Как найти общий знаменатель дробей уравнение

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 – 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 – 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x – 2 – 7 x + 2 = 8 x 2 – 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 – 4 = ( x – 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x – 2 – 7 x + 2 = 8 x 2 – 4

x ( x – 2 ) ( x + 2 ) x – 2 – 7 ( x – 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x – 2 ) ( x + 2 ) ( x – 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) – 7 ( x – 2 ) = 8

x 2 + 2 x – 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 – 7 – x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 – 7 – x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 – 4 · 10 = 9

x 1 ≠ – 7 + 3 2 = – 2

x 2 ≠ – 7 – 3 2 = – 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 – 7 – x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 – 7 – x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 –

– ( 7 – x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) – 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 – 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x – 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x – 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x – 2 – 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 ( x + 4 ) x – 2 – 3 ( x – 2 ) x + 4 – 1 ( x – 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) – 3 ( x – 2 ) – ( x – 2 ) ( x + 4 ) ( x – 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 – 3 x + 6 – ( x 2 + 4 x – 2 x – 8 ) ( x – 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 – x 2 – 4 x + 2 x + 8 ( x – 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

– x 2 – x + 30 ( x – 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ – x 2 – x + 30 = 0 ( x – 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x – 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

– x 2 – x + 30 = 0 _ _ _ · ( – 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 – 2 x – x x – 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 1 x ( x – 2 ) – x x x – 2 – 3 ( x – 2 ) x = 0

x + 2 – x 2 – 3 ( x – 2 ) x ( x – 2 ) = 0

x + 2 – x 2 – 3 x + 6 x ( x – 2 ) = 0

– x 2 – 2 x + 8 x ( x – 2 ) = 0 ⇔ – x 2 – 2 x + 8 = 0 x ( x – 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

– x 2 – 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( – 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = – 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 – x – 6 x – 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 – x – 6 1 x – 3 – x ( x – 3 ) – 2 ( x – 3 ) = 0

x 2 – x – 6 – x ( x – 3 ) – 2 ( x – 3 ) x – 3 = 0

x 2 – x – 6 – x 2 + 3 x – 2 x + 6 x – 3 = 0

0 x x – 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x – 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x – 2 – 3 x + 2 = 20 x 2 – 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 ( x + 2 ) x – 2 – 3 ( x – 2 ) x + 2 – 20 1 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) – 3 ( x – 2 ) – 20 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 – 3 x + 6 – 20 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x – 4 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x – 4 = 0 ( x – 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x – 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x – 3 x – 5 + 1 x = x + 5 x ( x – 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

– 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x – 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x – 3 x – 5 + 1 x = x + 5 x ( x – 5 ) · x ( x – 5 )

( x – 3 ) x ( x – 5 ) x – 5 + x ( x – 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x – 5 ) x ( x – 5 )

( x – 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 – 3 x + x – 5 = x + 5 → x 2 – 2 x – 5 – x – 5 = 0 → x 2 – 3 x – 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = – 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду (frac) (=0), где (P(x)) и (Q(x)) – выражения с иксом (или другой переменной).

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Пример не дробно-рациональных уравнений:

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.

Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

Решите полученное уравнение.

Проверьте найденные корни с ОДЗ.

Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение (frac – frac<7>=frac<8>)

Сначала записываем и “решаем” ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения : (x^2-4=(x-2)(x+2)). Значит, общий знаменатель дробей будет ((x-2)(x+2)). Умножаем каждый член уравнения на ((x-2)(x+2)).

Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.

Приводим подобные слагаемые

Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ (x≠2). Значит первый корень – посторонний. В ответ записываем только второй.

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения (frac + frac-frac<7-x>) (=0)

Записываем и «решаем» ОДЗ.

Раскладываем квадратный трехчлен (x^2+7x+10) на множители по формуле: (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)).
Благо (x_1) и (x_2) мы уже нашли.

Очевидно, общий знаменатель дробей: ((x+2)(x+5)). Умножаем на него всё уравнение.

Приводим подобные слагаемые

Находим корни уравнения

Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

[spoiler title=”источники:”]

http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya

http://cos-cos.ru/math/151/

[/spoiler]

Нахождение наименьшего общего знаменателя бывает нужно для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, которое нацело делится и на первый, и на второй знаменатель двух дробей.

Правило нахождения наименьшего знаменателя следующее:

Наименьший знаменатель

Для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, нужно найти методом подбора наименьшее общее число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель. После этого нужно умножить каждую дробь на такое число, чтобы в знаменателе этих дробей получилось найденное нами наименьшее общее число.

Пример 1

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 56frac{5}{6} и 34frac{3}{4}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 6, и на 4. Это число 12. Далее умножаем каждую дробь на такие числа, чтобы в знаменателе получилось 12. Первую дробь умножаем на 2, а вторую на 3:

56=5⋅26⋅2=1012frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2}=frac{10}{12}

34=3⋅34⋅3=912frac{3}{4}=frac{3cdot3}{4cdot3}=frac{9}{12}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 12.

Ответ

12

Пример 2

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 521frac{5}{21} и 27frac{2}{7}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 21, и на 7. В этом случае это – один из знаменателей, число 21. Далее нужно умножить вторую дробь на такое число, чтобы в знаменателе получилось 21. Умножаем вторую дробь на 3:

27=2⋅37⋅3=621frac{2}{7}=frac{2cdot3}{7cdot3}=frac{6}{21}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 21.

Ответ

21

Решение задач по алгебре онлайн от экспертов Студворк!

Тест по теме “Наименьший общий знаменатель”

При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.

Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей

Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями

Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”

Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями

Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции

Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)

Пример 3. Найти наименьшее общее кратное

Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.

Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.

Была ли эта статья полезной?

Что такое общий знаменатель?

Кроме понятия “общий знаменатель“, есть еще такое понятие как – “Наименьший общий знаменатель (НОЗ)” – это… тоже самое, что и “НОК”. Поэтому, мы не будем это разбирать здесь второй раз.

Но что такое общий знаменатель простыми словами?

Общий знаменатель – это любое целое число, которое делится без остатка на первый и второй знаменатель.

Количество чисел, которые могут быть общим знаменателем стремится к бесконечности, но обычно общим знаменателем принимают НОЗ

Пример общего знаменателя :

Для того, чтобы понять, “что такое общий знаменатель” нам нужен пример двух дробей и какое-то действие(иначе смысла в этом нет), пусть это будут две дроби 1/2 и 1/3 и действие сложение – “+”.

1 2 + 1 3 =
1*3 2*3 + 1*2 3*2 =
3 6 + 2 6 =
3 + 2 6 =
5 6

В каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?

Отличный поисковый запрос – “в каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?“, что выше не было озвучено.

Когда ноз двух дробей равен произведению знаменателей?

Как минимум, когда знаменатели будут простыми числами, т.е. в качестве примера, это выше приведенные дроби со знаменателями 2 и 3. Эти числа являются простыми, т.е. делятся на себя и на 1.

И общий знаменатель двух чисел 2 и 3 будет равен произведению 2 * 3 = 6.

Формула общего знаменателя

Как вы знаете. что если умножить и числитель и знаменатель на одно число, то результат дроби не изменится! Поэтому мы можем вывести формулу общего знаменателя буквами :

A B + C D =
A*D B*D + C*B D*B =
A*D + C*B DB

Нахождение общего знаменателя с помощью нок.

Для того чтобы найти общий знаменатель, можно воспользоваться правилом “НОК” для двух чисел, которые здесь – знаменатели.

Если вы не сходили по ссылке, то давайте вкратце попробуем разобраться в формуле подбора общего знаменателя.

Пример нахождения общего знаменателя методом разложения на множители

Это тоже самое. что и выше приведенный “НОК” – только может называться по другому…
смайлы

Рассмотрим два знаменателя 8 и 6, к примеру это могут быть две дроби 1/8 и 1/6 и нам нужно найти их общий знаменатель.

Пример номер 2 подбора общего знаменателя

Чтобы у вас не возникало сомнений, давайте разберем второй пример подбора общего знаменателя, пусть это будут 4 и 10.

Как найти общий знаменатель дробей онлайн

У нас есть калькулятор, который в том числе умеет находить общий знаменатель дробей онлайн!

Прежде чем приступать к поиску общего знаменателя, давайте найдем общий знаменатель для двух знаменателей, а потом проверим данное решение на калькуляторе.

Пусть это будут два знаменателя 20 и 6.

Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн

Открываем наш калькулятор.

Далее вы можете сравнить два результата нахождения общего знаменателя.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Разница между “общим знаменателем“(1) и “наименьшим общим знаменателем“(2) в том, что первое может быть бесконечное количество… а второе “НОЗ”, только один!

Но, что же такое “наименьший общий знаменатель”

НОЗ – это абсолютно тоже самое, что и “НОК”.

Определение, что же такое “наименьший общий знаменатель”

Наименьший общий знаменатель двух знаменателей – это самое маленькое целое число, которое делится без остатка на первый и второй знаменатель.

Формула наименьшего общего кратного

Для нахождения “наименьшего общего знаменателя” двух знаменателей, нужно эти два знаменателя разложить на множители. Больший знаменатель записываем в первую строчку, второй знаменатель раскладываем на множители и записываем во вторую строчку.
Сравниваем две строки и удаляем из второй все цифры, которые повторяются в первой строчке.
То число(если больше 1, то перемножаем между собой) умножаем на большее число.

Для понимания формулы наименьшего общего кратного нам нужен пример!
Предположим, что у нас есть два знаменателя 10 и 6 и нужно найти наименьший общий знаменатель :

Как найти наименьший общий знаменатель на калькуляторе

Для понимания процесса получения наименьшего общего знаменателя на калькуляторе нам потребуются два знаменателя, например 18 и 12 из дробей 1/18 и 1/12
Прежде чем приступать к нахождению “нок” двух чисел на калькуляторе, давайте найдем наименьшее общее кратное, как мы делали это выше :

Теперь проверим правильность нахождения “нок” на калькуляторе.

Как найти общий знаменатель трех дробей

Для того чтобы найти общий знаменатель сразу трех дробей нужно подряд найти нок между этими тремя знаменателями!

Для подтверждения данного тезиса – давайте решим задачку/пример.

Задача/пример найдите общий знаменатель для трех дробей.

У нас даны три дроби и у них у всех три разных знаменателя :

Для такой простой задачи можно в уме посчитать… перебором…, а потом подтвердим наше решение через “НОК”.

Найдем общий знаменатель для трех дробей на калькуляторе через НОК.

Как найти общий знаменатель дробей с разными знаменателями

Если говориться о том, чтобы найти общий знаменатель, то логично предположить, что у дробей изначально разные знаменатели – иначе, зачем искать общий знаменатель – ведь знаменатели одинаковые.

Выше были рассмотрены варианты нахождения общего знаменателя дробей с разными знаменателями.