Как найти общую формулу ряда онлайн

Сумма ряда по-шагам

Примеры нахождения суммы ряда

Что умеет калькулятор суммы рядов?

Вы указываете выражение под знаком сигма, первый член, последний член или бесконечность, если нужно найти предел суммы.

• Находит частичные суммы
• Предел суммы ряда
• Исследует на признаки сходимости:
  • Расходимость
  • Абсолютная сходимость. Сходящиеся ряды
  • Условная сходимость
  • Равномерная сходимость
  • Необходимое условие сходимости
  • Признак сходимости Лейбница
  • Признак сходимости Вейерштрасса
  • Признак сходимости Абеля
  • Признак сходимости Дирихле
  • Предельный признак сравнения
  • Предельный признак сравнения
  • Телескопический признак (Признак сгущения Коши)
  • Интегральный признак Коши — Маклорена
  • Признак сравнения
  • Признак Раабе — Дюамеля
• Поддерживает:
  • Функциональный ряд:

    С переменными x или z

    • Степенной ряд
    • Ряд Тейлора
    • Ряд Маклорена
    • Ряд Фурье
    • Тригонометрический ряд
    • Ряд Лорана
  • Знакочередующийся ряд / Знакопеременный ряд
  • Ряд обратных квадратов
  • Гармонический ряд
  • Ряд Гранди
  • Ряд Флинт Хиллз
  • Ряд Кемпнера
  • Сходящийся ряд
  • Расходящийся ряд
  • Положительный ряд
  • Частичный ряд
  • Другие
• Находит:
  • Сумму ряда
  • Численная сумма ряда
  • Скорость сходимости ряда
  • Радиус сходимости степенного ряда
• Строит графики:
  • Частичных сумм
  • Предела ряда

Подробнее про Сумма ряда.

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^2

– возведение в квадрат

x^3

– возведение в куб

x^5

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

– число Пи

e

– основание натурального логарифма

i

– комплексное число

oo

– символ бесконечности

Для того, чтобы
вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак,
частичной суммой ряда
(обозначается S_n)
называется сумма первых n
слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно
вычислить как предел
частичной суммы:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞130131132…13n

Таким образом, для
вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда
(S_n).
В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую
геометрическую прогрессию
со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых
n
элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Snb1qn1q1

здесь
b₁ –
первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и
q –
это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма
S_n
для нашего ряда равна:

Sn111312332

Тогда сумма нашего ряда
(S)
согласно определению, данному выше, равна:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞3232

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа “sum diverges”), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для
n-ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Онлайн калькулятор для нахождения формулы общего члена последовательности.