Как найти одно неизвестное с тремя неизвестными

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d – данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; frac{1}{2} x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве.

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ {left{ begin{array}{c} 3x+2y-z = 8 \ x-y+z = -2 \ 2x-3y-5z = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 3(y-z-2)+2y-z = 8 \ x = y-z-2 \ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = y-z-2 \ 5y-4z = 14 \ -y-7z = 5 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ 5(-7z-5)-4z = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ -39z = 39 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2-(-1)-2 = 1 \ y = -7cdot(-1)-5 = 2 \ z = -1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 1 \ y = 2 \ z = -1 end{array} right.} $$

Ответ: (1;2;-1)

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Метод Крамера для системы уравнений с 2-мя переменными рассмотрен в §48 данного справочника.

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ {left{ begin{array}{c} a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 end{array} right.} $$

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix} $$

и вспомогательные определители:

$$ Delta_x = begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix}, Delta_y = begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \ a_2 & d_2 & c_2 \ a_3 & d_3 & c_3 end{vmatrix}, Delta_z = begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \ a_2 & b_2 & d_2 \ a_3 & b_3 & d_3 end{vmatrix} $$

Тогда решение системы:

$$ {left{ begin{array}{c} x = frac{Delta_x}{Delta} \ y = frac{Delta_y}{Delta} \ z = frac{Delta_z}{Delta} end{array} right.} $$

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ Delta = begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix} = a_1 = begin{vmatrix} b_2 & c_2 \ b_3 & c_3 end{vmatrix} – b_1 = begin{vmatrix} a_2 & c_2 \ a_3 & c_3 end{vmatrix} + c_1 = begin{vmatrix} a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 end{vmatrix} = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$ а) {left{ begin{array}{c} 3x+2y-z = 13 \ 2x-y+3z = -2 \ x+2y-z = 9 end{array} right.} $

$${left{ begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \ x+2y-(3x+2y-13) = 9 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \ 11x+5y = 37 \ -2x = -4 end{array} right.} Rightarrow $$

$$Rightarrow {left{ begin{array}{c} z = 3cdot2+2cdot3-13 = -1 \ y = frac{37-11cdot2}{5} = 3 \ x = 2 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2 \ y = 3 \ z = -1 end{array} right.} $$

Ответ: (2;3;-1)

$ б) {left{ begin{array}{c} x+y+3z = 6 \ 2x-5y-z = 5 \ x+2y-5z = -11 end{array} right.} $

$$ {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ -7y-7z = -7 |:(-7) \ y-8z = -17 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ y+z = 1 \ y-8z = -17 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ 9z = 18 \ y = 1-z end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 1-6+6 = 1 \ z = 2 \ y = 1-2 = -1 end{array} right.} Rightarrow$$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 1 \ y = -1 \ z = 2 end{array} right.} $$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$а) {left{ begin{array}{c}3x+2y-z = 13 \ 2x-y+3z = -2 \ x+2y-z = 9 end{array} right.} $

$$ Delta = begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3\ 1 & 2 & -1 end{vmatrix} = 3 = begin{vmatrix} -1 & 3 \ 2 & -1 \ end{vmatrix} – 2 = begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \ end{vmatrix} – 1 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$= 3(1-6)-2(-2-3)-(4+1) = -15+10-5 = -10$$

$$ Delta_x = begin{vmatrix} 13 & 2 & -1 \ -2 & -1 & 3 \ 9 & 2 & -1 \ end{vmatrix} = 13 = begin{vmatrix} -1 & 3 \ 2 & -1 \ end{vmatrix} – 2 = begin{vmatrix} -2 & 3 \ 9 & -1 \ end{vmatrix} – 1 = begin{vmatrix} -2 & -1 \ 9 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 13(1-6)-2(2-27)-(-4+9) = -65+50-5=-20 $$

$$ Delta_y = begin{vmatrix} 3 & 13 & -1 \ 2 & -2 & 3 \ 1 & 9 & -1 \ end{vmatrix} = 3 = begin{vmatrix} -2 & 3 \ 9 & -1 \ end{vmatrix} – 13 = begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \ end{vmatrix} – 1 = begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 9 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 3(2-27)-13(-2-3)-(18+2) = -75+65-20 = -30 $$

$$ Delta_z = begin{vmatrix} 3 & 2 & 13 \ 2 & -1 & -2 \ 1 & 2 & 9 \ end{vmatrix} = 3 = begin{vmatrix} -1 & -2 \ 2 & 9 \ end{vmatrix} – 2 = begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 9 \ end{vmatrix} + 13 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 3(-9+4)-2(18+2)+13(4+1) = -15-40+65 = 10 $$

$$ x = frac{Delta_x}{Delta} = frac{-20}{-10} = 2, y = {Delta_y}{Delta} = frac{-30}{-10} = 3, z = {Delta_z}{Delta} = frac{10}{-10} = -1$$

Ответ: (2;3;-1)

$б) {left{ begin{array}{c} x+y+3z = 6 \ 2x-5y-z = 5 \ x+2y-5z = -11 end{array} right.} $

$$ Delta = begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1\ 1 & 2 & -5 end{vmatrix} = 1 = begin{vmatrix} -5 & -1 \ 2 & -5 \ end{vmatrix} – 1 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & -5 \ end{vmatrix} + 3 = begin{vmatrix} 2 & -5 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$= (25+2)—(-10+1)+3(4+5) = 27+9+27 = 63$$

$$ Delta_x = begin{vmatrix} 6 & 1 & 3 \ 5 & -5 & -1 \ -11 & 2 & -5 \ end{vmatrix} = 6 = begin{vmatrix} -5 & -1 \ 2 & -5 \ end{vmatrix} – 1 = begin{vmatrix} 5 & -1 \ -11 & -5 \ end{vmatrix} + 3 = begin{vmatrix} 5 & -5 \ -11 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ Delta_y = begin{vmatrix} 1 & 16 & 3 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & -11 & -5 \ end{vmatrix} = 1 = begin{vmatrix} 5 & -1 \ -11 & -5 \ end{vmatrix} – 6 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & -5 \ end{vmatrix} + 3 = begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & -11 \ end{vmatrix} = $$

$$ = (-25-11)—6(-10+1)+3(-22-5) = -36+54-81 = -63 $$

$$ Delta_z = begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \ 2 & -5 & 5 \ 1 & 2 & -11 \ end{vmatrix} = 1 = begin{vmatrix} -5 & 5 \ 2 & -11 \ end{vmatrix} – 1 = begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & -11 \ end{vmatrix} + 6 = begin{vmatrix} 2 & -5 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = (55-10)—(-22-5)+6(4+5) = 45+27+54 = 126 $$

$$ x = frac{Delta_x}{Delta} = frac{63}{63} = 1, y = {Delta_y}{Delta} = frac{-63}{63} = -1, z = {Delta_z}{Delta} = frac{126}{63} = 2$$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ {left{ begin{array}{c} a^3+a^2 x+ay+z = 0 \ b^3+b^2 x+by+z = 0 \ c^3+c^2 x+cy+z = 0 end{array} right.} $$

$$ a neq b, b neq c, a neq c $$

Решаем методом замены:

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay)\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}z = -(a^3+a^2 x+ay)\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 end{array} right.} $$

Т.к. $ a neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) neq 0$

Т.к.$ a neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay) \ -(a-b)(a+b)x-(a-b)y = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) \ -(a-c)(a+c)x-(a-c)y = (a-c)(a^2+ac+c^2 ) end{array} right.} $$

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay) \ -(a+b)x-y = a^2+ab+b^2 \ (a+c)x+y = -(a^2+ac+c^2 ) end{array} right.} $$

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay) \ -(a+b)x+(a+c)x = (a^2+ab+b^2 ) – (a^2+ac+c^2 ) \ y = -(a+c)x-(a^2+ac+c^2 ) end{array} right.} $$

Из второго уравнения получаем:

$$x = frac{ab+b^2-ac-c^2}{c-b} = -frac{a(b-c)+(b^2-c^2 )}{b-c} = – frac{(b-c)(a+b+c)}{b-c} $$

Т.к. $b neq c$ можно сократить на $(b-c) neq 0$:

$$ x = -(a+b+c)$$

Подставляем:

$$ y = -(a+c)x-(a^2+ac+c^2 ) = (a+c)(a+b+c)-(a^2+ac+c^2 ) = $$

$$ = a^2+ab+ac+ac+bc+c^2-a^2-ac-c^2 = ab+ac+bc $$

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Ответ:$ {left{ begin{array}{c} x = -(a+b+c) \ y = ab+ac+bc \ z = -abc end{array} right.} $

Макеты страниц

Математика

62. Одно уравнение с тремя неизвестными . Пусть имеем уравнение

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

Тогда получим уравнение:

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Алгебраические системы с тремя неизвестными

Для систем с тремя неизвестными определения понятий равносильности и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются аналогично тому, как это было сделано для систем с двумя неизвестными.

Будем рассматривать системы вида

где , , являются либо многочленами от , , , либо могут быть представлены в виде отношения многочленов.

Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при решении систем.

1° Если , где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть объединение множеств решений систем (2) и (3).

2°. Если уравнение

есть следствие системы (1), то система

равносильна системе (1), т. е. при добавлении к системе (1) еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы, получается система, равносильная системе (1).

3°. Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

4°. Система (1) равносильна каждой из следующих систем:

5°. Если уравнение равносильно уравнению где — многочлен от и , то система (1) равносильна системе

Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных: система (1) сводится к системе (5), (6) с двумя неизвестными.

Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем с тремя неизвестными, отметим, что нет общих рецептов для нахождения решений систем. Каждый раз нужно учитывать конкретные особенности рассматриваемой системы. Можно дать только общий совет: решайте побольше задач.

Рассмотрим сначала системы с тремя неизвестными, которые сводятся к кубическим уравнениям.

К таким системам относятся системы симметрических алгебраических уравнений, т.е. системы вида (1), где , , — многочлены, каждый из которых не меняется, если поменять местами любую пару из переменных , , .

В этом случае удобно ввести следующие переменные:

Простейший пример системы рассматриваемого вида — система

Система (7) и кубическое уравнение

связаны следующим образом.

Если , , — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: получаемых всевозможными перестановками трех чисел , , . Обратно, если решение системы (7), то , , — корни уравнения (8).

Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):

Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида

можно использовать следующие тождества:

Примеры с решениями

Пример №186.

Решить систему уравнений

Решение:

Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем

Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)-(15), находим

Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой , а уравнение (8) имеет вид

Корни этого уравнения — числа Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел

Ответ.

Обратимся теперь к системам с тремя неизвестными, которые не являются симметрическими.

Пример №187.

Решить систему уравнений

Решение:

Так как правые части уравнений отличны от нуля, то Полагая получаем систему линейных уравнений

Сложив уравнения системы (16), находим

Из (16) и (17) получаем т. е.

Перемножив почленно уравнения системы (18), которая равносильна исходной, имеем откуда

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения и соответственно.

Ответ.

Пример №188.

Решить систему уравнений

Решение:

Будем решать систему методом исключения неизвестных и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем

Так как на основании равенства (24), то из этого равенства следует, что

Запишем далее уравнение (22) в виде

Исключив из уравнений (24) и (26), получаем откуда

Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна системе (21)— (23). Подставляя выражения для и из формул (27) и (25) в уравнение (21), получаем

или откуда Соответствующие значения и найдем по формулам (27) и (25).

Ответ.

Пример №189.

Решить систему уравнений

Решение:

Перемножив уравнения системы (28), получаем

Уравнение (29) является следствием системы (28), которая равносильна системе

Уравнения (30), (31), (32) имеют решения соответственно. С учетом равенства (29) находим четыре решения системы (28).

Ответ.

Пример №190.

Найти решения системы уравнений

Решение:

Вычитая из уравнения (34) уравнение (33), получаем

Далее, вычитая из уравнения (35) уравнение (33), находим

Наконец, складывая уравнения (34) и (35), получаем

Система (37)-(39) равносильна системе (33)-(35), а при условии (36) — системе линейных уравнений

имеющей единственное решение

Ответ.

Пример №191.

Решить систему уравнений

Решение:

Вычтем из уравнения (41) уравнение (40) и преобразуем полученное уравнение к виду

Выполнив ту же операцию с уравнениями (42) и (41), имеем

Система (43), (44), (42), равносильная системе (40)-(42), распадается на следующие четыре системы:

Полученные системы легко решаются методом исключения неизвестных. Объединив решения этих систем, найдем все решения исходной системы.

Ответ.

Пример №192.

Решить систему уравнений

Решение:

Решим эту систему как линейную относительно Для этого сложим попарно уравнения системы (45) и получим систему

Перемножив уравнения системы (46) и полагая находим или откуда т. е.

Система (45) в силу утверждения 3° равносильна совокупности систем (46), (47) и (46), (48), каждая из которых имеет единственное решение.

Ответ.

Пример №193.

Решить систему уравнений

Решение:

Если , то из системы (49) следует, что , а может принимать любые значения. Аналогично, если , то , — любое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений вида

Будем искать решения системы (49) такие, что . Умножив первое уравнение системы (49) на , а третье — на и сложив результаты, получим

Прибавив к уравнению (51) второе уравнение системы (49), умноженное на :, находим

Каждое из уравнений (51), (52) является следствием системы (49).

Так как , , — действительные числа (требуется найти действительные решения системы), то уравнение (52) равносильно уравнению

Исключая из уравнений (53) и (51), получаем

Уравнения (53) и (54) являются следствиями системы (49), а уравнение (54) равносильно совокупности уравнений

Из (55) и (53) следует, что , а из системы (49) при и находим Полученное решение содержится среди решений (50).

Из (56) и (53) следует, что Подставляя в систему (49), находим решения и

Ответ. — любое действительное число;

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Системы линейных уравнений с тремя переменными

Линейным уравнением называется уравнение вида:

В этом уравнении — неизвестные, а — действительные (или комплексные) числа. При этом называются коэффициентами уравнения, а — свободным членом.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Из трех способов решения этих систем: графического, способа подстановки и способа сложения остается два последних способа. Графический способ уже не проходит, так как пришлось бы находить точку пересечения трех плоскостей. А это трудно изобразить.

Способ подстановки для трех уравнений похож на способ подстановки для двух уравнений с двумя неизвестными, только у этого способа на один шаг больше. Первое: выражаем одно из неизвестных из одного уравнения через два остальных неизвестных и подставляем это выражение в оставшиеся два уравнения. Эти оставшиеся два уравнения составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. А дальше решаем эту полученную систему и находим два неизвестных, а затем, зная их, и третье неизвестное.

Пример 1 Решить систему уравнений: способом подстановки.

Выразим из первого уравнения через остальные неизвестные и свободный член. Найденное выражение подставим в остальные уравнения.

Далее, оставляя первое уравнение в покое, решаем систему из двух получившихся уравнений с неизвестными и (предварительно разделив обе части второго уравнения на ).

Получили единственное решение системы

Рассмотрим теперь способ сложения. Так же как и для двух уравнений с двумя неизвестными, нужно при помощи сложения уравнений добиться, чтобы одно из неизвестных пропало.Приведем пример.

Пример 2 Решить систему уравнений: способом сложения.

Постараемся получить два уравнения с двумя неизвестными. Избавимся от неизвестной . Для этого удвоенное первое уравнение сложим почленно с удвоенным вторым уравнением, а удвоенное второе уравнение прибавим к третьему уравнению:

Далее производим почленное сложение двух уравнений с двумя неизвестными, исключая неизвестную :

Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение во второе уравнение, находим . Наконец из первого уравнения находим . Итак — единственное решение системы.

В заключении решим задачу, которая приводится к системе с тремя неизвестными.

Задача В трех урнах — шариков. В первой урне шариков больше чем во второй на столько, сколько шариков в третьей урне. Число шариков во второй урне относится к числу шариков в третьей урне как . Сколько шариков в каждой урне?

Обозначим число шариков в 1-й, 2-й и 3-й урнах через соответственно. Тогда первое условие задачи дает уравнение , второе условие — , а третье условие — . Запишем три полученные уравнения в систему, сделав предварительно третье уравнение линейным:

Складывая почленно первые два уравнения находим .Решаем систему из двух оставшихся уравнений:

Итак, в урнах соответственно и шариков.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Как решить систему с тремя неизвестными

Линейная система с тремя неизвестными имеет несколько способов решения. Найти решение системы можно с помощью правила Кремера через определители, методом Гаусса или используя простой способ подстановки. Метод подстановки является основным для решения систем линейных уравнений небольшого порядка. Он заключается в поочередном выражении из каждого уравнения системы одной неизвестной переменной, подстановки ее в следующее уравнение и упрощение получаемых выражений.

Инструкция

Запишите исходную систему уравнений третьего порядка. Из первого уравнения системы выразите первую неизвестную переменную х. Для этого перенесите члены, содержащие другие переменные за знак равенства. Перенесенным членам поменяйте знак на противоположный.

Если при множителе с выражаемой переменной присутствует коэффициент отличный от единицы, поделите на его значение все уравнение. Таким образом, вы получите переменную х, выраженную через остальные члены уравнения.

Подставьте во второе уравнение вместо х то выражение, которое вы получили из первого уравнения. Упростите полученную запись, произведя сложение или вычитание подобных членов. Аналогично предыдущему шагу выразите из второго уравнения следующую неизвестную переменную у. Также перенесите все другие члены за знак равенства и поделите все уравнение на коэффициент при у.

В последнее третье уравнение подставьте вместо двух неизвестных переменных х и у выраженные значения из первого и второго уравнений системы. Причем в выражении х также замените переменную у. Упростите полученное уравнение. В нем в качестве неизвестной величины останется лишь третья переменная z. Выразите ее из уравнения, как описано выше, и высчитайте ее значение.

В выражение у из второго уравнения подставьте известное значение переменной z. Подсчитайте значение переменной у. Далее в выражение переменной х подставьте значения переменных у и z. Вычислите х. Запишите полученные значения х, у и z – это и есть решение системы с тремя неизвестными.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?