При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.
Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей
Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”
Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции
Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)
Пример 3. Найти наименьшее общее кратное
Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.
Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Сложение дробей
Поддержать сайт
При сложении дробей могут встретиться разные случаи.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают
числители, а знаменатель оставляют тот же.
Пример.
C помощью букв это правило сложения можно записать так:
Запомните!
Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.
Сложение дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться
следующими правилами.
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти
наименьшее общее кратное знаменателей.
Пример. Сложить дроби.
Как найти общий знаменатель
Находим НОК (15, 18).
НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90
- Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1)
делим по очереди на знаменатель каждой дроби.Полученные числа и будут дополнительными множителями
для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби
.
90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби
.
- Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь
основным свойством дроби.После умножения в знаменателях
обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель.
Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
- Проверяем полученную дробь.
- Eсли в результате получилась
неправильная дробь,
результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
дробь.38 < 90
У нас дробь правильная.
- Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
- Eсли в результате получилась
- Ещё раз весь пример целиком.
Сложение смешанных чисел
Сочетательное и переместитительное свойства сложения позволяют привести
сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.
Чтобы сложить смешанные числа нужно.
- Отдельно сложить их целые части.
Пример.
Складываем целые части.
- Отдельно сложить дробные части.
Если у дробных частей знаменатели разные, то
сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.
- Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
- Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно
выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной
в пункте 1 целой части.
Ещё один пример на сложение смешанных чисел.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
24 декабря 2018 в 11:19
Baur Nurgazinov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Baur Nurgazinov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
2 января 2019 в 14:18
Ответ для Baur Nurgazinov
Лина Аникеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Лина Аникеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1) приводим все дроби к общему знаменателю
(2 -1 ) · х=
2) Вычислаем разность в скобках
( — ) · х=
· х=
сократим дроби на 3
· х=
3) вычисляем х
х= :
По правилу деления дробей делитель переворачиваем
x= · =
4 — сокращаем
х=3
Проверка:
(2 -1 ) · 3=( – ) · 3= · 3= · 3 = · = =
Ответ верный
0
Спасибо
Ответить
24 января 2017 в 19:44
Фанис Газизов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Фанис Газизов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
24 января 2017 в 21:12
Ответ для Фанис Газизов
Marina Kazakova
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Marina Kazakova
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
?
0
Спасибо
Ответить
1 марта 2016 в 18:39
Денис Демидов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Денис Демидов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
спасибо сайт класс тему не понял
| было очень непонятно |
| теперь понятно + + |
+ + + + · + + + + + 
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 13:05
Ответ для Денис Демидов
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
0
Спасибо
Ответить
6 февраля 2016 в 18:54
Денис Бочин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Денис Бочин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Сложи
числа 30 и
числа 14.
0
Спасибо
Ответить
10 февраля 2016 в 19:03
Ответ для Денис Бочин
Алексей Пешков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Алексей Пешков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1) от 30=;
2)
от 14=
2)
+ ===24=24
0
Спасибо
Ответить
14 января 2016 в 15:31
Анжела Волк
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Анжела Волк
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
2/6 или1/2 сравнение дробей
0
Спасибо
Ответить
14 января 2016 в 18:05
Ответ для Анжела Волк
Александр Хан
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Александр Хан
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
больше
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:33
Ответ для Анжела Волк
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Отрицательное число всегда меньше положительного =)
0
Спасибо
Ответить
27 декабря 2015 в 20:00
Надежда Егина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Надежда Егина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:07
Ответ для Надежда Егина
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
· a12· b4 · · a8· b5 = · a20 · b9=125· a20 · b9При раскрытии скобок отбросил знак ?, т.к. степень чётная, а значит получится +.
0
Спасибо
Ответить
21 апреля 2015 в 15:17
Алина Гимадеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Алина Гимадеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1) 15 — 7
4/7= 2) 20
4/5 — 1
5/6 *
1/3
3) 5
1/3 + 4
1/3 +
2/5
0
Спасибо
Ответить
14 апреля 2016 в 12:32
Ответ для Алина Гимадеева
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Судя по всему, не разобрались с использованием кнопки дробь. Интерпретирую задачу следующим образом:
1) 15 ? 7
=8
2) 20
? 1 · = ? = = = =9 — похоже ошибка в примере, он гораздо сложнее двух других.
3) 5
+4 + = 9 + = + = = =10
0
Спасибо
Ответить
7 апреля 2015 в 20:06
Александр Гридюшко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Александр Гридюшко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
как решить?4
+
0
Спасибо
Ответить
7 апреля 2015 в 21:13
Ответ для Александр Гридюшко
Анастасия Власова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Анастасия Власова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
4+ = + = + = = = = 6
0
Спасибо
Ответить
14 апреля 2015 в 16:55
Ответ для Александр Гридюшко
Asel Talantbekovna
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Asel Talantbekovna
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
4 + = + = = =16:3=1
0
Спасибо
Ответить
16 апреля 2015 в 19:06
Ответ для Александр Гридюшко
Мирон Федоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Мирон Федоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Asel не правильно
0
Спасибо
Ответить
Как известно, обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя. Знаменатель — это натуральное число находящееся под чертой:
a — числитель, b — знаменатель.
Общий знаменатель
Общий знаменатель — это любое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели дробей, т.е. является их общим кратным. Для нескольких дробей можно найти бесконечно много общих знаменателей.
Пример 1: найти общий знаменатель для дробей
1 2
и
1 3
Для нахождения общего знаменателя достаточно найти числа кратные и двойке и тройке. Это будет: 6, 12, 18 и т.д. К примеру, 4, 8, 10 кратны двойке, но не кратны тройке — поэтому не будут являться общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель дробей
Зная, что такое общий знаменатель, нетрудно догадаться, что наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, которое делится без остатка на все знаменатели дробей.
Возвращаясь к предыдущему примеру, можно с уверенностью сказать, что 12 будет общим знаменателем двойки и тройки, но наименьшим не будет. Наименьшим общим знаменателем будет — 6.
Таким образом: наименьший общий знаменатель двух дробей:
1 2
и
1 3
— является 6.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Бывают ситуации когда в уме найти наименьший общий знаменатель сложно. Для этого есть алгоритм, который сводится к нахождению наименьшего общего кратного (НОК). НОК и будет являться НОЗ. Для нахождения НОК необходимо:
- разложить оба знаменателя на простые множители;
- выписать множители входящее в одно из разложений и добавить отсутствующие множители из второго разложения;
- вычислить их произведение.
Пример 2: Найти НОК чисел 12 и 8.
Согласно алгоритму раскладываем оба числа на простые множители:
Берем множители из первого разложения — 2, 2, 3. И добавляем отсутствующие из второго. В нашем случае во втором 3 двойки, но т.к. в первом разложении уже присутствуют 2 двойки — то недостающей будет одна. Таким образом получается набор цифр 2, 2, 3, 2 — которые необходимо перемножить. Отсюда 2 · 2 · 3 · 2 = 24.
Ответ: НОК (12; 8) = 24.
Пример 3: Найти НОК чисел 388 и 142.
Данный пример, с точки зрения вычислений сложнее, однако наглядно демонстрирует важность понимания алгоритма:
Аналогично, берем множители из первого разложения — 2, 2, 97. И добавляем отсутствующие из второго — 71. Отсюда 2 · 2 · 97 · 71 = 27548.
Ответ: НОК (388; 142) = 27548.
Практическое применение
На практике нахождение наименьшего общего знаменателя, используется, к примеру, при арифметических действиях с дробями (сложение, вычитание), при сравнении дробей и других задачах, где необходимо, как найти НОЗ, так и привести дроби к общему знаменателю.
Приведение дробей к общему знаменателю
Правило приведения дробей к общему знаменателю:
- Найти наименьший общий знаменатель дробей (НОЗ);
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель (НОЗ разделить на каждый знаменатель);
- Умножаем числитель на дополнительный множитель.
Пример 4: привести дроби
4 12
и
3 8
к наименьшему общему знаменателю.
- Согласно алгоритму находим НОЗ для знаменателей 12 и 8. Выше, во втором примере, мы уже находили НОК для 12 и 8. Как уже было сказано ранее НОЗ = НОК. Таким образом, НОЗ = 24.
- Находим дополнительные множители:
24 : 12 = 2
24 : 8 = 3
- Умножаем числители на дополнительные множители:
4 · 2 = 8
3 · 3 = 9
Таким образом:
Смотрите также:
- Смотрите также
- Калькуляторы
- Последние примеры
Оцените материал:
Загрузка…
Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.
Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.
Формула основного свойства рациональных чисел.
Основное свойство рациональных чисел гласит:
(frac{p}{q}=frac{p times n}{q times n})
Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.
Рассмотрим пример:
(frac{1}{2}=frac{1 times 4}{2 times 4}=frac{4}{8})
Получаем,
(frac{1}{2}=frac{4}{8})
Наименьший общий знаменатель.
Что такое наименьший общий знаменатель?
Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.
Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:
Приведите дроби с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю .
Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2
Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2
НОК(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140
Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.
Как привести дробь к общему знаменателю?
Нужно первую дробь (frac{1}{20}) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.
(frac{1}{20}=frac{1 times 7}{20 times 7}=frac{7}{140})
А вторую дробь умножить на 10.
(frac{3}{14}=frac{3 times 10}{14 times 10}=frac{30}{140})
Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:
- Нужно разложить на простые множители знаменатели дробей.
- Нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей.
- Привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель и знаменатель дроби на множитель.
Общий знаменатель для нескольких дробей.
Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?
Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей (frac{2}{11}, frac{1}{15}, frac{3}{22})
Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.
Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330
Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби (frac{2}{11}, frac{1}{15}, frac{3}{22}) к общему знаменатели равному 330.
(begin{align}
frac{2}{11}=frac{2 times 30}{11 times 30}=frac{60}{330} \\
frac{1}{15}=frac{1 times 22}{15 times 22}=frac{22}{330} \\
frac{3}{22}=frac{3 times 15}{22 times 15}=frac{60}{330} \\
end{align})
Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей (bf frac{2}{25}) и (bf frac{1}{14})?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.
Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.
Это мы нашли наименьший общий знаменатель:
( begin{align}
frac{2}{25}=frac{2 times 14}{25 times 14}=frac{28}{350} \\
frac{1}{14}=frac{1 times 25}{14 times 25}=frac{25}{350} \\
end{align})
Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей (frac{2}{25}) и (frac{1}{14}) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.
Общий знаменатель
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Общий знаменатель
Если вам необходимо найти общий знаменатель дробей воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:
Заполнив необходимые поля, вы узнаете общий знаменатель и подробное решение.
Как найти общий знаменатель дробей
Как подвести дроби ab и cdпод наименьший общий знаменатель (НОЗ)?
Для того чтобы подвести две дроби под общий знаменатель нужно воспользоваться следующим алгоритмом:
- Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей – это и будет общий знаменатель. Запишем его буквой Z.
- Числитель и знаменатель первой дроби умножить на число равное Z : b
- А числитель и знаменатель второй дроби умножить на число равное Z : d
Пример
Для примера подведём следующие дроби под общий знаменатель:
34 и 56
НОК 4 и 6 = 12
3 ⋅ (12:4)4 ⋅ (12:4) 5 ⋅ (12:6)6 ⋅ (12:6)
3⋅34⋅3 5⋅26⋅2
912 1012
