Как найти общую площадь в математике

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Пример:

S_EKFM = EK · EK

S_EKFM = 3 · 3 = 9 см²

Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:

S = a²

Площадь прямоугольника

Пример:

S_ABCD = AB · BC

S_ABCD = 3 · 7 = 21 см²

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC
S_EFKL = 10 · 3 = 30 м²
S_CDEF = FC · CD
S_CDEF = 7 · 5 = 35 м²

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м²

Ответ: S = 65 м² — площадь огородного участка.

---

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Рассмотрим прямоугольник:

АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников

ABC и
ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC
S_ABCD = 5 · 4 = 20 см²

S
_ABC = S_ABCD : 2

S
_ABC = 20 : 2 = 10 см²

S
_ABC =
S
_ACD = 10 см²

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Как найти общую площадь

Площадью называют количественную меру плоскости, ограниченной периметром какой-либо двухмерной фигуры. Поверхность многогранников составлена не менее чем из четырех граней, каждая из которых может иметь собственную форму и размеры, а значит, и площадь. Поэтому вычисление общей площади объемных фигур с плоскими гранями не всегда простая задача.

Инструкция

Полная площадь поверхности таких многогранников как, например, призма, параллелепипед или пирамида складывается из суммы площадей граней разной величины и формы. У этих объемных фигур есть боковые поверхности и основания. Вычисляйте раздельно площади этих поверхностей, исходя из их формы и размеров, а затем суммируйте полученные значения. Например, общая площадь (S) шести граней параллелепипеда может быть найдена удвоением суммы произведений длины (a) на ширину (w), длины на высоту (h) и ширины на высоту: S = 2*(a*w + a*h + w*h).

Полная площадь поверхности правильного многогранника (S) складывается из суммы площадей каждой его грани. Так как все боковые поверхности этой объемной фигуры по определению имеют одинаковые формы и размеры, достаточно рассчитать площадь одной грани, чтобы получить возможность найти общую площадь. Если из условий задачи кроме числа боковых поверхностей (N) вам известна длина любого ребра фигуры (a) и число вершин (n) многоугольника, который образует каждую грань, сделать это можно с использованием одной из тригонометрических функций – тангенса. Найдите тангенс от угла, равного отношению 360° к удвоенному числу вершин и увеличьте результат в четыре раза: 4*tg(360°/(2*n)). Затем на полученную величину разделите произведение числа вершин на квадрат длины стороны многоугольника: n*a²/(4*tg(360°/(2*n))). Это и будет площадь каждой грани, а общую площадь поверхности многогранника рассчитайте, умножив ее на число боковых поверхностей: S = N*n*a²/(4*tg(360°/(2*n))).

В вычислениях второго шага использованы градусные меры углов, но часто вместо них применяют радианные. Тогда в формулы нужно внести поправки исходя из того, что углу в 180° соответствует количество радиан, равное числу Пи. Замените угол в 360° в формулах на величину, равную двум таким константам, и итоговая формула даже немного упростится: S = N*n*a²/(4*tg(2*π/(2*n))) = N*n*a²/(4*tg(π/n)).

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

План урока:

Понятие площади фигур

Сравнение площадей фигур

Квадратный сантиметр, дециметр, метр

Площадь прямоугольника

Преобразование величин

Здравствуйте, друзья! Давайте познакомимся. Я — Сова — Мудрая голова.

Масса моего мозга больше, чем у других птиц. Я, как все учителя, терпелива, замечаю все вокруг, слышу шорохи, обдумываю свои шаги. У многих народов меня считают символом знаний.

Сегодня на уроке мы познакомимся с различными способами сравнения и измерения геометрических фигур, а я поделюсь с вами своей мудростью.

Будь внимателен, дружок!

Начинаем наш урок.

Понятие площади фигур

Распределите фигуры на группы.

Какие фигуры вы видите?

Прямые и кривые линии, прямые и кривые, овалы, круг, прямоугольники, квадраты, треугольники.

Чем похожи данные фигуры?

Их можно начертить на плоскости.

Чем они отличаются?

Из бумаги можно вырезать только плоские фигуры, у которых кроме длин сторон, можно вычислить и новую величину — площадь.

Для чего это надо нам знать? Когда может пригодиться?

Величины нужны не только для решения математических задач, но и в жизни. Чтобы сделать поделку, надо определить, какое количество бумаги потребуется. При ремонте квартиры мы считаем, сколько купить рулонов обоев, чтобы оклеить стены комнаты. Величина понадобится при постройке дома, при изготовлении какой-либо продукции в промышленности. Даже в саду и огороде хозяйки считают, хватит ли места на грядке.

Как можно объяснить слово площадь? Значение понятий мы узнаем в толковых словарях.

Прочитайте, какой смысл нового термина в словаре С.И. Ожегова.

Первое объяснение:

Как называется главное место столицы нашей страны?

Красная площадь в Москве.

Вторая формулировка:

Общую и полезную площадь имеют разные помещения:

Квартира, в которой вы живете.

Классная комната, где вы учитесь.

Спортивный зал, столовая, бассейн школы.

Разные объекты, занимающие место на земле, можно встретить в любом городе.

Интересно, что некоторые люди заводят дома ушастых сов. Но держать птиц в клетке не рекомендуется: для них требуется более просторная комната, где они могли бы летать.

Любым диким животным лучше жить на воле. Сова – это хищная птица. Она питается грызунами, мышами, полевками, насекомыми и птицами. В этом отношении колоссальная польза от совы состоит в том, что за одно лето она может уничтожить около одной тысячи полевых мышей. Каждый грызун уничтожает более килограмма зерна на посевных площадях страны.

Поле с зерновыми культурами

Понятие площади фигуры:

В математике говорят — площадь фигуры. Это величина пространства, ограниченного замкнутым контуром (периметром фигуры).

Ее можно посчитать математическими методами. С этой целью еще в далекой древности была создана целая наука под названием геометрия. Она применялась для деления поля на земельные участки, но потом ее стали использовать для измерения различных фигур. Поэтому их называют геометрическими фигурами, их место на плоскости — площадью.

Сравнение площадей фигур

Мы можем площади плоских фигур сравнить на глазок. Посмотрите на иллюстрацию.

Картина на стене занимает меньше места, потому говорят, что ее площадь меньше, чем стена. Книги, тетради меньше площади крышки стола. Их как бы наложили сверху, и еще осталось место.

Перечислите способы сравнения фигур по площади.

Можно сравнить на глазок или накладывая предметы, фигуры друг на друга.

Расставьте в порядке уменьшения:

Если получилось так: 3, 1, 2, 4, то вы отлично справились.

Теперь сравните треугольник с кругом:

Круг меньше площади треугольника.

Сравнить можно с помощью любых мерок. На рисунке прямоугольники измеряли заданной меркой — треугольником. 

В левый прямоугольник их поместилось 18, а в правый — 20. Делаем вывод, что площадь левой фигуры меньше, чем правой.

Хороший способ сравнения — это подсчет клеток.

Чтобы сравнить площади клетчатых фигур, надо пересчитать количество клеток:

Фигура 3 самая маленькая по площади – 6 клеток. Фигура 2 имеют большую площадь, чем 3. В ней 7 клеток. Площади фигур 1,4,5,6 равновеликие. Они равны 8 клеткам, по площади больше фигур 2 и 3.

Разностное сравнение площадей фигур — это нахождение разницы между большей и меньшей величиной.

Сравните площади фигур 3 и 1. Запишите результаты сравнения.

Проверьте себя:

8 – 6 = 2

Ответ: 2 клетки

Квадратный сантиметр, дециметр, метр

Какой меркой лучше измерить площадь фигуры квадрата и прямоугольника?

В 18 веке на Руси вводилась основная мера измерения площади — десятина и четь. Но поля крестьян были неровными, поэтому часто мерками служила урожайная копна. Народ изобретал особые мерки: выть, соха, обжа, коробь, веревка, жеребья. Сейчас мы не используем этих мер.

Начертите прямоугольник со сторонами 5см и 4см. Какими мерками можно измерить фигуру?

Посмотрите на рисунок, утенок измерил прямоугольник с помощью треугольников, ежонок — квадратами, а котенок — прямоугольниками.

Посчитаем, сколько единичных мерок находится в прямоугольнике. У животных получились разные величины: 40, 20, 10.

Всегда ли удобно определять площадь фигуры произвольными мерками?

Конечно, нет.

Вывод: значение величины зависит от выбранной мерки. Чтобы сравнить, нужно договориться об одинаковом способе измерения.

Всегда ли для определения площади фигуры подходит клетка?

Да.

Какого размера должна быть клетка?

Я предлагаю измерять как ежик, квадратами по 2 клеточки.

Измерьте длину и ширину этого квадратика. Что получилось?

Длина и ширина равна 1 см.

Единицей измерения площади еще 4-5 тысяч лет тому назад жители древнего города Вавилона считали квадрат, так как именно квадрат имеет превосходные признаки: четыре стороны равны межу собой, четыре прямых угла; можно провести ось и найти центр симметрии. Форма квадрата без изъянов, совершенна, поэтому его легко начертить и плотно покрыть фигуры любой формы.

Если у квадратика сторона 1см – площадь его равна квадратному сантиметру.

1 квадратный сантиметр сравним с ноготком взрослого человека.

Записывается площадь 1 квадратного сантиметра так:

S = 1 кв. см или S = 1 см²

Латинская буква «эс» обозначает площадь, двойка в правом верхнем углу — две величины: длину и ширину.

Начертите квадрат со стороной 10 сантиметров.

Квадратный дециметр (1 дм ²) — это квадрат со стороной 1 дм или 10 см.

Квадратный метр (1 м ²) — это квадрат со стороной 1 м или 10 дм. В квадратных метрах обозначается площадь в жилых помещениях, например: в комнатах, коридорах. Эта мерка подойдет для измерения дачного участка, спортивного зала, территории сквера.

А при строительстве школ важно учитывать, сколько квадратных метров должно быть в классе, если для одного ученика по санитарным правилам нужно 4 квадратных метра.

Вы хорошо справляетесь с заданиями. Спине, голове, всему телу нужен отдых. Встаньте на физкультурную минутку.

Физкультминутка

Поднимитесь, вверх потянитесь,

Вперед наклонитесь.

Ниже, ниже тянитесь,

Достаньте мизинцем до пятки.

Получилось? Тогда все в порядке.

Выпрямитесь, грудью вздохните,

Руки шире в стороны разведите.

Соедините в замок на лопатках.

Получилось? Тогда все в порядке.

Глазки зажмурьте, спокойно постойте.

Отдохнули? Теперь посчитайте площадки.

Площадь прямоугольника

Площади простых фигур, таких как квадратов и прямоугольников рассчитывать научились быстро. Для этого измеряют стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника находится по формуле: S = a ∙ b, где длину надо умножить на ширину фигуры.

Задание 1.

Постройте прямоугольник, длина которого 50 мм, а ширина 30 мм.

Можно ли длину и ширину данного прямоугольника выразить в сантиметрах?

Можно.

50 мм = 5 см

30 мм = 3 см

Найдите периметр прямоугольника. Р = (a + b) ∙ 2

Р = (5 + 3) ∙ 2 = 16 (см)

Ответ: 16 см

Имеет ли построенная вами фигура площадь?

Да. Прямоугольник имеет длину 5 см и ширину 3 см. Найдем, чему равна площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b.

S = 5 ∙ 3 = 15 см²

Ответ: площадь прямоугольника равна 15 кв.см.

Задание 2.

Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см? Рассуждаем так. Нам известна длина и ширина прямоугольника. Площадь равна произведению этих величин.

S = 5 ∙ 4 = 20 см²

Ответ: 20 кв.см.

Задание 3.

Рассмотрите следующий рисунок:

Как называется данная геометрическая фигура?

Многоугольник.

Как найти площадь этого многоугольника?

Найти площади отдельных прямоугольников.

Найдите площадь этого многоугольника разными способами.

Первый способ.

Решение.

Измеряем стороны большого прямоугольника.

Длина равна 3 см, а ширина 3 + 1 = 4 (см).

1) 4 · 3 = 12 (см²) – площадь большого прямоугольника.

Длина маленького прямоугольника 3 см, а ширина 1 см. Перемножим эти величины.

2) 3 · 1 = 3 (см²) – площадь маленького прямоугольника.

Теперь из большей фигуры вырезаем два маленьких белых прямоугольника.

3) S = 12 – 3 – 3 = 6 (см²) – площадь многоугольника.

Второй способ.

Решение.

1) 3 · 1 = 3 (см²) – площадь верхнего прямоугольника.

2) 3 · 1 = 3 (см²) – площадь второго прямоугольника.

3) S = 3 + 3 = 6 (см²) – общая площадь многоугольника.

Ответ: S = 6 см²

Преобразование величин

По формуле S = a ∙ b квадратные сантиметры можно выразить в квадратных метрах. Давайте вспомним, что один метр равен сто сантиметрам.

1 м = 100 см

Мы выполним умножение сторон, и найдем квадратную величину.

Значит: 1 м² = 100 ∙ 100 = 10000 см²

Задание 4.

Вычислите сколько кв.дм в 1 м². Во сколько раз 1 кв. м. больше 1 кв. дм?

Как преобразовать квадратные дециметры в квадратные метры? Давайте рассуждать так. Квадрат со стороной 1 м разделим на 10 столбиков. В каждом таком столбике по 10 кв. дм, то есть всего в кв. м 10 десятков, или 100 дм².

Второй вариант размышлений отталкивается от формулы. Умножаем длину на ширину. 10 дм на 10 дм, получится 100 дм².

1 м² = 10 ∙ 10 = 100 дм²

Ответ: в 1 кв. м содержится 100 кв.дм. 1 кв.м. в сто раз больше одного квадратного дециметра.

Задание 5.

Сколько кв. см в 1 кв. дм? Во сколько раз 1 кв. дм. больше 1 кв. см?

Выражаем квадратные дециметры в квадратных сантиметрах.

1 дм = 10 см

1 дм² = 10 ∙ 10 = 100 см²

Ответ: 1 кв.дм равен 100 кв.см. 1 кв.дм в сто раз больше одного квадратного сантиметра.

Выполните упражнение:

Найдите, сколько квадратных дециметров в 8 м², в 25 м², в 45 м² 9 дм²

Мы знаем, что 1 м² – это 100 дм², то есть число м² в 100 раз больше числа дм², поэтому умножим 8 на 100, получим 800 дм².

25 м² : умножим 25 на 100 = 2500 дм².

45 м² 9 дм² : это 45 ∙ 100 + 9 = 3100 + 9 = 4509 мм².

Наш урок подходит к концу.

Продолжите фразу:

сегодня я научился            

было интересно              

было трудно

Вы хорошо потрудились, поэтому сможете справиться с самостоятельными заданиями.

До новых встреч!