t + 6 = 0

Далее решим по отдельности эти уравнения:

t² – 5t = 0

t(t – 5) = 0

t = 0 или t – 5 = 0

t = 0 или t = 5

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

t² – 5t + 6 = 0

t² – 2t – 3t + 6 = 0

t(t – 2) – 3(t – 2) = 0

(t – 3)(t – 2) = 0

T – 3 = 0 или t – 2 = 0

t = 3 или t = 2

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

Ответ: 0, 2, 3, 5

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)