Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых (“канонический” или “параметрический” ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
 , |
(1) |
 , |
(2) |
где M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1, l1} и q2={m2, p2, l2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):
Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
где M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1, l1} и q2={m2, p2, l2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:
Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:
Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:
Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:
Сделаем перестановку строк 3 и 4.
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Запишем решение:
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:
Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:
Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.
Прямая L1 имеет направляющий вектор q1={2,6,7}, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2={3,1,1}. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .
Ответ. Прямые L1 и L2 не пересекаются.
Точка пересечения двух прямых на плоскости
Методы решения. Существует два метода решения плоских задач на определение координат точки пересечения прямых:
- графический
- аналитический
Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.
Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.
Если система уравнений:
- имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
- имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
- не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)
Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2x – 1 и y = -3x + 1.
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2x – 1
y = -3x + 1
Вычтем из первого уравнения второе
y – y = 2x – 1 – (-3x + 1)
y = -3x + 1
=>
0 = 5x – 2
y = -3x + 1
Из первого уравнения найдем значение x
5x = 2
y = -3x + 1
=>
x = 25 = 0.4
y = -3x + 1
Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y
x = 0.4
y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)
Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2x – 1 и x = 2t + 1y = t.
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2x – 1
x = 2t + 1
y = t
В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.
t = 2·(2t + 1) – 1
x = 2t + 1
y = t
=>
t = 4t + 1
x = 2t + 1
y = t
=>
-3t = 1
x = 2t + 1
y = t
=>
t = -13
x = 2t + 1
y = t
Подставим значение t во второе и третье уравнение
t = -13
x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13
y = -13
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (13, -13)
Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2x + 3y = 0 и x – 23 = y4.
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
2x + 3y = 0
x – 23 = y4
Из второго уравнения выразим y через x
2x + 3y = 0
y = 4·x – 23
Подставим y в первое уравнение
2x + 3·4·x – 23 = 0
y = 4·x – 23
=>
2x + 4·(x – 2) = 0
y = 4·x – 23
=>
2x + 4x – 8 = 0
y = 4·x – 23
=>
6x = 8
y = 4·x – 23
=>
x = 86 = 43
y = 4·x – 23
=>
x = 86 = 43
y = 4·4/3 – 23 = 4·-2/3 3 = -89
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (43, -89)
Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2x – 1 и y = 2x + 1.
Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k1 = k2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.
Решим также эту задачу используя систему уравнений:
y = 2x – 1
y = 2x + 1
Вычтем из первого уравнения второе
y – y = 2x – 1 – (2x + 1)
y = -3x + 1
=>
0 = -2
y = -3x + 1
В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений – отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).
Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).
Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3x – 2.
Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.
1 = 1
1 = 3·1 – 2 = 1
Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N – точка пересечения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых в пространстве
Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.
Если система уравнений:
- имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
- имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
- не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)
Пример 6. Найти точку пересечения прямых x – 1 = y – 1 = z – 1 и x – 3-2 = 2 – y = z.
Решение: Составим систему уравнений
x – 1 = a
y – 1 = a
z – 1 = a
x – 3-2 = b
2 – y = b
z = b
=>
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
x – 3-2 = b
2 – y = b
z = b
=>
Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a + 1 – 3-2 = b
2 – (a + 1) = b
a + 1 = b
=>
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = b
1 – a = b
a + 1 = b
К шестому уравнению добавим пятое уравнение
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = b
1 – a = b
a + 1 + (1 – a) = b + b
=>
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = b
1 – a = b
b = 1
Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = 1
1 – a = 1
b = 1
=>
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2 = -2
a = 0
b = 1
=>
x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a = 0
a = 0
b = 1
=>
x = 0 + 1 = 1
y = 0 + 1 = 1
z = 0 + 1 = 1
a = 0
a = 0
b = 1
Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).
Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.
Пример 7. Найти точку пересечения прямых
x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
и
x = t + 1
y = 3t – 2
z = 3
.
Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a
x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
x = a + 1
y = 3a – 2
z = 3
Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения
x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
2t – 3 = a + 1
t = 3a – 2
–t + 2 = 3
=>
x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
2t = a + 4
t = 3a – 2
t = -1
=>
Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения
x = 2·(-1) – 3
y = (-1)
z = -(-1) + 2
2·(-1) = a + 4
-1 = 3a – 2
t = -1
=>
x = -5
y = -1
z = 3
a = -6
a = 13
t = -1
Ответ. Так как -6 ≠ 13, то прямые не пересекаются.
5.5.5. Пересекающиеся прямые в пространстве
Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости, причём их направляющие векторы неколлинеарны:
Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения 
.
И тут сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!
Как найти точку пересечения пространственных прямых?
Собственно:
Задача 156
Найти точку пересечения прямых
Решение: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:
Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся
прямых.
Точка пересечения прямых 
принадлежит прямой 
, поэтому её координаты 
удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение
параметра 
:
Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно, существует значение 
, такое, что:
Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:
Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными, которую опять же решим «школьным» способом. Из 1-го уравнения выразим 
– подставим в два нижних уравнения: 
В результате получилась совместная система, из которой следует, что 
. Тогда: 
Подставим найденное значение параметра 
в уравнения координат точки:
, и для проверки подставим значение 
в уравнения: 
Ответ: 
Теперь рассмотрим особый случай пересечения прямых:
5.5.6. Как найти прямую, перпендикулярную данной?
5.5.4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.
Точка пересечения двух прямых – определение
Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.
Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
Определение точки пересечения прямых звучит так:
Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости
Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.
Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b – A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.
Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.
Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.
Решение
Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что
5·2-2·(-3)-16=0⇔0=02·2-5·(-3)-19=0⇔0=0
Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.
Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.
Ответ: заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.
Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?
Решение
Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что
5·2+3·(-3)-1=0⇔0=07·2-2·(-3)+11=0⇔31=0
Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.
Чертеж наглядно показывает, что М0 – это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).
Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.
Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.
Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.
Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.
Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.
Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.
Решение
Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0. Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:
x-9y+14=05x-2y-16=0⇔x=9y-145x-2y-16=0⇔⇔x=9y-145·9y-14-2y-16=0⇔x=9y-1443y-86=0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9·2-14y=2⇔x=4y=2
Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.
Ответ: M0 (4, 2) является точкой пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.
Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.
Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.
Решение
Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:
x=4+9·λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1·(x-4)=9·(y-2)⇔x-9y+14=0
После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что
x-5=y-4-3⇔-3·x=-5·y-4⇔3x-5y+20=0
Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения
x-9y+14=03x-5y+20=0⇔x-9y=-143x-5y=-20
Применим метод Крамера для нахождения координат:
∆=1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22∆x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22⇒y=∆y∆=2222=1
Ответ: M0 (-5, 1).
Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.
Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.
Решение
Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:
4+9·λ-5=2+λ-4-3
При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.
Ответ: M0 (-5, 1).
Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.
Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.
Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.
Решение
Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.
Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:
13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4
Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.
Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.
Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.
Решение
По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:
2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3)y=-70=22-72
Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.
Второй способ решения.
Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.
n1→=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2→=(2(3+2), -7 – нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.
Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.
Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.
Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.
Решение
Для решения составляем систему уравнений. Получаем
2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2
Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:
2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254·12-y=2⇔x=12y=-118
Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).
Ответ: M0(12, -118).
Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве
Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.
Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b – A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.
Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:
A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0
Рассмотрим подобные задания на примерах.
Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0
Решение
Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.
Получаем, что
1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0
Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.
Базисный минор имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.
Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0 имеет координаты (1, -3, 0).
Ответ: (1, -3, 0).
Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.
В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.
Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.
Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.
Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.
Решение
Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:
12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110
Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.
Ответ: нет точки пересечения.
Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.
Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.
Решение
Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что
x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3=05x-2z=0
Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-3≠0, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что
3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0
Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).
Ответ: (-2, 3, -5).
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Разновидности уравнений прямой
Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_{0} left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $overline{R}=mcdot overline{i}+ncdot overline{j}+pcdot overline{k}$, которому она параллельна. Уравнения $frac{x-x_{0} }{m} =frac{y-y_{0} }{n} =frac{z-z_{0} }{p}$ называются каноническими уравнениями прямой.
Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $frac{x-x_{0} }{m} =t$, $frac{y-y_{0} }{n} =t$, $frac{z-z_{0} }{p} =t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_{0} +mcdot t$, $y=y_{0} +ncdot t$, $z=z_{0} +pcdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_{1} left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} right)$ и $M_{2} left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} right)$. Уравнения $frac{x-x_{1} }{x_{2} -x_{1} } =frac{y-y_{1} }{y_{2} -y_{1} } =frac{z-z_{1} }{z_{2} -z_{1} } $, аналогичные каноническим, называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
Бесплатное пробное занятие
*количество мест ограничено
Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_{1} cdot x+B_{1} cdot y+C_{1} cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} cdot x+B_{2} cdot y+C_{2} cdot z+D_{2} =0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.
Переход между различными видами уравнений прямой
От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.
От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $frac{x-x_{0} }{m} =frac{z-z_{0} }{p} $ и $frac{y-y_{0} }{n} =frac{z-z_{0} }{p} $ и выполним преобразования.
«Взаимное расположение прямых в пространстве» 👇
Получаем: $pcdot x-mcdot z-pcdot x_{0} +mcdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $pcdot y-ncdot z-pcdot y_{0} +ncdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:
- Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
- Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
- Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.
Замечание 1
Вне зависимости от того, являются ли прямые пересекающимися или скрещивающимися, можно говорить об угле между ними.
Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.
Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые $L_{1} $ и $L_{2} $: $frac{x-x_{1} }{m_{1} } =frac{y-y_{1} }{n_{1} } =frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $frac{x-x_{2} }{m_{2} } =frac{y-y_{2} }{n_{2} } =frac{z-z_{2} }{p_{2} } $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательные прямые, параллельные данным.
Углом между прямыми $L_{1} $ и $L_{2} $ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $phi $, то величина второго $pi -phi $.
Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $overline{R_{1} }=m_{1} cdot overline{i}+n_{1} cdot overline{j}+p_{1} cdot overline{k}$ и $overline{R_{2} }=m_{2} cdot overline{i}+n_{2} cdot overline{j}+p_{2} cdot overline{k}$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $cos phi =frac{m_{1} cdot m_{2} +n_{1} cdot n_{2} +p_{1} cdot p_{2} }{sqrt{m_{1}^{2} +n_{1}^{2} +p_{1}^{2} } cdot sqrt{m_{2}^{2} +n_{2}^{2} +p_{2}^{2} } } $. Если значение $cos phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $cos phi$
Равенство $cos phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_{1} cdot m_{2} +n_{1} cdot n_{2} +p_{1} cdot p_{2} =0$.
Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $frac{m_{1} }{m_{2} } =frac{n_{1} }{n_{2} } =frac{p_{1} }{p_{2} }$.
Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.
Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.
Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_{1} $ проходит через точку $M_{1} left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} right)$, а прямая $L_{2} $ — через точку $M_{2} left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} right)$.
Рассмотрим вектор $overline{M_{1} M_{2} }=left(x_{2} -x_{1} right)cdot overline{i}+left(y_{2} -y_{1} right)cdot overline{j}+left(z_{2} -z_{1} right)cdot overline{k}$, который соединяет эти точки, а также направляющие векторы $overline{R_{1} }=m_{1} cdot overline{i}+n_{1} cdot overline{j}+p_{1} cdot overline{k}$ и $overline{R_{2} }=m_{2} cdot overline{i}+n_{2} cdot overline{j}+p_{2} cdot overline{k}$ прямых $L_{1} $ и $L_{2} $.
Если прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $overline{M_{1} M_{2} }$. Направляющий вектор $overline{R_{1} }$ коллинеарен прямой $L_{1} $, а направляющий вектор $overline{R_{2} }$ коллинеарен прямой $L_{2} $. Итак, все три вектора $overline{M_{1} M_{2} }$, $overline{R_{1} }$ и $overline{R_{2} }$ лежат в параллельных плоскостях, то есть они компланарны. Запишем условие компланарности векторов $left|begin{array}{ccc} {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \ {m_{1} } & {n_{1} } & {p_{1} } \ {m_{2} } & {n_{2} } & {p_{2} } end{array}right|=0$ и получим условие пересечения двух прямых, если же это условия не выполняется, то это скрещенные прямые в пространстве.
Пример 1
Задание: Выяснить взаимное расположение прямых в пространстве:
$L_1: frac{x – 1}{1} = frac{y – 2}{3}=frac{z+1}{-2}$
$L_2: begin{cases} x-y-z+1 =0 \ x + y + 2z – 2 = 0 \ end{cases}$
Решение: Направляющий вектор первой прямой определяем по её уравнениям, он будет выглядеть как $s_1 = {1;3;-2}$.
Направляющий же вектор второй прямой определим через векторное произведение нормальных векторов, определяющих плоскости, на пересечении которых она находится:
$s_2 = n_1 × n_1 = begin{array}{|ccc|} i & j & k \ 1 & -1 & -1 \ 1 & 1 & 2 \ end{array} = – i – 3j + 2k$
В данном примере $s_1 = -s_2$, а это значит, что прямые либо параллельные, либо совпадающие.
Чтобы понять, с каким из случаев мы имеем дело, возьмём точку $M_0$с координатами $(1;2;-1)$, принадлежащую первой прямой и подставим в уравнения для второй.
В первом из них равенство не соблюдается и получается, что $1=0$. Это значит, что рассмотренная точка не лежит на второй прямой и прямые параллельны между собой.
Пример 2
Задание: провести плоскости через параллельные прямые и через прямые, которые пересекаются.
Решение каждой из этих задач начинается с того, что на нужной плоскости $P$ выбирается некоторая переменная точка $Mleft(x,y,zright)$.
Если данные прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ — параллельны, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $left|begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \ {m} & {n} & {p} end{array}right|=0$ следующих трех векторов:
- $overline{M_{1} M}=left(x-x_{1} right)cdot overline{i}+left(y-y_{1} right)cdot overline{j}+left(z-z_{1} right)cdot overline{k}$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_{1} left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} right)$, принадлежещей прямой $L_{1} $, с переменной точкой $Mleft(x,y,zright)$.
- $overline{M_{1} M_{2} }=left(x_{2} -x_{1} right)cdot overline{i}+left(y_{2} -y_{1} right)cdot overline{j}+left(z_{2} -z_{1} right)cdot overline{k}$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_{1} left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} right)$, которая принадлежит прямой $L_{1} $, с точкой $M_{2} left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} right)$, которая принадлежит прямой $L_{2} $.
- $overline{R}=mcdot overline{i}+ncdot overline{j}+pcdot overline{k}$ — направляющий вектор одной из двух параллельных прямых, параллельный плоскости $P$.
Если данные прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ — пересекаются, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $left|begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \ {m_{1} } & {m_{2} } & {m_{3} } \ {m_{2} } & {n_{2} } & {p_{2} } end{array}right|=0$ следующих трех векторов:
- $overline{M_{1} M}=left(x-x_{1} right)cdot overline{i}+left(y-y_{1} right)cdot overline{j}+left(z-z_{1} right)cdot overline{k}$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_{1} left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} right)$, принадлежащую прямой $L_{1} $, с переменной точкой $Mleft(x,y,zright)$.
- $overline{R_{1} }=m_{1} cdot overline{i}+n_{1} cdot overline{j}+p_{1} cdot overline{k}$ — направляющий вектор прямой $L_{1} $, параллельный плоскости $P$.
- $overline{R_{2} }=m_{2} cdot overline{i}+n_{2} cdot overline{j}+p_{2} cdot overline{k}$ — направляющий вектор прямой $L_{2} $, параллельный плоскости $P$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
