Как найти один радиан - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 21 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Радиан
рад
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Величина	величина угла
Система	СИ
Тип	основная
Медиафайлы на Викискладе

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу^[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС^[2].

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану^[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла^[4]^[5].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)[править | править код]

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом^[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная^[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad^[8].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду^[9].

Кратные и дольные единицы[править | править код]

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется
набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные	Дольные
величина	название	обозначение	величина	название	обозначение
10¹ рад	декарадиан	дарад	darad	10⁻¹ рад	децирадиан	драд	drad
10² рад	гекторадиан	град	hrad	10⁻² рад	сантирадиан	срад	crad
10³ рад	килорадиан	крад	krad	10⁻³ рад	миллирадиан	мрад	mrad
10⁶ рад	мегарадиан	Мрад	Mrad	10⁻⁶ рад	микрорадиан	мкрад	µrad
10⁹ рад	гигарадиан	Град	Grad	10⁻⁹ рад	нанорадиан	нрад	nrad
10¹² рад	терарадиан	Трад	Trad	10⁻¹² рад	пикорадиан	прад	prad
10¹⁵ рад	петарадиан	Прад	Prad	10⁻¹⁵ рад	фемторадиан	фрад	frad
10¹⁸ рад	эксарадиан	Эрад	Erad	10⁻¹⁸ рад	атторадиан	арад	arad
10²¹ рад	зеттарадиан	Зрад	Zrad	10⁻²¹ рад	зепторадиан	зрад	zrad
10²⁴ рад	иоттарадиан	Ирад	Yrad	10⁻²⁴ рад	иокторадиан	ирад	yrad
10²⁷ рад	роннарадиан	Ррад	Rrad	10⁻²⁷ рад	ронторадиан	ррад	rrad
10³⁰ рад	кветтарадиан	Кврад	Qrad	10⁻³⁰ рад	квекторадиан	кврад	qrad
рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами[править | править код]

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен $180^{circ },$ или ${frac {pi cdot r}{r}}=pi$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или ${displaystyle rho ^{circ }}$ ) = ${displaystyle {frac {360^{circ }}{2pi }}approx 57{,}295779513^{circ }approx 57^{circ }17'44{,}806''}$ (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: “Число радиана и порядок шутя пишу наизусть”, где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

rho' (или 1 рад в минутах) = ${displaystyle {frac {360^{circ }cdot 60'}{2pi }}approx 3437{,}747'}$

(или 1 рад в секундах) = ${displaystyle {frac {360^{circ }cdot 60'cdot 60''}{2pi }}approx 206264{,}8''.}$

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
${displaystyle rho _{prime prime }}$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${frac {400cdot 100cdot 100}{2pi }}=636620.$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа () делаем именованное ( ${displaystyle rho ^{circ },rho ',rho ''}$ ) и поэтому должны множить на ${displaystyle rho ^{circ }~(}$ или ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на ${displaystyle rho ^{circ }~(}$ или либо же умножать на перевёрнутую
дробь ${displaystyle {frac {1}{rho ^{circ }}}~({frac {1}{rho '}},{frac {1}{rho ''}}).}$

Пример 1. Перевести в радианы

${displaystyle {boldsymbol {alpha }}[mathrm {rad} ]eqcirc 5^{circ }={frac {5^{circ }}{displaystyle {rho ^{circ }}}}~mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}$ ^[10]

${displaystyle 43'={frac {43'}{rho '}}~mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}$ ^[10]

${displaystyle 46''={frac {46''}{rho ''}}~mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}$ ^[10]

${displaystyle sum approx 0{,}0999_{9}~mathrm {rad} }$ ^[10]

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на ${displaystyle rho ^{circ }:}$ (как правило, этот способ более точен)

$46'' = frac{46''}{60''} = 0{,}boldsymbol{77}'$

$43{,}boldsymbol{77}' = frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}boldsymbol{7295}^circ$

$sum =5{,}{boldsymbol {7295}}^{circ }$

${displaystyle 5{,}7295^{circ }={frac {5{,}7295^{circ }}{rho ^{circ }}}~mathrm {rad} ={frac {5{,}7295^{circ }}{displaystyle {57{,}295^{circ }}}}=0{,}1~mathrm {rad} }$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

$a[^{circ }]eqcirc 1cdot {frac {360^{circ }}{2pi }}=1cdot 57{,}29578^{circ }=57{,}{boldsymbol {29578}}^{circ }$

$0{,}{boldsymbol {29578}}^{circ }cdot 60'=17{,}{boldsymbol {7468}}'$

Итого $approx 57^{circ }17'45''.$

Таблица градусов, радиан и град[править | править код]

Таблица углов^[11]

Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
	$0^{circ }$		${displaystyle 0^{mathrm {g} }}$
${displaystyle {frac {1}{24}}}$	${displaystyle 15^{circ }}$	${displaystyle {frac {pi }{12}}}$	${displaystyle 33{frac {1}{3}}^{mathrm {g} }}$	${displaystyle {frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}-1)}$	${displaystyle {frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}+1)}$
${displaystyle {frac {1}{12}}}$	$30^{circ }$	${displaystyle {frac {pi }{6}}}$	${displaystyle 16{frac {2}{3}}^{mathrm {g} }}$	${frac {1}{2}}$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{3}}{3}$
${frac {1}{8}}$	$45^{circ }$	${frac {pi }{4}}$	${displaystyle 50^{mathrm {g} }}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$
${displaystyle {frac {1}{6}}}$	$60^{circ }$	${displaystyle {frac {pi }{3}}}$	${displaystyle 66{frac {2}{3}}^{mathrm {g} }}$	$frac{sqrt{3}}{2}$	${frac {1}{2}}$
${displaystyle {frac {5}{24}}}$	${displaystyle 75^{circ }}$	${displaystyle {frac {5pi }{12}}}$	${displaystyle 88{frac {1}{3}}^{mathrm {g} }}$	${displaystyle {frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}+1)}$	${displaystyle {frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}-1)}$
${frac {1}{4}}$	$90^{circ }$	${frac {pi }{2}}$	${displaystyle 100^{mathrm {g} }}$			не определён
${displaystyle {frac {7}{24}}}$	${displaystyle 105^{circ }}$	${displaystyle {frac {7pi }{12}}}$	${displaystyle 116{frac {2}{3}}^{mathrm {g} }}$	${displaystyle {frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}+1)}$	${displaystyle -{frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}-1)}$
${frac {1}{3}}$	$120^{circ }$	${displaystyle {frac {2pi }{3}}}$	${displaystyle 133{frac {1}{3}}^{mathrm {g} }}$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{1}{2}$
${displaystyle {frac {3}{8}}}$	$135^{circ }$	${displaystyle {frac {3pi }{4}}}$	${displaystyle 150^{mathrm {g} }}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$-frac{sqrt{2}}{2}$
${displaystyle {frac {5}{12}}}$	$150^{circ }$	${displaystyle {frac {5pi }{6}}}$	${displaystyle 166{frac {2}{3}}^{mathrm {g} }}$	${frac {1}{2}}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{3}$
${displaystyle {frac {11}{24}}}$	${displaystyle 165^{circ }}$	${displaystyle {frac {11pi }{12}}}$	${displaystyle 183{frac {1}{3}}^{mathrm {g} }}$	${displaystyle {frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}-1)}$	${displaystyle -{frac {sqrt {2}}{4}}({sqrt {3}}+1)}$
${frac {1}{2}}$	$180^{circ }$		${displaystyle 200^{mathrm {g} }}$
${displaystyle {frac {7}{12}}}$	${displaystyle 210^{circ }}$	${displaystyle {frac {7pi }{6}}}$	${displaystyle 233{frac {1}{3}}^{mathrm {g} }}$	$-frac{1}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{3}}{3}$
${displaystyle {dfrac {5}{8}}}$	${displaystyle 225^{circ }}$	${displaystyle {dfrac {5pi }{4}}}$	${displaystyle 250^{mathrm {g} }}$	${displaystyle -{dfrac {sqrt {2}}{2}}}$	${displaystyle -{dfrac {sqrt {2}}{2}}}$
${frac {2}{3}}$	${displaystyle 240^{circ }}$	${displaystyle {frac {4pi }{3}}}$	${displaystyle 266{frac {2}{3}}^{mathrm {g} }}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{1}{2}$
${frac {3}{4}}$	${displaystyle 270^{circ }}$	${displaystyle {frac {3pi }{2}}}$	${displaystyle 300^{mathrm {g} }}$			не определён
${frac {5}{6}}$	${displaystyle 300^{circ }}$	${displaystyle {frac {5pi }{3}}}$	${displaystyle 333{frac {1}{3}}^{mathrm {g} }}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	${frac {1}{2}}$
${frac {7}{8}}$	${displaystyle 315^{circ }}$	${displaystyle {frac {7pi }{4}}}$	${displaystyle 350^{mathrm {g} }}$	$-frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$
${displaystyle {frac {11}{12}}}$	${displaystyle 330^{circ }}$	${displaystyle {frac {11pi }{6}}}$	${displaystyle 366{frac {2}{3}}^{mathrm {g} }}$	$-frac{1}{2}$	$frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{3}$
	${displaystyle 360^{circ }}$		${displaystyle 400^{mathrm {g} }}$

Радианная мера в математическом анализе[править | править код]

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее ${displaystyle 0{,}1~mathrm {rad} ~(5^{circ }43'{,}77)}$ , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше ${displaystyle 0{,}01~mathrm {rad} ~(0^{circ }34'{,}38)}$ , — то до шестого знака после запятой^[12]:

sinalpha approx operatorname{tg},alpha approx alpha.

История[править | править код]

Первое использование радиана вместо углового градуса для деления окружности на части с помощью ее собственного радиуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной^[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы^[14].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»^[15]^[16]^[17].

См. также[править | править код]

Град, минута, секунда
Градус, минута, секунда
Оборот (единица измерения)
Парсек
Стерадиан
Тысячная (угол)

Примечания[править | править код]

↑ Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4.
↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
↑ Выгодский, 1965.
↑ Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.
↑ David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave’s Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.
↑ Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года.
↑ Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из оригинала 10 ноября 2012 года.
↑ Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
↑ Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.
↑
$sin 5^circ43'{,}77 = 0{,}0998 approx 0{,}100$

$operatorname{tg} 5^circ43'{,}77 = 0{,}1003 approx 0{,}100$ (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

$sin 0^circ34'{,}38 = 0{,}0099998 approx 0{,}010000$

$operatorname{tg} 0^circ34'{,}38 = 0{,}0100003 approx 0{,}010000$ (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы $5^circ43'{,}77 ~ ( approx 5^circ43'46'' )$ и $0^circ34'{,}38 ~ ( approx 0^circ34'23'' )$ ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
↑ O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.
↑ Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas’ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.
↑ Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4.
↑ Muir, Thos. The Term “Radian” in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — Bibcode: 1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term “Radian” in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — Bibcode: 1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term “Radian” in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — Bibcode: 1910Natur..83..459M.
↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года.

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.

Источник

Углы в математике (а также в тригонометрии и физике) высчитываются и измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать и определять связь между этими единицами измерения, и переводить их из одной в другую. Понимание и определение этой связи позволяет оперировать углами и перевести градусы в радианы, а также осуществить перевод из радиан в градусы с помощью специальной тригонометрической формулы – формулы перевода градусов в радианы. В данной статье мы разберемся, зачем все это нужно конвертировать (и что делать с конвертируемым), выведем формулу для перевода градусов в радианы и обратно – из радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики по конвертации.

Связь между градусами и радианами

Что такое радиан? Радиан вместе с градусом является выражением угловой меры: это величина, которая используется для измерения плоских углов. Поэтому, когда говорят о таблице градусов и радиан, то имеют в виду таблицу, в которой представлены соответствия угловых градусов радианам (что позволяет вам не находить и не считать самостоятельно на калькуляторе, к примеру).

Как перевести радианы в градусы — есть формула? Для нахождения связи между градусами и радианами, необходимо узнать, сколько будет градусная и ридианная (радиальная) мера какого-либо угла (и для этого нам не нужно пользоваться каким-либо переводчиком онлайн). Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла, необходимо рассчитать определенные данные: длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π·r. Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π·rr=π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180°. Следовательно, 180°=π рад.

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается следующей полной формулой

π радиан =180°

Формулы перевода из градусов в радианы и наоборот

Как перевести градусы в радианы не более, чем за минуту? Что делать с координатами в градусах, если нужны в радианах? Из содержания формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и обратно из градусов в радианы (взаимно преобразовывать и пересчитывать).

Как онлайн найти градусную меру угла и сделать пересчет? Выразим 1 радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 рад=180π° – град. мера угла в 1 радиан равна 180π.

Также можно выразить один градус в радианах. Чему равен 1 радиан и во что он будет переходить? Вот простой расчет.

1°=π180рад

Можно произвести приблизительные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

1 рад=180π°=1803,1416°=57,2956°

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1°=π180рад=3,1416180рад=0,0175 рад

Один градус содержит 0,0175 радиана.

По какой формуле перевести радианы в градусы?

Формула перевода радианов в градусы

x рад=х·180π°

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Рассмотрим пример, как перевести градусы в радианы по формуле.

Конечно, в интернете это все может считаться за секунду, но у самостоятельного подсчета другие преимущества.

Пример 1. Перевод косинуса угла из радианов в градусы

Пусть α=3,2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

3,2 рад=3,2·180π°≈3,2·1803,14°≈5763,14°≈183,4°

Аналогично можно получить формулу перевода в радианы из градусов.

Формула перевода из градусов в радианы

y°=y·π180рад

Пример 2. Перевод из градусов в радианы

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

47°≈47·3,14180≈0,82 рад

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Угол может измеряться следующими величинами:

Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
Радианами.

Градусная мера угла

Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.

Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.

Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.

Радианная мера угла

Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.

Длина окружности равна:

l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,

где rr — радиус этой окружности.

Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:

lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}

В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.

Отсюда находим связь между радианами и градусами:

2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}

Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.

Один радиан равен:

1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}

Один радиан в минутах:

1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′

Один радиан в секундах:

1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280”

Перевод градусов в радианы

Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.

Перевод градусов в радианы

y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x

xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.

Пример 1

Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.

Решение

45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}

Ответ

0.8 радиан0.8text{ радиан}

Задача

Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?

Решение

Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:

180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ

Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:

60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}

Решение

1 радиан1text{ радиан}

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.

Перевод радиан в градусы

y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x

xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.

Пример 2

Переведите 3 радиана в градусную меру угла.

Решение

3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ

Ответ

172∘172^circ

Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!

Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»

Источник

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Это видео – об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 граммов. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и в круге 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет!

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Так делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12. На видео я показываю, как это сделать.

Но чем же число 12 лучше 10? Возможно, оно понравилось древним людям тем, что у числа 12 больше делителей, чем у 10. Число 10 делится на 1, на 2, на 5 и на 10, а число 12 делится на 1, на 2, 3, 4, 6 и 12.
У числа 360 делителей целых 24 делителя. Если в круге 360 градусов, такой круг легко поделить на части разными способами.
Но это не все. Числа 12, 20, 360 имели особое значение для астрономов древности: египтян и шумеров.
Разберемся, почему это так.

Наблюдая за движением Солнца по небу, древние ученые заметили, что в день равноденствия Солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе. При этом оно проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр Солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца равен примерно 32 угловых минутам, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью. Вот оно, число 360!

Конечно, древние астрономы наблюдали не только за движением Солнца. Они заметили, что яркая планета Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Точнее, не 12, а 11,86 лет, но уж очень им хотелось округлить до своего любимого числа.

Да что там Юпитер! Посмотрим на Луну. Юпитер на небе еще и не каждый найдет (а вы сможете?) – зато Луну, особенно полную, трудно не заметить! Месяц – промежуток от полнолуния до полнолуния – равен примерно 29,5 суток. Почти 30, верно? А если у нас в году 12 месяцев, мы получим 360 дней.
На самом деле в году 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток), и это близко к числу 360.

Древние астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней, 12 месяцев по 30 дней. Но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. А нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса. ()

А что же угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам.

Как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу: L=2pi r .

У нас появляется число Пи. Это число известно людям с глубокой древности. С доисторических времен люди рисовали круги. Они видели на небе круглое солнце и круглую полную луну и хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делали круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926… Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2pi r .

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности, равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности, равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2pi r . Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2pi раз. 360 градусов соответствует 2pi радианам. 180 градусов – радиан, 90 градусов – это $frac{pi}{2}$ радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Подписывайтесь на мой канал! Анна Малкова

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Что такое радиан

Радиан — это мера угла, альтернативная более привычной градусной.

Определение 1

Один радиан — это угол, который стягивает дуга, длина которой равна радиусу окружности, причём сам угол берёт начало в центре рассматриваемой окружности. Кратко единица измерения «радиан» обозначается сокращением «рад».

Так как радиан является отношением длины к длине, то он является величиной безразмерной. Однако для удобства и избегания путаницы обозначения радианной меры с какой-либо ещё, радианную меру угла принято подписывать «рад».

Формулы и правила

Для того чтобы узнать количество радиан, которые содержит в себе угол, нужно длину дуги разделить на радиус окружности. Размер полного угла из определения радиана равен $2π$ рад.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Через радианную меру можно выразить длину дуги, которая стягивает угол, она будет равна $α cdot R$, где $R$ — радиус окружности, а $α$ – мера угла, выраженная в радианах.

Теперь немного отвлечёмся и узнаем, что такое число $π$.

Определение 2

Число $π$ — это отношение длины окружности к её диаметру. Вне зависимости от диаметра окружности, оно всегда одно и то же и приблизительно равно $3,1415$.

Соответственно определению числа $π$, длина всей окружности равна $2π$, что соответствует величине полного углового оборота, то есть $360º$. Число $π$ используют в радианной мере.

Рисунок 1. Число пи в радианах равно 3,1415. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Градусы в радианы: формула» 👇

А сейчас рассмотрим, как осуществить перевод из рад в градусы. Для этого нужно помнить, что число «Пи» равно $180º$ и при необходимости перевода радиан в градусы подставлять вместо $π$ это значение.

Пример 1

Найдите, сколько градусов в 1 радиане.

Решение

В половине окружности, равной 180 градусам, содержится приблизительно 3,1415 радиан, соответственно, для того чтоб найти, сколько градусов в одном радиане, нужно 180 разделить на число «Пи», получим:
$1 рад = frac{180}{ π} ≈ 57,29º$

В случае же если нужно осуществить перевод углов в градусах в радианы, необходимо значение в радианах для одного градуса умножать на градусное значение угла.

Пример 2

Чему равен 1 градус в радианах?

Решение

Число π соответствует $180º$, то есть: $π= 180º$, а один градус в 180 раз меньше, чем 180 градусов. Поэтому необходимо всё выражение разделить на $180$, получаем: $1º= frac{π}{180}left(1right)$. Теперь вы знаете, сколько радиан в 1 градусе.

Для того чтобы перевести любой угол в радианы, достаточно число, полученное для угла в один градус с использованием формулы $(1)$ умножить на значение угла в градусах, например:

$45º=frac{π cdot 45}{180} = frac{ π}{4}$

В общем виде эта формула для перевода угла, заданного в градусах в радианы будет выглядеть так:

$y рад = frac{π cdot x}{180}$, где $x$ — градусная мера угла, а $y$ — мера угла в радианах.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Радиан в Международной системе единиц (СИ)[править | править код]

Кратные и дольные единицы[править | править код]

Связь радиана с другими единицами[править | править код]

Таблица градусов, радиан и град[править | править код]

Радианная мера в математическом анализе[править | править код]

История[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Связь между градусами и радианами

Формулы перевода из градусов в радианы и наоборот

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Градусная мера угла

Радианная мера угла

Перевод градусов в радианы

Перевод радиан в градусы

Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»

Что такое радиан

Формулы и правила

Вам также может понравиться

Как составить свой плейлист в айфоне

Как найти человека за мылом

Как найти периметр рисунка по клеточкам

Добавить комментарий Отменить ответ