Как найти общую точку двух окружностей

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Внешнее касание двух окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Пересечение двух окружностей Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности. Формулы для расчета приведены под калькулятором. Точки пересечения двух окружностей Первая окружность Вторая окружность Пересечение окружностей Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2. При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком): Случай Описание Условие Тривиальный случай – окружности совпадают (это одна и та же окружность) Окружности не касаются друг друга r1 + r2″ /> Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее Окружности пересекаются в двух точках Не выполнено ни одно из условий выше Окружности соприкасаются в одной точке Частный случай предыдущего Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже: Сначала калькулятор находит отрезок a Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде): И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения: Первая точка: Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres Окружность. Относительное взаимоположение окружностей. Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются. Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно. Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1). Теорема. Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются. Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1. Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются. Следствие. Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам. Теоремы. 1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются. 2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении. Признаки различных случаев относительного положения окружностей. Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d. Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях: 1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 . 2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1. 3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон. 4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R – R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1. 5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно, d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне. 3. Если d R – R1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R1, то окружности касаются изнутри. 5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны. [spoiler title=”источники:”] http://planetcalc.ru/8098/ http://www.calc.ru/Otnositelnoye-Vzaimopolozheniye-Okruzhnostey.html [/spoiler]

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов , и расстояния между их центрами . Пусть .

Если центры окружностей совпадают, т.е. = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса лежит внутри круга радиуса :

Пусть 0. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпала с центром окружности радиуса , а точка ₁ с координатами   являлась центром второй окружности. Тогда в данной системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид:

, . (1)

Если система уравнений (1) имеет решением пару чисел = , = , то точка – общая точка данных окружностей, и обратно: если точка – общая точка данных окружностей, то пара чисел = , = является решением системы уравнений (1):

Пусть система (1) имеет решением пару чисел = , = , т.е. справедливы числовые равенства

, .  (2)

Вычтем второе равенство из первого, получим равенство . Выражаем из данного равенства :

. (3)

Так как и 0, то 0. В то же время из первого равенства (2) следует, что , т.е. для величин , и должно выполняться неравенство или . Последнее неравенство запишем в виде . Следовательно,   или

. (4)

Отметим, что = , если = – или = + , и , если .

Итак, если система уравнений (1) имеет решение, то величина удовлетворяет неравенствам (4). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (4), то система (1) не имеет решений и данные окружности не имеют общих точек. Так может быть в двух случаях:

     1. – , т.е. +  :

В этом случае окружность радиуса лежит внутри круга радиуса . Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

     2. + :

В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (4) выполнены, то возможны три случая:

     3. = – , при этом из того что 0 следует, что . Выше мы говорили, что =, поэтому из первого из равенств (2) следует, что =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. Значит, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку:

Говорят, что окружности касаются изнутри.

     4. = + . В данном случае также =, поэтому =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. В данном случае, как и в случае 3, окружности имеют одну общую точку, но расположены друг относительно друга иначе:

Говорят, что окружности касаются извне.

     5. . Выше мы говорили, что число , которое определяется равенством (3), удовлетворяет неравенству , поэтому из первого равенства (2) получаем два значения :   и . То есть в данном случае система (1) имеет два решения: = , и = , :

Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Итак, если расстояние между центрами двух окружностей отлично от нуля, то возможны пять случаев, описанных выше, взаимного расположения двух окружностей.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним,
каким уравнением задается окружность с центром в точке  и
радиусом r.

Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.

Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.

;

;

 – угловой коэффициент прямой.

Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.

Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения.
Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать,
Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух
точках.

Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие
окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не
равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей
равны, то окружности совпадают.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не
совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией
центров данной пары окружностей.

В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от
соотношения между величиной d и величинами радиусов
окружностей. Для того, чтобы было понятно о какой окружности идет речь, радиус
одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй
окружности – за R. И будем считать, что .

Если ,
то очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна
окружность лежит вне другой.

Если ,
то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются.

Если ,
тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на
линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие
окружности называют внутренне касающимися.

Если ,
то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися.

Если ,
то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них
расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним
касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания
внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.

Решим несколько задач.

Задача. Как располагаются окружности, если:

а) ;     
б) ;       
в) ;

г) ;         
д) .

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)  

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача. Наименьшее расстояние между точками двух
концентрических окружностей равно ,
а наибольшее равно .
Найдите радиусы этих окружностей.

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: .

Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как .
Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна  см.

Решение.

 

                           (см)
 

                              

 

 

 

 

Ответ: .

Задача. Даны два круга – один внутри другого. Через их центры
проведен в большем круге диаметр, который делится окружностью меньшего круга на
три части, равные .
Найти расстояние между центрами кругов.

Решение.

,  

,
.

 

Найдем радиусы окружностей.

 

 

 

Ответ: .

Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения
двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между
центрами окружностей и их радиусами.