Как найти одно неизвестное в пропорции

Один из способов решения задач на проценты – это использование пропорций.

Как правильно составлять и решать подобные пропорции?

Существует много практических задач, использующих понятие процентов. Часто для их решения используется понятие пропорции.

В простых случаях можно решать вот таким образом: все мы знаем, что 50% это половина от числа, 25% – это его четвёртая часть, 20% – это пятая часть, 10% -это 10 часть , 5 % – 20 часть, 1% – 100 часть. Итак, найти один процент от 2000 это 2000/100=20. Найти 50 % от 60 это 60/2=30.

А можно использовать универсальный способ – понятие пропорции.

Предположим надо найти 13% от 180.

Тогда составим:

180 – 100%

Х – 13 %

Мы должны числа писать под числами, проценты под процентами. Далее раскрывает пропорцию крест накрест. То с чем икс не в паре перемножаем, а с чем в паре по диагонали – делим.

У нас получаем 180*13/100=23,4

Пропорция с процентами составляется по следующему принципу:

• Исходное число (обозначим его буквой A) принимается за 100%. Первым членом пропорции будет цифровая запись числа A, ему будет соответствовать 100%.

• Остальными членами пропорции будут часть от этого числа (обозначим его буквой B) и проценты, соответствующие этой части (обозначим их буквой p).

Вот как выглядет такая пропорция:

A / B = 100% / p%

Например:

1000 / 50 = 50% / 5%.

Или можно записать по-другому:

1000 – 100%.

50 – 5%.

При решении задач на проценты с помощью пропорции неизвестный её член (а здесь может быть 3 варианта) обычно обозначается за x.

Решить пропорцию (то есть найти неизвестный член) можно благодаря её основному свойству: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних (другими словами, нужно перемножить члены пропорции крест-накрест).

• Исходное число будет равно: A = 100% * B / p%.

• Часть от числа будет равна: B = A * p% / 100%.

• Проценты от числа можно найти по формуле: p% = 100% * B / A.

Далее рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 1.

Зарплата составляет 30000 рублей, а премия – 10% от зарплаты. Нужно определить размер премии.

30000 – 100%.

x – 10%.

Вспоминаем, что произведение крайних членов равно произведению средних:

30000 * 10 = 100 * x.

x = (30000 * 10) / 100 = 3000.

Значит, премия равна 3000 рублей.

Пример 2.

Сделано 20 выстрелов, 4 из них – мимо мишени. Нужно определить процент попадания.

20 – 100%.

4 – x%.

Умножаем крест-накрест и приравниваем:

20 * x = 100* 4.

x = (100 * 4) / 20 = 20.

Здесь нужно учесть, что 20% – это процент выстрелов мимо мишени (так как рядом с неизвестным x были записаны именно промахи).

Процент попадания в свою очередь равен 100% – 20% = 80%.

Пример 3.

За месяц было продано 30 ноутбуков, что составляет 20% от всего количества ноутбуков, имеющихся в продаже. Нужно найти, сколько всего ноутбуков было в магазине изначально.

x – 100%.

30 – 20%.

Умножаем крест-накрест:

20 * x = 100 * 30.

x = (100 * 30) / 20 = 150.

Таким образом, изначально в продаже было 150 ноутбуков.

Я как-то со школы запомнила принцип пропорции и способ ее решения называю «крест-накрест», не помню, кто это мне подсказал.

Никогда не нахожу проценты по принципу умножения на сотую часть, мне не удобно, всегда использую свой «крест», единственное неудобство – нужно наглядно записывать это. Это не страшно – бумага всегда под рукой.

Составляю пропорцию по условию, одно из значений неизвестное обозначаю Х.

Затем решаю: перемножаю цифры, расположенные «на углах» слева и справа от Х, делю на число, расположенное на противоположном углу от Х.

Пример: нужно найти 5% от числа 420.

Пишу пропорцию.

420 – 100 %

Х – 5 %

Х = 5 • 420 : 100 = 21%

Вот моя запись с крестом

Ещё пример: сколько процентов от 200 составляет число 20.

Составляю пропорцию.

200 – 100 %

20 – Х %

Решение: X = 20 • 100 : 200 = 10%

Странно, конечно, для таких простых задач составлять какие-то дополнительные пропорции, они решаются в уме и очень быстро, но способ такой есть, давайте его рассмотрим, возможно, кому-то он пригодится. Допустим, нам надо найти сколько процентов составляет число 18 от числа 90, в принципе, мы и так сразу видим что 18 это одна пятая, то есть 20 процентов от числа 90, но давайте составим пропорцию, приняв за х искомое количество процентов, пропорция у нас будет такая:

90 – 100 %

18 – х %, откуда х = 100 х 18 / 90 = 20 процентов.

Еще один пример для закрепления материала, найдем, сколько процентов составляет 24 от 250, пропорция:

24 – х

250 – 100

х = 24 х 100 /250 = 9,6 %.

Для определения процентного соотношения от числа нужно иметь представление об основных простых процентных соотношениях и о принципе вычисления любых из них.

Для простоты давайте приведем примеры с числом 100.

1 % от ста – это одна сотая часть или один процент.

2% от ста – две сотых части от ста.

7% от ста – семь сотых части от ста и так далее.

То есть сначала нам нужно узнать, сколько составляет один процент любого числа, разделив его на сто, а затем узнавать заданное процентное соотношение.

Например, нам нужно найти, сколько будет равно 7 процентам от 200.

Делим 200 на 100. Получится 2. Умножим 2 на 7, получится 14.

Итого: 7% от 200 будет равняться числу 14.

Всегда любила задачки на пропорции. Главное- правильно ее составить, а потом все просто, крест на крест и решение готово.

Простейший пример. Найти на сколько процентов цех выполнил план по сборке за смену, если общий план 250 механизмов( штук), а всего за смену было собрано 262 ? Итак решаем.

250 штук – 100 %

262 штуки – х %

Решение: 262 × 100:250= 104,8 %.

Пример 2. Выяснить, сколько столовой нужно картофеля на год, если 20 тонн закрывают потребность лишь на 82%.

Решение.

Опять пропорция, где известно доля от потребности и в тоннах и процентах. Общая потребность , разумеется берется за 100.

20 тонн – 82 %

Х тонн – 100 %.

20 × 100:82= 24,4 тонны.

Допустим по условию задачи нам известно сколько всего было единиц (1000 кг яблок) и надо узнать сколько единиц (кг сухого вещества) составляют 18%. Составляем пропорцию, в которой 1000 – это 100%, а неизвестной х – 18 %. То есть в пропорции у нас есть единицы и проценты. Соотносим соответственно кг к кг и проценты к процентам. это обязательное условие пропорции. Пропорция будет выглядеть так:

Обычно в таких задачах задано общее число единиц, кг, км и нужно узнать сколько этих единиц составит определенное количество процентов. Или наоборот сколько процентов составляет количество единиц. То есть даны два известных, но мы помним что есть еще проценты, что общее количество чего-то это всегда 100%.

Например нам нужно узнать сколько процентов составляет 38 рублей от 40 рублей. Составим пропорцию: 40/38=100/х, где 40 рублей это 100%, х – сколько рублей 38%. Из пропорции находим х = 95 %.

Посчитать пропорцию с процентами очень легко. В задачах на пропорции с процентами нам нужно посчитать проценты от числа. Для решения задачи нам нужно знать, что 50% – это половина от числа, 25% – одна четвертая от числа. То есть для того, чтобы найти пропорцию с процентами, нам нужно разделить число на 100 и умножить на процент.

Например, мне нужно найти 20 процентов от числа 230. Сначала я 230 делю на 100, получается 2.3, а затем умножаю его на 20 – получаю 46.

50 процентов является половиной от числа, 25 является четвертой частью, 20 – пятой, 10 – 10, 5 является 20, а 1 процент – 100 часть. Один процент от 2000 найти не сложно. 2000 делим на 100 получим 20. Для того чтобы найти 50 процентов от 60 вам потребуется поделить на 2 = 30.

Если нужно найти 13 процентов от 180 то 180 = 100 процентам , х = 14 получится 180 умножим на 13 делим на 100 и получаем 23,4.