Как найти одно неизвестное в матрице

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях». 

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано. 

Краткое содержание прошлых частей: 

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности. 
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел. 
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше). 
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми. 
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный. 

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Что такое матричное уравнение

Шаг 1. Упрощаем уравнение 

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу 

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу. 

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 1001

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100-1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
1001 × 100-1 = 100 × 0,01 = 1. 

Вот такое, только в мире матриц. 

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение: 

А-1 × А × Х = А-1 × В  

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись: 

А-1 × А = E — единичная матрица 

E × Х = А-1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А-1 × В — новая запись уравнения 

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B. 

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто. 

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы: 

  1. Делим единицу на определитель матрицы A. 
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений. 
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Формула вычисления обратной матрицы

Формула вычисления обратной матрицы
Решение матричных уравнений
Первое действие. Мы посчитали определитель и убедились, что он не равен нулю, — это значит, что у матричного уравнения есть вариант решения и можно продолжать
Решение матричных уравнений
Второе действие, часть 1: получаем матрицу миноров
Решение матричных уравнений
Второе действие, часть 2: переводим матрицу миноров в транспонированную матрицу алгебраических дополнений

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Решение матричных уравнений

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решение матричных уравнений

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново. 

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Решение матричных уравнений

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Решение матричных уравнений

Этого котика не существует, а матрицы — существуют. 

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

  1. Делим единицу на определитель матрицы A.
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x – неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы – это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B – известные матрицы, X – неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида AX = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E – единичная матрица, то EX = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид AXB = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

.

Находим матрицу, обратную матрице B :

.

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n – матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n – столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n – столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A – 1 :

A – 1 × A × X = A – 1 × B .

Так как А – 1 × А = Е , то Е × X = А – 1 × В или X = А – 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 – 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 – 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 2

  • Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

  • Выражаем из этого уравнения X :
  • Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 = 2 × ( – 2 ) × 5 + 3 × ( – 4 ) × 4 + 3 × ( – 1 ) × 1 – 3 × ( – 2 ) × 3 – – 1 × ( – 4 ) × 5 – 2 × 4 – ( – 1 ) = – 20 – 48 – 3 + 18 + 20 + 8 = – 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

  • Находим обратную матрицу А – 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( – 1 ) ( 1 + 1 ) – 2 4 – 1 5 = – 10 + 4 = – 6 ,

А 12 = ( – 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = – ( 5 – 12 ) = 7 ,

А 13 = ( – 1 ) 1 + 3 1 – 2 3 – 1 = – 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( – 1 ) 2 + 1 – 4 3 – 1 5 = – ( – 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( – 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 – 10 – 9 = 1 ,

А 23 = ( – 1 ) 2 + 3 2 – 4 3 – 1 = – ( – 2 + 12 ) = – 10 ,

А 31 = ( – 1 ) 3 + 1 – 4 3 – 2 4 = – 16 + 6 = – 10 ,

А 32 = ( – 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = – ( 8 – 3 ) = – 5 ,

А 33 = ( – 1 ) 3 + 3 2 – 4 1 – 2 = – 4 + 4 = 0 .

  • Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = – 6 7 5 17 1 – 10 – 10 – 5 0

  • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A – 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А – 1 = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 ,

  • Умножаем обратную матрицу А – 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A – 1 × B = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 1 3 2 = – 1 25 – 6 + 51 – 20 7 + 3 – 10 5 – 30 + 0 = – 1 0 1

Ответ: x 1 = – 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

[spoiler title=”источники:”]

http://function-x.ru/matrix_equations.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/matrichnyj-metod-reshenija-slau/

[/spoiler]

Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.

Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.

Матричные уравнения

Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы XX, которую и требуется найти.

Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.

Пример 1

Решить матричное уравнение

(1234)+x=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

x=(1101)−(1234)x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}-begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

x=(1−11−20−31−4)x=begin{pmatrix}1-1&1-2\0-3&1-4end{pmatrix}.

Значит, x=(0−1−3−3)x=begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}.

Можно провести проверку:

(1234)+(0−1−3−3)=(1+02−13−34−3)=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+0&2-1\3-3&4-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix},

(1101)=(1101)begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.

Пример 2

Решить матричное уравнение (58−469−5)−12x=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

−12x=(341212)−(58−469−5)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}-begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

−12x=(3−54−81−(−4)2−61−92−(−5))-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3-5&4-8&1-(-4)\2-6&1-9&2-(-5)end{pmatrix},

−12x=(−2−45−4−87)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на -2:

x=−2(−2−45−4−87)x=-2begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix},

x=(48−10816−14)x=begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}.

Можно провести проверку:

(58−469−5)−12(48−10816−14)=(58−469−5)−(24−548−7)=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}=begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-begin{pmatrix}2&4&-5\4&8&-7end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix},

(341212)=(341212)begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.

Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.

Простейшие матричные уравнения

Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:

  1. A⋅X=BAcdot X=B;
  2. X⋅A=BXcdot A=B.

Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.

Уравнение вида A⋅X=BAcdot X=B Уравнение вида X⋅A=BXcdot A=B
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B.

Так как A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, то E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица.

Так как E⋅X=XEcdot X=X, то X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.

Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A−1A^{-1} справа: X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1}.

Так как A⋅A−1=EAcdot A^{-1}=E, то X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица.

Так как X⋅E=XXcdot E=X, то X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида A⋅X=BAcdot X=B.

Пример 1

Решить матричное уравнение (3728)⋅X=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(3728)A=begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}, B=(4862)B=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:

A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,

E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,

X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣3728∣=3⋅8−2⋅7=24−14=10≠0begin{vmatrix}3&7\2&8end{vmatrix}=3cdot8-2cdot7=24-14=10neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(3728∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Вычтем из строки №1 строку №2:

(3728∣1001)∼(1−128∣1−101)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(1−128∣1−101)∼(1−1010∣1−1−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №1 на 10:

(1−1010∣1−1−23)∼(10−10010∣10−10−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:

(10−10010∣10−10−23)∼(100010∣8−7−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №1 и №2 на 110frac{1}{10}:

(100010∣8−7−23)∼(1001∣810−710−210310)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(810−710−210310)=110(8−7−23)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}.

A−1⋅B=110(8−7−23)⋅(4862)=110(−105010−10)=(−151−1)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}-10&50\10&-10end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=X.

Проверка:

(3728)⋅(−151−1)=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(−151−1)X=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}.

Пример 2

Решить матричное уравнение (0230)⋅X=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(0230)A=begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}, B=(243−6)B=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:

A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,

E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,

X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣0230∣=0⋅0−3⋅2=0−6=−6≠0begin{vmatrix}0&2\3&0end{vmatrix}=0cdot0-3cdot2=0-6=-6neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(0230∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(0230∣1001)∼(3002∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №1 на 13frac{1}{3}, а строку №2 на 12frac{1}{2}:

(3002∣0110)∼(1001∣013120)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(013120)=16(0230)A^{-1}=begin{pmatrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}.

A−1⋅B=16(0230)⋅(243−6)=16(6−12612)=(1−212)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}6&-12\6&12end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=X.

Проверка:

(0230)⋅(1−212)=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(1−212)X=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида X⋅A=BXcdot A=B.

Пример 3

Решить матричное уравнение

X⋅(9711)=(201812)Xcdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(9711)A=begin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}, B=(201812)B=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:

X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},

X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,

X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣9711∣=9⋅1−1⋅7=9−7=2≠0begin{vmatrix}9&7\1&1end{vmatrix}=9cdot1-1cdot7=9-7=2neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(9711∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Поменяем строки №1 и №2 местами:

(9711∣1001)∼(1197∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -9:

(1197∣0110)∼(110−2∣011−9)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на −12-frac{1}{2}:

(110−2∣011−9)∼(1101∣01−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(1101∣01−1292)∼(1001∣12−72−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(12−72−1292)=12(1−7−19)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}.

B⋅A−1=(201812)⋅12⋅(1−7−19)=12(201812)⋅(1−7−19)=12(2−146−18)=(1−73−9)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdot frac{1}{2}cdot begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&-14\6&-18end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}=X.

Проверка: (1−73−9)⋅(9711)=(201812).begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(1−73−9)X=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}.

Пример 4

Решить матричное уравнение X⋅(1325)=(4−132)Xcdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(1325)A=begin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}, B=(4−132)B=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:

X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},

X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,

X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣1325∣=1⋅5−2⋅3=5−6=−1≠0begin{vmatrix}1&3\2&5end{vmatrix}=1cdot5-2cdot3=5-6=-1neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(1325∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(1325∣1001)∼(130−1∣10−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:

(130−1∣10−21)∼(100−1∣−53−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на -1:

(100−1∣−53−21)∼(1001∣−532−1)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\2&-1end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(−532−1)A^{-1}=begin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}.

B⋅A−1=(4−132)⋅(−532−1)=(−2213−117)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}=X.

Проверка:

(−2213−117)⋅(1325)=(4−132)begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(−2213−117).X=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}.

Существует третий вид матричных уравнений: A⋅X⋅B=CAcdot Xcdot B=C, но в действительности он встречается редко.

Обе части уравнения умножим на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X⋅B=A−1⋅CA^{-1}cdot Acdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.

Зная, что A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, получим: E⋅X⋅B=A−1⋅CEcdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.

Поскольку E⋅X=XEcdot X=X, то X⋅B=A−1⋅CXcdot B=A^{-1}cdot C.

Обе части уравнения умножим на B−1B^{-1} справа: X⋅B⋅B−1=A−1⋅C⋅B−1Xcdot Bcdot B^{-1}=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.

Зная, что B⋅B−1=EBcdot B^{-1}=E, получим: X⋅E=A−1⋅C⋅B−1Xcdot E=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.

Поскольку X⋅E=XXcdot E=X, то X=A−1⋅C⋅B−1X=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.

Калужский
филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования

«Московский
государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана»

(КФ
МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Влайков
Н.Д.

Решение
матричных уравнений

Методические
указания для проведения упражнений

по
курсу аналитической геометрии

Калуга
2011г.

Содержание.

Цели
занятия
стр.4

План
занятия
стр.4

Необходимые
теоретические сведения
стр.5

Практическая
часть
стр.6

Контроль
освоения пройденного материала
стр.10

Домашнее
задание
стр.11

Количество
часов: 2

Цели
занятия:

  1. Систематизировать
    полученные теоретические знания о
    видах матричных уравнений и способах
    их решения.

  2. Применить
    на практике методы решения матричных
    уравнений.

План
занятия:

  1. Кратко
    изложить теоретический материал.

  2. Решить
    матричное уравнение вида
    методом с использованием обратной
    матрицы.

  3. Решить
    матричное уравнение видаметодом,
    основанным на элементарных преобразованиях
    строк матрицы.

  4. Сравнить
    использованные методы.

  5. Решить
    матричное уравнение вида
    методом с использованием обратной
    матрицы.

  6. Решить
    матричное уравнение вида

    методом с использованием обратной
    матрицы.

  7. Проверить
    выполнение текущего домашнего задания.

  8. Провести
    проверочную работу.

  9. Представить
    тему следующего семинарского занятия.

  10. Выдать
    текущее домашнее задание.

Необходимые
теоретические сведения.

Рассмотрим
два вида матричных уравнений относительно
неизвестной матрицы
:


и
,
где матрицы

и

– известны, причем

– квадратная и невырожденная.

Опр.
Некоторую матрицу называют решением
матричного уравнения относительно
неизвестной матрицы
,
если при ее подстановке вместо

матричное уравнение превращается в
тождество.

Рассмотрим
уравнение


.

Первый
метод
предполагает
вычисление обратной матрицы

и дает запись решения матричного
уравнения в виде
.
Причем данное решение единственно.

Второй
метод

основан на элементарных преобразованиях
строк блочной матрицы

и имеет своей целью преобразование ее
к виду
,
в котором вместо матрицы

стоит единичная матрица
.
Тогда матрица

и будет решением уравнения.

Проверка
ответа

выполняется подстановкой найденного
решения в исходное уравнение.

Матричное
уравнение


так же можно решить двумя способами.
Если известна матрица
,
то умножаем справа на

матричное уравнение

и после очевидных преобразований
получаем ответ в виде произведения двух
матриц
.
Другой метод решения матричного уравнения
состоит
в транспонировании его левой и правой
частей
,
.
После введения новой неизвестной матрицы

получаем уравнение вида
,
которое решается методом элементарных
преобразований.

Практическая
часть.

Пример
1.
Решить
матричное уравнение:
,

где


;
.

Решение.

1-ый
способ.

Найдем решение, используя обратную
матрицу:

Решение
ищем в виде

;

Найдем
матрицу


(например, при помощи присоединенной
матрицы)

.

Таким
образом, получим:


.

2-ой
способ.
Найдем
решение методом элементарных
преобразований:

Запишем
матрицу


и выполним элементарные преобразования
ее строк с целью привести ее к виду

.

.

Следовательно,

.

Проверка
осуществляется подстановкой в исходное
уравнение:



Верно.

Пример
2.
Решить
матричное уравнение:
,

где


;
;
.

Решение.

Если
для матриц

и

существуют обратные матрицы
и

соответственно, умножим обе части
уравнения слева на
,
справа на
.
В результате получим:

.
Учитывая, что
,

(
единичная матрица) можно записать:
.
Так как



единичная матрица, окончательно имеем
уравнение:

где
матрица


– решение уравнения.

Если
же хотя бы одна из матриц

или

не имеет обратную, уравнение не имеет
решения.

Для
матрицы
найдем

или
докажем, что она не существует.

а)
обратная
матрица существует.

б)
.

в)
Найдем алгебраические дополнения для
матрицы
и
составим из них присоединенную матрицу
:

.

г)
Известно, что
;
тогда

.

Для
матрицы
найдем


или докажем, что она не существует.

а)
обратная
матрица существует.

б)
.

в)
Найдем алгебраические дополнения для
матрицы
и
составим из них присоединенную матрицу
:

.

г)
По формуле
;

.

Найдем
неизвестную матрицу
.

.

Ответ:.

Решить
матричные уравнения:

2.121(2.39)

.
Отв.:

2.122(2.40)

.
Отв.:

2.123(2.41)

.
Отв.:

2.124(2.42)

.
Отв.:

2.125(2.43)

.
Отв.:

Представление
темы следующего семинара.

Решение
систем линейных однородных уравнений.

Контроль
освоения пройденного материала.

Проверочная
работа 5 минут. Участвует 4 студента с
четными номерами по журналу, начиная с
№10

Задание:

Вар№1

Выполнить
действия:

Вар№2

Выполнить
действия:

Вар№3

Найти
матрицу обратную данной:

Вар№4

Найти
матрицу обратную данной:

Ответы:

Вар№1

Выполнить
действия:

Вар№2

Выполнить
действия:

Вар№3

Найти
матрицу обратную данной:

Вар№4

Найти
матрицу обратную данной:

Домашнее
задание.

1.Решить
матричное уравнение
:

1)

;

.

2)

;

.

2.Решить
матричное уравнение
:

1)

;

;

.

2)

;

;

.

3.Проработка
лекций на темы:

Системы
линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ). Координатная, матричная и
векторная формы записи. Критерий
Кронекера — Капелли совместности СЛАУ.
Однородные СЛАУ. Критерий существования
ненулевого решения однородной СЛАУ.
Свойства решений однородной СЛАУ.
Фундаментальная система решений
однородной СЛАУ, теорема о ее существовании.
Нормальная фундаментальная система
решений. Теорема о структуре общего
решения однородной СЛАУ.

11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

Линейная алгебра

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры.

Матрицы и операции над ними

Основные определения:

В математике и ее приложениях наряду с числами часто бывает удобным использовать чис­ловые таблицы, которые называются матрицами. Аппарат теории матриц эффективно приме­няется, например, при решении систем линейных уравнений, как мы скоро в этом убедимся. Перейдем к точным определениям.

Определение: Матрицей размерности m х n называется прямоугольная таблица дейст­вительных чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для доступа к элементам мат­рицы используются два индекса: первый указывает на номер строки, второй – на номер столб­ца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Обозначаются матрицы, как правило, прописными латинскими буквами A, B, C,иногда указывается размерность, например, Amxn. В развернутой форме матрица записывается как таблица:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Более компактно с указанием элементов матрица записывается в виде: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрицы А и В одинаковой размерности считаются равными, если все элементы одной матрицы равны соответвующим элементам другой матрицы.

Рассмотрим некоторые специальные виды матриц.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается через O.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Размерность квадратной матрицы часто называют ее порядком.

Числа Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в квадратной матрице Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называются диагональными элементами. Совокупность диагональных элементов составляет главную диагональ квадрат­ной матрицы.

Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные – нулю, называется единичной матрицей и обозначается через Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачгде n – порядок матрицы.

Таким образом,

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, треугольной является матрица

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрица называется трапециевидной, если она представляет собой следующую таблицу:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Операции над матрицами

Введем сначала линейные операции над матрицами.

Произведением действительного числа Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называется матрица

 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Суммой двух матриц Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаковой размерности называется матрица 

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, элементы суммы матриц равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Разность матриц А и B можно определить как А – В = А + (-1)В.

Свойства линейных операций над матрицами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Пример №1

Даны матрицы

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти матрицу -2А +3В.

Решение.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим теперь операцию умножения матриц. Рассмотрим сначала матрицу-строку и матрицу-столбец с одинаковым числом элементов, т.е.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведением этих строки и столбца называется число1

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим так называемые согласованные матрицы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, у первой из которых число столбцов равно числу строк второй матрицы. Обозначим строку с номером i матрицы А через Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а столбец с номером j матрицы B через Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведением данных согласованных матриц А и B называется матрица

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто для суммы n чисел Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы будем использовать короткое обо значение Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

размерности m х p, элементы которой равны произведениям строк матрицы A на столбцы B.

Пример №2

Найти произведение согласованных матриц

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Найдем произведение строк матрицы А на столбцы матрицы В.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Осталось записать искомое произведение матриц: 

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим некоторые свойства произведения матриц1. Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первые три сразу следуют из определения произведения матриц. Докажем последнее свой­ство. Пусть заданы три матрицы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Элемент dij произ­ведения (AB)C  равен произведению строки с номером i матрицы AB на столбец с номером j матрицы C : Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поменяв порядок суммирования в последней двойной сумме, получим:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

что представляет собой произведение Тем строки с номером i матрицы A на столбец с номером j матрицы ВС. Тем самым свойство 4 доказано. 

Заметим, что в отличие от чисел матрицы, вообще говоря, не коммутируют (не переста­новочны). Приведем соответствующий

 Контрпример. Доказать, что матрицы

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

не коммутируют. 

Действительно, 

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для этих матриц Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Пользуясь случаем, введем здесь определение n-мерного векторного пространства Rn, как множество упорядоченных совокупностей n действительных чисел. Каждую такую совокупность мы будем обозначать через и называть n-мерным вектором.

Мы предполагаем, что все матрицы в свойствах согласованы.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, каждый вектор мы можем отождествить с соответствующей матрицей-строкой или матрицей-столбцом, поэтому на векторы автоматически переносятся линейные операции, которые мы определили выше для матриц.

Определитель матрицы и его свойства

Познакомимся теперь с такой важнейшей характеристикой матрицы, как определитель. Вве­дем предварительно понятие перестановки и изучим некоторые ее свойства.

Перестановки

Перестановкой n натуральных чисел 1, 2, ….., n называется строка

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                          (1)

содержащая все эти числа.

Первым элементом перестановки может быть любое из чисел 1, 2, …., n, вторым – любое из оставшихся n — 1 чисел и так далее, следовательно, число различных перестановок данных чисел равно Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (читается n-факториал).

Два числа в перестановке находятся в инверсии, если большее из них имеет меньший номер. Число всех инверсий в перестановке (1) мы обозначим через Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В связи с этим перестановка (1) называется четной, если в ней число Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач четно и нечетной – в противном случае.

Отметим два свойства перестановок, которые мы будем использовать ниже.

Лемма 1. Характер четности перестановки изменится на противоположный, если в ней поменять местами какие-нибудь два элемента.

Доказательство. Предположим сначала, что меняются местами рядом стоящие элементы к и l перестановки. В этом случае число инверсий в новой перестановке изменится на единицу, а именно, увеличится на единицу, если к и l не находились в инверсии, или на­столько же уменьшится, если они находились в инверсии. Таким образом, характер четности перестановки изменится на противоположный. Рассмотрим теперь случай, когда числа к и l разделяют s других элементов перестановки. Тогда поменять местами данные элементы мы можем последовательно переставляя число к с s промежуточными элементами, а затем пере­ставляя число l в обратном порядке с элементом к и всеми s промежуточными. В результате мы выполним 2s + 1 обменов рядом стоящих элементов и, таким образом, характер четно­сти исходной перестановки изменится нечетное число раз и, следовательно, он изменится на противоположный. Лемма  доказана.

Из этой леммы сразу же следует, что количество четных перестановок равно количеству нечетных. В самом деле, поменяв местами любые два элемента в каждой из p четных переста­новок, мы получим p нечетных и, следовательно, Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где q – количество нечетных перестано­вок. Аналогично мы можем убедиться в справедливости неравенства Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из этих неравенств и следует, что p = q.

Лемма 2. Пусть

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                              (2)

– перестановка чисел 1, 2, …, n – 1. Зафиксируем число j из множества {1, 2, … , n} и оставим его перестановку (2) на место с номером i, сдвинув вправо на одну позицию все ее элементы с номерами i, i + 1, … , n – 1 и увеличив на единицу все не меньшие, чем j элемен­ты этой перестановки. В результате получим перестановку

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                         (3)

чисел 1, 2, …. , n. Четности перестановок (2) и (3) связаны равенством

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, предположим сначало, что элемент j в перестановке (3) стоит на первом месте. Тогда, очевидно, количество инверсий в этой перестановке равно Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Перегоним теперь число j на место с номером i, последовательно обменивая его со следующими i – 1 элементами. По лемме 1 характер четности перестановки изменится i – 1 ра и, значит, 

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определитель и его вычисление для матриц второго и третьего порядков

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n :

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим произведение элементов данной матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Упорядочив элементы этого произведения по возрастанию номеров строк, мы можем записать его в виде:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Номера столбцов в записанном произведении образуют перестановку чисел 1, 2, … , n.

Определение: Число, равное сумме всех n! произведений

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется определителем данной квадратной матрицы А (определителем n-го порядка) и обозначается через |А| или det А. В развернутой форме определитель записывается как

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем пользуясь этим определением выражение для определителей второго и третьего порядков.

Так как Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачто

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, для вычисления определителя третьего порядка найдем число инверсий в каждой из перестановок чисел 1, 2, 3 :

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

ТогдаЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для упрощения вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников, согласно которому со знаком ” + ” следует брать произведения по схеме

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а со знаком ” – ” – по схеме 

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №3

Вычислить определитель

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Воспользуемся правилом треугольников: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач= —2 + 6 — 6 — 9 — 8 — 1 = -20.

Свойства определителя

1) Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то и определитель равен нулю.

2) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

3) Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны суммам двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей, в которых в указан­ной строке (столбце) стоят, соответственно, первые и вторые слагаемые, а остальные элементы обоих определителей такие же, как и в исходном определителе.

Эти свойства напрямую следуют из определения определителя.

4) Если переставить две какие-нибудь строки (столбца) определителя, то он поменяет знак на противоположный.

Действительно, переставим, например, две строки определителя. В результате получим определитель, каждое слагаемое которого отличается знаком от соответствующего слагаемого исходного определителя, так как по доказанной в пункте 1 лемме 1 четность соответствующей перестановки вторых индексов изменится па противоположную.

5) Если в определителе совпадают (пропорциональны) две какие-нибудь строки (столбцы), то этот определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе совпадают две каие-нибудь строки (столбцы), то, с одной стороны, определитель при этом не изменится, а, с другой стороны, по предыдущему свойству его знак поменяется на противоположный. Таким образом |A| = — |A| и, стало быть, |A| = 0. Если же в определителе имеются две пропорциональные строки (столбца), то после вынесе­ния за его знак по свойству 2) общего множителя элементов строки (столбца), мы получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), который равен нулю.

6) Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) доба­вить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Это следует из свойств 3) и 5), так как в этом случае полученный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен исходному, а в другом имеются пропорциональные строки (столбцы), и поэтому он равен пулю.

Прежде чем сформулировать очередное свойство, введем понятие алгебраического дополне­ния к элементу матрицы.

Алгеброическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A = (aij)nxn мы будем называть число

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач– определитель порядка n – 1, полученный из определителя этой матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. 

7) Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столб­ца) на соответствующие алгебраические дополнения. Таким образом,

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, например, первую из этих формул. Убедимся в том, что правая часть данной формулы содержит все слагаемые определителя матрицы А. Выражение

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

содержит n(n — 1)! = n! различных произведений элементов определи теля матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Осталось проверить соответствие знаков.

Рассмотрим произвольное произведение

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое слагаемое определителя Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой произведение элементов данной мат­рицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, исключая строку с номером i и столбец с номером j. Знак этого произведения определяется четностью перестановки

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

чисел 1, 2, … , n — 1. Умножив данное произведение на число Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и поставив множитель Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на место с номером i, мы получим соответствующее произведение определителя матрицы А с перестановкой вторых индексов Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и знаком Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторый по лемме 2  пункта 1 соответствует четности перестановки Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

Пример №4

Вычислить определитель.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Разложим этот определитель по элементам второй строки:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №5

Вычислить определитель треугольной матрицы

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разлагая этот и следующие определители по первому столбцу, получим:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных эле­ментов.

8) Сумма произведений n действительных чисел на алгебраические дополнения к элементам какой-нибудь строки (столбца) равна определителю, в котором в указанной строке (столбце) расположены данные числа, а все остальные элементы совпадают с соответствующими элементами исходного определителя.

Это свойство является прямым следствием предыдущего.  

9) Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические до­полнения к элементам какой-нибудь другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Действительно, по предыдущему свойству эта сумма произведений равна определителю с двумя совпадающими строками (столбцами), а такой определитель по свойству 5) равен нулю.

10) Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Достаточно громоздкое доказательство этого свойства мы приводить не будем.

Обратная матрица

Определение:  Обратной к квадратной матрице Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называется обозначаемая  через А-1 матрицы, для которой АА-1 = А-1А = Е, где Е – единичная матрица.

Из этого определения следует, что матрица А-1 также является квадратной той же размер­ности, что и матрица А.

Отметим некоторые свойства обратной матрицы, следующие из ее определения.

а) У матрицы не может существовать больше одной обратной.

Действительно, пусть для матрицы А имеются две обратные Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножив обе части первого равенства слева на матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

b) (A-1)-1 = A.

c) Если для квадратных матриц А и В одного порядка существуют обратные, то и у матрицы АВ также существует обратная , причем

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним условия, при которых обратная матрица существует.

Теорема (критерий существования обратной матрицы). Для того, чтобы существовала матрица, обратная данной, необходимо и достаточно, чтобы данная матрица была невырожденной, то есть чтобы ее определитель был не равен нулю.

Доказательство. Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть для матрицы А существует обратная матрица. Тогда из равенства АА-1 = E, воспользовавшись свойством 10) определителя произведения матриц, получаем: det(AA-1) = det А Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачdet А-1 = det E = 1. Следователь но, det А Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0.

Убедимся теперь в том, что условие теоремы является и достаточным. Предположим, что матрица А является невырожденной. Проверим, что обратной к данной является матрица со следующей структурой 1:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда, воспользовавшись свойствами 7) и 9) определителя (§2, пункт 3), заключаем:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. АА-1 = Е. Аналогично убеждаем, что А-1А = Е. Теорема доказана.

В строках указанной ниже матрицы записаны алгебраические дополнения к элементам соответствующих столбцов.

Пример №6

Найти обратную к матрице

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Найдем сначала определитель матрицы: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Обратная матрица существует. Находим алгебраические дополнения к элементам данной матрицы:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно,

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обратную матрицу можно использовать при решении линейных матричных уравнений. Пусть, например, требуется решить матричное уравнение

AX = B

с известными матрицами А и B, причем матрица A является невырожденной. Умножая обе части данного матричного уравнения слева на обратную матрицу A-1, получим:Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, решением матричного уравнения XA = B является матрица X = BA-1, а ре­шением матричного уравнения AXB = С с невырожденными матрицами A и B является матрица X = A-1CB-1.

Ранг матрицы и его вычисление

Рассмотрим произвольную матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Минором порядка k матрицы A называется определитель, стоящий на пересечении выбран­ных k строк и k столбцов данной матрицы.

Определение: Рангом матрицы А называется максимальный из порядков ненулевых миноров этой матрицы. Обозначается ранг через rang A.

Естественно считать, что rang O = 0. Очевидно также, что Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №7

Найти ранг матрицы

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Вычислим минор, находящийся на пересечении первых двух строк и первого и четвертого столбцов:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все же миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как третья строка равна разности второй и первой строк. Следовательно, rang A = 2.

Как видно из определения, вычисление ранга матрицы через миноры является весьма тру­доемкой задачей, особенно для матриц большой размерности. Значительно сократить объем вычислений позволяет другой метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции над ее стро­ками или столбцами:

  1. перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
  2. умножение строки (столбца) на ненулевое действительное число;
  3. добавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на действительное число.

Тот факт, что матрица В получена из матрицы А с помощью одного или нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований, мы будем обе тачать как Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Доказательство этого утверждения для первого и второго элементарных преобразований следует из того, что по свойствам 2) и 4) определителя (§2, пункт 3) миноры исходной матрицы могут отличаться от миноров преобразованной разве лишь знаком или ненулевым множителем, что. естественно, не отражается на ранге матрицы. Пусть теперь матрица А’ получена из матрицы А с помощью третьего элементарного преобразования, для определенности будем считать, что к строке с номером i добавлена строка с номером j, умноженная на действительное число Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем в матрице А’ минор М порядка Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (если такого минора нет, то rang Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач). Этот минор либо совпадает с минором матрицы A, либо по свойствам 3). 2). 4) определителя он равен сумме двух миноров матрицы А с действительными коэффициентами, один из которых равен 1. а второй Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В обоих случаях по определению ранга матрицы минор М равен 0. Следовательно, rang А’ < rang А. Точно также мы можем убедиться в том, что rang А < rang А’, так как матрица А может быть получена из матрицы А’ вычитанием из ее строки с номером i строки с номером j. умноженной на числоЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, и для третьего элементарного преобразования rang Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач что и завершает доказательство теоремы.

Из этой теоремы следует, что для вычисления ранга матрицы достаточно привести ее с помощью элементарных преобразований к более простой – трапециевидной, ранг которой легко находится. Изложим соответствующий алгоритм, который мы будем использовать ниже при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Итак, рассмотрим матрицу

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если А = О, то rang A = 0. Пусть теперь Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Мы всегда можем считать, что Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач так как в противном случае этого всегда можно добиться перестановкой соответствующих строк и столбцов. Превратим теперь в нули все элементы первого столбца, расположенные ниже первого диагонального элемента Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого из каждой строки с Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  данной матрицы вычтем первую строку, умноженную на числоЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В результате получим матрицу:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Повторяя теперь все рассуждения из предыдущего абзаца применительно к полученной матрице с вычеркнутыми из нее первой строкой и первым столбцом и всем последующим матрицам, после конечного числа шагов, не превышающего m — 1, мы придем к трапециевидной матрице

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и в дальнейшем под записью Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы подразумеваем, что величина р последовательно принимает значения 1, 2,…, q.

с r ненулевыми диагональными элементами a11, b22, . . . , crr. Ранг матрицы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен r, так как минор этой матрицы, расположенный первых ее r строках и столбцах равенЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а все миноры более высокого порядка содержат нулевую строку и потому равны нулю. Так как матрица Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получена из матрицы A с помощью
элементарных преобразований, то Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. При практическом использовании приведенного алгоритма матрицу бывает
иногда удобно приводить к форме, которая отличается от трапециевидной порядком следования столбцов.

Пример №8

Найти ранг матрицы
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.

Приведем матрицу к трапециевидной с помощью элементарных преобразований:
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Здесь вторая матрица получена из исходной вычитанием в ней из второй и третьей строк первой, умноженной на 4 и 3 соответственно, а затем вторая матрица преобразована в третью вычитанием из последней строки, умноженной на 5, второй строки. Перегнав в последней матрице четвертый столбец на первое место, получим трапециевидную матрицу с тремя ненулевыми элементами на диагонали. Следовательно, rang Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения:

Определение: Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, короче, линейной системой) называется система вида
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
где действительные числа Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициенты системы,Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач правые части уравнений системы, Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачнеизвестные.

Числа Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которые при подстановке их в систему обращают каждое из уравнений в верное равенство, составляют решение линейной системы. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, иначе несовместной. Представим линейную систему в компактной матричной форме.

Для этого введем следующие обозначения:
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач– основная матрица системы,
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач− столбец неизвестных, 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – столбец правых частей.

В этих обозначениях данная линейная система принимает вид:
AX = B.

Линейная система с нулевыми правыми частями, т.е. система АХ = О, называется однородной.

Решение невырожденных линейных систем

Рассмотрим линейную систему n уравнений с n неизвестными и невырожденной основной матрицей. Такая система называется невырожденной.

Рассмотрим два метода решения невырожденных систем.

Метод обратной матрицы

Так как определитель основной матрицы невырожденной системы линейных уравнений отличен от Iгуля. то решение этой системы мы можем найти как решение матричного линейного уравнения (§3)

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

по формуле

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное таким образом решение является единственным. Действительно, пусть Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач -два решения системы. Тогда Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, после умножения слева обеих частей первого из этих равенств на матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №9

Решить систему линейных уравнений:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

Здесь
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
В §3 был вычислен определитель матрицы данной системы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, она является невырожденной. Там же была найдена и обратная матрица:Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Формулы Крамера

Воспользовавшись представлением обратной матрицы через алгебраические дополнения, получим:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
следовательно,
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

По свойству 8) определителя выражение в скобках равно

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. определителю, который может быть получен из определителя Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач основной матрицы системы заменой в нем столбца с номером j столбцом правых частей. Таким образом, решение данной невырожденной системы линейных уравнений может быть найдено по следующим формулам Крамера:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №10

Решить систему линейных уравнений:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Для этой системы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (§2. пункт 2). следовательно, она является невырожденной. Кроме того,

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда по формулам Крамера
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Решение произвольных систем линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса)

Рассмотрим линейную систему общего вида:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим, как и для матриц, элементарные преобразования над уравнениями линейной системы. Таковыми являются:

  1. перестановка двух уравнений системы;
  2. умножение обеих частей уравнения на отличное от. нуля действительное число:
  3. добавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на действительное число.

Все эти преобразования, очевидно, обратимы и поэтому их результатом является система, эквивалентная исходной, т. е. система, множество решений которой, совпадает с множеством решений данной системы.

Упростим теперь систему, последовательно исключая неизвестные из ее уравнений с помощью элементарных преобразований. Для этого, расширенную матрицу системы

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

с помощью элементарных преобразований над ее строками приведем к трапециевидной форме с помощью алгоритма, изложенного в §4. В результате получим матрицу

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

где диагональные элементы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач матрица Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является расширенной, имеет вид:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, последняя система получена из исходной с помощью тех же элементарных преобразований, какими матрица Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приведена к трапециевидной Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи, следовательно, эта упрощенная система эквивалентна данной.

Рассмотрим два случая, которые здесь возможны.

a) Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда система (2). а, значит, и система (1) несовместны.

b)Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае имеем совместную систему

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь, в свою очередь, представляются две возможности.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из последнего, самого короткого, уравнения этой системы мы находим неизвестное Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое линейно выражается через неизвестные Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачназываемые свободными. Далее из предпоследнего уравнения системы (3), подставив в него полученное выражение для неизвестного Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы определяем неизвестное Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Продолжая этот процесс, мы найдем неизвестные Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которые называются базисными, через свободные неизвестные. На свободные неизвестные никаких ограничений нет, поэтому подставляя их произвольные значения Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в полученные выражения для базисных неизвестных, мы найдем тем самым множество решений системы (1). Таким образом, в этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Здесь свободных неизвестных нет и система имеет единственное решение, так как все неизвестные однозначно находятся таким же образом, как и в предыдущем пункте.

Приведенный алгоритм метода исключения неизвестных позволяет сформулировать критерий совместности линейной системы.

Теорема Кронекера. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство немедленно следует из вида матрицы Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач к которой приводится расширенная матрица системы. Совместность имеет место и том и только в том случае, когда Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, что равносильно тому, что Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из теоремы Кронекера следует, что если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачто система линейных уравнений (1) несовместна, если же Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то система имеет единственное решение и, наконец, если rang Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то множество решений данной линейной системы бесконечно.

Пример №11

Решить систему линейных уравнений:

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Приведем расширенную матрицу этой системы к трапециевидной с помощью элементарных преобразований над ее строками:
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вторая матрица получена из первой вычитанием из третьей строки второй и добавлением ко второй строке, умноженной на 2, первой строки. С точностью до перестановки столбцов, мы получили трапециевидную матрицу. Здесь, очевидно, rang Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому система совместна. Осталось решить упрощенную систему

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Придавая свободным неизвестным Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпроизвольные значения Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач– найдем базисные неизвестные Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из третьего уравнения системы мы находим неизвестное Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачПодставив его во второе уравнение, определим неизвестное Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач-Наконец, из первого уравнения получим: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач– Таким образом, линейная система имеет бесконечное множество решений

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— любые действительные числа.

Замечание. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как она имеет нулевое решение. Если rang A = n, то однородная система имеет единственное (нулевое) решение. а если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то множество решений этой системы бесконечно. В частности, если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m = n, то она имеет единственное (нулевое) решение в том и только в том случае, когда Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Соответственно, эта система имеет ненулевое решение (а, значит, и бесконечно много решений) тогда и только тогда, когда Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обращение невырожденной матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Решая невырожденную систему линейных уравнений с матрицей А и столбцом правых частей В методом исключения неизвестных (пункт 3), мы приведем расширенную матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач этой системы с помощью элементарных преобразований над ее строками к виду Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. Продолжая далее элементарные преобразования над строками, мы можем привести расширенную матрицу к виду Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – единичная матрица. Столбец Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой решение системы, т. е. Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, выбирая в качестве В столбцы единичной матрицы, мы получим соответствующие столбцы обратной матрицыЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач как решения соответствующих систем линейных уравнений.

Таким образом, для того, чтобы найти матрицу, обратную к данной невырожденной матрице А, достаточно в расширенной матрице Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью элементарных преобразований над ее строками перегнать матрицу А в единичную Е. В результате получим матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №12

Найти обратную к матрице

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Воспользуемся изложенным выше алгоритмом.

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изложенный выше алгоритм нахождения обратной матрицы является более экономичным по сравнению с изложенным в §3, так как он требует гораздо меньшего объема вычислений. Заметим также, что программирование этого метода также не представляет трудностей.

Справочный материал по линейной алгебра

Этот раздел математики возник в связи с необходимостью решать  системы линейных уравнений.  

Рассмотрим систему линейных уравнений: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы  решить  ее,  можно,  например,  выразить  одну  из  переменных  из первого уравнения, подставить во второе, после чего найти неизвестные  x  и  y .  
Однако можно найти решение быстрее: легко убедиться, что  

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ получения этого результата станет ясным, если рассмотреть таблицы, составленные из коэффициентов системы: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
   

Такие таблицы называются матрицами второго порядка (так как в них две строки и два столбца), а соответствующие числа  –  определителями. Матрицы и определители играют важную роль при решении более сложных систем линейных уравнений, поэтому начнем изучение линейной алгебры с матриц. 
 

Матрицы и действия над ними

Определение:  Числовой  матрицей  размера  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется  совокупность Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n  
столбцов. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – элемент матрицы, стоящий на пересечении i -й строки и k -го столбца.

Определение:  Если  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то матрица называется  квадратной n -го порядка, в противном случае – прямоугольной.  

Элементы   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач квадратной матрицы  А образуют ее главную диагональ.  

Матрица размераЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется матрицей-строкой, а матрица размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – матрицей-столбцом.  

Пример №13

    Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение:  Две  матрицы  называются  равными,  если  они  имеют 
одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых  местах. 

Пример №14

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение:  Квадратная  матрица  называется  диагональной,  если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой  E .  

Пример №15

    Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач    – единичная матрица третьего порядка. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – диагональная матрица 3-го порядка. 
 

Определение: Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю. 

Пример №16

 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – треугольная матрица третьего порядка, 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – треугольная матрица второго порядка.

Линейные операции над матрицами

К числу линейных относятся операции сложения и умножения на число. 
 

Определение:  Пусть  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – матрицы размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Матрица Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  также размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называется суммой матриц  A  и  B , если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №17

 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение:    Произведением  матрицы  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  на число называется  матрица  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  того  же  размера,  элементы  которойЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №18

 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение:  Нулевой матрицей O  называется матрица, все элементы которой равны нулю. 

Определение: Матрица  (-1) * A называется противоположной для  A и обозначается  -A. 

Очевидно, что  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  для любой матрицы А. 

Определение: Разностью матриц  A и  B  одного размера называется сумма  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается A- B. 

Определение:    Результат  конечного  числа  линейных  операций  над матрицами называется их линейной комбинацией. 

Пример №19

Пусть  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Матрица  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – линейная  комбинация матриц  A  и  B  с коэффициентами 2 и 4.

Свойства линейных операций

Если  A ,  B , и C  – матрицы одного размера, Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – числа, то, очевидно, справедливо следующее: 
1.  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – свойство коммутативности сложения. 
2.  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – свойство ассоциативности. 
3. Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – свойство дистрибутивности.  
4. Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач       
5.Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Транспонирование и умножение матриц

Эти операции над матрицами не относятся к числу линейных. 

Определение: Транспонированной матрицей  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  для матрицы  A  размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называется матрица размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, полученная из  A заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами. 
То есть, если  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №20

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение: Если  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , то матрица А называется симметрической. 

Все диагональные матрицы симметрические, так как равны их элементы, 
симметричные относительно главной диагонали. 

Очевидно, справедливы следующие свойства операции транспонирования: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение: Пусть  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  –  матрица  размера  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – 
матрица  размера  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Произведение  этих  матриц    Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   –  матрица   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач размера Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, элементы которой вычисляются по формуле:  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть элемент i -й строки  и  j -го столбца матрицы C  равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы  A  и  j -го столбца матрицы B.

Пример №21

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведение Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – не существует.

Свойства операции умножения матриц

1. Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, даже если оба произведения определены. 

Пример №22

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение: Матрицы  A  и  B  называются перестановочными, если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, в противном случае  A  и  B  называются не перестановочными. 
Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера. 

Пример №23

 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачматрицы C  и  L   перестановочные. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – перестановочные матрицы. 

Вообще единичная матрица перестановочная с любой квадратной матрицей того же порядка, и для любой матрицы  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . Это свойство матрицы  E  объясняет, почему именно она называется единичной: при умножении 
чисел таким свойством обладает число 1. 

Если соответствующие  произведения определены, то: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №24

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной. 
 

Пример №25

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определители и их свойства

Каждой  квадратной  матрице  можно  по  определенным  правилам  поста-
вить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем. 
Рассмотрим  квадратную  матрицу  второго  порядка:   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Такой определитель называется определителем второго порядка и может  
обозначаться по-другому:  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определителем  третьего  порядка  называется  число,  соответствующее квадратной матрице  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое вычисляется по правилу: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 
 

Пример №26

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных. 

Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

То  есть  при  вычислении  определителя  третьего  порядка  используются 
определители второго порядка, причем   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – определитель матрицы, полученный из  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  вычеркиванием элемента  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (точнее, первой строки и первого столбца,  на  пересечении которых  стоит  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач),   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – вычеркиванием элемента Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – элемента Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 
 

Определение: Дополнительным минором  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  элемента Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  квадратной матрицы  A  называется определитель матрицы, получаемой из  A  вычеркиванием i -ой строки и k -го столбца. 

Пример №27

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
и так далее:  матрица третьего порядка  имеет  9 дополнительных миноров. 
 

Определение: Алгебраическим  дополнением элемента aik  квадратной 
матрицы  A  называется  число  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №28

Для матрицы  A2 : Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Для матрицы  A3:  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  и так далее.  
Итак, с учетом сформулированных определений (1.3) можно переписать в 
виде:  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Перейдем теперь к общему случаю.

Определение:  Определителем  квадратной  матрицы  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   порядка  n называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство  (1.4)  называется  разложением  определителя  по  элементам  первой строки. В этой формуле алгебраические дополнения вычисляются как определители Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач-го порядка. Таким образом, при вычислении определителя  4-го порядка по формуле (1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4 определителя 3-го порядка; при вычислении определителя 5-го порядка – 5 определителей   4-го порядка  и  т.д.  Однако  если,  к  примеру,  в  определителе  4-го  порядка  первая строка содержит 3 нулевых элемента, то в формуле (1.4) останется лишь одно ненулевое слагаемое.  

Пример №29

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим (без доказательства) свойства определителей: 

1.  Определитель можно разложить по элементам первого столбца: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №30

    
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

2.  При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется:  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны. 

3.  Если  в  определителе  поменять  местами  две  строки  (два  столбца),  то 
определитель  изменит  свой  знак,  не  изменившись по  абсолютной  вели-
чине.  

4.  Определитель, имеющий две  равные строки (столбца), равен нулю. 

5.  Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на число Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , то величина определителя  умножится на это число. 
Отсюда, в частности, следует, что общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Кроме того, определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю. 

6.  Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю. 

7.  Определитель  можно  разложить  по  элементам  любой  строки  (любого 
столбца):    Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
или  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Равенство  (1.6)  называется  разложением  определителя  по  элементам  i -й строки. 
Равенство  (1.7)  называется  разложением  определителя  по элементам k -го столбца.       

8.  Сумма  произведений  всех  элементов  некоторой  строки  (столбца)  на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки  (столбца) равна нулю, то есть при 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

9.  Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам некоторой строки  (столбца)  соответствующих  элементов  другой  строки  (столбца),умноженных на одно и то же число.  

10.  Определитель произведения двух матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц:Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ( A, B – квадратные матрицы одного порядка).

Пример №31

 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач,  так  как  элементы  первой  и  второй  строк этого определителя соответственно пропорциональны (свойство 6).  
Особенно часто при вычислении определителей используется свойство 9, так как оно позволяет в любом определителе получать строку или столбец,  где все элементы, кроме одного, равны нулю.  

Пример №32

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение обратной матрицы

Определение:  Матрица  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется  обратной  для  матрицы  A , если она вместе с  A  удовлетворяет условию:  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , где  E  – единичная матрица. 

Из определения следует, что  A  и  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – перестановочные, значит, обратная матрица  существует  лишь  для  квадратной  матрицы  A   (прямоугольные  матрицы обратных не имеют).  

Определение:  Квадратная  матрица  A   называется  невырожденной, если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , то  A  называется  вырожденной.

Пример №33

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпо свойству 6 определителей, то есть  A  – вырожденная.  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит,  B – невырожденная.  
 

Теорема:  Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну. 

Доказательство: Рассмотрим  для  определенности  квадратную матрицу  A  третьего порядка: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Покажем, что матрица вида Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратной для Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – алгебраические дополнения элементов Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  матрицы  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ). 

По  условию  A   –  невырожденная,  т.е.  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   существует.    Найдем произведение  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, используя свойства 7,8 определителей: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично доказывается, что  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, по определению матрица  X  является обратной для  A .  
Докажем единственность обратной матрицы. 
 

Пусть невырожденная матрица  A  имеет две обратные:  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . Тогда по определению 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Умножим (1.8) слева на  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Используя свойство 2 умножения матриц и равенство (1.9), получим:  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Таким образом, обратная матрица единственна, что и требовалось доказать. 
Обратная матрица для матрицы  A  n – го порядка имеет вид: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №34

Найти матрицу, обратную для  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач существует.Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проверка: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №35

Найти матрицу, обратную для  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач        
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
существует. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проверка: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично проверяется, чтоЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Крамеровские системы уравнений

Рассмотрим систему n  линейных уравнений с n  неизвестными: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрица, составленная из коэффициентов системы (1.10)  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
называется основной матрицей системы (1.10), Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачосновной определитель системы (1.10). 

Определение: Система  линейных  уравнений  называется  Крамеровской, если 
1) число уравнений равно числу неизвестных; 
2) основной определитель не равен нулю. 

Рассмотрим матрицыЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   Х – столбец неизвестных,  
В – столбец правых частей. Очевидно, что система (1.10) может быть записана 
в виде матричного уравнения 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Определение: Совокупность  n  чисел Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется решением системы (1.10), если каждое из уравнений  системы обращается в верное числовое равенство при подстановке в него чисел Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  вместо соответствующих переменных   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема: Всякая Крамеровская система имеет решение, причем одно.  

Доказательство: По условию Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значит, для основной матрицы А системы существует обратная матрица  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . Умножим (1.11) на  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  слева: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формуле (1.12) определяется каждое из неизвестных  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть находится  решение  системы  (1.10),  причем  оно  единственно,  так  как  единственна обратная матрица  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

ЗАМЕЧАНИЕ. Способ решения системы (1.10) по формуле (1.12) называется матричным способом решения системы линейных уравнений.

Пример №36

Решить систему уравнений матричным способом: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В  предыдущем  примере    было  показано,  что  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  значит,  систему матричным способом решить можно. Там же была найдена обратная матрица 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом,  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  Проверкой убеждаемся, что решение найдено верно. 
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Матричный способ удобен, когда надо решить несколько Крамеровских  систем, которые отличаются только правыми частями.  
Вернемся к равенству (1.12). Из него следует, что  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     
где Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  –  определитель  матрицы,  полученной  из  А  заменой  ее  i -го столбца  на  столбец  правых  частей  системы  (1.10)  ,  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Формулы (1.13) называются формулами Крамера. 
 

Ранг матрицы и элементарные преобразования

Определение:  Минором  порядка   k  матрицы А называется определитель  k -го порядка, составленный из элементов матрицы А, стоящих  на пересечении произвольно  выбранных k строк и  k столбцов без изменения порядка их следования. 

Пример №37

Рассмотрим матрицу Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Миноры первого порядка – каждый элемент матрицы  A .  
Миноры  второго порядка: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  и так далее.  
Матрица   A  имеет всего 18 миноров второго порядка. 
Миноры третьего порядка:Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Миноров четвертого порядка у этой матрицы нет. 
 

Теорема: Если  все миноры  k -го порядка  матрица  А  равны нулю, то равны нулю и все миноры старших порядков, если они существуют. 

Доказательство: Рассмотрим минор порядка  (k+1) . Это определитель  (k-1) -го порядка, который ( по свойству 7 ) можно разложить по элементам некоторой  строки (столбца ). В разложении будут алгебраические дополнения, которые с точностью до знака совпадают с минорами  k – го порядка и по условию равны нулю. Поэтому равен нулю и рассматриваемый минор порядка k( 1 ). Аналогично равны нулю и миноры старших порядков  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачесли они существуют, что и требовалось доказать. 
 

Определение:. Рангом  матрицы А называется такое целое число  r , 
что среди ее миноров  r -го порядка есть хотя бы один ненулевой, а все миноры 
порядка (r+1) равны нулю. 

Из доказанной теоремы следует, что, другими словами, ранг матрицы – это наивысший порядок отличного от нуля минора
Будем обозначать Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  ранг матрицы  A . 
Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны 
нулю, то есть если матрица нулевая

Пример №38

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрица  F , очевидно, имеет ненулевой минор второго порядка, например,Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, но все ее миноры третьего порядка – их всего 16 – равны нулю, 
поэтому Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для того чтобы обнаружить этот факт без трудоемких вычислений, введем понятие элементарных преобразований. 
 

Определение: Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия: 

  1. умножение любой строки на числоЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. перемена местами двух строк; 
  3. прибавление ко всем элементам строки  соответствующих элементов другой  строки, умноженных на одно и то же числоЛинейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. отбрасывание нулевой строки; 
  5. отбрасывание одной из двух пропорциональных строк; 
  6. те же преобразования со столбцами. 

Теорема: Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. 
С их помощью всякую матрицу можно привести к диагональному виду, и ее ранг равен количеству ненулевых элементов на главной диагонали (без доказательства). 

Покажем теперь, что ранг матрицы F из последнего примера равен 2. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

При переходе от  F  к  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  использовались элементарные  преобразования  3), 5), 6): первую строку  F прибавили ко второй и четвертой, затем отбросили две из трех пропорциональных строк; далее первый столбец  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавили ко второму и четвертому с коэффициентами 2 и (-4) соответственно и два из трех пропорциональных столбцов отбросили. По теореме  2 Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычислить  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидно, можно было, получив лишь матрицу  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняя дальнейших преобразований.

Исследование произвольных систем  линейных уравнений

Рассмотрим систему  m линейных уравнений с n неизвестными. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрица Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается основной матрицей системы (1.14), а    

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – расширенной матрицей системы (1.14). 

Определение: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет. 

Определение:  Совместная  система  называется  определенной,  если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений у нее более одного. 

Пример №39

Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – единственное решение системы
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач– решений нет
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – решений бесконечное множество
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема:  (Кронекера-Капелли,  критерий  совместности  системы  линейных уравнений)   Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен  рангу расширенной (без доказательства). 

Теорема: (о числе решений). Пусть выполнены условия совместности системы линейных уравнений. Тогда, если  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , где n  – число неизвестных, то система имеет единственное решение. Если  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , то система имеет  бесконечное множество решений, при этом  (n – r ) переменных задаются свободно, тогда оставшиеся  r  переменных определятся единственным образом (без доказательства). 

Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений вида  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
называется однородной. 
 

Однородная система всегда совместна, так как   Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  – ее решение. Такое решение называется нулевым или тривиальным.  
 

Теорема:  Для  того  чтобы  система  линейных  однородных  уравнений (1.15) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы  r   был меньше числа неизвестных  n . 

Доказательство:

  1. Достаточность: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (1.15) имеет нетривиальное решение.  По теореме о числе решений система  в этом случае имеет бесконечное множество решений, среди которых содержатся и нетривиальные. 
  2. Необходимость: (1.15) имеет нетривиальное решение Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть  r = n,  тогда  по  теореме  о  числе  решений  система  (1.15)  имеет  единственное решение. Это решение тривиальное, что противоречит условию. Поэтому сделанное предположение неверно  и r > n.

Следствие: Для того чтобы однородная система   n  уравнений  с   n  неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю. 

Доказательство:

  1. Достаточность: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  система имеет нетривиальное решение.  Так как единственный минор  n -го порядка равен нулю, то  r < n, значит, нетривиальное решение существует. 
  2. Необходимость: система имеет нетривиальное решение Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то не равен нулю минор  n -го порядка основной матрицы, значит,  r = n и решение единственно, что противоречит условию. 

Метод Гаусса

Этим методом можно решить любую систему линейных уравнений (1.14) или доказать, что она несовместна. Он состоит в  последовательном исключении  неизвестных  системы  (1.14)  по  следующей  схеме:  выписывается  расширенная  матрица  системы  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   и  приводится    к  наиболее  простому  виду  –  треугольному или виду трапеции – с помощью следующих преобразований над ее  строками: 

  1. перемена местами двух строк  (уравнений); 
  2. умножение любой строки (уравнения) на число Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3.  отбрасывание  одной  из  двух  равных  или  пропорциональных  строк  (уравнений) ; 
  4. прибавление к любой строке (уравнению) другой строки (уравнения),  умноженной на число Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

После выполнения преобразований возможны три  случая:  
а)Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . В этом случае  A  эквивалентна треугольной матрице и Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  , значит, решение системы единственно. Последовательно вычисляя  неизвестные снизу вверх, находим решение системы.

б) Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае   A   эквивалентна  трапециевидной матрице, значит,  r < n и система имеет бесконечное множество решений: (n – r ) переменных перенесем вправо и будем считать их свободными (известными), тогда оставшиеся  r  переменных определятся единственным образом  как функции свободных. 
в) Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и система несовместна. 
 

Пример №40

Решить систему линейных уравнений: Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выпишем расширенную матрицу и системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований над строками: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, что Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   по  теореме 

Кронекера-Капелли система совместна. 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , значит, по теореме о числе решений система неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений и   n – r = 2 – число свободных переменных.

Выпишем систему, соответствующую матрице  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   и  эквивалентную исходной: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Перенесем  в  правую  часть    переменные  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  считая  их  свободными (Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач– зависимые переменные):  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теперь подставим  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  в первое уравнение и выразим  Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  через свободные переменные: 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач – общее решение системы. 
 

Определение:  Общим решением системы (1.14) называется   решение, содержащее информацию обо всех неизвестных, в котором зависимые переменные выражаются как функции свободных. 

Решение,  полученное  из  общего  при  конкретных  значениях  свободных переменных, называется частным решением. 
Например, частными решениями этой системы являются:  
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сделаем проверку частного решения  (для всех уравнений исходной системы!): 
Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Лекции по предметам:

  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Векторная алгебра
  4. Геометрия
  5. Аналитическая геометрия
  6. Высшая математика
  7. Дискретная математика
  8. Математический анализ
  9. Теория вероятностей
  10. Математическая статистика
  11. Математическая логика

Добавить комментарий