Как найти один корень квадратного уравнения

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[править | править код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]

Дискриминантом квадратного уравнения называется величина .

Условие
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	(1)		—

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

Для уравнений вида , то есть при чётном , где

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант	Корни
неприведённое	приведённое	D > 0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: Все необходимые свойства при этом сохраняются.	.
D = 0

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения — ими будут и , действительно, ведь а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]

Если квадратный трёхчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
   .
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
   
   
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
   
   

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением системы уравнений

являются корнями уравнения .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»[править | править код]

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

2) заменяем

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I[править | править код]

Для решения квадратного уравнения строится график функции
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .

Приём II[править | править код]

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III[править | править код]

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.

Приём V[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

затем

Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если , то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат окружность с центром в точке , пересекающую ось в точке .
2. Далее возможны три случая:

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]

Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^[2] q.

• Из «Радионяни» (второй вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

• Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Чтобы x найти к половине p,

Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,

Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема Виета ^[3][править | править код]

Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Сумма корней приведённого квадратного уравнения (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

по которой можно устно находить ax₁, ax₂, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

(2)

Доказательство[править | править код]

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами: . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1[править | править код]

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство[править | править код]

Пусть . Тогда, переписав это разложение, получим:

.

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются и . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .

Следствие 2[править | править код]

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство[править | править код]

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]

Алгебраические[править | править код]

Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

и

К примеру, если , то уравнение принимает вид:

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным^[4][1].

С помощью замены

к квадратному уравнению сводится уравнение

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение^[1].

Дифференциальные[править | править код]

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:

Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

, где и — произвольные постоянные.

Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Архивная копия от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
• Математические методы

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;
2. 5x² + 3x + 7 = 0;
3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x² = 0;
3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;
2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;
2. 5x² + 30 = 0;
3. 4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

1. Теорема Виета
2. Следствия из теоремы Виета
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: строительные бригады

Квадратное уравнение

Это уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,

где aa – коэффициент перед x2x^2,

bb – коэффициент перед xx,

cc – свободное число.

Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через kk, тогда будет другая формула дискриминанта:

D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1⋅x2=cx_1 cdot x_2 = c

Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.

Задача 1

Решим уравнение: 3×2+7x−6=0.3x^2 + 7x – 6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=3a = 3,

b=7b = 7,

c=−6c = -6

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=72–4∗3∗(−6)=49+72=121=112D = 7^2 – 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121 = {11}^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b – √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(−7+11)/2∗3=4/6=23x_1 = (-7 + 11) / 2*3 = 4 / 6 = frac{2}{3}

x2=(−7–11)/2∗3=−18/6=−3x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3

Ответ: x1=23x_1 = frac{2}{3}, x2=−3x_2 = -3.

Задача 2

Решим уравнение: −x2+7x+8=0.-x^2 + 7x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=−1a = -1,

b=7b = 7,

c=8.c = 8.

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=72–4⋅(−1)⋅8=49+32=81=92D = 7^2 – 4 cdot (-1) cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b – √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(−7+9)/2∗(−1)=2/(−2)=−1x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1
x2=(−7–9)/2∗(−1)=−16/(−2)=8x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8

Ответ: x1=−1x_1 = -1, x2=8x_2 = 8.

Задача 3

Решим уравнение: 4×2+4x+1=0.4x^2 + 4x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=4a = 4,

b=4b = 4,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=42–4⋅4⋅1=16–16=0D = 4^2 – 4 cdot 4 cdot 1 = 16 – 16 = 0

D=0D = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−b/2ax = -b / 2a

Подставляем численные значения:

x=−4/2⋅4=−4/8=−1/2=−0,5x = -4 / 2 cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5

Ответ: x=−0,5.x = -0,5.

Задача 4

Решим уравнение: 2×2+x+1=0.2x^2 + x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=2a = 2,

b=1b = 1,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=12–4∗2∗1=1–8=−7D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7

D<0D < 0 – значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение квадратного уравнения через k

Если у квадратного уравнения коэффициент bb четный, то можно решать уравнение через kk, при этом k=12bk = frac{1}{2} b.

Задача 5

Решим уравнение: −x2+2x+8=0.-x^2 + 2x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=−1a = -1,

b=2b = 2,

c=8c = 8

bb – четное.

k=12b=1k = frac {1}{2} b = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

D1=12–(−1)∗8=1+8=9=32D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2

D1>0D_1 > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−k+D1)/ax_1 = (-k + {sqrt D}_1) / a
x2=(−k−D1)/ax_2 = (-k – {sqrt D}_1) / a

Подставляем численные значения:

x1=(−1+3)/(−1)=2/(−1)=−2x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2
x2=(−1–3)/(−1)=−4/(−1)=4x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4

Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.

Задача 6

Решим уравнение: 9×2–6x+1=0.9x^2 – 6x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=9a = 9,

b=−6b = -6,

c=1c = 1

bb – четное.

K=12b=−3.K = frac{1}{2} b = -3.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

D1=(−3)2–9∗1=9–9=0D_1 = {(-3)}^2 – 9 * 1 = 9 – 9 = 0

D1=0D_1 = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−k/ax = -k / a

Подставляем численные значения:

x=3/9=13x = 3 / 9 = frac{1}{3}

Ответ: x=13.x = frac{1}{3}.

Нахождение корней уравнения по теореме Виета

Если в квадратном уравнении a=1a = 1, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.

Задача 7

Найдем корни уравнения: x2+3x+2=0.x^2 + 3x + 2 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=1a = 1,

b=3b = 3,

c=2c = 2.

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.

Значит, корни уравнения равны:

x1=−2x_1 = -2
x2=−1x_2 = -1

Ответ: x1=−2x_1 = -2, x2=−1x_2 = -1.

Задача 8

Найдем корни уравнения: x2–5x+6=0.x^2 – 5x +6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = 1,

b=−5b = -5,

c=6c = 6

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = 2
x2=3x_2 = 3

Ответ: x1=2x_1 = 2, x2=3.x_2 = 3.

Тест по теме «Примеры решения квадратных уравнений»

Доброго времени суток, дорогие любители математики! Предлагаю Вам сегодня еще раз разобраться, как решать квадратные уравнения. Думаю, для многих читателей данный вопрос покажется простым, но сможете ли Вы навскидку назвать семь способов? А их, конечно, больше! Думаю, другие способы вспомните в комментариях.

Кстати, о комментариях! Там я часто вижу вопрос: «Почему Вы игнорируете формулы Виета?». Мне кажется, что на широкую аудиторию стоит транслировать наиболее простой способ — решение через дискриминант. Он понятный, его все помнят, а значит смогут разобраться в решении [и дочитают статью ;)].

Всем известно, что квадратное уравнение имеет вид:

Коэффициенты a, b и c здесь — это некоторые числа, а x — неизвестная. Для решения квадратного уравнения придумали общие формулы, понятные и простые.

Способ первый. Дискриминант.

Для решения квадратного уравнения через дискриминант его нужно вычислить:

А затем найти корни:

Все супер просто! Берем числа, получаем результат.

Пример:

Способ первый с половиной. Дискриминант, деленный на четыре.

Существует еще одна формула — для случая, когда второй коэффициент четный. Выведем ее:

Как видите, для четного коэффициента двойка будет всегда сокращаться, поэтому говорят о дискриминанте, деленном на четыре:

А корни будут находиться по такой формуле:

Проверим на нашем примере:

Корни сошлись, работает!

Способ второй. Выделение полного квадрата.

Формулы для дискриминанта очень занятные, но откуда они взялись?

Вернемся к началу:

Поделим все уравнение на a:

А дальше начнем шаманить. Мы хотим собрать полный квадрат по формуле сокращенного умножения:

В нашем уравнении на первом месте стоит x². На втором должно находиться удвоенное произведение. Создадим двойку искусственно, умножив и поделив на нее одномоментно:

Теперь у нас есть произведение двойки, x и некоторого числа. Для того чтобы получить формулу квадрата суммы прибавим это “некоторое число” в квадрате и сразу вычтем, дабы сумма не изменилась:

Все готово для формулы сокращенного умножения:

Перенесем все числа в правую часть:

Приведем к общему знаменателю:

Извлечем корень [считаем, что мы можем это сделать]:

Выразим икс и посмотрим, что же у нас получилось:

Да это же и есть формула из предыдущего способа!

Рассмотрим на примере:

Нам повезло и здесь двойка уже есть в наличии. Выделим полный квадрат:

Соберем полный квадрат:

Согласитесь, в числах выглядит гораздо проще и приятнее! Двигаемся дальше.

Способ третий. Разложение на множители.

Тут даже не буду пытаться сделать общие выкладки. Просто берем и раскладываем, как учили в восьмом классе.

Добавим «лишний» икс, получится:

Из первых двух слагаемых вынесем икс, из оставшихся — минус:

Вынесем за скобки общий множитель:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Просто и надежно!

Способ четвертый. Формулы Виета.

Мы можем разложить квадратное уравнение на множители (как в прошлом способе). Получим такую картину:

Раскроем скобки:

Получили соответствие коэффициентам исходного уравнения:

Или, в привычном виде:

Удобнее всего пользоваться этими формулами, когда a = 1.

Приведем пример:

Здесь все еще можно воспользоваться дискриминантом, но вычисления будут некрасивые. Поэтому запишем формулы Виета:

Осталось подобрать корни. Для этого разложим 98 на множители:

Если первый способ разложения ничего не дает [ 2 + 49 = 51 ≠ 21]. То второй вариант дает нам корни:

Нахождение корней уравнения по формулам Виета — это простой и быстрый способ, всем рекомендую!

Способ пятый. Метод переброски.

Данный способ — эффективная модификация предыдущего способа для случая, когда a ≠ 1. Возьмем квадратное уравнение в общем виде:

И умножим все на a:

Введем замену:

Получим новое квадратное уравнение:

Таким образом мы как бы перебросили a к c. Теперь корни легко найдутся по формулам Виета. А для того, чтобы найти корни исходного уравнения, поделим найденные корни на a:

Приведем пример:

Произведем переброску:

О, а эти корни мы уже знаем:

Найдем иксы:

На мой взгляд, неплохо. Для участников олимпиад — обязательно к изучению.

Способ шестой. По свойствам коэффициентов.

Здесь все просто. Нужно запомнить, если:

То корни будут:

При этом второй корень мы нашли по формулам Виета.

И второе важное свойство, если:

То корни:

Список свойств не исчерпывающий, но другие свойства сильно сложнее, поэтому не будем их приводить.

В этот раздел также можно отнести старый добрый подбор корней.

Пример:

Здесь уже никакими дискриминантам и перебросками не поможешь. Но если заметить, что:

То сразу запишем:

Способ седьмой. Графический.

Есть два возможных варианта решения и оба имеют не очень хорошую точность. Во-первых, можно представить квадратное уравнение в виде:

И изобразить на координатной плоскости два графика: параболу и прямую.

Приведем пример:

Изобразим графики:

Получаем корни:

Конечно, график построенный автоматически позволяет достаточно точно углядеть корни. Но если у вас под рукой компьютер, то легче будет воспользоваться калькулятором и посчитать их. А вот изобразив график на бумаге определить корни будет сложно.

Разберем еще один графический вариант решения. На этот раз с помощью окружности.

Возьмем на оси абсцисс точки B ( x₁ ; 0 ) и C ( x₂ ; 0 ).

Посередине, между этими точками, будет находиться точка F, с координатами:

По формулам Виета:

На оси ординат возьмем точки A ( 0 ; 1 ) и D ( 0 ; c / a ). Посередине между ними будет находиться точка:

Точка S будет центром окружности:

Пусть O начало координат. Тогда OB · OC=OA · OD :

Таким образом для x₁ и x₂ выполняются формулы Виета.

Приведем пример:

Центр окружности будет иметь координаты:

Проведем окружность через точку A ( 0 ; 1 ) :

Получаем точки B ( 2 ; 0 ) и C ( 3 ; 0 ). А значит:

Как видите — способ рабочий, но опять же требует точности, которую на бумаге получить достаточно трудно.

Существует еще способ решения с помощью номограммы. Про него говорят “незаслуженно забытый”. Но на мой взгляд он забыт абсолютно заслуженно, так как преимуществ у него особых нет, а понять его сложнее, чем решение через дискриминант.

На практике я чаще всего использую формулы Виета и дискриминант. А какими способами пользуетесь Вы?

Спасибо за внимание и удачи!

Если вам понравилась статья, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!

Что такое квадратные уравнения?

А теперь подробно с примерами обсудим квадратные уравнения.

Любые уравнения, сводящиеся к виду (ax^2+bx+c=0), называются квадратными. Где буквы ( b,; с) – любые числа, (aneq0). Почему (aneq0) мы обсудим ниже.

Обратите внимание на порядок слагаемых в квадратном уравнении:
(a) – всегда стоит первая и обязательно умножается на (x^2), она называется старшим коэффициентом (или первым);
(b) – принадлежит второму слагаемому и всегда умножается просто на переменную (x), это у нас второй коэффициент;
(c) – называют свободным членом, она не умножается ни на какую переменную.

В дальнейшем старайтесь приводить квадратное уравнение к виду (ax^2+bx+c=0), чтобы слагаемые стояли именно в таком порядке. Это очень важно при решении уравнений, и поможет избежать множества ошибок.

Потренируемся определять значения коэффициентов ( a, ; b,; с), чтобы запомнить порядок:

Пример 1
$$2x^2+3x+4=0;$$
$$a=2 quad b=3 quad c=4.$$

Пример 2
$$5x^2-3x-0,7=0;$$
$$a=5 quad b=-3 quad c=-0,7.$$

Пример 3
$$-x^2+2x+10=0;$$
Минус перед (x^2) можно представить в виде (-x^2=-1*x^2). Единицу обычно не пишут, поэтому минус перед первым слагаемым означает, что (a=-1):
$$a=-1 quad b=2 quad c=10.$$

Пример 4
$$3+x^2-5x=0;$$
Слагаемые стоят в неправильном порядке. Так коэффициенты находить неудобно, поэтому переставим все слагаемые в нужном порядке. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:
$$x^2-5x+3=0;$$
$$a=1 quad b=-5 quad c=3.$$

Пример 5
$$2x^2-3x=0;$$
В уравнении нет свободного члена (c), поэтому он будет равен (0):
$$a=2 quad b=-3 quad c=0.$$

Пример 6
$$-4x^2+1=0;$$
А здесь уже нет второго коэффициента (b):
$$a=-4 quad b=0 quad c=1.$$

Уравнения, приведенные в примерах №5 и 6, называются неполными квадратными уравнениями, так как в них коэффициенты (b) или (c) равны нулю.

А вот если в уравнении коэффициенты ( a, ; b,; с) не равны 0, то такое уравнение называется полным.

От того, полное ли квадратное уравнение или неполное, зависит, как мы будем его решать. Начнем с неполных уравнений, они немного легче, но почему-то как раз в них все часто ошибаются.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором один из коэффициентов (b) или (c) равен нулю, (aneq0).

Как решать квадратное уравнение (ax^2+bx=0)?

Рассмотрим уравнение, в котором (c=0), оно будет иметь вид:
$$ax^2+bx=0;$$
Чтобы его решить, нужно вынести общий множитель (x) за скобки:
$$x(ax+b)=0;$$
И вспомнить правило, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Здесь два множителя: (x) и ((ax+b)). Приравниваем их к нулю и решаем каждое по-отдельности:
$$x=0;$$
Тут решать-то нечего, сразу дан корень.
Второе:
$$ax+b=0;$$
Обычное линейное уравнение:
$$ax=-b;$$
$$x=frac{-b}{a};$$

Получили, что уравнение имеет сразу два корня:(x=0) и (x=frac{-b}{a}).

Разберем на примере:

Пример 7
$$2x^2+8x=0;$$
Выносим общий множитель (x):
$$x(2x+8)=0;$$
$$quad x_1=0 quad и quad 2x+8=0;$$
$$2x+8=0;$$
$$2x=-8;$$
$$x_2=-4.$$
Ответ: (x_1=0 quad и quad x_2=-4.)

Как решать квадратное уравнение (ax^2+с=0)?

Вот с такими уравнениями надо быть очень внимательными. Важно помнить, что любое число (выражение), возведенное в квадрат, всегда больше или равно нуля, оно не может быть отрицательным.

Общая схема решения уравнений вида (ax^2+с=0):

• Выражаем (x^2) из уравнения:
  $$ax^2+c=0;$$
  $$ax^2=-c;$$
  $$x^2=frac{-c}{a};$$
• Если (-frac{c}{a} geq 0):
  $$x_1=sqrt{-frac{c}{a}};$$
  $$x_2=-sqrt{-frac{c}{a}};$$
• Если (-frac{c}{a} lt 0):
  РЕШЕНИЙ НЕТ.

Пример 8
$$2x^2-8=0;$$
$$2x^2=8;$$
$$x^2=frac{8}{2};$$
$$x^2=4;$$
$$x=pmsqrt{4};$$
$$x_1=2;$$
$$x_2=-2;$$
Ответ: (x_1=2 quad и quad x_2=-2.)

Пример 9
$$4x^2+36=0;$$
$$2x^2=-36;$$
$$x^2=frac{-36}{2}=-18;$$
Так как (-18 < 0), а (x^2) не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 10
$$frac{1}{2}x^2-frac{1}{18}=0;$$
$$frac{1}{2}x^2=frac{1}{18};$$
Чтобы избавиться от (frac{1}{2}), умножим уравнение слева и справа на (2):
$$x^2=frac{2}{18};$$
$$x^2=frac{1}{9};$$
$$x=pmsqrt{frac{1}{9}};$$
$$x_1=frac{1}{3};$$
$$x_2=-frac{1}{3};$$
Ответ: (x_1=frac{1}{3} quad и quad x_2=-frac{1}{3}.)

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Квадратные уравнения (ax^2+bx+c=0), у которых все коэффициенты ( a, ; b,; с) не равны 0, называются полными квадратными уравнениями.

Чтобы их решать, нужно уметь находить дискриминант квадратного уравнения. Ничего страшного в этом нет, несмотря на странное называние. Дискриминантом уравнения (ax^2+bx+c=0) называют выражение:
$$D=b^2-4ac;$$

1. Если дискриминант получился больше нуля ((D ge 0)), то квадратное уравнение имеет два корня, которые можно найти по формулам:
   $$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a};$$
   $$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a};$$
2. Если дискриминант равен нулю ((D=0)), то квадратное уравнение имеет один корень:
   $$x=frac{-b}{2a};$$
3. Если дискриминант меньше нуля ((D<0)), то квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры квадратных уравнений

Пример 11
$$2x^2-9x+4=0;$$
Прежде чем решать уравнение, я рекомендую выписать все коэффициенты:
$$a=2 quad b=-9 quad c=4.$$
Используя значения коэффициентов, можем посчитать дискриминант:
$$D=b^2-4ac=(-9)^2-4*2*4=81-32=49;$$
Ура, дискриминант посчитан и он больше нуля! Значит корней будет два, найдем их по формулам:
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-9)+sqrt{49}}{2*2}=frac{9+7}{4}=frac{16}{4}=4;$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-9)—sqrt{49}}{2*2}=frac{9-7}{4}=frac{2}{4}=frac{1}{2};$$
Ответ: (x_1=4 quad и quad x_2=frac{1}{2}.)

Пример 12
$$10x^2+x-21=0;$$
$$a=10 quad b=1 quad c=-21.$$
$$D=b^2-4ac=1^2-4*10*(-21)=1+840=841;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-1+sqrt{841}}{2*10}=frac{-1+29}{20}=frac{28}{20}=frac{7}{5};$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-1-sqrt{841}}{2*10}=frac{-1-29}{20}=frac{-30}{20}=frac{-3}{2};$$
Ответ: (x_1=frac{7}{5} quad и quad x_2=-frac{3}{2}.)

Пример 13
$$(x-7)^2=2x^2+11x+23;$$
Это уравнение еще нужно привести к стандартному виду, для этого раскроем скобки по формуле «квадрат разности» ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2):
$$x^2-14x+49=2x^2+11x+23;$$
Перекинем все слагаемые в левую часть, не забывая при этом менять знак на противоположный:
$$x^2-14x+49-2x^2-11x-23=0;$$
Приводим подобные слагаемые:
$$-x^2-25x+26=0;$$
$$a=-1 quad b=-25 quad c=26.$$
$$D=b^2-4ac=(-25)^2-4*(-1)*26=625+104=729;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-25)+sqrt{729}}{2*(-1)}=frac{25+27}{-2}=frac{52}{-2}=-26;$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-25)-sqrt{729}}{2*(-1)}=frac{25-27}{-2}=frac{-2}{-2}=1;$$
Ответ: (x_1=-26 quad и quad x_2=1.)

Пример 14
$$3x^2+7x+6=0;$$
$$a=3 quad b=7 quad c=6.$$
$$D=b^2-4ac=7^2-4*3*6=49-72=-23;$$
Стоп! Дискриминант получился отрицательный, это означает, что у этого квадратного уравнения не будет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 15
$$4x^2-4x+1=0;$$
$$a=4 quad b=-4 quad c=1.$$
$$D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*1=16-16=0;$$
Дискриминат получился равен нулю. В этом случае у квадратного уравнения будет всего один корень, который можно найти по формуле:
$$x=frac{-b}{2a}=frac{-(-4)}{2*4}=frac{4}{8}=frac{1}{2};$$
Ответ: (x=frac{1}{2}.)

Полезно знать! Если дискриминант получился равен нулю, то перед вами формула полного квадрата. Это значит, что квадратный многочлен можно разложить по формуле ((apm b)^2=a^2pm 2ab+b^2).
И пример №15 можно решить, используя эту формулу:
$$4x^2-4x+1=0;$$
$$(2x-1)^2=0;$$
Квадрат равен нулю только в том случае, если выражение под квадратом равно нулю:
$$2x-1=0;$$
$$2x=1;$$
$$x=frac{1}{2};$$
Ответ получили точно такой же, как и при решении через дискриминант.

Дискриминант деленный на 4

Квадратные уравнения иногда удобно решать по упрощенной формуле дискриминанта. Но применять ее можно не во всех случаях, а только, если коэффициент (b) в уравнении (ax^2+bx+c=0) четный (делится на 2).

Итак, представим, что коэффициент (b) четный, тогда дискриминант можно посчитать по формуле:
$$D_4=left(frac{b}{2}right)^2-ac;$$
А корни уравнения находятся по формулам:
$$x_1=frac{-frac{b}{2}+sqrt{D_4}}{a};$$
$$x_2=frac{-frac{b}{2}-sqrt{D_4}}{a};$$
Кстати, обычный дискриминант (D) отличается от (D_4) в 4 раза:
$$D_4=frac{D}{4}=frac{b^2-4ac}{4}=frac{b^2}{4}-frac{4ac}{4}=left(frac{b}{2}right)^2-ac;$$
Поэтому (D_4) называют «дискриминантом деленным на 4».

Эти формулы нужны, чтобы, когда это возможно, сократить вычисления. Разберем на примере:

Пример 16
$$7x^2-20x-1067=0;$$
$$a=7 quad b=-20 quad c=-1067.$$
(b=-20) – четный, поэтому воспользуемся дискриминантом деленным на 4:
$$D_4=left(frac{b}{2}right)^2-ac=left(frac{-20}{2}right)^2-7*(-1067)=(-10)^2+7469=100+7469=7569;$$
$$x_1=frac{-frac{b}{2}+sqrt{D_4}}{a}=frac{-frac{-20}{2}+sqrt{7569}}{7}=frac{10+87}{7}=frac{97}{7};$$
$$x_2=frac{-frac{b}{2}-sqrt{D_4}}{a}=frac{-frac{-20}{2}-sqrt{7569}}{7}=frac{10-87}{7}=frac{-77}{7}=-11;$$
Ответ: (x_1=frac{97}{7} quad и quad x_2=-11.)

Возникает вопрос, зачем вообще нужен этот (D_4), если все можно считать через обычный дискриминант? Если бы мы считали пример №16 как обычно, то наш дискриминант, который и так получился не маленьким – ((D_4=7659)), был бы в четыре раза больше. А чем больше числа, тем сложнее расчеты.

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета – это еще один способ упростить решение полных квадратных уравнений. Ее очень часто используют для решения несложных квадратных уравнений в уме и для анализа квадратного многочлена, особенно это актуально в сложных заданиях с параметром в ЕГЭ.

Прежде чем сформулировать теорему Виета, познакомимся с приведенными квадратными уравнениями.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратные уравнения (ax^2+bx+c=0), у которых коэффициент (a) при (x^2) равен (1), называют приведенными.

Например:
$$x^2+4x-3=0;$$
$$x^2-140x-65=0;$$
Любое полное квадратное уравнение всегда можно свести к приведенному. Для этого надо поделить все уравнение на коэффициент (a):

Пример 17
Привести квадратное уравнение к приведенному.
$$3x^2-15x+9=0;$$
Разделим уравнение на (a=3). (Так можно делать: если левую и правую части уравнения поделить на одно и то же число, то корни уравнения от этого не изменятся.)
$$frac{3x^2-15x+9}{3}=frac{0}{3};$$
В результате каждое слагаемое поделится на (3):
$$frac{3x^2}{3}-frac{15x}{3}+frac{9}{3}=0;$$
$$x^2-5x+3=0;$$

Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (x^2+bx+c=0) равна второму коэффициенту (b) со знаком минус, а произведение корней равно свободному члену (c).

Пусть (x_1), и (x_2) – корни квадратного уравнения (x^2+bx+c=0), тогда справедливы формулы:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-b; \
x_1*x_2=c. \
end{cases}$$
На первый взгляд может показаться, что это очень запутанно, но на самом деле, теорема Виета часто помогает решить уравнение в уме. Попробуем на практике:

Пример 18
$$x^2+4x+3=0;$$
$$a=1 quad b=4 quad c=3.$$
Воспользуемся теоремой Виета и выпишем формулы:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-b; \
x_1*x_2=c. \
end{cases}$$
Подставим коэффициенты:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-4; \
x_1*x_2=3. \
end{cases}$$

Нужно найти такие (x_1) и (x_2), которые удовлетворяют и первому, и второму уравнениям в системе. Подобрать корни достаточно просто: рассмотрим второе уравнение, какие два числа дают при умножении (3ку)?

Либо: (3=1*3);
Либо: (3=(-1)*(-3)).

Осталось проверить, будут ли найденные множители удовлетворять первому уравнению в системе, просто подставим их:
$$1+3 neq -4;$$
$$-1+(-3) = -4;$$
Вот мы и нашли корни системы уравнений: (x_1=-1) и (x_2=-3). А самое главное, мы нашли корни исходного квадратного уравнения.
Ответ: (x_1=-1 quad и quad x_2=-3.)

Если потренироваться, то все эти вычисления можно легко проводить в уме, если коэффициенты небольшие. Главное запомнить, что произведение корней должно быть равно свободному члену (c), а сумма корней равна ((-b)).

Теорема Виета, если (aneq1)

По теореме Виета можно решать не только приведенные квадратные уравнения (у которых (a=1)). Но перед тем, как применять формулы Виета, надо привести уравнение к приведенному, поделив на первый коэффициент (a):
$$ax^2+bx+c=0; quad mid :a$$
$$frac{ax^2}{a}+frac{bx}{a}+frac{c}{a};$$
$$x^2+frac{b}{a}*x+frac{c}{a};$$
Получили приведенное квадратное уравнение, для которого можно записать формулы Виета, где вторым коэффициентом будет (frac{b}{a}), а свободным членом (frac{c}{a}):
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-frac{b}{a}; \
x_1*x_2=frac{c}{a}. \
end{cases}$$

Пример 19
$$12x^2+x-1=0;$$
$$a=12 quad b=1 quad c=-1.$$
Коэффициент (a=12 neq 1), поэтому разделим все уравнение на (a=12):
$$12x^2+x-1=0; quad mid :12$$
$$x^2+frac{1}{12}x-frac{1}{12}=0;$$
$$a=1 quad b=frac{1}{12} quad c=-frac{1}{12}.$$

Теорема Виета:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-frac{1}{12}; \
x_1*x_2=-frac{1}{12}. \
end{cases}$$

Подбираем корни:
$$x_1=-frac{1}{3};$$
$$x_2=frac{1}{4};$$

Ответ: (x_1=-frac{1}{3} quad и quad x_2=frac{1}{4}.)

Теорема Виета удобна, когда у квадратного уравнения небольшие коэффициенты и можно легко подобрать корни. В остальных случаях лучше пользоваться дискриминантом.