Как найти обыкновенную дробь от обыкновенной дроби

Обыкновенные дроби

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

• Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
• Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
• Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Виды дробей:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 35.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

1. В обеих дробях знаменатель равен 5.
2. В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   
2. Сравним дроби с одинаковыми знаменателями:
   

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

• привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
• сравнить полученные дроби.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем.
2. Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя.

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

Проверим полученный результат:

• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.
   
   
2. Сложить дробные части.
   

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Суммировать полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

1. преобразовать смешанные дроби в неправильные;
2. перемножить числители и знаменатели дробей;
3. сократить полученную дробь;
4. если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную.

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

• числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

• представить числа в виде неправильных дробей;
• разделить то, что получилось друг на друга.

Источник

Применение дробей

Этот урок будет интересным и познавательным. Мы научимся применять дроби для различных жизненных случаев.

Нахождение дроби от числа

Мы уже говорили, что дробь это часть от чего-либо. Эта часть может быть чем угодно. Например, от пиццы это половина пиццы:

Но применение дробей не заканчивается на одной пицце. Например, можно узнать сколько составляет от десяти сантиметров:

Как вы уже догадались от десяти сантиметров составляют пять сантиметров. Ведь это простейшая дробь, которая означает половину от чего-то. У нас было десять сантиметров. Мы разделили эти десять сантиметров пополам и получили пять сантиметров.

Попробуем узнать, сколько составляет от одного часа. Вспоминаем, что час это 60 минут. Нам нужно найти (половину) от 60 минут. Нетрудно догадаться, что половина от 60 минут это 30 минут. Значит от одного часа составляет 30 минут или полчаса.

Попробуем найти от одного центнера. Центнер это 100 кг. Требуется найти (половину) от 100 кг. Нетрудно догадаться, что половина от 100 кг это 50 кг. Значит от одного центнера составляют 50 кг.

Поскольку мы занимаемся математикой, значит в большинстве случаев будем иметь дело с числами. Например, найдём от числа 12 .

Итак, нужно найти половину от числа 12. Нетрудно догадаться, что половиной от числа 12 является число 6. Значит числа 12 составляет число 6.

Чтобы легче было находить дробь от числа, можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Попробуем проследить весь процесс работы этого правила. Для примера возьмём десять сантиметров:

Пусть требуется найти от этих десяти сантиметров. Читаем первую часть правила:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби

Итак, делим десять сантиметров на знаменатель дроби . Знаменатель этой дроби равен числу 2. Поэтому делим десять сантиметров на 2

Читаем вторую часть правила:

и полученный результат умножить на числитель дроби

Итак, умножаем пять сантиметров на числитель дроби . Числитель дроби в данном случае единица. Поэтому умножаем пять сантиметров на единицу:

Мы нашли от десяти сантиметров. Видим, что от десяти сантиметров составляют пять сантиметров:

Почему же после деления числа на знаменатель дроби приходиться умножать полученный результат на числитель дроби? Дело в том, что знаменатель дроби показывает на сколько частей что-либо разделено, а числитель показывает сколько частей было взято.

В нашем примере десять сантиметров были разделены на две части (пополам), и из этих частей была взята одна часть. Умножая одну часть на числитель дроби, мы тем самым указываем сколько частей мы берём от чего-то. То есть умножив пять сантиметров на числитель дроби , мы тем самым указали, что берем одну часть из двух.

Пример 2. Найти от 10 см.

Применим правило нахождения дроби от числа:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Сначала делим 10 сантиметров на знаменатель дроби

Получили два сантиметра. Этот результат нужно умножить на числитель дроби

Мы нашли от десяти сантиметров. Видим, что от десяти сантиметров составляют четыре сантиметра.

Весь процесс решения можно увидеть на следующем рисунке:

Сначала десять сантиметров были разделены на пять равных частей. Затем было взято две части из этих пяти частей:

Пример 3. Найти от числа 56.

Чтобы найти от числа 56, нужно это число разделить на знаменатель дроби , и полученный результат умножить на числитель дроби .

Итак, сначала делим число 56 на знаменатель дроби

Теперь умножаем полученное результат на числитель дроби

Получили ответ 21. Значит от числа 56 составляет 21.

Пример 4. Найти от одного часа.

Один час это 60 минут. Задание можно понимать, как нахождение от 60 минут.

Сначала разделим 60 минут на знаменатель дроби

60 мин : 4 = 15 мин

Теперь умножим полученные 15 минут на числитель дроби

15 мин × 2 = 30 мин

Получили в ответе 30 минут. Значит от одного часа составляют тридцать минут или полчаса.

Пример 5. Найти от одного метра.

Один метр это сто сантиметров. Сначала разделим 100 см на знаменатель дроби

100 см : 5 = 20 см

Теперь умножим полученные 20 см на числитель дроби

20 см × 4 = 80 см

Получили ответ 80 см. Значит от одного метра составляют 80 см.

Нахождение целого числа по дроби

Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.

А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.

Например, если длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби . Давайте решим эту задачу.

Требуется найти длину всей линейки по дроби . Известно, что длины всей линейки составляют 6 см.

Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби это число 2.

Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:

Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2

Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5

Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.

Видно, что пять частей из пяти или составляют пятнадцать сантиметров.

Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.

Пример 2. Число 20 это от всего числа. Найдите это число.

Знаменатель дроби показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти (одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби

Мы нашли от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби

Мы нашли от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.

Пример 3. Десять минут это времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.

Знаменатель дроби показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби

10 мин : 2 = 5 мин

Мы нашли времени приготовления каши. времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби

5 мин × 3 = 15 мин

Мы нашли времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.

Пример 4. массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.

Знаменатель дроби показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби .

Мы нашли массы мешка. массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби

Мы нашли массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.

Деление меньшего числа на большее

В жизни часто возникают ситуации, когда требуется разделить меньшее число на большее. Например, представим ситуацию. Имеется трое друзей:

И требуется поровну разделить между ними два яблока. Как это сделать? Друзей трое, а яблок всего два. Мы попали в ситуацию в которой требуется разделить меньшее число на большее (два яблока на троих).

Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

При делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

Давайте применим это правило. Оно говорит, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе делитель. Делимое у нас это два яблока. Записываем в числителе число 2:

А делитель у нас это трое друзей (вспоминаем, что делитель показывает на сколько частей надо разделить делимое). Записываем тройку в знаменателе нашей дроби:

Забавно, но дробь это ответ к нашей задаче. Каждому другу достанется яблока. Почему так произошло?

Чтобы разделить два яблока на троих, надо разрезать ножом каждое яблоко на три части и раскидать поровну эти куски между тремя друзьями:

Как видно на рисунке, каждое яблоко было разделено на три части и раскидано поровну на троих друзей. Каждому другу досталось яблока (два кусочка из трёх).

Какую часть одно число составляет от другого

Иногда возникает необходимость узнать какую часть первое число составляет от второго. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Чтобы узнать какую часть первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе.

Например, яблоко разделили на пять одинаковых долек. Какую часть яблока составляют две дольки?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо первое число разделить на второе. Первое число это 2, второе — 5. Получается дробь .

Значит две дольки из пяти долек составляют две пятых. Это можно увидеть на следующем рисунке:

Итак, две дольки яблока из пяти составляют две пятых.

Возникает вопрос, а как узнать какое число первое, а какое второе? Для этого нужно посмотреть на вопрос, который поставлен в задаче. То число, которое указано в вопросе задачи, оно и будет первым числом. Например, в предыдущей задаче вопрос был поставлен так:

«Какую часть яблока составляют две такие дольки?»

Если внимательно присмотреться к вопросу, то можно обнаружить, что в нём указано число 2. Оно и стало первым числом.

Иногда в вопросе мелькает сразу два числа. Например: какую часть составляет число 2 от числа 10?

В этом случае первым числом будет то, которое в вопросе расположено раньше. В данном случае первое число это 2, а второе 10. Делим 2 на 10, получаем дробь . Значит число 2 от числа 10 составляет (две десятых).

Дробь означает, что число 10 разделено на десять частей, и от этих десяти частей взято две части.

Также, эту дробь можно сократить на 2. После сокращения дроби на 2 получаем дробь .

Дробь тоже может послужить ответом к задаче. Она будет означать, что число 10 разделено на пять частей, и от этих пяти частей взята одна часть.

Таким образом, число 2 составляет (одну пятую) от числа 10.

Пример 3. Какую часть составляет число 5 от числа 15?

Делим первое число на второе. Первое число 5, а второе 15. Делим 5 на 15, получаем дробь . Эту дробь можно сократить на 5

Получили аккуратную дробь . Значит ответ будет выглядеть следующим образом:

Число 5 составляет (одну третью) от числа 15.

Это можно даже проверить. Для этого нужно найти от числа 15. Если мы всё сделали правильно, то должны получить число 5.

Итак, найдём от числа 15. Как находить дробь от числа мы уже знаем

Получили ответ 5. Значит задача была решена правильно.

Пример 4. Какую часть 3 см составляют от 12 см?

Делим первое число на второе. Первое число это 3, а второе 12. Получаем дробь . Эту дробь можно сократить на 3

Получили ответ . Значит 3 см составляют (одну четвёртую) от 12 см.

Проверим правильно ли мы решили эту задачу. Для этого найдём от 12 см. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 3 см.

Делим 12 на знаменатель дроби

Умножаем полученные 3 см на числитель дроби

Получили ответ 3 см. Значит задача была решена правильно.

Источник

Adblock
detector

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти дробь от целого числа и наоборот – как найти число, если известно, чему равна определенная дробь от него. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

• Нахождение дроби от числа

• Нахождение числа по значению дроби

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти часть от целого числа n, которая представлена дробью, нужно умножить эту дробь (например, ^a/_b) на данное число n.

Дробь от числа = n ⋅

a/b

 =  

n ⋅ a/b

 
Пример 1

 
Решение

5/12

⋅ 24 =

5 ⋅ 24/12

=

120/12

= 10

 
Пример 2

 
Решение

4/9

⋅ 7 =

4 ⋅ 7/9

=

28/9

=3

1/9

 
Таким образом, результат нахождения дроби числа не всегда бывает целым числом.

Примечание: если дробь является смешанной, сперва ее следует представить в виде неправильной и только потом выполнять умножение.

Нахождение числа по значению дроби

Если известно сколько число n занимает в числе m, и эта доля выражена в виде дроби, то для нахождения числа m используется формула:

 
Пример:

Один ряд кинозала вмещает 20 кресел, что составляет

2/5

от всей вместимости зала. Определите, сколько всего посадочных мест в зале.

 
Решение

Общее количество кресел равняется:

20 :

2/5

= 20 ⋅

5/2

=

20 ⋅ 5/2

= 50

Начнем с довольно простой, но в то же время интересной темы, в которой школьники зачастую делают ошибки – нахождение дроби от числа.

Что такое часть от целого? Если у нас есть некоторое значение и нам необходимо вычислить некоторую долю или дробь от этого значения. Например, зная вес пиццы, найти вес нескольких ее кусочков.

При этом нужная доля может быть выражена как в виде обыкновенной дроби, так и в виде десятичной дроби или процентов. Для нахождения процента от числа стоит предварительно перевести проценты в десятичную дробь, просто разделив на 100. Например, 28 % = 0,28.

Для того, чтобы найти, сколько весят x кусочков пиццы, порезанной на равные y кусков, нужно общий вес пиццы разделить на y и умножить на x. Допустим, пицца весит Q грамм. То есть нам необходимо найти вес x/y части пиццы.

Немного парадоксальная ситуация: нужно найти часть, а мы умножаем, а не делим. Но на самом деле никакого парадокса в этом нет, если вспомнить, что дробь, вернее, горизонтальная черта дроби – это деление.

Да и при умножении на десятичную дробь меньше 1 мы тоже получим значение меньшее, чем исходное.

Немного запутать может ситуация, когда целая часть выражена в виде обыкновенной или десятичной дроби. Не стоит обращать на это внимание. Алгоритм действий точно такой же.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Для закрепления материала предлагаем несколько примеров для самостоятельного решения. Ответы размещайте в комментариях.

Надеемся, эта тема была вам интересна. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в комментариях.

Завтра разберемся, как найти число, если нам известна только его часть.

Ставим лайки, подписываемся, в комментариях пишем темы, которые вам хотелось бы разобрать, задаем вопросы.

До скорой встречи!