Как найти односторонние углы в треугольнике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Внутренние односторонние углы

Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

∠1 и ∠2

∠3 и ∠4

— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

Если a ∥ b, то

∠1 + ∠2 = 180º

(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

∠3 + ∠4 =180º

А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

∠1 = ∠2

тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

Внутренние односторонние углы – теория, правило и свойства

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

Построение параллелограмма

Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

По построению AB=BD=AD.
Следовательно, AB=CD.
Точки C и D равноудалены от A и B.
Отрезки AB и CD параллельны.
Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Углы по определению

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Доказательство теоремы

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Следствие из свойства прямых

Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.

Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.

Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.

После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.

Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

Построение параллелограмма

По построению AB=BD=AD.

Следовательно, AB=CD.

Точки C и D равноудалены от A и B.

Отрезки AB и CD параллельны.

Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

[spoiler title=”источники:”]

http://nauka.club/matematika/geometriya/vnutrennie-odnostoronnie-ugly.html

http://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/131202-vnytrennie-odnostoronnie-ygly-teoriia-pravilo-i-svoistva.html

[/spoiler]

Источник

Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

∠1 и∠2

∠3 и∠4

— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

Если a ∥ b, то

∠1 +∠2 =180º

(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

∠3+∠4 =180º

А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

∠1 =∠2

тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{circ}$ .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{circ}$ , то есть

$angle 1+angle 6=180^{circ}$ ,

$angle 4+angle 7=180^{circ}$ .

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что

Пусть

Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют $180{}^circ ,$ если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что сумма углов и равна $180{}^circ .$

Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.

$angle MNF+angle FNK=180{}^circ$ как смежные. Значит, $angle MNF+angle ACB=180{}^circ.$

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:

Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой

На прямой от точки В отложим отрезок ${BH}_1$ равный отрезку AH

по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна $180{}^circ ,$ например $angle 1+angle 4=180{}^circ.$

Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

$P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;$

$P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.$

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180{}^circ .$

Мы получили, что

AF – биссектриса угла А,

BF – биссектриса угла В, поэтому

$angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

Из треугольника AFB получим, что $AFB=90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, ${AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.$

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,

Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.

по двум углам.

Отсюда $displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC}$ ;

$BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.$

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 ${}^circ.$ Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда $angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.$

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна $180{}^circ .$

Это значит, что $angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.$

AК – биссектриса угла А,

BК – биссектриса угла В, поэтому

$angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

$angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .$

Из треугольника AKB получим, что $angle ABK= 90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е. KH=4.

по гипотенузе и острому углу

Аналогично, по гипотенузе и острому углу

Получили:

Тогда $S_{ABCD}=ADcdot MN$ ; $S_{ABCD}=8cdot 7=56.$

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $angle 1=120{}^circ ,$ $angle 2=60{}^circ ,$ $angle 3=55{}^circ .$ Найдите Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

$angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.$

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.

Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: $angle 3=angle 4=55{}^circ.$

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если $angle 1=22{}^circ ,$ $angle 2=72{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ$ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна $180{}^circ .$

Для треугольника на рисунке:

$angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .$

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 ${}^circ$ и 45 ${}^circ.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
$angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,$

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ, их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .$

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 ${}^circ.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, $angle A=30{}^circ.$

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ. Их сумма равна $180{}^circ ,$ значит, $angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.$

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=169{}^circ .$ Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: тогда – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит, $angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .$

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, $alpha -beta =50{}^circ ,$ то есть $alpha =beta +50{}^circ .$

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$alpha +beta =180{}^circ ,$ по свойству односторонних углов.

Итак, $2beta +50{}^circ =180{}^circ.$

$beta =65{}^circ ,$ тогда $alpha =115{}^circ .$

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

и и секущей BC; их сумма равна $180{}^circ .$

BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и

Значит

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 ${}^circ.$ Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей BC, их сумма равна $180{}^circ .$

Значит, $angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .$

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда $angle ACD=58div 2=29{}^circ .$

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен $54{}^circ .$ Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен $180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .$

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 ${}^circ.$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть $angle D=150{}^circ ; AB=18; DC=6; AD=7.$

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle A=30{}^circ .$ Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30 ${}^circ .$

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в $30{}^circ$ и равный половине гипотенузы, т. е.

Отсюда $S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h;$ $S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.$

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.

По условию, $angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;$

angle C и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

$angle C+angle B=180{}^circ.$

Получили:

$left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .$

Сложив два уравнения, получим: $2angle C=230{}^circ ,$ тогда $angle C=115{}^circ.$

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150{}^circ .$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол трапеции равен 30 ${}^circ .$ Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135{}^circ .$ Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $45{}^circ .$

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, $angle BDA=40{}^circ$ и $angle BDC=30{}^circ .$ Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ .$ Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $110{}^circ .$

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .

и параллельны, BD секущая, тогда $angle ADB=angle DBC=40{}^circ .$

$angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.$

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит,

как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.

Получили, что – равнобедренный и

$P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20,$ значит

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если $angle 1=117{}^circ ,$ $angle 2=24{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle 2=angle 4=24{}^circ$ (как накрест лежащие углы).

$angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ$ (развернутый угол).

Тогда $angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .$

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=104{}^circ .$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.

$AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.$

и параллельны, АС – секущая, $Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .$

– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

$angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .$

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему “Углы при параллельных прямых и секущей” – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

Пример:

Пары углов

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

Пары углов

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

Соответственные углы равны.
Внутренние накрест лежащие углы равны.
Внешние накрест лежащие углы равны.
Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Скачать домашнее задание к уроку 2.

Источник

Синус,
косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника

Изучение
тригонометрии мы начнем с прямоугольного
треугольника. Определим, что такое синус
и косинус, а также тангенс и котангенс
острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним,
что прямой
угол —
это угол, равный 90º.
Другими словами, половина развернутого
угла.

Острый
угол —
меньший 90º.

Тупой
угол —
больший 90º.
Применительно к такому углу «тупой» —
не оскорбление, а математический
термин 🙂

Нарисуем
прямоугольный треугольник.

Прямой
угол обычно обозначается С.

Обратим
внимание, что сторона, лежащая напротив
угла, обозначается той же буквой,
только маленькой.

Так,
сторона, лежащая напротив угла А,
обозначается а.

Гипотенуза прямоугольного
треугольника — это сторона, лежащая
напротив прямого угла.

Катеты —
стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет а,
лежащий напротив угла А,
называется противолежащим(по отношению
к углу А).

Другой
катет b,
который лежит на одной из сторон
угла А — прилежащим.

Синус острого
угла в прямоугольном треугольнике —
это отношение противолежащего катета
к гипотенузе:

Косинус острого
угла в прямоугольном треугольнике —
отношение прилежащего катета
к гипотенузе:

Тангенс острого
угла в прямоугольном треугольнике —
отношение противолежащего катета
к прилежащему:

Другое
определение: тангенсом острого угла
называется отношение синуса угла к его
косинусу:

Котангенс острого
угла в прямоугольном треугольнике —
отношение прилежащего катета
к противолежащему (или отношение
косинуса к синусу):

Это
теорема Пифагора: a² +
b² =
с².

Мы тоже
нарисуем таблицу значений синуса,
косинуса, тангенса и котангенса для
углов от 0 до 90°.

φ	0º	30º	45º	60º	90º
sin φ
cosφ
tg φ					не существует
ctg φ	не существует

Внешний
угол треугольника. Синус и косинус
внешнего угла

В некоторых
задачах ЕГЭ требуется найти синус,
косинус или тангенс внешнего угла
треугольника. А что такое внешний
угол треугольника?

Давайте
вспомним сначала, что такое смежные
углы.

Вот
они, на рисунке. У смежных углов
одна сторона общая, а две другие лежат
на одной прямой. Сумма смежных углов
равна 180 градусов.

Возьмем
треугольник и продолжим одну из его
сторон. Внешний угол при вершине А —
это угол, смежный с углом А.

Если
угол А острый, то смежный с ним
угол — тупой, и наоборот.

Обратите
внимание, что

sin
(180°-α) = sin α

cos
(180°-α) = – cos α

tg (180°-α)
= – tg α

Легко
доказать, что внешний
угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним.

Высота
в прямоугольном треугольнике

Вспомним,
что высота
в треугольнике —
это перпендикуляр, опущенный из его
вершины на противоположную сторону.

Высота
проведена к гипотенузе АВ.

Она
делит треугольник АВС на два
прямоугольных треугольника — АСН и СНВ.
Смотрим внимательно на рисунок
и находим на нем равные
углы.

Это
и есть ключ к задачам по геометрии,
в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним,
что сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна 90º.
Значит, ∠ АСН
= 90º –
∠ САН,
то есть угол АСН равен
углу АВС.
Аналогично, угол САВ равен
углу НСВ.

Иными
словами, каждый из трех углов
треугольника АВС равен
одному из углов
треугольника АСН (и треугольникаВСН).
Треугольники АВС,
АСН и ВСН называются подобными. Давайте
нарисуем их рядом друг с другом.

Они
отличаются только размерами. Стороны
подобных треугольников пропорциональны.
Что это значит?

Возьмем
треугольники АСН и АВС.
Стороны треугольника АВС длиннее,
чем стороны треугольника АСН в k раз,
причем

При
решении задач нам пригодится равенство
углов треугольников АВС,
АСН и ВСН,
а также пропорциональность их сторон.

Обратите
также внимание, что площадь
треугольника АВС можно
записать двумя разными способами: как
половину произведения катетов и как
половину произведения гипотенузы
на проведенную к ней высоту.

Сумма углов треугольника

Сумма
треугольника равна 180 градусов.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть
прямая с пересекает параллельные
прямые а и b. При этом образуется
восемь углов. Углы при параллельных
прямых и секущей так часто используются
в задачах, что в геометрии им даны
специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные
углы равны, то есть

∠1
= ∠3,

∠2
= ∠4.

Углы 1 и 2 — смежные,
это мы уже знаем. Сумма смежных углов
равна 180º.

1 и 7,
4 и 6 —
накрест
лежащие.
Накрест лежащие углы равны.

∠1
= ∠7,

∠4
= ∠6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они
лежат по одну сторону от всей
«конструкции». Углы 4 и 7 —
тоже односторонние.Сумма
односторонних углов равна 180°,
то есть

∠1
+ ∠6
= 180°,

∠4
+ ∠7
= 180°.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7,
1 и 5,
4 и 8)
называются соответственными.

Соответственные
углы равны,
то есть

∠2
= ∠6,

∠3
= ∠7.

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты,
медианы и биссектрисы треугольника
постоянно встречаются нам в задачах
по геометрии.

Мы начнем
с таблицы, в которой показано, что
такое высоты, медианы и биссектрисы,
и какими свойствами они обладают.

Затем —
подробные объяснения и решение задач.

Напомним,
что высота
треугольника —
это перпендикуляр, опущенный из его
вершины на противоположную сторону.

Три
высоты треугольника всегда пересекаются
в одной точке. Вот как это выглядит
в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте
провести три высоты в тупоугольном
треугольнике.

Получилось?
Да, редкий выпускник справляется с этим
заданием.

Действительно,
мы не можем опустить перпендикуляр
из точки А на отрезок ВС,
зато можем опустить его на прямую ВС —
то есть на продолжение стороны ВС.

В этом
случае в одной точке пересекаются
не сами высоты, а их продолжения.

А как
выглядят три высоты в прямоугольном
треугольнике? В какой точке они
пересекаются?

Медиана
треугольника —
отрезок, соединяющий его вершину
с серединой противоположной стороны.

Три
медианы треугольника пересекаются
в одной точке и делятся в ней
в отношении 2:1,
считая от вершины.

Биссектриса
треугольника —
отрезок, соединяющий вершину треугольника
с точкой на противоположной стороне
и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы
угла есть замечательное свойство —
точки, принадлежащие ей, равноудалены
от сторон угла.

Поэтому
три биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке, равноудаленной от всех
сторон треугольника.

Эта
точка является центром окружности,
вписанной в треугольник.

Еще
одно свойство биссектрисы пригодится
тем, кто собирается решать
задачу С4. Биссектриса
треугольника делит противоположную
сторону в отношении длин прилежащих
сторон.

Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства

В школьных
задачах по геометрии мы обычно
рассматриваем выпуклые четырехугольники.

В чем
разница между ними?

Если
любые две точки выпуклого многоугольника
соединить отрезком — весь отрезок
будет лежать внутри многоугольника.

Для
невыпуклых фигур это не выполняется.

Сумма
углов выпуклого четырехугольника
равна 360 градусов.

Произвольные
четырехугольники в задачах по геометрии
встречаются редко.

Намного
чаще — такие, у которых есть
параллельные стороны.

Это
параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник
и трапеция.

Здесь
в таблице собраны их определения
и свойства.

Параллелограмм
и его свойства. Площадь параллелограмма.
Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм —
это четырехугольник, имеющий две пары
параллельных сторон.

Свойства
параллелограмма:

Противоположные
стороны параллелограмма равны.

Противоположные
углы параллелограмма равны.

Диагонали
параллелограмма в точке пересечения
делятся пополам.

Биссектрисы
углов параллелограмма, прилежащих
к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко
доказывается и другое свойство
биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы
противоположных углов параллелограмма —
параллельны.

Биссектриса
угла параллелограмма отсекает от него
равнобедренный треугольник.

Запишем формулы
площади параллелограмма:

S = ah,
где а —
основание параллелограмма, h —
его высота.

S
= ab sin φ,
где а и b —
стороны параллелограмма, φ —
угол между ними.

S
=
d1 d2 sin α,
где d1 и d2 —
диагонали параллелограмма, α —
угол между ними.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Внутренние односторонние углы

Внутренние односторонние углы – теория, правило и свойства

Углы по определению

Доказательство теоремы

Следствие из свойства прямых

Построение параллелограмма

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Углы по определению

Доказательство теоремы

Следствие из свойства прямых

Построение параллелограмма

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Понятие угла

Виды углов:

Биссектриса угла

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Сумма углов многоугольника

Примеры решений заданий из ОГЭ

Сумма углов треугольника

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства

Вам также может понравиться

Как найти угол бас в окружности

Как ватсапе найти гифки на айфоне

Как найти пароли на телефоне если забыл

Добавить комментарий Отменить ответ