Как найти общую вероятность двух вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A subset B$.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

$$P(A+B)=P(A)+P(B).$$

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

$$Pleft(sum_{i=1}^{n}A_i right)=sum_{i=1}^{n} P(A_i).$$

Если случайные события $A_1, A_2, …, A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство
$P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(Acdot B).$$

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

$$P(Acdot B)=P(A)cdot P(B).$$

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Примеры решений задач с событиями

См. обучающую статью “решение задач о стрелках”

См. обучающую статью “решение задач о станках”

Вероятность наступления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, …, A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

$$
P(A)=1-Pleft(overline{A_1}right)cdot Pleft(overline{A_2}right)cdot … cdot Pleft(overline{A_n}right)= 1-q_1 cdot q_2 cdot … cdot q_n.
$$

Если события $A_1, A_2, …, A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:

$$
P(A)=1-(1-p)^n=1-q^n.
$$

Примеры решений на эту тему

См. обучающую статью “решение задач с хотя бы один…”

Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Тeория. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Пример 1. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте.

Пример 2. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то «АВС» – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна :

   

где (Р(А)>0).

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

   

Этот же результат можно получить по формуле

   

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

   

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений

   

Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют исходов. Следовательно,

   

Искомая условная вероятность

   

Как видим, получен прежний результат.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

   

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

   

где — вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события A₁, A₂, A₃, … , A_n-1 наступили.

В частности, для трех событий . Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), .

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик— конусный, т. е. условная вероятность .

По теореме умножения, искомая вероятность

   

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем—синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность

Искомая вероятность

   

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

   

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

   

Пример 6.  В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P (A) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P (B) = 5/30 = 1/6. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = 1/3 + 1/6 = 0,5.

Пример 7. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Событие A – «стрелок попал в первую область» и B – «стрелок попал во вторую область» — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

   

Для трех событий A, B, C имеем: 

   

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий:

   

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А)*Р(В) = 0,7*0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.

Замечание. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой . В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:

   

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна . Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Для зависимых событий:

Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂, …, A_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

   

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

   

Практический материал.

1.(6.4.12) В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки: а) без возвращения; б) с возвращением.

2. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придется проводить четвертый опыт; б) будет проведено четыре опыта. Ответ: а) P (A)=0,8³ ; б) P (B)=0,8³·0,2

3. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание. Ответ: а) 0,092; б) 0,994

4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Указание: Задача обратная примеру 8). Ответ: 0,7

5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. Ответ: 0,18

6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Ответ: 0,432

Термины, которые используются в статье

Пространство исходов — это множество всех исходов. Оно описывает все возможные варианты того, что может случиться в результате эксперимента. Обозначается буквой омега Ω.

Событие — это подмножество Ω, удовлетворяющее определённым условиям.
Например, «число очков на кубике чётное» — это событие.

Противоположные события

Событие A̅ противоположно событию A, если состоит из тех исходов Ω, которых нет в A.

Несовместные события

Несовместные события похожи на противоположные — они тоже не могут произойти одновременно. Появление одного события исключает появление всех остальных, несовместных с ним. Но есть и важное отличие: несовместных событий может быть сколько угодно, не только два.

Пример. Оплатить покупку в онлайн-магазине можно несколькими способами: картой на сайте, наличными при получении, в рассрочку от магазина или в кредит от банка. Все способы доступны, но пользователь должен выбрать только один из них.

Для набора событий А₁, А₂, … А_n это условие записывают так:

А_i ∩ А_j = Ø для всех

Совместные события

События А и B называют совместными, если ^{A ∩ B ≠ Ø} .

Пример. Производитель корма провёл онлайн-опрос, чтобы узнать, какие питомцы живут у покупателей. Варианты ответа: собака, кошка, хомяк. У 65% есть собаки, 81% с кошками и 15% c хомячками. При этом у 52% респондентов есть и кошка, и собака, а у 9% — хомяк с собакой.

Совместные события, как и несовместные, необязательно дают в объединении всё пространство исходов Ω. В наборе из нескольких событий часть могут быть совместными друг другу, часть — несовместными.

Разные типы событий на диаграммах Эйлера.

Алгебра событий

Правило суммы для противоположных событий: вероятность объединения противоположных событий равна сумме их вероятностей, которая, в свою очередь, равна 1.

P(A) = 1 – P(A̅).

Правило суммы для несовместных событий: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Правило суммы для совместных событий: чтобы найти вероятность объединения двух совместных событий, нужно из суммы их вероятностей вычесть вероятность их пересечения.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Формула включений-исключений для трёх событий:

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) +P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ С)

Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных

Пример. Поисковый сервис с равной вероятностью размещает рекламный баннер клиента слева от поисковой выдачи, справа или внутри неё. Нужно изучить, как работают алгоритмы. Чему равна вероятность, что из пяти поисковых запросов хотя бы в одном аналитик увидит рекламу слева от поисковой выдачи?

Решение. «Хотя бы один» — маркер того, что проще искать вероятность через обратное событие. Посчитаем вероятность противоположного события:

Содержание:

Теорема сложения вероятностей:

Теорема: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если АВ = 0, то

Доказательство: Пусть из общего числа п всех возможных и равновозможных элементарных исходов испытания

Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пусть, например, события А, В и С попарно несовместны, т. е. события АВ, АС, ВС невозможны.

Имеем

Замечание. Пусть теперь события А и В совместны. Тогда число благоприятных элементарных исходов для события А + В будет

где — число элементарных исходов, благоприятных для события АВ. Действительно, складывая числа исходов , благоприятных событиям А и В, мы исходы, благоприятные событию АВ, считаем два раза; следовательно, при подсчете числа исходов для события А + В излишнее значение следует отбросить.

Поэтому, в общем случае имеем

Следствие. Так как Р(АВ) 0, то из формулы (2) имеем

т. е. вероятность суммы двух событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий.

Это утверждение, очевидно, справедливо также и для нескольких событий.

Пример:

В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

Решение:

Пусть событие А — извлечение красного шара из урны, а событие В — извлечение синего шара. Тогда событие А + В есть извлечение цветного шара из урны. Очевидно, имеем

Так как события А и В несовместны (извлекается только один шар), то по теореме сложения имеем

Полная группа событий:

Определение: Система событий

называется полной группой событий для данного испытания, если любым исходом его является одно и только одно событие этой группы.

Иными словами, для полной группы событий (1) выполнены следующие условия:

1)событие достоверно;

2)события попарно несовместны, т. е. , где О — событие невозможное.

Простейшим примером полной группы событий является пара событий: А и А.

Теорема: Сумма вероятностей событий полной группы равна единице.

Доказательство: Для полной группы (1) событие достоверно, а события этой группы попарно несовместны. Отсюда на основании теоремы сложения вероятностей имеем

Но

поэтому из (2) имеем

Теорема умножения вероятностей:

Определение: Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается так:

Замечание. Вероятность каждого события А в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы предполагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие В. Таким образом, мы фактически имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность появления события А при этих новых условиях называется его условной вероятностью, в отличие от вероятности Р(А), которая может быть названа безусловной вероятностью события А

Пример:

В урне находятся 7 белых и 3 черных шара.

Какова вероятность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А); 2) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым (событие В) или черным (событие С)?

Решение:

Здесь

Таким образом, условная вероятность события может быть как меньше, так и больше вероятности этого события.

Определение: Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т. е.

В противном случае события называются зависимыми.

Теорема: Вероятность произведения (совмещения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т. е.

Доказательство: Пусть событию А благоприятствуют т, а событию АВ благоприятствуют k равновозможных элементарных исходов из общего их количества Тогда

Но если событие А произошло, то в этой ситуации возможны лишь те m элементарных исходов, которые благоприятствовали событию А, причем k из них, очевидно, благоприятствуют событию В. Таким образом,

Отсюда на основании равенств (4) имеем

Теорема доказана.

Так как ВА = АВ, то имеем также

Замечание. Формула (5) формально остается верной, если событие А невозможно.

Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Действительно, полагая, что , из формулы (5) получаем формулу (8).

Пример:

Вероятность поражения цели первым стрелком (событие A)равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие B)равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Решение:

Пусть С — интересующее нас событие; противоположное событие , очевидно, состоит в том, что оба стрелка промахнулись. Таким образом, . Так как события независимы (при стрельбе один стрелок не мешает другому!), то

Отсюда вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком, есть

Теорема допускает обобщение на случай нескольких событий. Например, для случая трех событий А, В и С имеем

Определение: События называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных (включающее либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

События, независимые в совокупности, очевидно, попарно независимы между собой; обратное неверно.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

Действительно, например, для трех независимых в совокупности событий А, В и С из формулы (9), учитывая, что

имеем

и т.п.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

В теории вероятностей события рассматривают на фоне комплекса условий, которые его порождают. Проще говоря, событие – это результат опыта, который проистекает в природе по воле человека, независимо от нее или ей вопреки. Рассмотрим множество событий, которые можно наблюдать в эксперименте при фиксированном комплексе условий. На множестве таких событий определим следующие понятия.

Суммой событий A и B называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B . Сумму событий A и B обозначают через A + B .

Приведенные понятия можно проиллюстрировать следующим образом.

Пусть комплекс условий состоит в том, что внутрь прямоугольника наугад бросают точку. Обозначим через А попадание точки внутрь левого круга, а через В – внутрь правого круга. Тогда события состоят в попадании точки внутрь областей, закрашенных на соответствующей части рис. 2.3.1.

Произведением событий A и B называют событие, состоящее в появлении событий А и В в одном и том же опыте. Обозначают произведение событий A и B через AB.

Событие, состоящее в не появлении события A, называется противоположным событием и обозначается через

Если в каждом опыте два события A и B всегда либо оба происходят, либо оба не происходят, то такие события называют равносильными или эквивалентными и записывают: A = B .

Говорят, что события образуют полную группу событий, если они попарно несовместимы и в каждом опыте непременно происходит одно и только одно из этих событий.

Словесные рассуждения можно перевести в символическую запись с помощью соответствий: «или» «+»; «и» «•»; «не A» «равносильно» «=».

Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло, называется условной вероятностью события A и обозначается через

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения событий равна вероятности одного события, умноженной на вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

События называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Если события независимы, то 

Для любого конечного числа событий вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что предыдущие события произошли, т.е.

Если события независимы, то

Итак, перед вычислением вероятности произведения событий необходимо установить, зависимы события или нет.

Пример №1

Вероятности попадания в цель при одном выстреле для первого, второго и третьего стрелков равны соответственно 0,3; 0,6; 0,8. Все три стрелка выстрелили в цель. Какова вероятность того, что:

а) цель поражена;

б) произошло только одно попадание;

в) произошло ровно два попадания;

г) попадут все три стрелка;

д) будет хотя бы один промах?

Решение. Обозначим через – событие, состоящее в попадании в цель го стрелка.

а) Поражение цели (событие A) равносильно появлению хотя бы одного из событий A₁ или A₂ или A₃. Поэтому Учитывая совместность событий, имеем

так как события независимы, то

б) Рассмотрим три случая:

1) – первый стрелок попал в цель и при этом второй не попал и третий не попал;

2) – первый стрелок не попал и при этом второй попал и третий не попал;

3) – первый и второй не попали и при этом третий попал.

Только одно попадание в цель (событие В) равносильно реализации хотя бы одного из несовместных событий B₁ или B₂ или B₃ . Поэтому

В силу независимости событий имеем

в) Два попадания в цель (событие C) равносильны реализации хотя бы одного из несовместных случаев: или или В силу независимости событий получаем

г) Все три стрелка попадут в цель (событие D), если произойдут события т.е. В силу независимости событий имеем

д) Хотя бы один промах (событие Е) равносилен появлению хотя бы одного из событий или или т.е. Вместо вычисления вероятности суммы трех совместных событий, заметим, что событие E равносильно не появлению события D. Поэтому

Ответ. а) 0,944; б) 0,332; в) 0,468; г) 0,144; д) 0,856.

Замечание. Значительное число вероятностных задач связано с теорией стрельб. В связи с этим уместно вспомнить изречение немецкого военного теоретика Карла Клаузевица (1780–1830): «Никакая человеческая деятельность не соприкасается со случаем так всесторонне и так часто, как война».

Пример №2

В первой урне два белых шара, четыре синих и девять красных, а во второй соответственно три, пять и шесть. Из каждой урны наугад выбирают два шара. Какова вероятность того, что будут выбраны шары одного цвета?

Решение. Событие, состоящее в выборе шаров одного цвета, обозначим через A. Обозначим через выбор из й урны двух белых шаров, через обозначим выбор из й урны двух синих шаров, через выбор из й урны двух красных шаров.

Событие A произойдет, если из первой урны будут выбраны два белых шара (событие B₁) и из второй урны будут выбраны тоже два белых шара (событие B₂) или из первой урны извлекут два синих шара (событие C₁) и из второй урны будут выбраны тоже два синих шара (событие C₂) или из первой урны будут выбраны два красных шара (событие D₁) и из второй урны будут выбраны тоже два красных шара (событие D₂). Поэтому События независимы и слагаемые несовместны. В итоге получаем, что

Ответ.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

События называются несовместными, если их появление в одном и том же опыте невозможно. Если события A и B несовместны, то

Для трех совместных событий теорема сложения вероятностей имеет вид:

Если события несовместны, то

Теорему сложения можно обобщить на любое конечное число слагаемых:

Если события несовместны, то

Итак, прежде чем вычислять вероятность суммы событий следует выяснить, совместны они или нет.

Указание. Желателен следующий порядок решения задач и оформления записи:

а) обозначения событий;

б) анализ взаимосвязей событий и их символическая запись;

в) вычисление вероятностей.

Пример №3

Из 20 изделий четыре имеют скрытые дефекты. Изделия выбирают наугад по одному и проверяют. Найдите вероятности следующих событий:

A – первым бракованным изделием окажется пятое по счету проверяемое изделие;

B – первыми бракованными изделиями окажутся третье и четвертое проверяемые изделия;

C – первыми бракованными изделиями окажутся третье и пятое по счету изделия.

Решение. Обозначим через – событие, состоящее в выборе годного изделия при м выборе. Событие A произойдет, если первые четыре изделия окажутся годными и лишь пятое по счету изделие будет бракованным. Это означает, что причем события зависимы. Поэтому

Событие B произойдет, если первые два изделия будут годными, а третье и четвертое окажутся бракованными. Символически это можно записать в виде В силу зависимости событий

Аналогично, и

Ответ.

Пример №4

Имеется система соединенных между собой элементов (скажем, участок электрической цепи, поточная линия и т.д., см. рис. 2.3.2). Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени (надежность) равна 0,8. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Какова надежность системы?

Решение. Пусть событие А состоит в безотказной работе системы в течение заданного времени, а означает безотказную работу го элемента в течение того же времени. Безотказная работа системы равносильна безотказной работе хоты бы одного элемента. Поэтому События совместны. Вместо вычисления вероятности по формуле вероятности суммы совместных событий вычислим вероятность противоположного события Выход из строя системы эквивалентен выходу из строя всех элементов в течение заданного времени, т.е. Так как элементы выходят из строя независимо друг от друга, то

Тогда

Ответ.

Пример №5

Имеется система соединенных между собой элементов (электрическая цепь, поточная линия и т.д., см. рис. 2.3.3). Вероятность безотказной работы (надежность) каждого элемента равна 0,9. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Какова надежность системы?

Решение. Пусть событие А состоит в безотказной работе системы, а – означает безотказную работу го элемента. Событие А произойдет, если одновременно произойдут события Поэтому а так как события независимы, то

Ответ.

Пример №6

Два стрелка по очереди стреляют в цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна для них соответственно 1/3 и 1/2. Каждый стрелок имеет право только на два выстрела. Какова вероятность того, что цель будет поражена? Какова вероятность того, что цель поразит первый стрелок?

Решение. Обозначим через попадание первого стрелка при м выстреле, а через – попадание второго стрелка при м выстреле. На рис. 2.3.5 изображено «дерево» всех возможных способов протекания стрельбы.

Цель не будет поражена (событие ), если произойдут события и и и  Так как события независимы, то

Поэтому вероятность поражения цели

Цель поразит первый стрелок (событие A), если он попадет при первом выстреле или при первом выстреле он не попадет в цель и второй стрелок при своем первом выстреле не попадет в цель и после этого первый стрелок попадет в цель. Поэтому События и несовместны. В силу независимости событий получаем

Ответ.

Пример №7

Урна содержит шесть занумерованных шаров с номерами от одного до шести. Шары извлекаются по одному без возвращения. Пусть событие A состоит в том, что шары будут извлечены в порядке их номеров, а событие B в том, что хотя бы один раз номер шара совпадет с порядковым номером его извлечения. Найти вероятности событий A и B и определить предельные вероятности этих событий при неограниченном увеличении числа шаров в урне.

Решение. а) Обозначим через – событие, состоящее в том, что порядок извлечения го шара совпадает с его номером. Тогда событие Вместо рассмотрения произведения зависимых событий заметим, что шары в указанном порядке можно извлечь только одним способом, а всего равновозможных способов извлечения существует Поэтому При увеличении числа шаров

Событие B произойдет, если появится хотя бы одно из событий A₁ или A₂ или … или A₆. Поэтому причем события совместны. При переходе к противоположному событию придется рассматривать произведение шести зависимых событий  что в данном случае сделать сложно. Поэтому вычислим вероятность суммы непосредственно:

Заметим, что искомая вероятность является частичной суммой ряда Тейлора функции при Поэтому при больших имеем

Ответ.   

Теорема. Пусть имеем группу событий Для любого целого удовлетворяющего условию  вероятность одновременного появления из событий определяется формулой 

где

 

К формуле (2.3.1) приводят следующие соображения. Пусть E – элементарный исход опыта. Предположим, что этот исход включен в из событий Тогда вероятность этого исхода входит в состав только при Заметим, что входит в суммы и не входит в суммы Это означает, что не входит в правую часть (2.3.1) при При вероятность входит в сумму а при члены в суммах взаимно уничтожаются. В самом деле, из событий, содержащих E, можно образовать групп по поэтому входит в с коэффициентом . Тогда при вероятность входит в правую часть равенства (2.3.1) с коэффициентом

Но (в этом легко убедиться, записав левую и правую часть равенства через факториалы). Поэтому выражение (2.3.2) преобразуется к виду

В последнем выражении в скобке имеем разложение бинома так что коэффициент (2.3.2) равен нулю.

Продолжим решение примера. Установлено, что вероятность ровно  совпадений в соответствии с формулой (2.3.1) равна

Здесь равенство нулю означает невозможность получить совпадение без того, чтобы не было совпадений:

Всё о теореме умножения вероятностей

При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события?

Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала “шестерка”, а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения “шестерки” снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска – независимые события.

События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события “первое орудие поразило цель” и “второе орудие поразило цель” независимы.

Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий: Р(АВ) = Р(А)*Р(В) – вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример №8

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.

Решение:

Как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е.

Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример №9

Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается.

Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему “дерева вероятностей”. Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности

Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий.

Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.

Пример №10

Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему “дерева вероятностей”. При этом значение вероятности на каждой “ветке” нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка: 1) из всех жителей города женщин 50%, 2) из всех женщин только 30% красят волосы часто, 3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос, 4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар, 5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.

Решение:

По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А={житель города покупает у нас этот новый бальзам} = 0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля.

И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные “развилки”, и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех “развилках”, где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.

Пример №11

За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?

Обсуждение:

Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.

Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных “ветвлений” должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с “конкретной” ситуацией, а не с вероятностями. Задачи для самопроверки 1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из п последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных.

Известна вероятность р невыхода из строя каждого элемента. Определите вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А). 2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. 3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшего месяца равны соответственно Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.

Всё о теореме сложения вероятностей

В этом разделе мы начнем применять на практике математический аппарат теории вероятностей для оценки вероятности наступления интересующего нас случайного события, которое, в свою очередь, является некоторой комбинацией других случайных событий.

Классическое определение вероятности Р(А) события А как отношения числа благоприятных элементарных исходов m к числу всех элементарных исходов п предполагает, что все элементарные исходы равновероятны. Однако, это условие далеко не всегда выполняется, поэтому мы сейчас введем еще одно определение вероятности – статистическое (или частотное).

Как оценить вероятность интересующего нас события, если в процессе испытания элементарные исходы вовсе не обязаны быть равновероятными? Строго говоря, необходимо было бы много раз проделать интересующий нас опыт и узнать частоту реализации различных элементарных исходов.

В пределе, при увеличении числа испытаний, отношение числа m реализованных событий А к общему количеству испытаний n и будет определять вероятность Важно понимать, что статистический подход не противоречит классическому, а лишь расширяет границы возможного применения аппарата теории вероятностей. Поэтому все приемы, которые Вы уже освоили в рамках классической схемы, можно будет использовать и в дальнейшем. Для решения практических задач нам понадобятся следующие важные теоремы.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – вероятность наступления в результате эксперимента хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Обсуждение:

Напомним, что события А и В называются несовместными, если в результате опыта они не могут появиться вместе. (Пожалуйста, не путайте их с независимыми событиями, которые мы обсуждали в прошлом разделе. Независимые события могут спокойно сосуществовать друг с другом.)

Пример №12

По статистике, в прошлом году 10% жителей нашего города встретили Новый год в отъезде, 40% ходили в гости или в ресторан, оставаясь в городе, остальные встречали Новый год дома. Считая, что эта тенденция сохранится, посчитайте вероятность того, что житель нашего города встретит Новый год дома.

Решение:

Здесь можно смело пользоваться теоремой сложения вероятностей, т.к. события встречи Нового года в разных местах одним и тем же человеком – несовместны. Поэтому все, кто встретит Новый год в гостях или в другом городе (они составят вместе 40% + 10%), не смогут встретить его дома. Принимая общее число жителей города за 100%, найдем, что 50% оставалось дома в прошлый раз. Полагая, что эти же пропорции сохранятся и в этом году, найдем, что вероятность встретить Новый год дома для жителя нашего города равна Р=0,5. (Заметим, что в данном случае нам было удобно посчитать сначала вероятность обратного события, а потом вычесть результат из 100%.)

Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются несовместными? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример №13

Владелец фирмы частных такси хочет сделать прогноз количества клиентов на новогоднюю ночь. Пусть, по его сведениям, в прошлом году Новый год встретили дома 50%, в компании друзей или родственников, но не выезжая из города – 80%, в отъезде были 10%. Почему у него получилось в сумме больше 100%?

Видимо, каких-то жителей он посчитал больше одного раза. Скорее всего, тех, кто сидел дома, но, одновременно, принимал друзей или родственников, которые пришли к нему в гости. Поскольку эти события не являются несовместными, просто складывая вероятности, он завышает свои оценки.

Впрочем, это относится не только к оценке вероятности события, но и к решению любых задач на подсчет элементов объединения двух множеств путем сложения. Если множества частично перекрываются, сумма их элементов будет больше, чем реальное количество элементов, поскольку при арифметическом сложении элементы этого “перекрытия” мы невольно посчитали дважды, и как входящие в первое множество, и как входящие во второе. Выход здесь один: мы должны заметить, что множества частично “перекрываются”, посчитать число элементов в их общей части и вычесть это число из суммы (т.к. при суммировании мы его посчитали дважды).

В случае подсчета вероятности события С, которое наступает или при наступлении события А, или при наступлении события В, если А и В не являются несовместными, можно воспользоваться следующей теоремой:

Общая теорема сложения вероятностей:

где Р(АВ) – вероятность одновременного наступления и события А, и события В.

Учреждение
образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная
академия»

Кафедра
высшей математики

СЛОЖЕНИЕ
И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ
НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Лекция
для студентов землеустроительного
факультета

заочной
формы обучения

Горки,
2012

Сложение
и умножение вероятностей. Повторные

независимые
испытания

1. Сложение вероятностей

Суммой
двух совместных событий
А
и В
называется событие С,
состоящее в наступлении хотя бы одного
из событий А
или В.
Аналогично суммой нескольких совместных
событий называется событие, состоящее
в наступлении хотя бы одного из этих
событий.

Суммой
двух несовместных событий
А
и В
называется событие С,
состоящее в наступлении или события
А,
или события В.
Аналогично суммой нескольких несовместных
событий называется событие, состоящее
в наступлении какого-либо одного из
этих событий.

Справедлива
теорема сложения вероятностей несовместных
событий: вероятность
суммы двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий,
т.е.
.
Эту теорему можно распространить на
любое конечное число несовместных
событий.

Из
данной теоремы следует:

сумма
вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице;

сумма
вероятностей противоположных событий
равна единице, т.е.
.

Пример
1.
В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5
синих шара. Шары перемешивают и наугад
извлекают один. Какова вероятность
того, что шар окажется цветным?

Решение.
Обозначим события:

A={извлечён
цветной шар};

B={извлечён
белый шар};

C={извлечён
красный шар};

D={извлечён
синий шар}.

Тогда
A=C+D.
Так как события C,
D
несовместны, то воспользуемся теоремой
сложения вероятностей несовместных
событий:
.

Пример
2.
В урне находятся 4 белых шара и 6 –
чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара.
Какова вероятность того, что все они
одного цвета?

Решение.
Обозначим события:

A={вынуты
шары одного цвета};

B={вынуты
шары белого цвета};

C={вынуты
шары чёрного цвета}.

Так
как A=B+C
и события В
и С
несовместны, то по теореме сложения
вероятностей несовместных событий
.
Вероятность события В
равна
,
где
4,

.
Подставим k
и n
в формулу и получим
Аналогично
найдём вероятность события С:
,
где
,
,
т.е.
.
Тогда
.

Пример
3.
Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4
карты. Найти вероятность того, что среди
них окажется не менее трёх тузов.

Решение.
Обозначим события:

A={среди
вынутых карт не менее трёх тузов};

B={среди
вынутых карт три туза};

C={среди
вынутых карт четыре туза}.

Так
как A=B+C,
а события В
и С
несовместны, то
.
Найдём вероятности событий В
и С:

,
.
Следовательно, вероятность того, что
среди вынутых карт не менее трёх тузов,
равна

0.0022.

1. Умножение вероятностей

Произведением
двух событий А
и В
называется событие С,
состоящее в совместном наступлении
этих событий:
.
Это определение распространяется на
любое конечное число событий.

Два
события называются независимыми,
если вероятность наступления одного
из них не зависит от того, произошло
другое событие или нет. События
,
,
… ,

называются независимыми
в совокупности,
если вероятность наступления каждого
из них не зависит от того, произошли или
не произошли другие события.

Пример
4.
Два стрелка стреляют по цели. Обозначим
события:

A={первый
стрелок попал в цель};

B={второй
стрелок попал в цель}.

Очевидно,
что вероятность попадания в цель первым
стрелком не зависит от того, попал или
не попал второй стрелок, и наоборот.
Следовательно, события А
и В
независимы.

Справедлива
теорема умножения вероятностей
независимых событий: вероятность
произведения двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих
событий:
.

Эта
теорема справедлива и для n
независимых в совокупности событий:
.

Пример
5.
Два стрелка стреляют по одной цели.
Вероятность попадания первого стрелка
равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка
одновременно делают по одному выстрелу.
Определить вероятность того, что будут
иметь место два попадания в цель.

Решение.
Обозначим события:

A={первый
стрелок попадёт в цель};

B={второй
стрелок попадёт в цель};

C={оба
стрелка попадут в цель}.

Так
как
,
а события А
и В
независимы, то
,
т.е.
.

События
А
и В
называются зависимыми,
если вероятность наступления одного
из них зависит от того, произошло другое
событие или нет. Вероятность наступления
события А
при условии, что событие В
уже наступило, называется условной
вероятностью
и обозначается

или
.

Пример
6.
В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров.
Из урны извлекаются шары. Обозначим
события:

A={извлечён
белый шар} ;

B={извлечён
чёрный шар}.

Перед
началом извлечения шаров из урны
.
Из урны извлекли один шар и он оказался
чёрным. Тогда вероятность события А
после наступления события В
будет уже другой, равной
.
Это означает, что вероятность события
А
зависит от события В,
т.е. эти события будут зависимыми.

Справедлива
теорема умножения вероятностей зависимых
событий: вероятность
произведения двух зависимых событий
равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило,
т.е.

или
.

Пример
7.
В урне находятся 4 белых шара и 8 красных.
Из неё наугад последовательно извлекают
два шара. Найти вероятность того, что
оба шара будут чёрными.

Решение.
Обозначим события:

A={первым
извлечён чёрный шар};

B={вторым
извлечён чёрный шар}.

События
А
и В
зависимы, так как
,
а
.
Тогда
.

Пример
8.
Три стрелка стреляют по цели независимо
друг от друга. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0.5, для
второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти
вероятность того, что произойдут два
попадания в цель, если каждый стрелок
сделает по одному выстрелу.

Решение.
Обозначим события:

A={произойдут
два попадания в цель};

B={первый
стрелок попадёт в цель};

C={второй
стрелок попадёт в цель};

D={третий
стрелок попадёт в цель};

={первый
стрелок не попадёт в цель};

={второй
стрелок не попадёт в цель};

={третий
стрелок не попадёт в цель}.

По
условию примера
,
,
,

,
,
.
Так как
,
то используя теорему сложения вероятностей
несовместных событий и теорему умножения
вероятностей независимых событий,
получим:

.

Пусть
события

образуют полную группу событий некоторого
испытания, а событии А
может наступить только с одним из этих
событий. Если известны вероятности

и условные вероятности

события А,
то вероятность события А вычисляется
по формуле:

или
.
Эта формула называется формулой
полной вероятности,
а события

гипотезами.

Пример
9.
На сборочный конвейер поступает 700
деталей с первого станка и 300 деталей

со второго. Первый станок даёт 0.5% брака,
а второй – 0.7%. Найти вероятность того,
что взятая деталь будет бракованной.

Решение.
Обозначим события:

A={взятая
деталь будет бракованной};

={деталь
изготовлена на первом станке};

={деталь
изготовлена на втором станке}.

Вероятность
того, что деталь изготовлена на первом
станке, равна
.
Для второго станка
.
По условию вероятность получения
бракованной детали, изготовленной на
первом станке, равна
.
Для второго станка эта вероятность
равна
.
Тогда вероятность того, что взятая
деталь будет бракованной, вычисляется
по формуле полной вероятности

.

Если
известно, что в результате испытания
наступило некоторое событие А,
то вероятность того, что это событие
наступило с гипотезой
,
равна
,
где
–
полная вероятность события А.
Эта формула называется формулой
Байеса
и позволяет вычислять вероятности
событий

после того, как стало известно, что
событие А
уже наступило.

Пример
10.
Однотипные детали к автомобилям
производятся на двух заводах и поступают
в магазин. Первый завод производит 80%
общего количества деталей, а второй –
20%. Продукция первого завода содержит
90% стандартных деталей, а второго – 95%.
Покупатель купил одну деталь и она
оказалась стандартной. Найти вероятность
того, что эта деталь изготовлена на
втором заводе.

Решение.
Обозначим события:

A={куплена
стандартная деталь};

={деталь
изготовлена на первом заводе};

={деталь
изготовлена на втором заводе}.

По
условию примера
,
,

и
.
Вычислим полную вероятность события
А:
0.91.
Вероятность того, что деталь изготовлена
на втором заводе, вычислим по формуле
Байеса:
.

Задания
для самостоятельной работы

1. Вероятность
   попадания в цель для первого стрелка
   равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего
   – 0.9. Стрелки произвели по одному
   выстрелу. Найти вероятность того, что
   имеет место не менее двух попаданий в
   цель.

2. В
   ремонтную мастерскую поступило 15
   тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются
   в замене двигателя, а остальные – в
   замене отдельных узлов. Случайным
   образом отбираются три трактора. Найти
   вероятность того, что замена двигателя
   необходима не более, чем двум отобранным
   тракторам.

3. На
   железобетонном заводе изготавливают
   панели, 80% из которых – высшего качества.
   Найти вероятность того, что из трёх
   наугад выбранных панелей не менее двух
   будут высшего сорта.

4. Три
   рабочих собирают подшипники. Вероятность
   того, что подшипник, собранный первым
   рабочим, высшего качества, равна 0.7,
   вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля
   наугад взято по одному подшипнику из
   собранных каждым рабочим. Найти
   вероятность того, что не менее двух из
   них будут высшего качества.

5. Вероятность
   выигрыша по лотерейному билету первого
   выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего
   – 0.25. Имеются по одному билету каждого
   выпуска. Найти вероятность того, что
   выиграет не менее двух билетов.

6. Бухгалтер
   выполняет расчёты, пользуясь тремя
   справочниками. Вероятность того, что
   интересующие его данные находятся в
   первом справочнике, равна 0.6, во втором
   – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность
   того, что интересующие бухгалтера
   данные содержатся не более, чем в двух
   справочниках.

7. Три
   автомата изготавливают детали. Первый
   автомат изготавливает деталь высшего
   качества с вероятностью 0.9, второй – с
   вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью
   0.6. Наугад берут по одной детали с каждого
   автомата. Найти вероятность того, что
   среди них не менее двух высшего качества.

8. На
   двух станках обрабатываются однотипные
   детали. Вероятность изготовления
   нестандартной детали для первого станка
   равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные
   детали складываются в одном месте.
   Среди них 67% с первого станка, а остальные
   – со второго. Наугад взятая деталь
   оказалась стандартной. Найти вероятность
   того, что она изготовлена на первом
   станке.

9. В
   мастерскую поступили две коробки
   однотипных конденсаторов. В первой
   коробке было 20 конденсаторов, из которых
   2 неисправных. Во второй коробки 10
   конденсаторов, из которых 3 неисправных.
   Конденсаторы были переложены в один
   ящик. Найти вероятность того, что наугад
   взятый из ящика конденсатор окажется
   исправным.

10. На
    трёх станках изготавливают однотипные
    детали, которые поступают на общий
    конвейер. Среди всех деталей 20% с первого
    автомата, 30% – со второго и 505 – с третьего.
    Вероятность изготовления стандартной
    детали на первом станке равна 0.8, на
    втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая
    деталь оказалась стандартной. Найти
    вероятность того, эта деталь изготовлена
    на третьем станке.

11. Комплектовщик
    получает для сборки 40% деталей с завода
    А,
    а остальные – с завода В.
    Вероятность того, что деталь с завода
    А
    – высшего качества, равна 0.8, а с завода
    В
    – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну
    деталь и она оказалась не высшего
    качества. Найти вероятность того, что
    эта деталь с завода В.

12. Для
    участия в студенческих спортивных
    соревнованиях выделено 10 студентов из
    первой группы и 8 – из второй. Вероятность
    того, что студент из первой группы
    попадёт в сборную академии, равна 0.8, а
    со второй – 0.7. Наугад выбранный студент
    попал в сборную. Найти вероятность
    того, что он из первой группы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #