12 мая 2014
Дробно-рациональные выражения, содержащие переменную под корнем, упрощаются с помощью двухшагового алгоритма:
- Раскладываем знаменатели всех дробей на множители, в т.ч. используя формулы сокращенного умножения;
- Приводим все дроби к общему знаменателю, а затем находим подобные слагаемые в числителе.
Более сложные выражения разбиваются на действия — подобно тому, как мы считаем обычные примеры с числами.
Смотрите также:
- Преобразование выражений с корнем
- Выделение полного квадрата
- Площадь круга
- Задача B3 — работа с графиками
- Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
- Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов
|
Здесь нужно просто избавиться от знаменателей, домножая обе части уравнения на произведение корней. При этом полезно сначала чуть упростить запись уравнения. Во-первых, в числителях стоят чётные числа, и можно сначала всё уменьшить в два раза, то есть сделать числители равными $%19-9t$% и $%10+6t$% соответственно. Далее, $%sqrt{38}=sqrt{19}sqrt{2}$%, и $%sqrt{32}=4sqrt2$%. Поэтому можно сократить знаменатели на $%sqrt2$%, превратив их в $%sqrt{19}$% и $%4$%. Во второй из дробей можно сделать ещё одно сокращение на $%2$%. Получится уравнение $%(19-9t)/sqrt{19}=(5+3t)/2$%. Производим домножение обеих частей на $%2sqrt{19}$% (или пользуемся свойством пропорции, если кому-то так больше нравится): $%2(19-9t)=sqrt{19}(5+3t)$%. Если теперь решать самым обычным способом, то есть перенести в одну часть всё с $%t$%, а в другую всё без $%t$%, то отсюда выражается $%t$% в виде частного $%(38-5sqrt{19})/(3(6+sqrt{19}))$%. В таких случаях обычно домножают числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. Без учёта множителя $%3$%, это будет $%6-sqrt{19}$%. После упрощений получается $$t=frac{323-68sqrt{19}}{51}=frac{19-4sqrt{19}}3$$ после сокращения на $%17$%. |
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:
-
Приведя дроби к общему знаменателю
-
Используя основное свойство пропорции
Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.
1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.
Пример 1
$frac{2x+3}{2x-1}=frac{x-5}{x+3}$
Решение:
1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую
[frac{2x+3}{2x-1}-frac{x-5}{x+3}=0]
Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.
2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$
Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.
[frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0]
Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить
[left(2x+3right)left(х+3right)=2хcdot х+2хcdot 3+3cdot х+3cdot 3={2х}^2+6х+3х+9]
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении
[left(2x+3right)left(х+3right)=2хcdot х+2хcdot 3+3cdot х+3cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=] [{=2х}^2+9х+9]
Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов
$left(x-5right)left(2х-1right)=хcdot 2х-хcdot 1-5cdot 2х+5cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$
Тогда уравнение примет вид:
[frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0]
Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним
[frac{{2х}^2+9х+9-({2х}^2-11х+5)}{(2x-1)(х+3)}=0]
Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми , стоящими в скобках на противоположные
[{2х}^2+9х+9-left({2х}^2-11х+5right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5]
Приведем подобные слагаемые
${2х}^2+9х+9-left({2х}^2-11х+5right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5=20х+4$
Тогда дробь примет вид
[frac{{rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0]
3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
[{rm 20х+4=0}]
Решим линейное уравнение:
$20x=-4$
$X=-0,2$
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
[2x-1ne 0 x+3ne 0]
х$ne 0,5$ х$ne -3$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ:$-0,2.$
Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
-
Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные
-
Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.
-
Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.
-
Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.
2 способ. Используем основное свойство пропорции
Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.
Пример 2
Используем данное свойство для решения этого задания
[frac{2x+3}{2x-1}=frac{x-5}{x+3}]
1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.
$left(2x+3right)cdot( x+3)=left(x-5right)cdot(2x-1)$
[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5]
$9x+11x=5-9$
$20x=-4$
$X=-0,2$
Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного
2.Найдем допустимые значения переменной .
Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли , что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.
Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.
Ответ:$-0,2.$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Большинство действий с алгебраическими дробями, такие, например, как сложение и вычитание, требуют предварительного приведения этих дробей к одинаковым знаменателям. Такие знаменатели также часто обозначаются словосочетанием «общий знаменатель». В данной теме мы рассмотрим определение понятий «общий знаменатель алгебраических дробей» и «наименьший общий знаменатель алгебраических дробей (НОЗ)», рассмотрим по пунктам алгоритм нахождения общего знаменателя и решим несколько задач по теме.
Общий знаменатель алгебраических дробей
Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 12 и 59 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9.
Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.
Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.
В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.
Многочлену, записанному в виде произведения 3·x2·(x+1), соответствует многочлен стандартного вида 3·x3+3·x2. Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2x, -3·x·yx2 и y+3x+1 , в связи с тем, что он делится на x, на x2 и на x+1. Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ)
Для заданных алгебраических дробей количество общих знаменателей может быть бесконечное множество.
Возьмем для примера дроби 12·x и x+1×2+3 . Их общим знаменателем является 2·x·(x2+3), как и −2·x·(x2+3), как и x·(x2+3), как и 6,4·x·(x2+3)·(y+y4), как и −31·x5·(x2+3)3, и т.п.
При решении задач можно облегчить себе работу, используя общий знаменатель, который среди всего множества знаменателей имеет самый простой вид. Такой знаменатель часто обозначается как наименьший общий знаменатель.
Наименьший общий знаменатель алгебраических дробей – это общий знаменатель алгебраических дробей, который имеет самый простой вид.
К слову, термин «наименьший общий знаменатель» не является общепризнанным, потому лучше ограничиваться термином «общий знаменатель». И вот почему.
Ранее мы сфокусировали ваше внимание на фразе «знаменатель самого простого вида». Основной смысл этой фразы следующий: на знаменатель самого простого вида должен без остатка делиться любой другой общий знаменатель данных в условии задачи алгебраических дробей. При этом в произведении, которое является общим знаменателем дробей, можно использовать различные числовые коэффициенты.
Возьмем дроби 12·x и x+1×2+3 . Мы уже выяснили, что проще всего работать нам будет с общим знаменателем вида 2·x·(x2+3). Также общим знаменателем для этих двух дробей может быть x·(x2+3), который не содержит числового коэффициента. Вопрос в том, какой из этих двух общих знаменателей считать наименьшим общим знаменателем дробей. Однозначного ответа нет, потому правильнее говорить просто об общем знаменателе, а в работу брать тот вариант, с которым работать будет удобнее всего. Так, мы можем использовать и такие общие знаменатели как x2·(x2+3)·(y+y4) или −15·x5·(x2+3)3, которые имеют более сложный вид, но проводить с ними действия может быть сложнее.
Нахождение общего знаменателя алгебраических дробей: алгоритм действий
Предположим, что у нас имеется несколько алгебраических дробей, для которых нам необходимо отыскать общий знаменатель. Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм действий. Сначала нам необходимо разложить на множители знаменатели исходных дробей. Затем мы составляем произведение, в которое последовательно включаем:
- все множители из знаменателя первой дроби вместе со степенями;
- все множители, присутствующие в знаменателе второй дроби, но которых нет в записанном произведении или их степень недостаточно;
- все недостающие множители из знаменателя третьей дроби, и так далее.
Полученное произведение и будет общим знаменателем алгебраических дробей.
В качестве множителей произведения мы можем взять все знаменатели дробей, данных в условии задачи. Однако множитель, который мы получим в итоге, по смыслу будет далек от НОЗ и использование его будет иррациональным.
Определите общий знаменатель дробей 1×2·y, 5x+1 и y-3×5·y .
Решение
В данном случае у нас нет необходимости раскладывать знаменатели исходных дробей на множители. Потому начнем применять алгоритм с составления произведения.
Из знаменателя первой дроби возьмем множитель x2·y, из знаменателя второй дроби множитель x+1. Получаем произведение x2·y·(x+1).
Знаменатель третьей дроби может дать нам множитель x5·y, однако в составленном нами ранее произведении уже есть множители x2 и y. Следовательно, добавляем еще x5−2=x3. Получаем произведение x2·y·(x+1)·x3, которое можно привести к виду x5·y·(x+1). Это и будет наш НОЗ алгебраических дробей.
Ответ: x5·y·(x+1).
Теперь рассмотрим примеры задач, когда в знаменателях алгебраических дробей есть целые числовые множители. В таких случаях мы также действуем по алгоритму, предварительно разложив целые числовые множители на простые множители.
Найдите общий знаменатель дробей 112·x и 190·x2 .
Решение
Разложив числа в знаменателях дробей на простые множители, получаем 122·3·x и 12·32·5·x2 . Теперь мы можем перейти к составлению общего знаменателя. Для этого из знаменателя первой дроби возьмем произведение 22·3·x и добавим к нему множители 3, 5 и x из знаменателя второй дроби. Получаем 22·3·x·3·5·x=180·x2. Это и есть наш общий знаменатель.
Ответ: 180·x2.
Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.
В знаменателях обеих алгебраических дробей 112·x и 190·x2 есть множитель x. Во втором случае множитель x возведен в квадрат. Для составления общего знаменателя это множитель нам необходимо взять в наибольшей степени, т.е. x2. Других множителей с переменными нет. Целые числовые коэффициенты исходных дробей 12 и 90, а их наименьшее общее кратное равно 180. Получается, что искомый общий знаменатель имеет вид 180·x2.
Теперь мы можем записать еще один алгоритм нахождения общего множителя алгебраических дробей. Для этого мы:
- раскладываем знаменатели всех дробей на множители;
- составляем произведение всех буквенных множителей (при наличии множителя в нескольких разложениях, берем вариант с наибольшим показателем степени);
- добавляем НОК числовых коэффициентов разложений к полученному произведению.
Приведенные алгоритмы равноценны, так что использовать в решении задач можно любой из них. Важно уделять внимание деталям.
Встречаются случаи, когда общие множители в знаменателях дробей могут быть незаметны за числовыми коэффициентами. Здесь целесообразно сначала вынести числовые коэффициенты при старших степенях переменных за скобки в каждом из множителей, имеющихся в знаменателе.
Какой общий знаменатель имеют дроби 35-x и 5-x·y22·x-10 .
Решение
В первом случае за скобки необходимо вынести минус единицу. Получаем 3-x-5 . Умножаем числитель и знаменатель на -1 для того, чтобы избавиться от минуса в знаменателе: -3x-5 .
Во втором случае за скобку выносим двойку. Это позволяет нам получить дробь 5-x·y22·x-5 .
Очевидно, что общий знаменатель данных алгебраических дробей -3x-5 и 5-x·y22·x-5 это 2·(x−5).
Ответ: 2·(x−5).
Данные в условии задачи дроби могут иметь дробные коэффициенты. В этих случаях необходимо сначала избавиться от дробных коэффициентов путем умножения числителя и знаменателя на некоторое число.
Упростите алгебраические дроби 12·x+1114·x2+17 и -223·x2+113 , после чего определите их общий знаменатель.
Решение
Избавимся от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель в первом случае на 14, во втором случае на 3. Получаем:
12·x+1114·x2+17=14·12·x+114·114·x2+17=7·x+14×2+2 и -223·x2+113=3·-23·23·x2+43=-62·x2+4=-62·x2+2 .
После проведенных преобразований становится понятно, что общий знаменатель – это 2·(x2+2).
Ответ: 2·(x2+2).
При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.
Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей
Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”
Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции
Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)
Пример 3. Найти наименьшее общее кратное
Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.
Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.
