bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
int xln(x)dx
-
int sin (2x)dx
-
int frac{x}{x^2+1}dx
-
int cos (sqrt{x})dx
-
int sin ^2(x)+cos ^2(x)dx
-
int :xe^xdx
- Показать больше
Описание
Поэтапное решение первообразной функции
antiderivative-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Integral Calculator, substitution
In the previous post we covered common integrals. You will find it extremely handy here b/c substitution is all…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Первообразная (неопределенный интеграл)
Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет
многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной
к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на
оптимизацию.
Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача — задача о восстановлении
закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти
закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что s'(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию
s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что ( s(t) = frac{gt^2}{2} ). В самом деле
( s'(t) = left( frac{gt^2}{2} right)’ = frac{g}{2}(t^2)’ = frac{g}{2} cdot 2t = gt )
Ответ: ( s(t) = frac{gt^2}{2} )
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили ( s(t) = frac{gt^2}{2} ). На самом деле задача имеет бесконечно
много решений: любая функция вида ( s(t) = frac{gt^2}{2} + C ), где C — произвольная константа, может служить законом движения,
поскольку ( left( frac{gt^2}{2} +C right)’ = gt )
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в
какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s0, то из равенства s(t) = (gt2)/2 + C
получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s0. Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt2)/2 + s0.
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например:
возведение в квадрат (х2) и извлечение квадратного корня ( ( sqrt{x} ) ), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д.
Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т. е. процесс нахождения
функции по заданной производной, — интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у’ = f'(x).
Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем»,
они говорят, что это, по отношению к функции у’ = f'(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для ( x in X )
выполняется равенство F'(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство
(x2)’ = 2х
2) Функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2, поскольку для любого х справедливо равенство
(x3)’ = 3х2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство
(sin(x))’ = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно
связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 2. Если F(x) — первообразная для f(x), то kF(x) — первообразная для kf(x).
Теорема 1. Если y = F(x) — первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция
( y=frac{1}{k}F(kx+m) )
Теорема 2. Если y = F(x) — первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много
первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.
Методы интегрирования
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом
заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора
подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл ( textstyle int F(x)dx ). Сделаем подстановку ( x= varphi(t) ) где
( varphi(t) ) — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда ( dx = varphi ‘ (t) cdot dt ) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла
получаем формулу интегрирования подстановкой:
( int F(x) dx = int F(varphi(t)) cdot varphi ‘ (t) dt )
Интегрирование выражений вида ( textstyle int sin^n x cos^m x dx )
Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
( textstyle int u cdot dv = u cdot v – int v cdot du )
или:
( textstyle int u cdot v’ cdot dx = u cdot v – int v cdot u’ cdot dx )
Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций
$$ int 0 cdot dx = C $$
$$ int 1 cdot dx = x+C $$
$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n neq -1) $$
$$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$
$$ int e^x dx = e^x +C $$
$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a neq 1) $$
$$ int cos x dx = sin x +C $$
$$ int sin x dx = -cos x +C $$
$$ int frac{dx}{cos^2 x} = text{tg} x +C $$
$$ int frac{dx}{sin^2 x} = -text{ctg} x +C $$
$$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = text{arcsin} x +C $$
$$ int frac{dx}{1+x^2} = text{arctg} x +C $$
$$ int text{ch} x dx = text{sh} x +C $$
$$ int text{sh} x dx = text{ch} x +C $$
Калькулятор первообразных с шагами
Калькулятор первообразной находит первообразную функции шаг за шагом по переменной, т. е. x, y или z. Этот онлайн-калькулятор интеграции также поддерживает верхнюю и нижнюю границы, если вы работаете с минимальным или максимальным значением интервалов.
С помощью этого интегрального калькулятора вы можете получить пошаговые расчеты:
- Определенный интеграл
- Неопределенный интеграл
Он может найти интегралы логарифмических, а также тригонометрических функций. Этот инструмент оценивает входную функцию и соответственно использует интегральные правила для вычисления интегралов для площади, объема и т. д.
Как работает антипроизводный калькулятор?
Этот инструмент использует синтаксический анализатор, который анализирует заданную функцию и преобразует ее в дерево. Компьютер интерпретирует дерево для правильной оценки порядка операций и соответствующим образом реализует правила интеграции.
Вы можете найти первообразную (интеграл) любой функции, выполнив следующие действия.
- Выберите определенный или неопределенный вариант.
- Введите функцию в данное поле ввода.
- Нажмите кнопку «Загрузить пример», если вы хотите использовать образец примера.
- Укажите переменную. По умолчанию он установлен как x.
- Введите верхнюю и нижнюю границы, если вы выбрали определенный интеграл выше.
- Нажмите кнопку “Рассчитать”. Вы получите результат с пошаговыми расчетами.
Вы можете скачать решение, нажав на иконку.
Что такое интеграл?
Интеграл можно определить как
«Integral присваивает числа функциям таким образом, который описывает объем, площадь, перемещение и другие идеи, возникающие при объединении бесконечно малых данных».
Процесс нахождения интегралов называется интегрированием. Интеграл также называют первообразной, потому что это обратная операция вывода.
Наряду с дифференцированием интегрирование является важной операцией исчисления и служит инструментом для решения задач в математике и физике, связанных с длиной кривой, объемом твердого тела и площадью произвольной формы среди других.
Интеграл функции f(x) по действительной переменной x на интервале [a, b] записывается как:
(int _a^bfleft(xright)dx:)
Как найти первообразную (интеграл)?
См. приведенные ниже примеры, чтобы узнать, как вычислять определенные и неопределенные интегралы, используя правила интегрирования.
Пример №1
Определенный интеграл
Оценивать (int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:)
Решение:
- Примените правило сумм. Запишите знак интегрирования с каждой переменной отдельно.
(int _0^1sqrt{x}dx+int _0^1x^{frac{1}{3}}dx:)
Вышеупомянутая функция может быть записана как:
(=int _0^1x^{frac{1}{2}}dx+int _0^1x^{frac{1}{3}}dx:)
- Примените степенное правило к обоим выражениям, чтобы вычислить показатели степени.
Правило питания: (int x^ndx=frac{x^{n+1}}{n+1}:)
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=left[frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{1}{2}+1}right]^1_0+left[frac{x^{frac{1}{3}+1}}{frac{1}{3}+1}right]^1_0)
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=left[frac{x^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}}right]^1_0+left[frac{x^{frac{4}{3}}}{frac{4}{3}}right]^1_0)
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=left[frac{2x^{frac{3}{2}}}{3}right]^1_0+left[frac{3x^{frac{4}{3}}}{4}right]^1_0)
- Примените постоянное правило, которое оставляет C с окончательным выражением.
Постоянное правило:
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=frac{2}{3}left[x^{frac{3}{2}}right]^1_0+frac{3}{4}left[x^{frac{4}{3}}right]^1_0)
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=frac{2}{3}left[1^{frac{3}{2}}-0^{frac{3}{2}}right]+frac{3}{4}left[1^{frac{4}{3}}-0^{frac{4}{3}}right])
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=frac{2}{3}left[1-0right]+frac{3}{4}left[1-0right])
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=frac{2}{3}+frac{3}{4})
(int _0^1left(sqrt{x}+sqrt[3]{x}right)dx:=frac{17}{12}=1.4167)
Пример №2
Неопределенный интеграл
Оценивать (int left(3x^2−6x+2sinleft(xright)right)dx)
Решение:
- Переставьте функцию, как показано ниже.
(int left(2sinleft(xright)+3x^2−6xright)dx)
- Примените правило сумм к функции.
Правило суммы:
(int left(f+gright)dx=int f:dx+int g:dx)
(int left(2sinleft(xright)+3x^2−6xright)dx=2int sinleft(xright)dx+3int x^2dx−6int xdx) …Уравнение 1
- Решите каждое выражение в приведенной выше функции, реализуя интегральные правила.
(int sinleft(xright)dx=-cosleft(xright)) … d/dx sin(x)=cos(x)
(int x^2dx=frac{x^3}{3}:)
(int xdx=frac{x^2}{2}:)
- Подставьте значения решения в уравнение 1.
(int :left(2sinleft(xright)+3x^2−6xright)dx=-2cosleft(xright)+frac{3x^3}{3}−frac{6x^2}{2}+C)
C добавлен из-за постоянного правила.
- Упростите уравнение, если это необходимо.
(int :left(2sinleft(xright)+3x^2−6xright)dx=-2cosleft(xright)+x^3−3x^2+C)
Часто задаваемые вопросы
Чему равен интеграл от 1/x?
Интеграл от 1/x представляет собой абсолютное значение: ln (|x|) + C. Это стандартное значение интегрирования.
Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?
Определенный интеграл обозначает число, когда верхняя и нижняя границы являются постоянными. С другой стороны, неопределенный интеграл – это семейство функций, производная которых равна f. Разница между двумя функциями является константой.
Что такое первообразная tan(x) dx?
Первообразная tan(x) dx равна,
тангенс x = – ln |cos x| + С
Введите функцию, переменную, верхнюю и нижнюю границы. Выберите вариант с определенным или неопределенным целым. Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти интеграл с помощью первообразного калькулятора.
Онлайн-калькулятор интеграла – это инструмент, который вычисляет интеграл заданной функции по переменной. Он также вычисляет как определенный, так и неопределенный интеграл для заданной функции.
Этот калькулятор интегралов также показывает шаги интегрирования для каждого расчета.
Что такое интеграл?
Интеграл можно определить как
«Интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы можно было определить объем, смещение площади и даже вероятность. Интеграл – это функция, обратная производной, поэтому его обычно называют первообразной ».
Процесс нахождения интеграла известен как интегрирование. Он используется для определения площади под кривой. Символ интеграции или первообразной – ∫.
Как оценить интеграл?
Пример: вычислите следующий интеграл.
∫ (6x + 2) dx
Решение:
Шаг 1: Примените линейность к функции.
= 6 ∫ x dx + 2 ∫ 1 dx ——- 1
Шаг 2: Решите 6 ∫ x dx и 2 ∫ 1 dx отдельно и поместите значения в уравнение (1) выше.
6 ∫ x dx
Примените правило силы.
6 ∫ х dx = 6×2 / 2 = 3×2
2 ∫ 1 дх
Примените правило константы ∫a dx = ax + C.
2 ∫ 1 dx = 2x + C
Шаг 3: Поместите решенные интегралы в уравнение (1).
= 6 ∫ x dx + 2 ∫ 1 dx
= 3×2 + 2x + C
Приведенный выше интегральный решатель выполняет все эти шаги и для вашего удобства показывает полный расчет.
Вычисление интегралов
Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3sin(x2)
. Запишем как x^3*sin(x^2) и нажимаем кнопку Получить решение.
Если интеграл определенный, например, , то записываем 2/x^4+tan(x), в качестве пределов интегрирования указываем 1, 2.
Примечание: число “пи” (π) записывается как pi; знак “бесконечность” (∞) ≡ infinity
Примеры правильной записи некоторых выражений
Таблица интегралов
Приемы нахождения неопределенных интегралов
Способы нахождения неопределенных интегралов:
- Подведение под знак дифференциала:
- Интегрирование по частям: ∫xexdx
- Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример):
- Интегрирование рациональных дробей:
- Интегрирование простейших иррациональностей:
- Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: ∫cos4(x)sin3(x)dx
Пример 1. Вычислить ∫(3x+15)17dx.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=
Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .
Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .
Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t2, x=t2+5, dx=2tdt.
Подставив в интеграл, получим
=
Пример 6. Вычислить ∫x2exdx
.
Решение.
Положим u=x2, dv=exdx; тогда du=2xdx, v=ex. Применим формулу интегрирования по частям:
∫x2exdx=x2ex-2∫xex
.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xex
, применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv=exdx; тогда du=dx, v=ex и
∫xex=x2ex-2xex+2ex+C
.
Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4)
, для второго слагаемого получаем разложение
Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2–4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1)
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x3: 0=A+C
x2: -5=B+D
x: 0=4A+C
x0: -4=4B+D
Отсюда находим A=C=0, B=1/3, D=-16/3.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:
Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,
Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку tgx/2=t, тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .
Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.
Пример 11.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому
.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R. По определению
= =
Интеграл сходится.
Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2
и прямой x+y=2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x2 и прямой y=2-x. Решая уравнение x2=2-x, находим x1=-2, x2=1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.