Как найти односторонние пределы функции в точке

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Левый и правый пределы функции

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Читать дальше: предел функции на бесконечности, бесконечно большая функция.

Непрерывность функции в точке

30 декабря 2021

В этом уроке мы выясним, что такое непрерывность функции в точке, непрерывность на множестве; познакомимся с основными свойствами таких функций; научимся искать точки разрыва и решим множество интересных задач.

Содержание:

1. Интуитивное определение непрерывности
2. Непрерывность функции в точке
3. Непрерывность функции на множестве
4. Точки разрыва

Поначалу теория будет совсем простой, но затем выкладки и задачи начнут быстро усложняться. И чем глубже вы хотите разобраться в математике, тем больше пользы получите от этого урока.

1. Интуитивное определение непрерывности

Большинство студентов, когда слышат термин «непрерывная функция», представляют себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Например, обычную параболу:

Или просто какую-нибудь плавную кривую:

Главное, чтобы у этих линий не было никаких особенностей. Они не «разваливаются» на куски, не «улетают» в бесконечность рядом с какой-то точкой, и вообще для любого $x$ мы прямо по графику можем определить, чему будет равен $y$.

Другое дело — функции с нарушением непрерывности. Или, как говорят, с точками разрыва. Обычно студенты сразу называют функцию $y={1}/{{{x}^{2}}};$ — классическую гиперболу, которая не определена в точке $x=0$, а график «улетает» в бесконечность в окрестности этой точки:

Впрочем, для возникновения разрыва функции вовсе не обязательно уходить куда-то в бесконечность. Достаточно просто иметь выколотую точку. Взгляните:

Перед нами всё та же парабола $y={{x}^{2}}$, но с выколотой точкой $x=-2$. Как такое возможно? Очень просто. Например, именно так выглядит график функции

[y=frac{{{x}^{2}}left( x+2 right)}{x+2}]

Значение этой функции не определено при $x=-2$, поскольку знаменатель дроби обращается в ноль. Но во всех остальных точках знаменатель $x+2ne 0$, и можно выполнить сокращение:

[y=frac{{{x}^{2}}left( x+2 right)}{x+2}={{x}^{2}}quad left( xne -2 right)]

И это не какая-то «искусственная» задача — такие функции регулярно встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике, особенно в задачах с параметром.

Но и это ещё не всё. Функция может быть определена на всей числовой прямой — и всё равно иметь точку разрыва:

Это график кусочно-заданной функции

[fleft( x right)=left{ begin{align} & 1, & x gt 0 \ & 0, & x=0 \ & -1, & x lt 0 \ end{align} right.]

Она определена для всех $xin mathbb{R}$, в т.ч. при $x=0$. Однако именно в точке $x=0$ происходит скачкообразное изменение: $fleft( 0 right)=0$, но малейший шаг влево — и вот уже $fleft( x right)=-1$. А малейший шаг вправо — и $fleft( x right)=1$.

Итого проблемы возникают там, где функция «улетает» в бесконечность, либо меняется скачкообразно, либо вообще не определена. И тут мы переходим к строгому определению непрерывности.

2. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функция $fleft( x right)$ называется непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, если она определена в этой точке и имеет предел, равный значению функции в этой точке:

[limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

На практике удобно считать, что функция непрерывна в точке ${{x}_{0}}$, если выполнены сразу три условия:

1. Функция определена в этой точке, т.е. существует $fleft( {{x}_{0}} right)$;
2. Существует конечный предел функции $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$;
3. Этот предел равен значению функции в точке: $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, функция перестаёт быть непрерывной. Так, в приведённых выше примерах гипербола $y={1}/{x};$ не определена и не имеет предела в точке $x=0$. Парабола с выколотой точкой просто не определена при $x=-2$. А кусочно-заданная функция определена в точке $x=0$, но имеет разные левые и правые пределы, отличные от $fleft( 0 right)$.

2.1. Непрерывность по Коши и по Гейне

Среди трёх условий непрерывности особый интерес представляет второй пункт — существование предела $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$. Именно на вычислении предела функции в точке спотыкается большинство учеников.

Если вы чувствуете себя неуверенно в вычислении таких пределов, рекомендую повторить тему «Что такое предел функции в точке». А сейчас мы адаптируем два ключевых определения из того урока — предел функции по Коши (в нотации «$varepsilon $—$delta $») и по Гейне (через последовательности) — для проверки непрерывности.

Определение 2. (непрерывность по Коши) Функция $fleft( x right)$ непрерывна в точке ${{x}_{0}}$, если

[begin{align} & forall left( varepsilon gt 0 right)quad exists left( delta =delta left( varepsilon right) gt 0 right): \ & xin {{overset{circ }{mathop{U}},}_{delta }}left( {{x}_{0}} right)Rightarrow left| fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right) right| lt varepsilon\ end{align}]

Когда «посвящённый» человек слышит фразу «предел функции в точке», он чаще всего вспоминает именно такое определение (по Коши, т.е. в нотации «$varepsilon $—$delta $»). Но есть ещё одно определение:

Определение 3. (непрерывность по Гейне) Функция $fleft( x right)$ непрерывна в точке ${{x}_{0}}$, если для любой числовой последовательности $left{ {{x}_{n}} right}$ такой, что

[limlimits_{nto infty } {{x}_{n}}={{x}_{0}}]

выполняется условие

[limlimits_{nto infty } fleft( {{x}_{n}} right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

Все три определения непрерывности эквивалентны. Это следует из эквивалентности определения предела по Коши и по Гейне (доказательство такой эквивалентности — в уроке про пределы функции в точке).

Нас сейчас интересует другое: а как вообще проверить, что все эти пределы существуют? Тут нам на помощь приходят односторонние пределы.

2.2. Критерий существования предела в точке

Теорема 1. Предел функции в точке $limlimits_{xto a} fleft( x right)$ существует и равен числу $Ain mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда существуют конечные односторонние пределы $limlimits_{xto a+} fleft( x right)$ и $limlimits_{xto a-} fleft( x right)$, причём эти пределы должны быть равны числу $A$:

[limlimits_{xto a} fleft( x right)=limlimits_{xto a+} fleft( x right)=limlimits_{xto a-} fleft( x right)=A]

Эта теорема прекрасно подходит и для проверки непрерывности, и для классификации точек разрыва (об этом позже). Давайте рассмотрим пару примеров, а затем сформулируем общий алгоритм.

Пример 1. Непрерывная функция.

Рассмотрим график функции $y={{x}^{2}}$ и найдём односторонние пределы в точке ${{x}_{0}}=2$.

Вот график с интересующей нас точкой:

Если встать в начало координат, а затем приближаться к точке ${{x}_{0}}=2$ слева, значения функции будут постепенно расти, становясь всё ближе к $y=4$:

А если двигаться из бесконечности влево, приближаясь к ${{x}_{0}}=2$, значения функции будут убывать, становясь всё ближе к тому же $y=4$:

Получается, что односторонние пределы существуют и равны одному и тому же числу:

[limlimits_{xto 2-} {{x}^{2}}=limlimits_{xto 2+} {{x}^{2}}=4]

Это значит, что и стандартный предел функции в точке ${{x}_{0}}=2$ тоже существует и равен

[limlimits_{xto 2} {{x}^{2}}=4]

Значение функции $y={{x}^{2}}$ в точке ${{x}_{0}}=2$ тем более определено и равно тому же самому числу:

[fleft( 2 right)={{2}^{2}}=4]

Вот и получается, что (1) функция равна 4, (2) предел существует (мы доказали это через односторонние пределы) и равен 4, (3) значения функции и предела в точке совпадают. Следовательно, функция $y={{x}^{2}}$ непрерывна в точке ${{x}_{0}}=2$.

Возможно, прочитав всё это, вы скажете: «Спасибо, кэп. А разве бывает иначе?» Ещё как бывает! Взгляните на следующий пример.

Пример 2. Функция с разрывом в точке ${{x}_{0}}=0$.

Рассмотрим график функции $y={left| x right|}/{x};$ и найдём односторонние пределы в точке ${{x}_{0}}=0$.

Этот график весьма схож с тем, что мы рассматривали в самом начале урока. Для удобства обозначим точки $left( 0;1 right)$ и $left( 0;-1 right)$, не принадлежащие графику, выколотыми точками (а не стрелками, как было раньше):

Функция не определена в нуле — одно из условий непрерывности уже не выполняется, и на этом можно было бы закончить. Но нас сейчас интересуют односторонние пределы.

Начнём движение по левой ветке графика — из минус бесконечности влево к $x=0$:

При этом значение функции будет оставаться неизменным: $y=-1$. Следовательно,

[limlimits_{xto 0-} frac{left| x right|}{x}=-1]

Теперь пройдёмся по правой ветке — из плюс бесконечности к $x=0$:

Как бы близко к нулю мы ни приближались, значения функции всё равно равны $y=1$. Поэтому

[limlimits_{xto 0+} frac{left| x right|}{x}=1]

Получается, что односторонние пределы существуют, но не равны:

[limlimits_{xto 0-} frac{left| x right|}{x}ne limlimits_{xto 0+} frac{left| x right|}{x}]

Следовательно, общего предела функции в точке $x=0$ не существует.

2.3. Алгоритм исследования функции на непрерывность

Сформулируем универсальный алгоритм, по которому доказывается непрерывность функции $fleft( x right)$ в точке ${{x}_{0}}$. Или наоборот — опровергается. Алгоритм состоит из трёх шагов:

1. Проверить, определена ли функция $fleft( x right)$ в точке $x={{x}_{0}}$. Другими словами, можно ли найти значение $fleft( {{x}_{0}} right)$. Если посчитать $fleft( {{x}_{0}} right)$ нельзя — функция не является непрерывной, исследование закончено. Если можно, переходим к пункту 2;
2. Найти односторонние пределы и проверить: выполняется ли критерий существования предела функции в точке. Если односторонние пределы существуют и равны — переходим к пункту 3. Если хотя бы один односторонний предел не существует, либо они не равны — функция не является непрерывной, исследование закончено.
3. Сравнить значения $fleft( {{x}_{0}} right)$ и $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$. Если они равны, функция непрерывна. Если нет — значит, функция не является непрерывной.

Может показаться, что действий слишком много. И что проверка слишком сложная. На самом деле это не так. Взгляните:

Пример 3. Доопределите функцию $fleft( x right)$ в точке ${{x}_{0}}$ так, чтобы она стала непрерывной:

[fleft( x right)=frac{sin x}{x},quad {{x}_{0}}=0]

Это одна из любимейших задач всех преподавателей по матанализу. Очевидно, функция не проходит уже первый пункт проверки: $fleft( 0 right)$ не существует, поскольку деление на ноль не определено.

Однако нам предлагают доопределить функцию, т.е. найти такое $Ain mathbb{R}$, чтобы полученная функция

[fleft( x right)=left{ begin{align} & frac{sin x}{x}, & xne 0 \ & A, & x=0 \ end{align} right.]

была непрерывна в точке ${{x}_{0}}=0$.

Поэтому проверим пункт 2. Посчитаем левосторонний и правосторонний пределы:

[begin{align} & limlimits_{xto 0+} frac{sin x}{x}=1; \ & limlimits_{xto 0-} frac{sin x}{x}=limlimits_{xto 0-} frac{sin left( -x right)}{-x}=limlimits_{tto 0+} frac{sin t}{t}=1 \ end{align}]

[begin{align} limlimits_{xto 0+} frac{sin x}{x}&=1; \ limlimits_{xto 0-} frac{sin x}{x}&=limlimits_{xto 0-} frac{sin left( -x right)}{-x} \ &=limlimits_{tto 0+} frac{sin t}{t}=1 \ end{align}]

Односторонние пределы легко сводятся к первому замечательному пределу и равны $A=1$. Следовательно, если мы доопределим $fleft( x right)$ так, чтобы $fleft( 0 right)=1$, мы получим функцию, непрерывную в ${{x}_{0}}=0$:

[fleft( x right)=left{ begin{align} & frac{sin x}{x}, & xne 0 \ & 1, & x=0 \ end{align} right.]

Вот и всё. Задача решена.

Обратите внимание на график функции $y=fleft( x right)$. Вот так он выглядит изначально (очевидно нарушение непрерывности в ${{x}_{0}}=0$):

А вот так — после того, как мы доопределим $fleft( 0 right)=1$:

Получили функцию, которая непрерывна в любой точке. И это видно на графике. Из чего сразу сделаем два замечания:

Замечание 1. Если в задании требуется исследовать функцию на непрерывность, обязательно постройте хотя бы примерный график этой функции. Так вы сразу поймёте: где могут быть проблемы, как ведёт себя функция в окрестности «проблемных» точек и что с этим можно сделать.

Замечание 2. Исследование на непрерывность всегда проводится в конкретных точках. Но график функции — это чаще всего бесконечное множество точек, большинство из которых ничем не примечательны. Поэтому нужно научиться определять непрерывность на бесконечных множествах.

Вот вторым пунктом — непрерывностью на бесконечных множествах — мы сейчас и займёмся.

3. Непрерывность функции на множестве

До сих пор мы говорили о непрерывности лишь в одной конкретной точке — некой ${{x}_{0}}in mathbb{R}$. Но большинство функций определено на огромных множествах — вплоть до всей числовой прямой. Как быть в этом случае? Здесь нам помогут следующие определения.

3.1. Непрерывность на интервале

Определение 4. Функция $fleft( x right)$ непрерывна на интервале $left( a;b right)$, если она непрерывна в каждой точке ${{x}_{0}}in left( a;b right)$.

Пример. Функция $y={1}/{x};$ непрерывна на интервале $left( -infty ;0 right)$ и на интервале $left( 0;+infty right)$.

Почему именно интервал? Почему не отрезок? Потому что интервал — это открытое множество, т.е. каждая точка ${{x}_{0}}in left( a;b right)$ входит в этот интервал с некоторой своей $delta $-окрестностью. На языке кванторов записывается это так:

[begin{align} {{x}_{0}}in left( a;b right) & Rightarrow exists left( delta gt 0 right): \ xin {{U}_{delta }}left( {{x}_{0}} right) & Rightarrow xin left( a;b right) \ end{align}]

А на числовой прямой всё это безобразие выглядит так:

На интервале мы никогда достигаем границ — точек $a$ и $b$. Поэтому не имеет значения, как близко к этим границам располагается точка ${{x}_{0}}$. Всегда можно взять расстояние до ближайшей границы (например, $left| {{x}_{0}}-a right|$), поделить пополам — вот вам и отступ $delta gt 0$.

3.2. Непрерывность на отрезке

Отрезок $left[ a;b right]$ принципиально отличается от интервала $left( a;b right)$ тем, что мы можем зайти, например, в левый конец отрезка — точку $a$ — и ничего левее этой точки принадлежать отрезку уже не будет.

Никакие отступы, никакие $delta $-окрестности тут не помогут. Поэтому нам нужны два новых определения.

Определение 5. Функция $fleft( x right)$ называется непрерывной справа в точке ${{x}_{0}}$, если

[limlimits_{xto {{x}_{0}}+} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

непрерывной слева в точке ${{x}_{0}}$, если

[limlimits_{xto {{x}_{0}}-} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

Теперь мы можем рассматривать непрерывность на любых привычных нам множествах — интервалах и отрезках. Чуть позже в этом уроке мы сформулируем замечательную теорему о непрерывности элементарных функций, но пока давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 4. Функция $fleft( x right)=sqrt{4-{{x}^{2}}}$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Для начала найдём область определения $fleft( x right)$. Поскольку арифметический квадратный корень определён только из неотрицательного числа, имеем:

[begin{align} 4-{{x}^{2}} & ge 0 \ {{x}^{2}} & le 4 \ left| x right| & le 2 \ x& in left[ -2;2 right] \ end{align}]

Для лучшего понимания ситуации начертим график $y=sqrt{4-{{x}^{2}}}$. Заметим, что

[begin{align} {{y}^{2}} & =4-{{x}^{2}} \ {{x}^{2}}+{{y}^{2}} & ={{2}^{2}} \ end{align}]

это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r=2$. Графиком функции будет лишь та часть этой окружности, для которой $yge 0$:

Очевидно, что функция непрерывна для всех $xin left[ -2;2 right]$, причём в $x=-2$ непрерывна справа, в $x=2$ непрерывна слева.

Пример 5. Функция $fleft( x right)=sqrt{x}$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Область определения функции $fleft( x right)=sqrt{x}$:

[xin left[ 0;+infty right)]

График — стандартная «уложенная набок» ветвь параболы:

Видим, что функция $fleft( x right)$непрерывна во всех точках $xin left[ 0;+infty right)$, причём в $x=0$ непрерывна справа. Задача решена.

Возможно, вы уже заметили, что все функции, которые мы сегодня изучали, были непрерывны на всей своей области определения. Проблемы возникали лишь во всяких конструкциях вида ${1}/{x};$, где возможно деление на ноль. Но даже гипербола $y={1}/{x};$ не определена лишь в точке $x=0$, а во всех остальных точках она определена и непрерывна.

И это не случайно. Существует целый класс функций, которые непрерывны на всей своей области определения. Настала пора познакомиться с ними.

3.3. Непрерывность элементарных функций

В математическом анализе существует особый класс функций, которые называются элементарными.

Определение 6. Элементарные функции — это любые функции из списка:

1. Любой многочлен $Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$;
2. Рациональная функция $fleft( x right)={Pleft( x right)}/{Qleft( x right)};$, где $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ — многочлены;
3. Степенная функция $fleft( x right)={{x}^{a}}$, где $ain mathbb{R}$;
4. Логарифмическая функция $fleft( x right)={{log }_{a}}x$, где $a gt 0$, $ane 1$;
5. Показательная функция $fleft( x right)={{a}^{x}}$, где $a gt 0$, $ane 1$;
6. Все тригонометрические функции: $sin x$, $cos x$, $operatorname{tg}x$, $operatorname{ctg}x$;
7. Все обратные тригонометрические функции: $arcsin x$, $arccos x$, $operatorname{arctg}x$, $operatorname{arcctg}x$;
8. Любые функции, которые можно составить из предыдущих с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Кстати, модуль тоже является элементарной функцией:

[left| x right|=sqrt{{{x}^{2}}}]

Для всех таких функций выполняется замечательная теорема:

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Если область определения представляет собой отрезок или иное замкнутое множество, то на концах таких отрезков выполняется односторонняя непрерывность.

Универсального доказательства этой теоремы сразу для всех элементарных функций не существует. Сначала доказывают непрерывность степенной и показательной функции. Затем показывают непрерывность арифметических операций (тот ещё квест, особенно для многочленов).

Кроме того, есть целая группа теорем, которые верны для всех непрерывных функций:

• 1.Теорема о нуле непрерывной функции и о промежуточном значении на отрезке.
• 2.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке и о достижении точной верхней и нижней грани.
• 3.Теоремы о непрерывности обратной функции и композиции функций.

Каждой из этих теорем посвящён отдельный урок — с точной формулировкой, доказательством и примерами (см. содержание раздела). Сейчас нас интересуют более приземлённые вопросы.

Например, может возникнуть вопрос: а что, разве есть какие-то другие функции, помимо элементарных? Конечно есть.

Пример 6. Функция Дирихле:

[Dleft( x right)=left{ begin{align} & 1, & xin mathbb{Q} \ & 0, & xnotin mathbb{Q} \ end{align} right.]

Функция Дирихле определена для всех $xin mathbb{R}$. Она равна единице в том случае, если $x={p}/{q};$ — рациональное число, и равна нулю во всех остальных случаях.

Очевидно, что в любой $delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}in mathbb{Q}$ и слева, и справа найдутся иррациональные числа. И наоборот: в любой $delta $-окрестности иррационального числа $ain mathbb{R}backslash mathbb{Q}$ найдутся его рациональные приближения с избытком и недостатком. Следовательно, односторонние пределы

[limlimits_{xto {{x}_{0}}-} Dleft( x right)quad limlimits_{xto {{x}_{0}}+} Dleft( x right)]

не существуют ни в одной точке графика. И функция Дирихле терпит разрыв в каждой точке числовой прямой.:)

Кстати, сам график выглядит примерно так:

Линия $y=1$ проведена пунктиром из тех соображений, что множество рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел — нет. Но это всё условности.:)

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию

[fleft( x right)=sin left( {1}/{x}; right)]

Эта функция представляет собой композицию двух элементарных функций: $sin x$ и ${1}/{x};$. Следовательно, перед нами элементарная функция, которая определена и непрерывна везде, кроме $x=0$.

Посчитаем левосторонний и правосторонний предел в точке $x=0$. Для этого заметим, что при $xto 0$ величина ${1}/{x};to infty $. Следовательно, в любой $delta $-окрестности точки $x=0$ найдутся и точки вида $t=pi n$, $nin mathbb{Z}$, в которых $sin t=0$; и точки вида $t={pi }/{2};+pi n$, в которых $sin t=pm 1$.

Следовательно, ни левосторонний, ни правосторонний пределы не определены:

[limlimits_{xto 0+} sin frac{1}{x}quad limlimits_{xto 0-} sin frac{1}{x}]

А это значит, что общий предел в точке $x=0$ тоже не определён. Следовательно, $x=0$ — не просто точка разрыва (это и так понятно, поскольку в нуле функция не определена). Принципиально невозможно доопределить $fleft( x right)$ в нуле так, чтобы получилась непрерывная функция.

График $y=sin left( {1}/{x}; right)$ выглядит так (единичный отрезок — две клетки):

Чем ближе $xto 0$, тем быстрее график «бегает» между $y=-1$ и $y=1$. В какой-то момент из-за конечной толщины линий на чертеже строить график становится невозможно. Даже если мы возьмём за единичный отрезок тысячу клеток. Даже если будем чертить на огромных листах. Никакие листы и отрезки не могут сравниться с бесконечностью.:)

Ну и перед тем как переходить к практике, давайте разберёмся, что же произойдёт, если хотя бы одно условие непрерывности не выполняется.

4. Точки разрыва

Урок о непрерывности функции в точке будет неполным, если мы не поговорим про точки разрыва.

Напомню, что функция $fleft( x right)$ является непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, когда выполнены три условия:

1. Функция $fleft( x right)$ определена в этой точке, т.е. мы можем посчитать $fleft( {{x}_{0}} right)$.
2. Существует конечный предел $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)$.
3. Должно выполняться равенство $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)$.

А что, если хотя бы одно условие не выполнено? Перед нами точка разрыва.

Определение 7. Если функция $fleft( x right)$ не является непрерывной в точке ${{x}_{0}}$, то она называется разрывной в точке ${{x}_{0}}$. Сама точка ${{x}_{0}}$ при этом называется точкой разрыва функции $fleft( x right)$.

Определение 8. Точка разрыва ${{x}_{0}}$ называется точкой разрыва первого рода функции $fleft( x right)$, если существуют конечные односторонние пределы $limlimits_{xto {{x}_{0}}+} fleft( x right)$ и $limlimits_{xto {{x}_{0}}-} fleft( x right)$.

В противном случае ${{x}_{0}}$ называется точкой разрыва второго рода.

Классический пример точки разрыва второго рода:

[y=frac{1}{x},quad {{x}_{0}}=0]

Ветви гиперболы «улетают» в бесконечность рядом с точкой ${{x}_{0}}=0$.

Ещё один пример:

[y=sin frac{1}{x},quad {{x}_{0}}=0]

Мы уже рассматривали график этой функции и знаем, что односторонних пределов в ${{x}_{0}}=0$ не существует. Поэтому функция терпит разрыв второго рода.

Да даже обычный $y=operatorname{tg}x$ терпит разрыв второго рода в точках вида ${{x}_{n}}={pi }/{2};+pi n$, $nin mathbb{Z}$.

Определение 9. Разрыв первого рода в точке ${{x}_{0}}$ называется устранимым, если существует конечный предел $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=A$, но $Ane fleft( {{x}_{0}} right)$.

То же самое, если существует конечный предел $limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=A$, но $fleft( {{x}_{0}} right)$ не определена.

Из определения очевидно, что устранимыми могут быть только разрывы первого рода. Вот несколько примеров:

• $y=frac{sin x}{x}$, ${{x}_{0}}=0$ (устранимый: $yleft( 0 right)=1$)
• $y=frac{left| x-1 right|}{x-1}$, ${{x}_{0}}=1$ (неустранимый)
• $y=frac{{{x}^{2}}left( x+2 right)}{x+2}$, ${{x}_{0}}=-2$ (устранимый: $yleft( -2 right)=4$)

Рассмотрим более сложный пример

Пример 8. Исследуйте точки разрыва функции

[y=xcdot {{e}^{{1}/{x};}}]

Это элементарная функция, поэтому единственная точка разрыва: $x=0$ — в ней не определена дробь ${1}/{x};$.

Выясним, какого рода этот разрыв. Посчитаем предел слева:

[begin{align} limlimits_{xto 0-} xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}} & =limlimits_{xto 0-} frac{x}{{{text{e}}^{-{1}/{x};}}}=frac{limlimits_{xto 0-} x}{limlimits_{xto 0-} {{text{e}}^{-{1}/{x};}}}= \ & =frac{0}{limlimits_{xto 0+} {{text{e}}^{{1}/{x};}}}=left[ frac{0}{infty } right]=0 end{align}]

[begin{align}limlimits_{xto 0-}xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}}&=limlimits_{xto 0-}frac{x}{{{text{e}}^{-{1}/{x};}}}= \ &=frac{limlimits_{xto 0-}x}{underset{xto 0-}{{text{e}}^{-{1}/{x};}}}= \ &=frac{0}{limlimits_{xto 0+}{{text{e}}^{{1}/{x};}}}= \ &=left[ frac{0}{infty } right]=0 end{align}]

И предел справа:

[begin{align} limlimits_{xto 0+} xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}} & =limlimits_{xto 0+} frac{{{text{e}}^{{1}/{x};}}}{{1}/{x};}=left[ {x=1}/{t}; right]= \ & =limlimits_{tto +infty } frac{{{text{e}}^{t}}}{t}=+infty\ end{align}]

[begin{align}limlimits_{xto 0+}xcdot {{text{e}}^{{1}/{x};}}&=limlimits_{xto 0+}frac{{{text{e}}^{{1}/{x};}}}{{1}/{x};}= \ &=left[ {x=1}/{t}; right]= \ &=limlimits_{tto +infty }frac{{{text{e}}^{t}}}{t}=+infty end{align}]

Понятно, что показательная функция $y={{text{e}}^{t}}$ растёт быстрее линейной $y=t$ при $tto +infty $. Поэтому конечного предела нет.

Итого функция терпит разрыв второго рода в точке $x=0$. Этот разрыв хорошо виден на графике:

Обратите внимание: точка $x=1$ является точкой локального минимума, а прямая $y=x+1$ — наклонная асимптота нашего графика. Чтобы находить такие точки, нужно разобраться с производными.

О производных и дифференциалах мы поговорим в отдельных уроках. А пока лишь одна заключительная рекомендация:

При исследовании функции на непрерывность обязательно чертите её график. Хотя бы в виде эскиза. Даже если задание кажется вам «очевидным».

Так вы защитите себя от глупых ошибок. И намного быстрее поймёте, как ведёт себя функция в окрестностях точек разрыва.

На этом всё. Приступайте к практике.:)

Смотрите также:

1. Теоремы Вейерштрасса о непрерывной функции
2. Критерий Коши сходимости последовательности
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

Односторонние пределы функций

Если отыскивается предел функции при условии, что стремясь к , т. е. , может принимать только такие значения, которые меньше , то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции . Левосторонний предел функции обозначается символом:

или .

Если отыскивается предел функции при условии, что стремясь к , т. е. , может принимать только такие значения, которые больше , то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции . Правосторонний предел функции обозначается символом:

или .

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой её левосторонний и правосторонний пределы, т. е. .

Функция называется непрерывной при , если её левосторонний и правосторонний пределы существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке, т. е.

Если это равенство не выполняется, то точка является точкой разрыва.

Если существуют левосторонний и правосторонний пределы функции, но не равны между собой, т. е. , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Величина называется скачком функции в точке .

Если в точке не существует левосторонний или правосторонний предел функции или не существуют оба предела одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. Во всех этих случаях функция терпит разрыв второго рода.

Если в точке функция имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке , т. е.

, то точка называется точкой устранимого разрыва.

Разрыв «устраняется» тем, что полагают равным и , т. е. принимают, что .

Задача №45.

Показать, что функция

имеет разрыв в точке .

Решение:

При . Найдём односторонние пределы функции в точке .

Имеем: . Условие непрерывности не выполнено. В точке функция имеет разрыв. Это точка разрыва первого рода.

Задача №46.

Какого рода разрыв имеет функция в точке ?

Решение:

Функция терпит разрыв в точке . Левосторонний предел функции . Правосторонний предел функции .

Здесь не существует ни предела слева, ни предела справа, а поэтому точка — точка разрыва второго рода.

Задача №47.

Непрерывна ли функция ? Если нет, то в какой точке непрерывна, и какого рода эта точка имеет разрыв?

Решение:

Функция не является непрерывной, так как она неопределена в точке .

Известно, что , т. е. существуют левосторонний и правосторонний пределы и равны 1, но — не существует. Если условимся, что при функция , то разрыв будет «устранён». Точка является точкой устранимого разрыва, так как и функция в этой точке может быть доопределена так, что можно взять .

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Возможно эти страницы вам будут полезны: