Как найти общую хорду двух пересекающихся окружностей

Общая хорда двух окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

3) O1O2 — общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом,

Аналогично доказывается, что

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

Хорда окружности – определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

• Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
• Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
• Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Как найти общую хорду окружности

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6ce9a8ab9eca3a6b • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Общая хорда двух окружностей Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей. Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B. Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F. Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2. 3) O1O2 — общая сторона. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B. Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом, Аналогично доказывается, что По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB. Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой: [spoiler title=”источники:”] http://nauka.club/matematika/geometriya/khorda-okruzhnosti.html http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-obschuyu-hordu-okruzhnosti [/spoiler]

Общая хорда двух окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

3) O1O2 — общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом,

Аналогично доказывается, что

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

Источник

Общая хорда двух окружностей

Свойство общей хорды

Общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Общая хорда двух окружностей

Доказательство свойства общей хорды

Шаг 1

Рассмотрим две пересекающиеся окружности с центрами в точках О и О₁.

Через точки пересечения окружностей проведем хорду МК.

Соединим центры окружностей отрезком ОО₁.

Докажем, что МК перпендикулярна ОО₁.

Доказательство свойства общей хорды. Шаг 1

Шаг 2

Соединим центры окружностей с точками М и К.

Рассмотрим образовавшиеся треугольники ОМО₁ и ОКО₁.

ОМ = ОК – как радиусы окружности с центром в точке О;

О₁М = О₁К – как радиусы окружности с центром в точке О₁;

ОО₁ – общая сторона.

Доказательство свойства общей хорды. Шаг 2

Шаг 3

Рассмотрим треугольник МОК.

Точку пересечения хорды МК и ОО₁ обозначим буквой Т.

Так как ОК = ОМ как радиусы окружности, то треугольник МОК – равнобедренный.

На шаге 2 показали равенство углов:

Следовательно, ОТ – биссектриса угла О.

По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, она является и высотой:

Доказательство свойства общей хорды. Шаг 3

Шаг 4

Рассмотрим треугольник МО₁К.

Так как О₁К = О₁М как радиусы окружности, то треугольник МО₁К – равнобедренный.

На шаге 2 показали равенство углов:

Следовательно, О₁Т – биссектриса угла О₁.

По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, она является и высотой:

Источник

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Внешнее касание двух окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Окружности пересекаются в двух точках
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей что и требовалось доказать. что и требовалось доказать. Источник Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других. В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности. Как построить геометрическую хорду Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой. Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины. Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой. Свойства Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга: Взаимосвязь с радиусом и диаметром Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями: Хорда и радиус Между этими понятиями существуют следующие связи: Отношения со вписанными углами Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам: Взаимодействия с дугой Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности: Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями. Источник Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке Отрезки и прямые, связанные с окружностью Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности Отрезок, соединяющий две любые точки окружности Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания Прямая, пересекающая окружность в двух точках Фигура Рисунок Определение и свойства Окружность Круг Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью Радиус Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности Хорда Отрезок, соединяющий две любые точки окружности Диаметр Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности Касательная Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания Секущая Прямая, пересекающая окружность в двух точках Свойства хорд и дуг окружности Фигура Рисунок Свойство Диаметр, перпендикулярный к хорде Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. Равные дуги У равных дуг равны и хорды. Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. Равные дуги У равных дуг равны и хорды. Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих Тогда справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства откуда и вытекает требуемое утверждение. Теорема о бабочке Воспользовавшись теоремой 1, получим Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим откуда вытекает равенство что и завершает доказательство теоремы о бабочке. Источник Adblock detector Фигура Рисунок Теорема Пересекающиеся хорды Касательные, проведённые к окружности из одной точки Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Секущие, проведённые из одной точки вне круга Касательные, проведённые к окружности из одной точки Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Утверждение

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Дано: окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Доказать:

   

Доказательство:

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

1) O1A=O1B=R;

2) AO2=BO2=r;

3) O1O2 — общая сторона.

Значит, ∆O1AO2=∆O1BO2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом, 

   

Аналогично доказывается, что

   

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

   

Что и требовалось доказать.

We will learn how to find the equation of the common chord of two circles.

Let us assume that the equations of the two given intersecting circles be x(^{2}) + y(^{2}) + 2g(_{1})x + 2f(_{1})y + c(_{1}) = 0 ……………..(i) and x(^{2}) + y(^{2}) + 2g(_{2})x + 2f(_{2})y + c(_{2}) = 0 ……………..(ii), intersect at P (x(_{1}), y(_{1})) and Q (x(_{2}), y(_{2})).

Now we need to find
the equation of the common chord PQ of the given circles.

Now we observe from the above figure that the point P (x(_{1}), y(_{1})) lies on both the given equations. 

Therefore, we get,

x(_{1})(^{2}) + y(_{1})(^{2}) + 2g(_{1})x(_{1}) + 2f(_{1})y(_{1}) + c(_{1}) = 0 ……………..(iii)    

x(_{1})(^{2}) + y(_{1})(^{2}) + 2g(_{2})x(_{1}) + 2f(_{2})y(_{1}) + c(_{2}) = 0 ……………..(iv)

Now subtracting the equation (4) from equation (3) we get,

2(g(_{1}) –  g(_{2}))x(_{1})
+ 2 (f(_{1}) – f(_{2}))y(_{1}) + C(_{1}) – C(_{2})
= 0 ……………..(v)

Again, we observe from the above figure that the point Q (x2,
y2) lies on both the given equations. Therefore, we get,

x(_{2})(^{2}) + y(_{2})(^{2}) + 2g(_{1})x(_{2}) + 2f(_{1})y(_{2}) + c(_{1}) = 0 ……………..(vi)

x(_{2})(^{2}) + y(_{2})(^{2}) + 2g(_{2})x(_{2}) + 2f(_{2})y(_{2}) + c(_{2}) = 0 ……………..(vii)

Now subtracting the equation (b) from equation (a) we get,

2(g(_{1}) –  g(_{2}))x(_{2})
+ 2 (f(_{1}) – f(_{2}))y(_{2}) + C(_{1}) – C(_{2})
= 0 ……………..(viii)

From conditions (v) and (viii) it is evident that the points P
(x(_{1}), y(_{1})) and Q (x(_{2}), y(_{2})) lie on 2(g(_{1}) –  g(_{2}))x
+ 2 (f(_{1}) – f(_{2}))y + C(_{1}) – C(_{2})
= 0, which is a linear equation in x and y.

It represents the equation of the common chord PQ of the
given two intersecting circles.

Note: While finding the equation of the common chord
of two given intersecting circles first we need to express each equation to its
general form i.e., x(^{2}) + y(^{2}) + 2gx + 2fy + c = 0 then subtract
one equation of the circle from the other equation of the circle.

Solve example to find the equation of the common chord of
two given circles:

1. Determine the equation of the
common chord of the two intersecting circles x(^{2}) + y(^{2}) – 4x
– 2y – 31 = 0 and 2x(^{2}) + 2y(^{2}) – 6x + 8y – 35 = 0 and prove
that the common chord is perpendicular to the line joining the centers of the
two circles.

Solution:

The given two intersecting circles are

x(^{2}) + y(^{2})
– 4x – 2y – 31 = 0 ……………..(i) and

2x(^{2}) + 2y(^{2}) – 6x + 8y – 35 = 0              

⇒ x(^{2}) + y(^{2}) – 3x + 4y – (frac{35}{2}) ……………..(ii)

Now, to find the equation of the common chord of two
intersecting circles we will subtract the equation (ii) from the equation (i).

Therefore, the equation of the common chord is

x(^{2}) + y(^{2}) – 4x – 2y – 31 – (x(^{2}) + y(^{2}) – 3x + 4y – (frac{35}{2})) =
0    

⇒ – x – 6y – (frac{27}{2}) =
0            

⇒ 2x + 12y +
27  = 0, which is the required equation.

The slope of the common chord 2x + 12y + 27 = 0 is (m(_{1})) = -(frac{1}{6}).

Centre of the circle x(^{2}) + y(^{2}) – 4x – 2y
– 31 = 0 is (2, 1).

Centre of the circle 2x(^{2}) + 2y(^{2}) – 6x +
8y – 35 = 0 is ((frac{3}{2}), -2).

The slope of the line joining the centres of the circles (1)
and (2) is (m(_{2})) = (frac{-2 – 1}{frac{3}{2} – 2}) = 6

Now m(_{1}) ∙ m(_{2}) = -(frac{1}{6}) ∙ 6 = – 1

Therefore, we see that the slope
of the common chord and slope of the line joining the centres of the circles
(1) and (2) are negative reciprocals of each other i.e., m(_{1}) = -(frac{1}{m_{2}}) i.e., m(_{1}) ∙ m(_{2})
= -1.

Therefore, the common
chord of the given circles is perpendicular to the line joining the centers of the
two circles.              Proved

● The Circle

• Definition of Circle
• Equation of a Circle
• General Form of the Equation of a Circle
• General Equation of Second Degree Represents a Circle
• Centre of the Circle Coincides with the Origin
• Circle Passes through the Origin
• Circle Touches x-axis
• Circle Touches y-axis
• Circle Touches both x-axis and y-axis
• Centre of the Circle on x-axis
• Centre of the Circle on y-axis
• Circle Passes through the Origin and Centre Lies on x-axis
• Circle Passes through the Origin and Centre Lies on y-axis
• Equation of a Circle when Line Segment Joining Two Given Points is a Diameter
• Equations of Concentric Circles
  
• Circle Passing Through Three Given Points
• Circle Through the Intersection of Two Circles
• Equation of the Common Chord of Two Circles
• Position of a Point with Respect to a Circle
• Intercepts on the Axes made by a Circle
• Circle Formulae
• Problems on Circle