Как найти одну часть от отношения

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

На главную страницу
На главную страницу

на главную

Отношение чисел

Поддержать сайтспасибо

Прежде чем обсуждать пропорции необходимо разобраться, что такое отношение двух чисел.

Если вам знакомо понятие отношение чисел, можете смело переходить к теме
пропорции.

Что называют отношением двух чисел

Запомните!
!

Отношение двух чисел — это их частное.

Отношение двух чисел показывает:

  • во сколько раз одно число больше другого;
  • какую часть одно число составляет от другого.

Покажем на примере, где используется понятие отношение двух чисел.

В городе Липецк проводятся соревнования на велосипедах. В прошлом году участников было 15.
В этом году — 75. Во сколько раз увеличилось количество участников в этом году по
сравнению с предыдущим годом
?

Прежде чем решать задачу, подчёркиваем важные данные.
Запишем отношение количества участников в этом году к количеству участников в предыдущем.

Запомните!
!

При записи отношения двух чисел в знаменатель дроби (вниз) записывается
то число, с которым сравнивают.
Обычно это число идёт после слов «по сравнению с …» или
предлога «к …».

что называется отношением чисел

Запомните!
!

Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число, неравное нулю, то получится отношение, равное данному.

При внимательном изучении правила выше, можно подметить, что правило записанное выше,
есть нечто иное как основное свойство дроби, по которому мы их легко сокращаем.

Отношение 16 к 10:

как записывется отношение чисел


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

25 апреля 2023 в 20:44

Максим Тагиров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Максим Тагиров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибоthanks
Ответить


В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как (mathbf{a div b}) или же через дробную черту: (mathbf{frac{a}{b}})

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

  • может получиться натуральное число
  • обыкновенная дробь
  • смешанное число

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.

(mathbf{256div8=32})

Ответом будет 32.

Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1

В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.

Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:

  • если отношение получилось больше 1, значит, первое число больше второго
  • если меньше 1, то второе число больше первого
  • если отношение оказалось равно 1, значит, числа равны

Пример 2

Найдите отношение 15 к 12

По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.

(mathbf{15div12=frac{15}{12}=frac{5cdot3}{4cdot3}=frac{5}{4}=1frac{1}{4}})

Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.

Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.

Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в (mathbf{1frac{1}{4}}) раза.

Пример 3

Найдем отношение 16 к 24.

Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.

(mathbf{16div24=frac{16}{24}=frac{8cdot2}{8cdot3}=frac{2}{3}})

В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.

Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.

А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в (mathbf{frac{2}{3}}) раза.

Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет (mathbf{frac{2}{3}}) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.

Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.

Пример 4

Есть два числа, 14 и 28

Посчитаем отношение 14 к 28

(mathbf{14div28=frac{14}{28}=frac{14cdot1}{14cdot2}=frac{1}{2}})

И посчитаем отношение 28 к 14

(mathbf{28div14=2})

Как вы видите, получились разные значения.

Как можно заметить, это взаимно обратные числа.

Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.

Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.

Пример 5

Дано, что отношение числа a к числу b равно (mathbf{frac{2}{5}}), найдем отношение b к a

Для этого надо найти обратное число к (mathbf{frac{2}{5}})

(mathbf{1divfrac{2}{5}=frac{5}{2}=2frac{1}{2}})

Значит, отношение b к a равняется (mathbf{2frac{1}{2}})

В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.

Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.

Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.

Пример 6

Отношение числа 10 к числу 30 равно (mathbf{frac{1}{3}})

Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно (mathbf{frac{1}{3}})

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.

Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.

Так мы получим число, которое будет частью исходного.

Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него (mathbf{frac{3}{8}})

Перемножив, мы получим:

(mathbf{4cdotfrac{3}{8}=frac{4cdot3}{8}=frac{4cdot3}{4cdot2}=frac{3}{2}=1frac{1}{2}})

А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.

Для этого разделите одно на другое:

(mathbf{1frac{1}{2}div4=frac{3}{2}div4=frac{3}{2cdot4}=frac{3}{8}})

То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.

Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.

Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.

Пример 1

Известно, что некая дробь от числа 10 равна (mathbf{2frac{1}{2}})

Найдем, какая именно это дробь.

Решение:

Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.

Теперь разделим одно на другое и получим ответ.

(mathbf{2frac{1}{2}div10=frac{2cdot2+1}{2}div10=frac{5}{2}div10=frac{5}{2cdot10}=frac{1}{2cdot2}=frac{1}{4}})

Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили (mathbf{2frac{1}{2}}), равняется (mathbf{frac{1}{4}})

Пример 2

Отношение первого числа ко второму равно (mathbf{1frac{1}{5}}), также известно, что первое число равно 6.

Найдем второе число.

Решение:

Мы знаем, что отношение обратно дроби.

Найдем обратное число к (mathbf{1frac{1}{5}})

(mathbf{1div1frac{1}{5}=1divfrac{6}{5}=1cdotfrac{5}{6}=frac{5}{6}})

Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:

(mathbf{6cdotfrac{5}{6}=frac{6cdot5}{6}=5})

Второе число равно 5

Проверка:

Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5

(mathbf{6div5=frac{6}{5}=1frac{1}{5}})

Получилось то же отношение, что и в условии.

Пример 3

Решим похожую задачу:

Отношение числа а к числу b равно (mathbf{1frac{1}{2}})

Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.

Решение:

Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:

(mathbf{1div1frac{1}{2}=1divfrac{3}{2}=frac{2}{3}})

Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.

В нашем случае на дробь надо делить число b :

(mathbf{8divfrac{2}{3}=8cdotfrac{3}{2}=frac{8cdot3}{2}=4cdot3=12})

Ответ: число a равняется 12

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Теперь научимся находить отношения в задачах.

Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.

Задача 1

Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.

а) Найдите, какая часть улицы освещена.

б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Решение:

В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.

Именно это и спрашивается в первом вопросе.

Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:

(mathbf{15div25=frac{15}{25}=frac{3cdot5}{5cdot5}=frac{3}{5}})

Значит, длина освещенного участка составляет (mathbf{frac{3}{5}}) от длины всей улицы.

Во втором вопросе нас спрашивают: «Во сколько раз больше?» – это соответствует отношению большего числа к меньшему.

Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:

(mathbf{25div15=frac{25}{15}=frac{5cdot5}{3cdot5}=frac{5}{3}=1frac{2}{3}})

Что отвечает на вопрос второго пункта.

Ответ: a) (mathbf{frac{3}{5}}), б) (mathbf{1frac{2}{3}})

Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.

То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.

Задача 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза-  это одежда и ее масса 350 кг.

Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Решение:

Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.

Теперь найдем искомое отношение:

(mathbf{frac{350}{2000}=frac{35}{200}=frac{7cdot5}{5cdot40}=frac{7}{40}})

Ответ: (mathbf{frac{7}{40}}).

Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сегодня вы узнаете о математических фокусах!

Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.

Фокус 1

Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.

Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.

Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.

Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.

Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х 

Фокус 2

В нем вы можете угадать День рождения человека.

Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).

Для того чтобы сказать по полученному числу День рождения человека, надо вычесть из числа, названного зрителем, 250 – получится трехзначное или четырехзначное число, где первые одна или две цифры – это день рождения, а последние две – месяц.

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Отношения и пропорции
  5. Отношения

Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.

Где и члены отношения; число предыдущий член отношения; последующий член отношения.

Например:

14 : 7 – отношение числа 14 к числу 7;

6 : 25 – отношение числа 6 к числу 25;

  – отношение числа к числу ;

1,15 : 0,36 – отношение числа 1,15 к числу 0,36.

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число  составляет от числа .

Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .

Основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:

То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.

Процентное отношение двух чисел – это их отношение, выраженное в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Пример:

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?

51021·100%=12·100%=1002%=50%.

Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.

Например:

Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.

1 м = 100 см;

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 =  .

Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .

Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.

На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана).

Например:

Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.

Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.

Для решения обозначим через  длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

5 : = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 510 000;

= 50 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.

Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.

Для решения обозначим через  длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности:  : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

: 9,5 = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 9,5 : 10 000;

= 0,00095;

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.

Советуем посмотреть:

Пропорции

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Длина окружности и площадь круга

Отношения и пропорции


Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 578,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 669,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1070,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 731,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 760,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 808,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 821,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 993,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1311,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 149,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 150,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 198,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 229,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 230,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 405,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 406,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 846,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 847,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 943,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 303,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Просмотров 1.4к. Опубликовано 30.09.2022

При записи отношения двух чисел Напишите в знаменателе дроби (сверху вниз) число, с которым она сравнивается. За этим числом обычно следует дополнение «по сравнению с…». или префикс «по…».

Отношения

Мы знаем это, чтобы ответить на вопрос, насколько часто одно число больше (или меньше) другого, или насколько одно число является дробью другого. найти частное данных чисел.

Частное двух чисел не равный нулю, называется отношением чисел , или отношением числа .

Где — члены отношения число перед термином отношенияследующий срок отношения.

14 : 7 — отношение числа 14 к числу 7;

6 : 25 — отношение числа 6 к числу 25;

количество

1,15 : 0,36 — отношение от числа 1,15 до числа 0,36.

Отношение двух чисел Показывает, как часто одно число больше другого или как сильно одно число зависит от другого. Это отношение чисел указывает, сколько раз число или сколько частей числа .

Помните, что деление можно заменить дробью, поэтому, отношение чисел можно записать двумя способами: и

Основное свойство отношения:

Отношение не меняется, когда его члены умножаются или делятся на одно и то же число, которое не равно нулю.

Запишем отношение от 3 до 10 и найти его значение:

То есть отношение двух чисел Он может быть выражен в процентах.

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах.

Процентное отношение показывает, какой процент число составляет от другого числа.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и добавить знак процента к результату.

Пример:

В каком проценте число 5 равно числу 10?

5 10 2 1 — 100 % = 1 2 — 100 % = 100 2 % = 50 % .

Ответ: 50% равно 5 умножить на 10.

Если значение двух величин выражено в одних и тех же единицах, то. их отношение называют также отношением. Если две величины выражены в разных единицах, то отношения эти величины должны быть сначала переведены в одну и ту же единицу измерения.

Например:

Дан прямоугольник длиной 12 см и шириной 1 м. Найти отношение длины сторон прямоугольника.

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = 12 : 100 = 100.
Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 =

Дробь взаимно обратная, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называются взаимно обратными.

На практике отношение Обратные дроби используются, например, при составлении чертежей и географических карт. В этом случае земельные участки рисуются на бумаге в уменьшенном виде, а на карте или картографии изображаются отношение, указывает, как часто длина отрезка на чертеже меньше длины соответствующего отрезка на местности.

Соотношение между длиной отрезка на карте и длиной соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты (чертежа).

Предположим, что карта имеет масштаб

Давайте выясним, какова длина отрезка в 5 см на карте на земле.

Для решения обозначим длину отрезка на земле (в сантиметрах). Затем отношение длина отрезка на карте к длине отрезка на местности составляет: 5 :, данная отношение равна масштабу карты, что дает уравнение:

5 :

Решите это уравнение:

10 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: Отрезок в 5 см на карте равен 0,5 км на местности.

Давайте выясним, какая длина на карте соответствует отрезку 9,5 км на карте.

Для решения обозначьте длину участка на карте (в километрах). Затем отношение длина отрезка на карте с длиной отрезка на местности: : 9,5, данная отношение равна масштабу карты, что дает уравнение:

Решите это уравнение:

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: Отрезок 9,5 км на карте равен 95 см на карте.

На этом уроке мы узнаем, что такое 9,5 см линии на карте в 95 см линии. отношения. Мы также поймем, что такое отношение двух чисел. И, наконец, мы научимся определять пропорцию одного числа к другому.

Отношение чисел

Отношение чисел — это коэффициент от деления одного числа на другое.

Отношение чисел A и b можно записать двумя способами: со знаком деления или через косую черту (как дробь):

Эти признаки следующие: отношение a к b или отношение числа a к числу b.

Числа a и b, составляющие отношение a : b становятся терминами отношения. Делителем является предыдущий член отношения, а делитель — предпоследний член. отношения. Таким образом, a — предыдущий член, b — следующий.

Соотношение используется для сравнения двух чисел. Так, отношение a : b показывает, во сколько раз a больше b (если делитель больше делимого) или сколько процентов от числа b составляет a (если делитель меньше делимого).

Отношение 35 к 7 показывает, что число 35 в пять раз больше числа 7.

2)

Отношение 12 к 15 показывает, что число 12 в 0,8 раза больше числа 15.

Из основного свойства квоты следует, что. отношения :

Отношение не меняется, когда его члены умножаются или делятся на одно и то же ненулевое число.

На этом уроке мы узнаем, что такое 9,5 см линии на карте в 95 см линии. отношения. Мы также поймем, что такое отношение двух чисел. И, наконец, мы научимся определять пропорцию одного числа к другому.

Помните.

Отношение двух чисел — это их частное.

Отношение двух чисел показывает:

  • во сколько раз одно число больше другого;
  • какую часть одно число составляет от другого.

Давайте на примере покажем, в чем суть концепции. отношение двух чисел.

В городе Липецке проходят соревнования по велоспорту. В прошлом году было 15 участников, в этом году — 75. На сколько больше участников в этом году, чем в прошлом?

Прежде чем решить проблему, давайте остановимся на самых важных фактах. Запишите отношение количество участников в этом году с количеством участников в прошлом году.

Помните.

При записи отношения двух чисел Напишите в знаменателе дроби (сверху вниз) число, с которым она сравнивается. За этим числом обычно следует дополнение «по сравнению с…». или префикс «по…».

что называется отношением чисел

Помните.

Если вы умножите или разделите оба термина отношения на одно и то же число, которое не равно нулю, вы получите отношение, равное данному.

Если вы внимательно изучите приведенное выше правило, то обнаружите, что написанное выше правило — это не что иное, как основное свойство дробей, с помощью которого мы можем легко их сокращать.

Основное свойство коэффициента заключается в том, что он остается неизменным при умножении или делении делителя и делимого на одно и то же число.

Задания для самостоятельной работы

На пост президента претендовали два кандидата. Явка составила 120 человек. Распределение голосов соответствует соотношению 3:5. Необходимо определить количество голосов, полученных победителем.

Соотношение между количеством хвойных и лиственных деревьев в лесу можно представить как 1:4. Необходимо рассчитать долю лиственных деревьев.

На площади 24 га выращиваются сельскохозяйственные культуры. Зерновые и овощи распределяются в соответствии с с отношением 5:3. Необходимо рассчитать площадь возделывания овощных культур в гектарах.

Основное свойство отношения: Путем умножения или деления членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, данный отношение останется неизменным.

Отношения в задачах

Теперь давайте узнаем, как отношения в задачах.

Давайте сразу перейдем к примерам, чтобы увидеть, какой может быть формулировка отношения.

Проблема 1

Протяженность дороги составляет 25 километров. Он освещен на протяжении 15 километров.

(α) Найдите, какая часть дороги освещена.

(b) Во сколько раз вся проезжая часть длиннее освещенной части?

путь

Решение:

В начале урока мы обнаружили отношение меньшего числа в большее, определяя тем самым, какая часть первого числа содержится во втором.

Это первый вопрос.

Для нахождения отношения Отношение длины освещенного участка к длине всей дороги делится на единицу:

Значит, длина освещенного участка составляет (mathbf>) по всей длине дороги.

Второй вопрос: «Во сколько раз больше?». — соответствует отношению от большего числа к меньшему.

Чтобы найти это отношения это разделить длину всей дороги на длину освещенной части дороги:

Это отвечает на вопрос второго пункта.

Важно также всегда следить за тем, чтобы количество было одинаковым.

Так, если что-то дано нам в тоннах и килограммах, и мы хотим найти отношения Чтобы узнать эти количества, мы должны либо перевести тонны в килограммы, либо наоборот.

Проблема 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза — это одежда, масса которой составляет 350 кг.

Определите, сколько процентов от массы груза составляет масса одежды.

груз

Решение:

Давайте сначала переведем тонны в килограммы. Оказывается, что масса груза составляет 2000 кг.

Теперь давайте найдем неизвестное. отношение:

Теперь попробуйте решить задачу самостоятельно и воспользуйтесь подсказками, если у вас возникнут трудности.

Вы можете пройти тест и получить результат после того, как войдете в систему или зарегистрируетесь.

Интересная информация

математические фокусы

Сегодня вы научитесь математическим фокусам!

Их идея заключается в том, что можно запутать людей с помощью математических преобразований, которые дают нам то, что нам нужно.

Уловка 1.

Попросите зрителя придумать число и никому его не называть.

Теперь попросите их умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть число в уме.

Теперь вы можете с уверенностью сказать, что зритель получил число 4.

Это происходит потому, что при преобразовании исходное число удаляется из арифметической цепочки, оставляя только четверку.

Попробуйте доказать это с помощью формул, вычитая исходное число X

Уловка 2

В этой игре вы можете угадать день рождения человека.

Попросите зрителя умножить количество дней рождения на 2. Затем попросите его прибавить к результату 5 и умножить целое число на 50. Затем попросите зрителя добавить номер месяца, в котором он родился (1 января, 2 февраля и т.д.).

Чтобы узнать день рождения человека по полученному числу, вычтите 250 из числа, указанного зрителем — вы получите трех- или четырехзначное число, где первые одна или две цифры обозначают день рождения, а последние две цифры — месяц.

Содержание:

Отношения и пропорции

Отношение. Основное свойство отношения

Пример:

Для класса закупили 90 тетрадей, из них 60 — в клетку, а остальные — в линейку Во сколько раз всех тетрадей больше, чем тетрадей в клетку? Какую часть всех тетрадей составляют тетради в клетку?

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти, во сколько раз всех тетрадей больше, чем тетрадей в клетку, нужно 90 разделить на 60, го есть найти частное чисел 90 и 60:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Итак, всех тетрадей в 1,5 раза больше, чем тетрадей в клетку. Частное чисел 90 и 60 показывает, но сколько раз число 90 больше числа 60.

Ответим на второй вопрос задачи. Так как всего есть 90 тетрадей, то 1 тетрадь – это Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения часть всех тетрадей, а 60 тетрадей — что Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения всех тетрадей. Итак, тетради в клетку составляют Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения всех тетрадей. Этот же ответ мы получили бы, сразу разделив 60 на 90. Поэтому частное чисел 60 и 90 показывает, какую часть составляет число 60 от числа 90.

Чтобы ответить на оба вопроса задачи, нам пришлось искать частное двух чисел Такие частные называют отношениями двух чисел: частное 90:60= 1,5 называют отношением числа 90 к числу 60; частное 60:90= Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — отношением числа 60 к числу 90.

Отношением двух чисел называют частое этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другою или какую часть составляет одно число от другого.

Если имеются две величины, измеренные одной и той же единицей измерения, то отношением этих величин называют отношение их числовых значений.

Например, отношение 6 км к 10 км равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения oтношение 10 кг к 2 кг равно 10 : 2 = 5. Найти отношение 600 г к 2 кг можно так: 2 кг = 2000 г, поэтому искомое отношение— 600 : 2000 = 0,3 (или 600 г = 0,6 кг, поэтому искомое отношение — 0,6 : 2 = 0,3).

Так как отношение является частным, а частное не изменяется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то отношение не изменится, если каждое из чисел отношения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число. Это свойство называют основным свойством отношения. Например:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

На основании этого свойства можно заменить отношение дробных чисел отношением натуральных чисел. Например:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Спортсмен пробежал 100 м за 10 с, а ракета пролетела 24 км за 3 с. Во сколько раз скорость ракеты больше скорости спортсмена?

Решение:

1) 100 : 10= 10 (м/с) — скорость спортсмена.

2) 24 : 3 = 8 (км/с) — скорость ракеты.

Найдем скорость ракеты в м/с: 8 км/с = 8000 м/с.

3) 8000 : 10 = 800 (раз).

Ответ. В 800 раз.

Случайные события

Мы часто слышим, а иногда говорим: «это возможно», «это невозможно», «этого никогда не будет», «это обязательно случится», «это маловероятно» и т. д. Наверное, сегодня будет дождь; возможно, завтра я пойду в лес; вероятно, этот мультфильм будет интересным и т. д. Так мы говорим тогда, когда речь идет о наступлении события, которое в одних и тех же условиях может произойти или не произойти. Такое событие называют случайным.

Пример 1. В корзине есть красные и зеленые яблоки. Не заглядывая в корзину, наугад вынимаем одно яблоко. Можно ли заранее сказать, какого цвета будет яблоко?

Конечно, нет. Можетпроизойти одно из двух случайных событий: «взятое яблоко окажется красным», «взятое яблоко окажется зеленым».

Пример 2. В корзине 7 красных и 2 зеленых яблока. Не заглядывая в корзину, наугад берут из нее одно яблоко. Можно ли заранее сказать, какого цвета будет яблоко?

Мы уже знаем, что заранее сказать, какого цвета будет яблоко, невозможно, но, скорее всего, яблоко будет красным, потому что их в корзине больше. Взять красное яблоко из корзины в этом случае более вероятно, чем зеленое.

Пример 3. В корзине есть 3 красных и 3 зеленых яблока. Не заглядывая в корзину, наугад берут из нее одно яблоко. Какое из событий может произойти: А — «взяли красное яблоко»; В — «взяли желтое яблоко»; С — «взяли зеленое яблоко»; D — «взяли яблоко»?

Из корзины можно взять только то, что в ней есть, поэтому вынуть из корзины желтое яблоко невозможно. Поэтому событие В «взяли желтое яблоко» при данных условиях невозможно.

Так как в корзине есть только яблоки, то любой предмет, вынутый из корзины, является яблоком. Итак, при данных условиях событие D «взяли яблоко» произойдет обязательно. Говорят, что это событие является достоверным.

События А и С при данных условиях являются случайными, поскольку взятое яблоко может быть как красным, так и зеленым. Так как красных и зеленых яблок в корзине поровну, то эти случайные события являются равновероятными.

Пример:

Игральным кубиком называют кубик, на грани которого нанесены числа 1, 2, 3,4, 5 и 6, обозначенные соответствующим количеством точек (рис. 4). Какое из событий после подбрасывания игрального кубика является более вероятным:

а) А: «выпадет число 3» или В: «не выпадет число 3»;

б) С: «выпадет четное число» или D: «выпадет нечетное число»?

Решение:

а) Событие А произойдет только в одном случае — если выпадет число 3. Событие В произойдет в пяти случаях если выпадет число 1, 2, 4, 5 или 6. Поэтому событие В является более вероятным.

б) Событие С произойдет в трех случаях — если выпадет число 2, 4 или 6. Событие D произойдет также в трех случаях — если выпадет число 1, 3 или 5. Поэтому события С и D являются равновероятными.

Интересные рассказы

О случайных событиях

На первый взгляд может показаться, что никаких законов для случайных событий быть не может — на то они и случайные. Однако, если подумать как следует, можно придти к выводу, что и случайные события имеют некоторые закономерности.

Рассмотрим пример. Представим себе, что мы подбрасываем монету и фиксируем, что выпадет — «орел» или «решка» Подбросив монету один раз, нельзя предугадать, какой стороной она упадет. Но если подбросить ее тысячу раз подряд, то уже можно сделать некоторые выводы о том, сколько раз выпадет «орел», а сколько — «решка».

В XVIII веке эксперименты с монетой проводил французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон (1707 – 1788), у которого во время 4040 подбрасываний «орел» выпал 2048 раз. В начале XX века английский математик Карл Пирсон провел 24 000 подбрасываний, и «орел» выпал 12 012 раз.

Оба эксперимента дают похожие результаты: подбрасывая многократно монету, появление «орла» наблюдали приблизительно в половине всех подбрасываний, то есть частота появления «орла» приблизительно равна 0,5. Итак, хотя каждый результат подбрасывания монеты является случайным событием, многократно повторяя эксперимент, можно наблюдать указанную закономерность.

Рассмотрим еще один пример. Когда в семье должен родиться ребенок, никто не может заранее предугадать, будет это мальчик или девочка. Но во всех странах и у всех народов на 1000 новорожденных в среднем приходится 511 мальчиков и 489 девочек. Эту закономерность отмечали многие ученые, среди них был и создатель теории вероятности — французский математик Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827).

Вероятность случайного события

Вы уже знаете, что случайные события могут быть более вероятными, менее вероятными, равновероятными, то есть случайное событие можно охарактеризовать понятием вероятность. Какими числами можно оценивать вероятность? Понять это помогут следующие примеры.

Пример 1. На столе лежит 8 внешне одинаковых тетрадей, из них одна в клетку, а остальные — в линейку. Ученик хочет взять тетрадь в клетку. Имеется 8 равновероятных случаев взять тетрадь, и только в одном из них она будет в клетку. Поэтому считают, что вероятность того, что взятая наугад тетрадь будет тетрадью в клетку, равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения является вероятностью события: взятая тетрадь будет тетрадью в клетку.

Пример 2. В лотерею разыгрывается 1000 билетов, из них 10 — выигрышные. Какова вероятность того, что купленный лотерейный билет будет выигрышным?

Имеем 1000 равновероятных случаев купить билет лотереи, и только в 10 случаях он будет выигрышным. Отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения является вероятностью события: билет будет выигрышным.

Пример 3. В урне 7 белых и 3 красных шара. Не заглядывая в урну, наугад вынимают 1 шар. Вероятность того, что вынули белый шар, равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения так как в урне находится 10 шаров, то есть имеем 10 равновероятных случаев вынуть шар, и среди них только в 7 случаях шар будет белым. Вероятность вынуть красный шар равна — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения является вероятностью события: вынутый шар будет белого

цвета, а отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения является вероятностью события: вынутый шар будет красного цвета.

Вероятность невозможного событии равна 0, а достоверного — 1.

Пример:

Найти вероятность того, что после подбрасывания игрального кубика выпадет число 3; число 10.

Решение:

После подбрасывания игрального кубика может выпасть любое из шести чисел — 1, 2, 3, 4, 5 или 6, то есть возможны 6 разных случаев, и только в одном из них выпадет число 3. Поэтому вероятность того, что после подбрасывания игрального кубика выпадет число 3, равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Вероятность появления числа 10 равна нулю, так как такое событие невозможно. •

Пример:

На полке стоит 10 учебников, 15 томов художественных произведений и 3 справочника. Наташа наугад берет одну книгу. Какова вероятность того, что эта книга: а) является учебником; б) не является учебником?

Решение:

а) Учебников на полке 10, а всего книг— 10 + 15 + 3 = 28. Поэтому вероятность того, что взятая книга является учебником, равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

б) Не учебников (других книг) 15 + 3=18, всего книг — 28. Поэтому вероятность того, что взятая книга не является учебником, равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пропорция

Найдите отношение чисел: 36 к 9; 24 к 6. Сравните эти отношения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Эти отношения равны, а поэтому можно записать:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв пропорцию можно записать так:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Эти записи читают:

«отношение а к b равно отношению с к d»,

«а, деленное на b, равно с, деленному на d»,

«а относится к b, как с относится к d».

В пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и ссредними членами.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Далее будем считать, что все члены пропорции отличны oт нуля.

Пропорция 36 : 9 = 24 : 6 верная, так как значением ее левой и правой частей является одно и то же число 4.

Найдите произведения крайних и средних членов этой пропорции. Сравните их.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Это свойство называют основным свойством пропорции.

Итак, если пропорция Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения верная, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Верно и наоборот: если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то эта пропорция верная.

Для верной пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения из равенства Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения можно найти любой член пропорции по правилу нахождения неизвестного множителя. Например:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

где а и d — крайние члены пропорции, — произведение средних членов пропорции.

Получили правило:

Чтобы найти крайний член пропорции, нужно произведение ее средних членов разделить на другой крайний член.

Аналогично

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти средний член пропорции, нужно произведение ее крайних членов разделить на другой средний член.

Для тех, кто хочет знать больше

Из основного свойства пропорции следует, что если в верной пропорции поменять, местами средние члены или крайние члены, то получим новые верные пропорции.

Так, если пропорция Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения верная, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Тогда верными будут пропорции:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения(поменяли местами средние члены),

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (поменяли местами крайние члены), /> а

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения(поменяли местами крайние и средние члены),

так как в каждой из них произведение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения крайних членов равно произведению Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения средних членов.

Если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения верная пропорция, то верными будут и пропорции

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти неизвестный член пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу нахождения среднего члена пропорции имеем: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решить уравнение: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Интересные рассказы

Пропорция и музыка

Слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», «некоторое отношение частей между собой».

С помощью пропорций решали задачи еще в древние времена. Полная теория пропорций была создана в Древней Греции в IV в. до н. ч., в основном в работах ученых Эвдокса Книдского и Теэтета.

Теория пропорций в совершенстве изложена в «Началах» Эвклида, в частности там дано доказательство основного свойства пропорции

Древние греки называли учение об отношениях и пропорциях музыкой, которую считали областью математики. Они знали, что слабо натянутая струна 122 звучит ниже («толще»), а сильно натянутая струна лает более высокий звук. Но в каждом струнном музыкальном инструменте не одна, а несколько струн. Чтобы все струны во время игры звучали «согласованно», приятно для слуха человека, их длины (а при условии одинаковой длины — толщины) должны находиться в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и пропорциях древние греки называли музыкой.

Пропорциональность использовалась и используется сегодня в искусстве, архитектуре. Использование пропорционапьности в архитектуре, живописи, скульптуре означает соблюдение определенных соотношений между отдельными частями сооружения, картины, скульптуры и т. п.

Современную запись пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения ввел в начале XVIII в. немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Прямая пропорциональная зависимость

Пример:

Три метра ткани стоят 60 руб. Сколько стоят 6 м этой же ткани?

Решение:

Пойдите два способа решения задачи.

I способ

1) 60 : 3 = 20 (руб.) — стоит 1 м ткани.

2) 20 • 6 – 120 (руб. ) — стоят 6 м ткани

II способ

1) 6 : 3 = 2 — во сколько раз увеличилось количество ткани.

2) 60 • 2 = 120 (фн.) — стоят 6 м ткани (стоимость увеличилась в два раза).

Ответ. 120 руб.

Решая задачу вторым способом, мы рассуждали так:

а) стоимость ткани при постоянной цене зависит от количества метров ткани (то есть между стоимостью ткани и ее количеством существует зависимость);

б) эта зависимость имеет такое свойство: во сколько раз увеличивается количество метров ткани, во столько же раз увеличивается ее стоимость; если количество метров ткани уменьшается, то во столько же раз уменьшается ее стоимость.

Зависимость между величинами, имеющую такое свойство, называют прямой пропорцинальной зависимостью.

Зависимость двух величин называют прямой пропорциональной, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз ко столько же раз увеличивается (уменьшается) другая величина.

В решении задачи речь идет о двух величинах, зависимость между которыми является прямой пропорциональной, или о двух прямо пропорциональных величинах: количестве метров ткани и их стоимости

3 м ткани стоят 60 три., или трем метрам ткани соответствует стоимость 60 руб. А 6 м ткани соответствует стоимость 120 руб. Из определения прямой пропорциональной зависимости следует, что отношение количества метров тканиОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равно отношению соответствующих значении их стоимостей Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Итак, если две величины являются прямо пропорциональными, то отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Решить задачи с помощью пропорций.

Пример:

Из 10 кг яблок получают 8 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получат из 44 кг яблок?

Решение:

Пусть из 44 кг яблок получат Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения кг пюре. Запишем условие задачи в виде такой схемы:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

(Эту схему будем понимать так: 10 кг яблок соответствует 8 кг пюре, 44 кг яблок соответствует Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения кг пюре.)

Масса яблок и соответствующая масса яблочного пюре являются прямо пропорциональными, так как во сколько раз больше мы возьмем яблок, во столько же раз больше получим яблочного пюре

По свойству прямо пропорциональных величин запишем пропорцию:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Откуда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (кг)—масса пюре.

Ответ. 35.2 кг.

Пример:

Расстояние между Киевом и Тернополем равно 360 км. Каково расстояние между этими городами на карте с масштабом 1 : 5 000 000?

Решение:

Так как масштаб карты 1 :5 000 000, то 1 см на карте соответствует 5 000 000 см = 50 км на местности. Пусть расстояние между Киевом и Тернополем на карте равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения см. Тогда:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Расстояние на местности прямо пропорционально расстоянию на карте.

Поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения откуда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (см).

Ответ. 7,2 см.

Пример:

Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых относятся как 13:3:4. Найти массу сплава, если для его изготовления использовали 1,8 кг цинка. (Отношение 13:3:4 означает, что в сплаве на медь приходится 13 частей, на цинк — 3 таких же по массе части на никель — 4 части.)

Решение:

Сплав состоит из 13 + 3 + 4 = 20 частей, из которых на цинк приходится 3 части. Пусть масса сплава равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения кг. Тогда:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

При постоянной массе части количество частей и их масса прямо пропорциональны.

Поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения откуда: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (кг).

Ответ. 12 кг.

Процентное отношение

Отношение чисел или величин можно выражать в процентах, для этого отношение нужно умножить на 100%. Например, 3 : 5 = 0,6 = 0,6 • 100% = 60% Говорят, что число 3 составляет 60% от числа 5, или что процентное отношение чисел 3 и 5 равно 60%.

Решение:

Найдем процентное отношение чисел 15 и 10:

15 : 10= 1,5 = 1,5 • 100%= 150%.

Итак, число 15 составляет 150% от числа 10.

Рассмотрим задачу.

Оператор компьютерного набора в течение рабочего дня планировал набрать на компьютере 30 страниц текста, а набрал только 27. На сколько процентов оператор выполнил задание?

Задание, то есть 30 страниц, является тем числом, с которым нужно сравнить число 27, поэтому нужно найти процентное отношение чисел 27 и 30. Имеем:

27 : 30 = 0,9 • 100% = 90%.

Итак, оператор выполнил задание на 90%.

Пример:

Вместо плановых 80 деталей рабочий изготовил 90 деталей Сколько процентов плана выполнил рабочий?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти, сколько процентов составляет 90 от 80. Для этого нужно найти отношение чисел 90 и 80 и выразить его в процентах:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Итак, рабочий выполнил 112,5% плана.

Ответ. 112,5%.

Пример:

В 10%-й раствор соли массой 450 г досыпали 30 г соли. Найти процентное содержание соли в новом растворе.

Решение:

1. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (г) — масса соли в растворе.

2. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (г) — масса соли в новом растворе.

3. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (г) — масса нового раствора

4. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — процентное содержание соли в новом растворе.

Ответ. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Процентные расчеты

Мы решали задачи на проценты путем сведения их к основным задачам на дроби. Эти задачи можно решать и с помощью пропорций. Рассмотрим такой способ решения задач на проценты.

Пусть в школе 50 шестиклассников. Тогда:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Какая существует зависимость между числом процентов и количеством учеников соответствующим этим процентам?

Во сколько раз увеличивается число процентов, во столько же раз увеличивается количество учеников, соответствующее этим процентам.

Итак, число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению величины, которое соответствует этим процентам.

Помним, что 100% некоторой величины — это сама величина.

Пример:

Из свежих слив получают 21% сушеных. Сколько сушеных слив можно получить из 80 кг свежих?

Решение:

Пусть из 80 кг свежих слив можно получить Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения кг сушеных. Свежие сливы составляют 100%, а сушеные — 21%. Запишем условие задачи в виде схемы:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Какова зависимость между массой сушеных слив и числом процентов, которые составляет эта масса от массы свежих слив?

Масса сушеных слив прямо пропорциональна количеству процентов, которое составляет эта масса от массы свежих слив, поэтому:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения кг — искомая масса сушеных слив.

Ответ. 16,8 кг. •

Пример:

Банк дал предпринимателю кредит 10 000 руб. со ставкой 7% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через пол года?

Решение:

Если процентная ставка за год составляет 7%, то за полгода будет насчитано Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения начальной суммы, то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (руб.). Предприниматель должен вернуть банку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (руб.).

Ответ. 10 350 руб.

Пример:

Фермер в прошлом году собрал в среднем по 30 ц зерновых с 1 га, а в нынешнем году — по 32 ц. На сколько процентов увеличилась урожайность зерновых в нынешнем году по сравнению с прошлым годом?

Решение:

Сначала найдем, на сколько центнеров больше зерновых собрал фермер в нынешнем году: 32-30 = 2 (ц). Теперь вычислим, сколько процентов составляет найденная разность от урожая прошлого года. Поскольку сравниваем с урожайностью прошлого года, то 30 ц составляет 100%, а 2 ц —Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения%

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Итак, урожайность возросла на Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, нужно найти:

  1. на сколько единиц увеличилась или уменьшилась данная величина;
  2. сколько процентов составляет полученная разность от начального значения величины.

Пример:

В процессе перегонки нефти из нее получают 30% керосина. Сколько нужно нефти, чтобы получить 9 т керосина?

Решение:

Масса нефти составляет 100%, а масса керосина — 30%. Пусть для того, чтобы получить 9 т керосина, нужно переработать Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения т нефти. Запишем условие задачи в виде схемы:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Составляем пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения откуда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (т) —масса нефти.

Ответ. 30 т.

Пример:

Сколько процентов составляет число 24 от числа 30?

Решение:

Так как число 24 сравниваем с числом 30, то число 30 составляет 100%. Пусть число 24 составляет Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения% от числа 30. Получим:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (%) — составляет число 24 от числа 30

Ответ. 80%.

Пример:

Цену товара, который стоил 200 руб., снизили на 10%. На сколько процентов нужно повысить новую цену, чтобы получить начальную?

Решение:

Начальная цена (200 руб.) составляет 100%, а сниженная цена составляет 100% – 10% = 90% от начальной. Пусть цена после снижения равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения руб. Тогда:

200 руб. — 100%; Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения руб. —90%.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти, на сколько процентов нужно повысить новую цену, чтобы получить начальную, сравним с новой ценой (180 руб.) старую цену. Новая цена составляет 100%. Пусть начальная цена (200 руб.) составляет Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения% новой. Тогда:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Итак, новую цену нужно повысить наОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Окружность. Длина окружности

Представление об окружности дают руль автомобиля, обруч, кольцо и т. п. Нарисуем окружность. Для этого обозначим на плоскости некоторую точку О. Возьмем циркуль, поставим его ножку с иглой в точку О и раствором в 3 см другой ножкой циркуля опишем фигуру. Получим окружность с центром в точке О. Все точки окружности расположены на расстоянии 3 см от центра.

Соединим центр окружности с произвольной точкой А этой окружности отрезком (рис. 5). Отрезок OA, а также его длину называют радиусом окружности. Радиус построенной окружности равен 3 см. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, а также длину этого отрезка называют диаметром. Диаметр окружности в два раза длиннее радиуса этой окружности.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Две точки А и В, лежащие на окружности (рис. 6), разбивают ее на две части. Каждую из этих частей называют дугой окружности. Точки А и В — концы этих дуг. Если точки А и В являются концами диаметра, то они разбивают окружность на две равных части, каждую из которых называют полуокружностью.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Практическая работа

Тема работы. Длина окружности.

Оборудование. Циркуль, линейка, нитка

Ход работы.

1. Строим окружность, радиус которой равен 2 см

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

2. Накладываем на окружность нитку (см. рис. 7).

3. Ставим ручкой отметку на нитке в той точке, в которой нитка совпадает со своим началом.

4. Расправляем нитку и измеряем ее длину до отметки. Эта длина равна длине окружности.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

5. Диаметр окружности d равен 4 см: d = 4 см; длина окружности С равна:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

6. Находим отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Оказывается, что для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Это число обозначают греческой буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (читают: «пи»), оно записывается бесконечной десятичной дробью

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Итак, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения откуда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Длина окружности равна произведению числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и диаметра окружности.

Так как диаметр окружности равен двум радиусам, то длина окружности радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Получили еще одну формулу для длины окружности:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Далее для расчетов мы, как правило, будем округлять число Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения до сотых: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а в отдельных случаях будем использовать Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Начертить окружность, радиус которой 2 см. Где лежит точка, находящаяся от центра на расстоянии 1 см; 2 см; 3 см? Чему равен диаметр окружности?

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Точка А, расстояние от которой до центра 2 см (рис. 9). принадлежит окружности.

Точка В, расстояние от которой до центра 1 см (рис. 9), лежит внутри окружности.

Точка С, расстояние от которой до центра 3 см (рис. 9), лежит вне окружности.

Диаметр окружности: 2 • 2 = 4 (см).

Пример:

Найти длину окружности, радиус которой 1,5 см.

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Круг. Площадь круга

Каждая окружность разбивает плоскость, на которой она начерчена, на две части — внутреннюю и внешнюю. Точки окружности и все внутренние точки образуют круг (рис. 12). Центр, радиус и диаметр окружности называют соответственно центром, радиусом и диаметром этого круга. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Два радиуса OA и ОВ разбивают круг на две части, каждую из которых называют сектором. Любой диаметр разбивает круг на две равных части, которые называют полукругами.

Практическая робота

Тема работы. Площадь круга.

Оборудование. Циркуль, линейка, листок бумаги в клетку.

Ход работы

1. На листке бумаги в клетку строим окружность, радиус которой 4 см (8 клеток).

2. Обводим внешний контур тех клеток, которые почти полностью принадлежат кругу (см. рис. 13).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

3. Считаем количество клеток внутри контура.

4. Считаем количество клеток вне контура, которые частично принадлежат кругу, и полученное число делим на 2 (в среднем части двух неполных клеток дают одну целую).

5. Прибавляем к числу клеток, полностью принадлежащих кругу, число, полученное в п. 4.

6. Так как площадь 4 клеток равна 1 см2, то, чтобы выразить площадь круга в квадратных сантиметрах, делим число, полученное в п. 5, на 4. Получаем приближенное значение площади: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

7. Находим квадрат радиуса круга: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

8. Находим отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

В старших классах будет доказано, что Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения откуда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Получена формула для площади Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения круга радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти площадь круга, радиус которого равен 1,5 см.

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Столбчатые и круговые диаграммы

Для наглядной иллюстрации числовых значений величин используют диаграммы. Диаграмма — это символический рисунок, который наглядно отражает соотношения между значениями величин. Чаще всего используют столбчатые и круговые диаграммы.

Рассмотрим пример. Ученик шестого класса в октябре записал в дневнике погоды: 17.10 — облачно, 18.10 — облачно, 19.10 — солнечно, 20.10—дождь, 21.10 — дождь, 22.10 — облачно, 23.10 — солнечно, 24.10 — солнечно, 25.10 — облачно, 26.10 — дождь, 27.10 — дождь, 28.10 — дождь, 29.10 — облачно, 30.10 — солнечно, 31.10 — облачно.

Чтобы охарактеризовать погоду во второй половине октября, он подсчитал, сколько было солнечных дней, облачных дней, сколько дней шел дождь и получил такие данные: солнечных дней — 4; облачных дней — 6; дней, когда шел дождь, — 5.

Наглядно охарактеризовать погоду во второй половине октября можно так. Построим прямой угол АОВ, на луче OA будем записывать погоду, а на луче ОВ, выбрав единицу измерения (1 см), будем обозначать количество дней. Построим три столбика (прямоугольника) (рис. 18).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Высота первого столбика, указывающего, сколько было солнечных дней. — 4 см; высота второго, указывающего количество облачных дней. — 6 см, высота третьего, указывающего, сколько дней шел дождь, — 5 см.

Полученный рисунок называют столбчатой диаграммой.

Строя столбчатые диаграммы, можно выбирать произвольную ширину столбца и произвольные расстояния между ними. Но все столбики одной диаграммы должны быть одинаковой ширины и располагаться на одинаковом расстоянии друг от друга.

Следующую диаграмму (рис. 19) называют круговой. На ней показано соотношение между площадями поверхностей суши и Мирового океана на Земле.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

После сбора урожая зерновых культур выяснилось, что 50% всего урожая составляет пшеница, 15% — рожь, 10% — овес и 25% — ячмень. Построить столбчатую и круговую диаграммы распределения урожая зерновых по вилам культур.

Решение:

Столбчатая диаграмма распределения урожая изображена на рисунке 20, а круговая — на рисунке 21. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Опишем построение круговой диаграммы. Так как на 100% урожая приходится весь круг, то на урожай пшеницы (50%) приходится полукруг, а на урожай ячменя (25%) — четверть круга. Чтобы построить сектор, которому соответствует урожай ржи (15% всего урожая), будем рассуждать так. В секторе АОС, который составляет четверть круга, угол АОС равен 90°. Итак, на четверть, или на 25%, круга приходится сектор с углом 90°. Поэтому па 1% круга приходится сектор с углом 90° : 25 = 3,6°, а на 15% круга — сектор с углом 3,6° -15 = 54°. Построив с помощью транспортира угол АОВ, равный 54°, получили сектор АОВ, соответствующий урожаю ржи. Тогда остальная часть круга сектор ВОС соответствует урожаю овса.

Памятка:

  1. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — отношение; Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения число 90 в три раза больше от числа 30.Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — отношение; Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения число 30 составляет Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения от числа 90.
  2. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — пропорция.Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — основное свойство пропорции.
  3. Из сахарного тростника получают 9% сахара. Сколько сахара получат из 40 т сахарного тростника?Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения
  4. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — длина окружности, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — ее радиус, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения
  5. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — площадь круга, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — его радиус.

Отношения и пропорции

Отношение и его свойства

Вам, наверное, приходилось слышать фразы: «Шанс победить в игре — 50 на 50», «Для приготовления гречневой каши крупу и воду нужно взять в отношении 1 к 2», «Прибыль разделили, как 3 к 2». Каждая из этих фраз подводит к сравнению двух чисел: 50 и 50, 1 и 2, 3 и 2. Для этого нужно составить выражение, являющееся частным данных чисел, и вычислить его значение». Итак, из первой фразы получим выражение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, значение которого равно 1. Это означает, что шанс выиграть — такой же, как и проиграть. Из второй фразы получим выражение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, значение которого равно 0,5. Это означает, что крупы нужно взять вдвое меньше, чем воды. Подумайте самостоятельно, как объяснить третью фразу.

Определение:

Выражение, являющееся частным чисел Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, отличных от нуля, называется отношением чисел Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияЗаписывают: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Читают: «Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения относится к Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения».

Числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения называют членами отношения. Если выполнить деление первого члена отношения на второй, то получим число, являющееся значением отношения. Например, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — отношение чисел 25 и 2, а 12,5 — значение этого отношения.

Отношение показывает, какие числа сравнивают. Значение отношения показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть второго числа составляет первое число. Например, значение отношения Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения показывает, что число 7 больше числа 2 в 3,5 раза.

А значение отношения Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения показывает, какую именно часть числа 7 составляет число 2. Отношения 7 к 2 и 2 к 7, как и дроби Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, называют взаимно обратными.

Обратите внимание:

Для вычисления значения отношения используют все свойства деления.

Основное свойство отношения

Значение отношения не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения,если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения;

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Для решения задач составляют отношения и находят их значения как для одноимённых величин, так и для величин с разными наименованиями.

Пример:

Длина самой крупной рыбы — луны-рыбы — составляет около 3 м, а длина самой мелкой рыбы — гоби — около 16 мм. Сравните длины этих рыб.

Решение:

1. Можно найти, во сколько раз длина луны-рыбы больше длины рыбы гоби. Для этого составим отношение длины большей рыбы к длине меньшей, выразим эти величины в одних наименованиях и найдём значение отношения:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

2. Можно найти, какую часть длины луны-рыбы составляет длина рыбы гоби. Для этого составим обратное отношение длин и найдём его значение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

значение отношения одноимённых величин является числом без наименования.

Пример:

Найдите скорость гепарда, если за 2 с он преодолевает около 55 м.

Решение:

Для нахождения скорости движения нужно составить отношение расстояния ко времени движения и вычислить его значение: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

значение отношения разноимённых величин является новой величиной, наименование которой отличается от наименований данных величин.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пентаграмма (рис. 11) всегда привлекала внимание совершенством формы. Особенность данной фигуры состоит в том, что отношения отрезков, из которых она состоит, имеют равные значения:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Древнегреческий математик Пифагор (570—490 гг. до н.э.) и его ученики избрали пентаграмму символом своего союза. В наши дни пятиконечная звезда пентаграммы украшает флаги и гербы многих стран.

Пропорция и её свойства

Вы знаете, что два выражения с равными значениями можно приравнять. Например, можно приравнять отношения Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, поскольку их значения равны 4. Можем записать равенство: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.Такие равенства имеют специальное название — пропорция.

Определение:

Пропорцией называется равенство двух отношений.

Обратите внимание:

пропорция утверждает, что отношения в левой и правой её частях имеют равные значения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияЗаписывают: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Читают: «Отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения к Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равно отношению Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения к Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения» или «Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения так относится к Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, как Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения относится к Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения».

Числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения называют крайними членами пропорции, а числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решениясредними членами пропорции (рис. 12).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

пропорции составляют только для чисел, отличных от нуля.

Вычислим произведения крайних и средних членов пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Для крайних членов получим Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а для средних членов — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, эти произведения равны между собой: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. В этом состоит основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:

если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

И наоборот: если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения не равны нулю, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Является ли равенство Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения пропорцией?

Решение:

Способ 1. Применим определение пропорции: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значения отношений Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равны, следовательно, равенство Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — пропорция.

Способ 2. Проверим, выполняется ли основное свойство пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Получили, что произведение крайних членов Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равно произведению средних членов Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, равенство Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения —пропорция.

В пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения поменяем местами крайние члены 1,2 и 4, Получим: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Это равенство также является пропорцией. Действительно, от перестановки крайних членов 1,2 и 4 ни их произведение, ни произведение средних членов не изменилось, поэтому новое равенство — пропорция. Так же произведения крайних членов и средних членов не изменятся, если в пропорции поменять местами средние члены: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Но полученные пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения отличаются от данной пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, поскольку имеют другие значения отношений. В данной пропорции оно равно 4, а в полученных пропорциях — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения соответственно. Иначе говорят: пропорциональное соотношение чисел изменилось.

В пропорциях Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения значения их отношении — это взаимно обратные числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому такие пропорции называют взаимно обратными. Во взаимно обратных пропорциях пропорциональное соотношение чисел является одинаковым с точностью до порядка сравнения. Действительно, в обеих пропорциях сравниваются две какие-то величины — меньшая и большая, например, толщина линейки и толщина учебника. Но в первой пропорции сопоставляют меньшую величину с большей, а во второй, наоборот, — большую с меньшей, причём одни и те же величины. Можно сказать и так: вторая пропорция — это первая пропорция, которую записали справа налево. В ней одновременно поменяли местами и средние, и крайние члены. Будем считать, что при переходе от данной пропорции к обратной и наоборот пропорциональное соотношение чисел не меняется.

Пример:

Изменится ли пропорциональное соотношение чисел, если средние члены пропорции поменять местами с соответствующими крайними членами? Нет. В самом деле, если в каждом отношении пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения поменять местами его члены — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения с Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения с Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то получим равенство обратных отношений: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. А такое равенство является пропорцией, взаимно обратной с данной.

Опираясь на основное свойство пропорции, можно находить неизвестный член пропорции.

Пример:

Найдите неизвестный член пропорции: 1) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения; 2) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

1. Неизвестным является крайний член пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. По основному свойству пропорции: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

ОтсюдаОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

2. Неизвестным является средний член пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. По основному свойству пропорции: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Правила нахождения неизвестного члена пропорции

Правила нахождения неизвестного члена пропорции

  1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение её средних членов разделить на известный крайний член пропорции.
  2. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции.

Термин «пропорция» происходит от латинского proportio — «соотношение».

Золотым сечением называют деление отрезка с на две неравные части Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13), при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему отрезку, то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значение этого отношения приблизительно равно 0,618.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Считают, что понятие золотого сечения было известно в Древнем Египте. И в самом деле, пропорции пирамиды Хеопса, храмов. барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют о том. что при их создании египетские мастера пользовались отношением золотого сечения.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

С помощью пропорций можно решать задачи.

Вы знаете, например, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Такие величины называют прямо пропорциональными.

Определение:

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) в такое же количество раз.

Пример:

За 2 кг конфет заплатили 72 грн. Сколько будут стоить 4.5 кг этих конфет?

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

если две величины прямо пропорциональны, то пропорцию образуют отношения соответствующих значений этих величин.

На практике, кроме прямой пропорциональной зависимости величин, встречается и обратная пропорциональная зависимость. Например, по пути в школу, когда времени маловато, вы увеличиваете скорость своего движения, чтобы не опоздать на урок. Итак, скорость вашего движения зависит от времени движения: чем меньше время движения, тем большей будет ваша скорость. Такие величины называют обратно пропорциональными.

Определение:

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) в то же количество раз.

Пример:

Автомобиль, двигаясь со скоростью 90 км/ч. проехал расстояние от Черкасс до Киева за 2 ч. С какой скоростью он двигался в обратном направлении, если расстояние от Киева до Черкасс он преодолел за 2.5 ч?

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

если две величины обратно пропорциональны, то пропорцию образуют взаимно обратные отношения соответствующих значений этих величин.

Пример:

Всегда ли две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными? Порассуждаем. Например, во время болезни температура ребёнка может то возрастать, то понижаться на протяжении нескольких дней. И здесь нет зависимости, следовательно, не может быть и пропорциональности. А вот рост ребёнка постоянно увеличивается с увеличением его возраста. Значит, существует зависимость между величинами и есть основания анализировать, пропорциональны ли данные величины. Понятно, что пропорциональной зависимости здесь нет, поэтому выяснять, как именно пропорциональны эти величины — прямо или обратно, — не надо. Если же две величины пропорциональны, то возможны лишь два варианта, взаимно исключающие друг друга, — или прямая пропорциональность, или обратная пропорциональность.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика и монаха Леонардо из Пизы (1180-1240 гг.), более известного как Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышла в свет его математическая работа «Книга об абаках» (счётные доски), в которой были собраны все известные к тому времени задачи. Одна из задач была такой: «Сколько пар кроликов за один год от одной пары родится?». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Сегодня эта последовательность чисел известна как ряд Фибоначчи. Особенность данной последовательности чисел заключается в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

и т.д, а отношение соседних чисел ряда приближается к отношению золотого сечения. Например, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Деление числа в данном отношении

Пропорциональное деление

На практике часто встречаются задачи с требованием разделить некоторую величину в заданном отношении: распределение прибылей, приготовление разных смесей или блюд и т.п. Чтобы решить такие задачи, нужно выполнить пропорциональное деление данной величины.

На рисунке 16 вы видите отрезок Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, который точка Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения делит в отношении Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Можем составить пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Из этой пропорции следует, что Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Пусть значение отношений этой пропорции равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, тогда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения в отношении Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и выразили длины его частей Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения через число Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения(рис. 17).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Определение:

Число, равное значению отношений пропорции, называется коэффициентом пропорциональности.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияКоэффициент пропорциональности обозначают буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И тут снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности.

Пример:

Разделите число 60 в отношении Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, вторая — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а третья — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку число, которое нужно разделить, равно 60, то можем составить уравнение: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, первая часть числа равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, вторая — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а третья — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Масштаб

Для изображения на бумаге предметов окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы приходится уменьшать, а маленькие — наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертёж или план давали представление о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения.

Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт.

Определение:

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОбозначают: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Эта запись показывает, что 1 см на карте соответствует 1 ООО ООО см на местности.

Пример:

Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равно 4.1 см. Найдите расстояние между этим и городам и на местности, если масштаб карты Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

На карте: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

На местности: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значение данного отношения равно значению масштаба карты, следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ: расстояние от Черкасс до Харькова — 410 км.

Пример:

Как записать масштаб изображения, если на нём нужно увеличить размеры реального предмета например в 1000 раз. В этом случае масштаб записывают наоборот: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Такой масштаб понадобится для того, чтобы изобразить, например, детали часов.

1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens, состоящего из двух слов: Со — «вместе» и efficiens — «вырабатывающий». Обозначает множитель, который обычно выражается числом. Термин ввёл Ф. Виет.

2. Слово «масштаб» происходит от немецкого Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «линейка», состоящего из двух слов: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «мера» та Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «веха».

Окружность и круг. Круговой сектор

Из всех замкнутых кривых линий на плоскости самой совершенной считается окружность. Если закрепить один конец отрезка в какой-либо точке, а затем поворачивать отрезок, то другой его конец будет двигаться именно по окружности. Поэтому окружности изображают с помощью циркуля (рис. 25).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Определение:

Окружность — это фигура, все точки которой находятся на плоскости на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 26 вы видите окружность с центром в точке Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Если какую-либо точку окружности и её центр Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения соединить отрезком, то получим радиус окружности. На рисунке 26 отрезки Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — это радиусы окружности с центром в точке Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияРадиус обозначают буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Записывают: .

Обратите внимание:

все радиусы окружности равны между собой.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Проведём радиусы Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения окружности так, чтобы они лежали на одной прямой (рис. 27). Получили отрезок Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, который называют диаметром окружности. Диаметр Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения окружности вдвое длиннее радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а радиус Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения является половиной диаметра Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. рис. 27

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияДиаметр обозначают буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Записывают: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Формула диаметра окружности

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите радиус окружности с диаметром 8 см.

Решение:

Диаметр окружности вдвое длиннее радиуса. Следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Можно ли найти длину окружности? Да, поскольку окружность — это линия. Но линейкой окружность не измерить. Проведём опыт. Возьмём стакан, поставим его на лист бумаги и обведём карандашом (рис. 28). Получили окружность. Если обвязать стакан ниткой, а затем распрямить её, то длина нитки будет равна длине изображённой окружности.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияДлину окружности обозначают буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Выполнив несколько таких измерений, заметим закономерность: чем больше диаметр окружности, тем больше её длина. То есть длина окружности прямо пропорциональна длине диаметра.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношение длины окружности к длине её диаметра равно одному и тому же числу для всех окружностей. Это число обозначают греческой буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, читают: «пи». Число Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — бесконечная десятичная дробь. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Поэтому при вычислениях его округляют: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Формула длины окружности

Длина окружности равна удвоенному произведению числах Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения радиуса:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите длину окружности с диаметром 10 см.

Решение:

Способ 1. Диаметр окружности вдвое длиннее радиуса. Следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Способ 2. Поскольку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, тоОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Обратите внимание:

поскольку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Окружность делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю (рис. 29). О внутренней части говорят, что окружность ограничивает эту часть плоскости. Окружность вместе с частью плоскости, которую она ограничивает, образует известную вам фигуру — круг (рис. 30). Центр окружности считают и центром круга, радиус и диаметр окружности — радиусом и диаметром круга. В отличие от окружности, центр круга является точкой круга.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Формула площади круга

Площадь круга равна произведению числа к и квадрата радиуса:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите площадь круга с диаметром 8 см.

Решение:

Диаметр круга вдвое длиннее радиуса. Поэтому: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, площадь данного круга равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Если в круге провести два радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то круг будет разделён на две части (рис, 31). Такие части круга называют секторами.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 32 показан сектор Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения с углом Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Диаметр Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения круга разделяет круг на два равных сектора (рис. 33). Такие секторы являются половинами круга. Угол каждого из таких секторов равен Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Если каждую половину круга разделить пополам, то получим 4 равных сектора (рис. 34). Угол каждого из них равен Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Обратите внимание:

  • — у равных секторов — равные углы.
  • — сумма углов всех секторов, на которые разделён круг, равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Круг разделён на 3 равных сектора. Найдите угол сектора.

Решение:

Сумма углов всех данных секторов равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Круг разделён на 3 равных сектора, поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Итак, угол сектора равен Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Круг разделён на 3 сектора з углами Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Какую часть круга составляет каждый сектор?

Решение:

Каждый из данных секторов составляет такую часть круга, какую его угол составляет от Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

1. Самые первые известные записи приближений числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения датируют около 1900 г до н.э.: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения(Египет) и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения(Вавилон). Считают, что Архимед (287—212 гг. до н.э.) первым предложил математический способ вычисления числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. О сути этого способа вы узнаете в курсе геометрии.

2. Общепринятое обозначение к впервые применил в своих работах Вильям Джонс в 1706 г.. взяв первую букву греческих слов Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — окружность и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Л. Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Диаграммы

Для наглядного изображения частей целого или соотношения величин используют диаграммы.

Они могут быть круговыми (рис. 39) или столбчатыми (рис. 40).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Для построения круговой диаграммы целое изображают кругом, а отдельные части целого — секторами круга. Например, на рисунке 39 круговая диаграмма показывает соотношение площадей частей света.

По этой диаграмме можно ответить, например, на такие вопросы.

  1. Сколько частей света на нашей планете?
  2. Какая часть света самая большая?
  3. Какая часть света самая маленькая?
  4. Какая из двух частей света больше: Антарктида или Австралия?

Пример:

Среди учеников класса провели опрос, в результате которого оказалось, что 20 шестиклассников больше всего любят мороженое, 6 учеников класса — конфеты, а остальные 4 ученика — предпочитают пирожные. Постройте круговую диаграмму любимых лакомств учеников 6-А класса.

Решение:

Для построения круговой диаграммы нужно круг разделить на три сектора пропорционально количеству лакомок, то есть выполнить пропорциональное деление Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — коэффициент пропорциональности, тогда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, a Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, круг нужно разделить на секторы с углам и: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. По этим данным с помощью транспортира строим круговую диаграмму (рис. 41 —43).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Для построения столбчатой диаграммы сравниваемые величины изображают в виде столбиков, высота которых либо равна данным величинам, либо пропорциональна им. Например, на рисунке 44 столбчатая диаграмма показывает соотношение любимых лакомств учеников 6-А класса. Для её построения изобразили три столбика, высота которых пропорциональна количеству учеников, предпочитающих мороженое, конфеты и пирожные: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Для удобства слева проводят вертикальную прямую для обозначения количества учеников.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Слово «диаграмма» происходит от греческого diagramma, что означает изображение, чертёж.

Благодаря наглядности диаграммы часто используют в презентациях. Например, на уроках природоведения, пользуясь данными календаря погоды, вы можете строить диаграммы выпадения осадков и анализировать их.

Цилиндр. Конус. Шар

В 5 классе вы уже ознакомились с пространственными фигурами: прямоугольным параллелепипедом и кубом. Посмотрите на рисунок 56. Вы видите разнообразные предметы, используемые в быту. Все они имеют одну и ту же форму — цилиндра (рис. 57).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Цилиндр получим при вращении прямоугольника Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения вокруг одной из его сторон, например, стороны Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (рис. 58).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Эту сторону прямоугольника считают осью цилиндра, а противоположную ей сторону Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияобразующей цилиндра. Ось и образующая цилиндра имеют равные длины: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. У цилиндра есть два основания — равные круги радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

При вращении образующая цилиндра описывает поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра. Полную поверхность цилиндра составляют его боковая поверхность и два круга оснований.

На рисунке 59 вы видите индейское жилище Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, имеющее форму конуса (рис. 60).

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения вокруг одной из сторон, образующей прямой угол Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, например, вокруг стороны Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (рис. 61). Эту сторону считают осью конуса, а сторону Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, лежащую против прямого угла — образующей конуса. Ось конуса всегда меньше его образующей. В отличие от цилиндра, у конуса только одно основание — круг радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

При вращении, образующая конуса описывает поверхность — боковую поверхность конуса. Полную поверхность конуса составляют его боковая поверхность и круг основания.

На рисунке 62 вы видите предметы, имеющие форму шара (рис. 63).

Шар можно получить, вращая круг вокруг его диаметра Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения(рис. 64). Этот диаметр считают осью шара. Радиус шара — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Он равен половине диаметра Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения круга.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Поверхность шара имеет особое название — сфера. Цилиндр, конус и шар называют телами вращения т. к. их можна получить при вращении прямоугольника, прямоугольного треугольника и круга. Больше об этих фигурах вы узнаете в курсе геометрии.

Бумажную модель пространственной фигуры делают из её развёртки. Чтобы получить развёртку цилиндра (рис. 65), отделяют основание, а боковую поверхность разрезают вдоль образующей и разворачивают на плоскости. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого равна образующей, а вторая — имеет длину окружности основания. Развёртка цилиндра состоит из этого прямоугольника и двух кругов оснований. Аналогично получают развёртку конуса (рис. 66). Его боковая поверхность разворачивается в сектор. Развёртка конуса состоит из этого сектора и круга основания конуса.

Для шара изготовить традиционную развёртку невозможно.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Процентные расчёты

В 5 классе вы узнали, что такое процент и как решать задачи на нахождение процента от числа и числа по его проценту. Рассмотрим, как решать такие задачи с помощью пропорций и познакомимся с другими видами задач на процентные расчёты.

Нахождение процента от числа

Пример:

Мама Малыша испекла 25 ватрушек. Карлсон съел 40 % ватрушек. Сколько ватрушек съел Карлсон?

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

чтобы найти число Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, равное Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения процентам числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, составляют пропорцию:

если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решениято Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение числа по его проценту

Пример:

В 6-А классе высокий уровень учебных достижений имеют 6 учеников, что составляет 20% учеников класса Сколько учеников учится в 6-А классе?

Решение:

По условию задачи, 6 отличников — это 20 % учащихся класса. В задаче нужно узнать, сколько учащихся составляют 100 %. Составим краткую запись данных задачи.

Учащихся в классе: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отличников: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — количество учащихся в 6-А классе. Тогда составим пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит, в 6-А классе —30 учащихся

Обратите внимание:

чтобы найти число Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения по его части Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, равной Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения процентам, составляют пропорцию:

если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решениятоОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение процентного отношения двух чисел

Пример:

Из 30 учеников 6-Б класса в спортивных соревнованиях приняли участие 18 учеников. Сколько процентов учащихся класса приняли участие в спортивных соревнованиях?

Решение:

По условию задачи, в классе 30 учеников, что составляет 100 %. В задаче нужно узнать, сколько процентов составляют 18 учеников. Составим краткую запись данных задачи.

В классе: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Приняли участие: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — процент учеников, принявших участие в соревнованиях. Тогда составим пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит. 60 % учащихся 6-Б класса приняли участие в спортивных соревнованиях.

Обратите внимание:

чтобы найти процентное отношение двух чисел а и &. составляют пропорцию:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решениято Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Верно ли, что процентное отношение чисел Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения можно найти, умножив на 100 обратное отношение этих чисел? Да. Это следует из основного свойства пропорции.

Рассмотрим более сложные задачи.

Нахождение изменения процента по изменению числа

Пример:

Пчёлы за день принесли в улей 2 кг мёда. На следующий день они работали лучше и собрали 2.5 кг меда. На сколько процентов больше мёда собрали пчёлы во второй день?

Решение:

По условию задачи, за день пчёлы принесли в улей 2 кг меда, что составляет 100 %. В задаче нужно выяснить, на сколько процентов 2,5 кг мёда больше, чем 2 кг. Составим краткую запись данных задачи.

I день: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

II день: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — количество процентов, на которое увеличилась масса меда. Составим пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит, во второй день пчёлы собрали мёда на 25 % больше.

Обратите внимание:

чтобы найти, на сколько изменится процент Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения при изменении числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения до числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, составляют пропорцию:

если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Можно ли аналогично решать задачи на уменьшение числа? Да. В таком случае нужно составить пропорцию Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение числа по его процентному изменению

Пример:

В 10 лет Ванин рост составлял 130 см. Каким был рост Вани в 9 лет, если за год он подрос на 4 %?

Решение:

По условию задачи, рост Вани в 10 лет составлял 130 см, что на 4 % больше, чем в 9 лет Значит, росту Вани в 9 лет соответствует Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а в 10 лет — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Составим краткую запись данных задачи.

Рост в 9 лет: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения,

Рост в 10 лет: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — рост Вани в 9 лет. Тогда составим пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения , Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит, рост Вани в 9 лет составлял 125 см.

Пример:

Можно ли рост Вани в 10 лет принять за Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения? Да. Будут ли соответствовать тогда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения росту Вани в 9 лет? Нет, поскольку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения от 130 см не равны Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения от 125 см.

Обратите внимание:

чтобы найти число Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, изменившееся до числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, по его процентному изменению Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, составляют пропорцию:

если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение процентного отношения двух чисел по изменению числа

Пример:

В первый день Маша прочитала 20 страниц книжки, а во второй — на 5 страниц больше. Сколько в процентах прочитала Маша во второй день по сравнению с первым днём?

Решение:

По условию задачи, в первый день Маша прочитала 20 страниц, что составляет Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. В задаче нужно узнать, сколько процентов составляют Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения страниц. Составим краткую запись данных задачи:

I день: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

II день: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — количество страниц в процентах, прочитанных Машей во второй день. Тогда составим пропорцию: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит, во второй день Маша прочитала Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения прочитанного в первый день.

Обратите внимание:

чтобы найти процентное отношение двух чисел Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения по изменению числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения на Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, составляют пропорцию:

если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решениято Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Можно ли аналогично решать задачи на уменьшение числа? Да. В таком случае нужно составить пропорцию Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

В параграфе вы рассмотрели решение задач с помощью алгебраического способа. Но каждую из них можно решить и арифметически, к тому же не одним способом. Обратимся к задаче 1 данного параграфа.

Пример:

Мама Малыша испекла 25 ватрушек. Карлсон съел 40 % всех ватрушек. Сколько ватрушек съел Карлсон?

Решение:

Арифметический способ 1.

1) Сколько ватрушек составляет 1 %?

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

2) Сколько ватрушек составляют 40%?

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Значит, Карлсон съел 10 ватрушек.

Арифметический способ 2.

1) Как выразить 40 % дробью?

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

2) Сколько ватрушек составляют 40 %?

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Значит, Карлсон съел 10 ватрушек.

Вероятность случайного события

В повседневной жизни часто планируются разные события, о которых можно сказать, произойдут они или нет. Примером таких событий могут быть: празднование дня рождения, поход в школу, получение хорошей оценки, поездка с родителями за город и др.

Определение:

Событие, о котором можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённых условиях, называется случайным событием, или (кратко) событием.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияСобытия обозначают буквами: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Читают: событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Математики считают, что любое случайное событие происходит (или не происходит) вследствие проведения некоторого эксперимента. Такой эксперимент называют случайным, или стохастическим. Он является испытанием. Условия проведения испытания являются неизменными. Возможные результаты испытания известны, но нельзя заранее знать, какой именно из них будет иметь место. Например, если мы будем подбрасывать монету один раз, то возможны два следствия: выпадет или «герб», или «цифра» (рис, 76), однако нельзя точно сказать, что именно выпадет. Поэтому подбрасывание монеты является испытанием, а появление «герба» или «цифры» — это события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Сколько событий могут произойти вследствие подбрасывания игрального кубика (рис. 77)? У кубика шесть граней, поэтому событий может быть шесть — выпадает 1 очко, 2 очка, S очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков.

Обратите внимание:

все возможные результаты испытания образуют совокупность событий, однако испытание завершается наступлением лишь одного из этих событий.

Например, в результате одного подбрасывания игрального кубика из шести возможных событий произойдёт лишь одно событие — или выпадет 1 очко, или 2 очка, или S очка, или 4 очка, или 5 очков, или 6 очков. Иначе говорят: «Появлению 1 очка благоприятствует только одно событие».

Событие, которое в результате испытания непременно должно произойти, называют достоверным. Например, событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «появление от 1 до 6 очков» в результате подбрасывания игрального кубика является достоверным событием.

Событие, которое вследствие данного испытания не может произойти, называют невозможным. Например, событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «появление на одной из граней игрального кубика 7 очков» является невозможным.

События называют несовместимыми, если наступление одного из них исключает наступление другого. Такие события не могут наступить одновременно. Например, событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «появление 3 очков» и событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «появление 5 очков» являются несовместимыми событиями в результате одного подбрасывания игрального кубика.

События называют равновозможными, если в результате испытания появление каждого из них одинаково возможно по сравнению с другими. Например, при подбрасывании игрального кубика все шесть событий (« появление 1 очка» и т.д.) являются равновозможными.

Вероятность события — это количественная характеристика возможности наступления этого события в ходе испытания.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОбозначают: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Читают: «вероятность события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения», « вероятность события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения».

Для испытания, в котором все возможные события являются несовместными и равновозможными, вероятность события можно вычислить по формуле.

Определение:

Вероятностью события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения называется отношение количества Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения благоприятных для Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения событий к количеству Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения всех равновозможных в данном испытании событий:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Верно ли, что количество испытаний Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения всегда меньше общего количества испытаний Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения? Нет. Числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения могут быть и равными. Например, вероятность достоверного события «появление от 1 до 6 очков» в результате одного подбрасывания игрального кубика равна 1, поскольку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Обратите внимание:

вероятность события может принимать значения только от 0 до 1. Вероятность достоверного события равна 1. а вероятность невозможного события — 0.

Пример:

Из коробки, где находятся 3 чёрных и 5 белых шариков, достали наугад один шарик. Какова вероятность того, что шарик:

1) чёрный; 2) белый?

Решение:

1. Событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «вынули чёрный шарик». Общее количество шариков, которые можно достать из коробки, равно 8, поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Чёрных шариков — 3, поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Вероятность события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна отношению количества Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения возможностей вынуть чёрный шарик к общему количеству Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения возможностей вынуть какой-либо шарик, поэтому: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит, вероятность вынуть черный шарик равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

2.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

В рассмотренной задаче возможными были два события: событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «вынули чёрный шарик» и событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «вынули белый шарик». Вероятность события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Сумма вероятностей этих событий равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Определение:

Сумма вероятностей всех возможных событий испытания равна 1.

Пример:

Можно ли определить вероятность одного из двух возможных событий испытания, зная вероятность другого события? Да. Вероятность извлечения белого шарика в рассмотренной задаче можно было найти и по другому: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков?

Решение:

Событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — «на двух кубиках в сумме выпало 6 очков». Появление события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения связано с такими парами чисел на двух игральных кубиках: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Значит, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Общее количество вариантов, когда на первом кубике выпало число от 1 до 6 и для каждого из них на втором кубике выпало одно из шести чисел, равно 36. Итак, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Вероятность события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна отношению чисел Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Стохастичность (от греческого Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения— цель, предположение) означает случайность.

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных событий. Как самостоятельная наука, теория вероятностей возникла в середине XVII века. Тогда были распространены азартные игры, то есть игры, в которых результат зависел от случая (игры с кубиками, игра в «орлянку», некоторые карточные игры). Они и способствовали анализу случайных событий. Считают, что история теории вероятностей начинается с работы Я. Бернулли (1654—1705) «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»), опубликованной в 1713 году.

3. Обозначение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения происходит от первой буквы французского слова probabilite — вероятность.

—–

Отношения и пропорции

В этом разделе речь идет о вещах, уже известных вам. Отношение – это частное, пропорция – равенство двух отношений. Например, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – отношение, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – пропорция. Но теперь обратим внимание на такие свойства частного и равенства двух частных, какие раньше не рассматривали. А еще введем новые термины: отношение, пропорция, вероятность и другие. Основное содержание раздела такое.

  • Основное свойство отношения.
  • Вероятность случайного события.
  • Пропорции.
  • Процентное отношение.
  • Пропорциональные величины.
  • Окружность, круг, диаграммы.

Эти темы важны не только для математики и других наук, они часто используются в практической деятельности миллионов людей.

Отношения

Частное от деления одного числа на другое называют также отношением этих чисел. Записывают отношение с помощью двоеточия или черты дроби.

Примеры отношений: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – это и дробь «три четвертых », и «частное от деления 3 на 4 », и «отношение чисел 3 и 4». Поскольку отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения– это то же самое, что и дробь Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения а к каждой дроби можно применить основное свойство дроби, поэтому это свойство верно и для каждого частного, и для отношения.

Основное свойство отношения Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Используя это свойство, отношения можно упрощать.

Оба члена отношения можно разделить на их общий делитель. Например, отношение 3000 : 5000 можно заменить равным ему отношением 3:5.

Отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел.

Для этого надо данные дроби привести к общему знаменателю и отбросить его. Например, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Одним из примеров использования отношений является масштаб. Если, например, на географической карте указан масштаб 1 : 5 500 000, то это означает, что все расстояния на карте в 5 500 000 раз меньше соответствующих расстояний на земной поверхности. То есть одному сантиметру на карте соответствует 5 500 000 см (или 55 км) на местности.

Можно говорить не только об отношении чисел, а и об отношении значений величин. Если два значения какой-то величины выражены в одинаковых единицах измерения, то отношением этих значений называют отношение соответствующих чисел. Например, 3 м : 5 м = 3 : 5; 18 кг :9 кг =18: 9.

Но 2 м : 37 см = 200 см : 37 см = 200 : 37.

Иногда рассматривают и отношение значений разноименных величин. Например, если высота, площадь основания и объем прямоугольного параллелепипеда равны соответственно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияравно высоте параллелепипеда, а отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения -площади основания данного параллелепипеда.

А если самолет пролетает расстояние 1400 км за 2 ч, то его скорость равна отношению расстояния ко времени: 1400 км : 2 ч = 700 км/ч.

Вообще, если какое-то тело движется равномерно, то его скорость — это отношение пройденного пути ко времени.

Со временем в физике вы будете рассматривать плотность вещества – отношение массы тела к объему, давление — отношение силы к площади и т. п.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Выполнение заданий:

Пример №43

Упростите отношение 400 : 600.

Решение:

ПОД (400, 600) = 200. Разделим каждый член данного отношения на 200. Имеем 400 : 600 = 2:3.

Пример №44

Замените отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения отношением натуральных чисел.

Решение:

Приведем заданные дроби к общему знаменателю 30.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример №45

Упростите отношение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность случайного события

Отношение часто используют для определения вероятностей случайных событий.

Событие — это то, что совершается, происходит, случается. В математике чаще всего рассматривают события, какие еще не совершались, а только возможно произойдут. При этом стараются установить степень уверенности в том, что событие произойдет.

Примеры событий:

  1. подброшенная монета упадет гербом вверх (рис. 43);
  2. приобретенный лотерейный билет выиграет;
  3. после ночи наступит утро;
  4. игральная кость упадет кверху семеркой.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Последнее событие невозможно, поскольку на гранях кости семерки нет. Событие 3) достоверное, ведь после ночи всегда наступает утро. События 1) и 2) – случайные. Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти.

Степень уверенности в том, что случайное событие произойдет, можно характеризовать числом. Рассмотрим пример. При падении подброшенной игральной кости (рис. 44) может произойти 6 различных событий:

  • событие А: выпадет 1 очко; событие Б: выпадет 2 очка;
  • событие В: выпадет 3 очка; событие Г: выпадет 4 очка;
  • событие Д: выпадет 5 очков; событие Е: выпадет 6 очков.

Все эти шесть событий имеют одинаковые шансы произойти (если кость правильной формы и изготовлена из одного материала). Такие события называют равновероятными. Дальше речь пойдет только о равновероятных событиях.

Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для этого события результатов к количеству всех возможных результатов.

Вероятность события Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения обозначают так: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения В рассмотренном выше случае 6 равновероятных событий, поэтому вероятность каждого из них равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность достоверного события принимается за 1, а невозможного за 0. Вероятность можно выражать обыкновенной и десятичной дробью или процентами.

Задача 1. Какова вероятность того, что при падении игральной кости выпадет число очков, кратное 3?

Ре ш е н и е. Количество всех возможных событии равно 6. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6 только два (3 и 6) делятся на 3.

Поэтому вероятность равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Задача 2. Найдите вероятность того, что ваш товарищ родился в воскресенье.

Решение. Всего в неделе 7 дней. Нас интересует событие: «Мой товарищ родился в воскресенье» (событие Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения).

Поскольку воскресенье только 1 раз в неделю, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Наведенная выше трактовка понятия вероятности верна только для равновероятных событий. Такое понимание вероятности называют классическим. Его чаще всего применяют при решении задач на азартные игры.

Намного важнее понятие статистической вероятности.

Для примера рассмотрим два похожих события: подброшенная монета упадет кверху гербом Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения подброшенная пуговица упадет кверху петелькой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Монета почти одинаковая с обеих сторон, поэтому оба события (монета упадет гербом кверху или книзу) равновероятные. Вероятность каждого из этих событий равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пуговица с одной стороны не такая, как с другой (рис. 45). Поэтому два события (пуговица упадет петель-кой кверху или книзу) не равновероятные. Вероятность каждого из них можно определить только экспериментально. Такие вероятности (статистические) вы будете изучать в старших классах.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пропорции

Отношения Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равны друг другу. Поэтому их можно соединить знаком равенства: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или 1 : 2 = 3 : 6. Такие равенства называют пропорциями.

Пропорция — это равенство двух отношений.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

В пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения называют крайними членами, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решениясредними членами пропорции.

Произведение крайних членов каждой пропорции равно произведению ее средних членов.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Это – основное свойство пропорции. Его можно проиллюстрировать на примерах. Если 1 : 2 = 3 : 6, то 1 • 6 = 2 • 3; если 0,3 : 1 = 2,1 : 7, то 0,3 • 7 = 1 • 2,1. А можно и доказать.

Пусть дано произвольную пропорцию Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Умножив обе части этого равенства на произведение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения получим Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Сократив первую дробь на Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а вторую – на Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения получим равенство Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияПоскольку делить на 0 нельзя, то в пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения отличные от 0. В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличные от нуля.

Любой член пропорции можно определить, если известны три других ее члена. Например, если Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ее средних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение ее крайних членов разделить на известный средний. Основное свойство пропорции используют при решении уравнений, имеющих вид пропорции.

Приведем примеры решения таких уравнений:

а) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

б) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

в) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

б) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

в) Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Подобным способом можно решать, например, и уравнение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, если заменить его (устно) таким: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Если пропорция Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения верна, то верно и равенство Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Разделив обе его части на Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения получим Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, средние члены пропорции можно менять местами. Так же можно показать, что местами можно менять и крайние члены пропорции.

Например, поскольку 0,2 : 0,3 = 2 : 3, то верны также пропорции 0,2 : 2 = 0,3 : 3 и 3 : 0,3 = 2 : 0,2.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №46

Составьте пропорцию из чисел 3, 4, 8 и 6.

Решение:

Поскольку 3 • 8 = 4 • 6, то числа 3 и 8 могут быть средними членами, а другие – крайними. Или наоборот. Поэтому верны пропорции:

4:3 = 8:6, 4:8 = 3:6, 8:4 = 6:3, 3:4 = 6:8.

Пример №47

Решите уравнение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку произведение средних членов пропорции равно произведению крайних, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Процентное отношение

Один процент – это одна сотая часть.

1 % =0,01; 50% =0,5;

100 %=1; 200% =2.

Если отношение двух чисел выражают в процентах, то его называют процентным отношением.

Например, отношение 2 к 5 равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или 0,4, или 40%; отношение 32 к 25 равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или 1,28, или 128%.

Существуют задачи, в которых требуется найти, сколько процентов составляет одно число относительно другого, или одно значение величины относительно другого. Их называют задачами на нахождение процентного отношения.

Задача. Возле школы растет 20 деревьев, из них 8 – липы. Сколько процентов этих деревьев составляют липы?

Решение. Отношение лип ко всем деревьям возле школы равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или 0,4, или 40 %. Таким образом, липы составляют 40 % всех деревьев, растущих возле школы.

Учитывая сказанное выше и два известных вам вида задач на проценты с 5-го класса, можно подвести итоги.

Существует три основных вида задач на проценты:

  • (1) нахождение процентов от числа;
  • (2) нахождение числа по процентам;
  • (3) нахождение процентного отношения двух чисел.

Рассмотрим примеры таких задач:

  • (1) Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы выполнили 40 % задания. Сколько гектаров они вспахали в первый день?
  • (2) В первый день трактористы вспахали 120 га, что составляет 40 % всего поля. Найдите площадь всего поля.
  • (3) Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов всего поля они вспахали в первый день?

Попытайтесь решить каждую из этих задач несколькими способами, заменив 40 % дробью 0,4 или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Сопоставьте эти задачи с основными задачами на дроби.

Такие задачи удобно решать способом пропорции. Оформлять решение приведенных выше задач можно так.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Кроме трех основных видов задач, существуют более сложные задачи на проценты. Прежде всего, это задачи, в которых говорится об увеличении или уменьшении чего-либо на несколько процентов, и обратные им. Решая такие задачи, уточняйте, от чего надо брать проценты. Об этом в задаче прямо не сказано, но существуют договоренности о понимании тех или иных высказываний.

Для примера рассмотрим задачу:

Пример №48

Сначала цену на товар подняли на 10%, а потом снизили на 10%. Как изменилась цена на этот товар в результате двух переоценок?

Обратите внимание, что первый раз речь идет о 10% от начальной цены, а во второй раз – о 10% от повышенной цены. А они не равны.

Решение:

Пусть сначала товар стоил Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения грн.

После повышения цены на 10% он стал стоить Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения грн. +Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения грн. или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения грн.

10 % от повышенной цены составляют (Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения) грн., или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения грн. После снижения стоимости, цена товара стала (Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения) грн., или 0,99а грн.

Таким образом, сначала товар стоил Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения грн., а после двух переоценок он стал стоить 0,99а грн., то есть на 0,01а грн. меньше. Это составляет 0,01а : а = 0,01, или 1 %.

Ответ. После двух переоценок начальная цена товара снизилась на 1 %.

Примечание. Вместо слов «сколько процентов» иногда говорят «какой процент» (см. задачи 700, 701).

Выполнение заданий:

Пример №49

В классе всего 27 учеников, два из них отсутствуют. Сколько процентов составляют отсутствующие? Сколько процентов составляют присутствующие?

Решение:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Примечание. Вторую часть задачи можно решить проще: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример №50

Рабочий за смену изготовлял 250 деталей, а теперь изготовляет 270 таких деталей. На сколько процентов повысилась его производительность труда?

Решение:

Первый способ.

270 : 250 = 1,08 = 108 %; 108 % – 100 % = 8 %.

Второй способ.

270 – 250 = 20 (деталей); 20 : 250 = 0,08 = 8 %.

Ответ. На 8 %.

Пропорциональные величины

Пусть 1 кг яблок стоит 3 грн. Сколько стоят 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг таких яблок? Ответ можно записать в виде таблицы.

Масса яблок (кг) 1 2 3 4 5 6 Стоимость (грн.) 3 6 9 12 15 18

Здесь две величины: масса и стоимость. Возьмем какие-либо два значения массы, например 3 кг и 5 кг. Соответствующие им значения стоимости: 9 грн. и 15 грн. Из этих четырех чисел можно составить пропорцию 3:5 = 9: 15 или 3:9 = 5: 15. Такие величины называют пропорциональными. Стоимость яблок пропорциональна их массе. Чем больше покупают яблок, тем больше за них платят. Во столько же раз!

Две величины называют пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения второй увеличиваются во столько же раз.

Другие примеры пропорциональных величин: объем бензина и его масса, время полета самолета и пройденное им расстояние, длина стороны квадрата и его периметр. А вот площадь квадрата не пропорциональна длине его стороны. Почему? Если каждую сторону квадрата увеличить, например, в 3 раза, то его площадь увеличится не в 3 раза, а в 9 раз.

Если величины Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения пропорциональные, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

где Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – некоторое чисто (коэффициент пропорциональности).

Много задач на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.

Пример №51

Масса 5 л растительного масла равна 4 кг. Какова масса 12 л этого масла?

Решение:

Первый способ (приведение к единице). Если масса 5 л масла равна 4 кг, то масса 1 л – в 5 раз меньше, то есть 0,8 кг. Масса 12 л масла в 12 раз больше: 0,8 кг – 12 = 9,6 кг.

Второй способ (способ пропорции).

5 л – 4 кг,

12 л – Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения кг.

Имеем пропорцию Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (кг).

Кроме пропорциональных величин, часто рассматривают обратно пропорциональные величины. Две величины называют обратно пропорциональными, если с увеличением в несколько раз значений одной величины значения другой уменьшаются во столько же раз. Такими, например, являются скорость и время (при постоянном расстоянии). Поскольку, если скорость движения увеличить в несколько раз, то это же расстояние можно пройти во столько же раз быстрее. Если величины Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения обратно пропорциональны, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

где Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – некоторое число (Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения– отличные от нуля).

Обратно пропорциональные величины изучают в курсе алгебры. Чтобы различать пропорциональные величины и обратно пропорциональные, первые также называют прямо пропорциональными величинами. Таким образом, пропорциональные величины и прямо пропорциональные величины – одно и то же понятие.

Выполнение заданий:

Пример №52

Насос за 8 ч откачивает Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения воды. Сколько воды он сможет откачать за 10 ч?

Решение:

Первый способ. За 1 ч насос откачивает Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. За 10 ч – в 10 раз больше: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Второй способ.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Имеем пропорцию Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Задачи на пропорциональное деление

Существует много задач, в которых требуется разделить какое-то число или значение величины на части, пропорциональные нескольким данным числам. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример №53

Проволоку длиной 60 м разрезали на три части, длины которых пропорциональны числам 2, 3 и 5. Найдите длины этих частей проволоки.

Решение:

Если искомые длины пропорциональны числам 2, 3 и 5, то они равны Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, где Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения -некоторое число (рис. 53). Следовательно, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решенияОтношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Длины частей проволоки равны 12 м, 18 м и 30 м.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы понять общее правило решения задач на пропорциональное деление, уравнение Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения преобразуем так:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Тогда искомые значения Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения соответственно равны:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и найденное частное умножить на каждое из них.

Отдельным видом задач на пропорциональное деление являются задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению. Сравните две такие задачи.

Задача 1. Поле площадью 100 га разделили на две части, площади которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите площади этих частей поля.

Задача 2. Поле площадью 100 га разделили на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите площади этих частей поля.

Решать такие задачи можно двумя способами.

Решение:

Первый способ. Если площади частей ноля пропорциональны числам 2 и 3 (или относятся как 2 : 3), то они равны Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, где Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – некоторое число. Общая площадь поля равна 100 га, поэтому

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 40 га и 60 га.

Второй способ. По правилу деления числа на части, пропорциональные данным числам, сразу определяем площади частей поля:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 40 га и 60 га.

Иногда говорят о делении числа на части, обратно пропорциональные данным числам. Поделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, – это значит разделить данное число на части пропорционально числам, обратным данным. Например, разделим число 190 на три части, обратно пропорциональные числам 2, 4 и 5. Обратные им числа – Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Если привести эти дроби к общему знаменателю и отбросить его, то получим 10, 5 и 4. Теперь надо число 190 разделить на части, пропорциональные числам 10, 5 и 4. Имеем:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 100, 50 и 40.

Выполнение заданий:

Пример №54

Разность двух чисел равна 13, а относятся они как 7 : 5 (рис. 54). Найдите эти числа.

Решение:

По условию задачи искомые числа равны Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, где Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – некоторое число. Кроме того, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 45,5 и 32,5.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Окружность и круг

Окружность можно начертить циркулем (рис. 57). Если острие циркуля, каким начерчена окружность, находится в точке О, то эта точка – центр данной окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. А отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр, – диаметром. На рисунке 58 точка О -центр окружности, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – диаметр, Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – радиусы. В окружности можно провести бесконечно много радиусов и диаметров. Каждый диаметр в 2 раза длиннее радиуса, то есть Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Форму окружности имеет обруч, обод стакана, экватор и параллели на глобусе и т. п. Чтобы измерить длину окружности, можно вдоль нее положить нить, а йотом измерить ее длину. А можно длину окружности не измерять, а вычислять. Ученые еще в древние времена установили, что отношение длины каждой окружности к длине ее диаметра равно одному и тому же числу, приближенное значение которого равно 3,14. Это число во всем мире обозначают буквой Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (пи) (см. с. 168).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, если длина окружности Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, а ее диаметр Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Это – формула длины окружности.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Например, если радиус окружности равен 5 см, то ее длина

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (см).

Ответ приближенный, поскольку Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения 3,14.

Окружность на плоскости разбивает ее на две области: внутреннюю и внешнюю. Объединение окружности и ее внутренней области называют кругом (рис. 59). Центр, радиус, диаметр круга – это соответственно центр, радиус, диаметр окружности, которая ограничивает данный круг. Площадь круга, как и длина окружности, зависит от длины его радиуса. Доказано, что площадь каждого круга радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения в Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения раз больше площади квадрата со стороной Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (рис. 60). То есть, если радиус круга равен Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то его площадь

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Это – формула площади круга.

Например, если радиус круга равен 10 см, то площадь этого круга Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Часть круга, ограниченная его двумя радиусами, называется круговым сектором. На рисунке 61 изображен круг, разделенный на 3 равные сектора. Подумайте, как можно найти площадь каждого из них, если радиус круга равен

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Если крут вращать вокруг его диаметра, то образуется шар.

Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через его центр, – диаметром шара. Диаметр шара равен двум его радиусам. Па рисунке 62 изображен шар с центром О и радиусом OA.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Если через центр шара провести плоскость, то она пересечет шар по кругу, а поверхность шара – по окружности. На географическом глобусе такими окружностями являются экватор и линии меридианов. Поскольку длина окружности радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то длина экватора шара радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Кругами являются также основания цилиндра (рис. 63, а).

Разрезав поверхность цилиндра вдоль некоторых линий (каких?), ее можно развернуть. В результате образуется развертка поверхности цилиндра (рис. 63, б). Боковая поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник. Основание этого прямоугольника равно длине окружности основания цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то длина окружности основания цилиндра Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому основание прямоугольника, в который развертывается боковая поверхность цилиндра, тоже равно Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Высота этот прямоугольника Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения — это высота данною цилиндра. Площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Такая же площадь боковой поверхности цилиндра: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения .

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения Чтобы найти площадь всей поверхности цилиндра, надо к площади em боковой поверхности прибавить площади двух его оснований. Поскольку площадь круга радиуса Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения равна Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, то площадь поверхности цилиндра Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Выполнение заданий:

Пример №55

Какой путь проходит за 1 ч конец часовой стрелки, длина которой равна 30 см (рис. 64)?

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Длина окружности, описанной концом стрелки, равна

2л • 30 см~ 188,4 см.

За час стрелка опишет Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения часть окружности. Поэтому — Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения 15,7 см.

Диаграммы

Рисунки воспринимаются и запоминаются лучше, чем слова и цифры. Для наглядного изображения числовых значений различных величин используют диаграммы. Это слово греческого происхождения, оно обозначает «рисунок». Диаграмма – это символический рисунок, который наглядно иллюстрирует соотношение между значениями величин. Чаще всего используют линейные, столбчатые и круговые диаграммы.

Линейная диаграмма, как правило, состоит из нескольких отрезков. Например, изображенная на рисунке 70 диаграмма позволяет наглядно сравнить длины наибольших рек Европы. Большему значению длины реки соответствует

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

более длинный отрезок. На этой диаграмме отрезки расположены горизонтально. На других диаграммах их изображают вертикально. Линейная диаграмма на рисунке 71 иллюстрирует, как с годами увеличивалось население Земли (в миллионах). В 1750 г. людей было примерно 730 миллионов, в 1800 г. – 950 миллионов и т. д. В 2000 г. было примерно 6 миллиардов человек.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Столбчатая диаграмма отличается от линейной тем, что в ней отрезки заменены прямоугольниками. Такой является диаграмма, изображенная на рисунке 72. На ней

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

сравнивается численность населения наибольших городов (в миллионах; по данным переписи 2001 г.).

Круговая диаграмма имеет вид круга, разделенного радиусами на части (секторы). Поэтому такие диаграммы называют также секторными. На рисунке 73 изображена диаграмма, которая показывает, сколько процентов живет, русских и людей других национальностей (данные за 2001 г.). Весь круг соответствует 100 процентам.

Иногда диаграмма помогает решить задачу. Пусть, например, надо найти два числа, сумма которых равна 27, а разность – 7. Этой задаче соответствует диаграмма, изображенная на рисунке 74. Первое число больше второго на 7. Если из первого вычесть 7, получим 20 – удвоенное второе число. Таким образом, второе число равно 10, а первое – 17. Так, пользуясь диаграммой, задачу можно решить устно.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Иногда на диаграммах вместо столбиков изображают прямоугольные параллелепипеды или цилиндры (рис. 75). При этом придерживаются таких требований: основания таких фигур должны быть равны, а высоты – пропорциональны соответствующим значениям величин.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Когда хотят изобразить наглядно соотношения между сродными объектами, пользуются кругами, овалами и т. п. Например, соотношения между четырехугольниками, прямоугольниками и квадратами можно изобразить так, как показано на рисунке 76. Такие схематические изображения называют диаграммами Эйлера – в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707-1783)

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №56

Постройте столбчатую диаграмму, отображающую площади океанов по данным таблицы.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим на одной прямой равные основания четырех прямоугольников. Пусть площади 10 млн кв. км соответствует прямоугольник, высота которого равна одной клеточке тетради (0,5 см). Высоту столбика, который соответствует площади Тихого океана, найдем из пропорции Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения см. Высоты других столбиков: 4,5 см, 3,8 см и 0,8 см. Строим диаграмму (рис. 77).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Пример №57

Постройте при помощи компьютера секторную диаграмму, которая отображает состав винегрета (картофель – 40 г, свекла – 40 г, морковь – 24 г, лук – 10 г, огурец квашеный – 20 г, растительное масло – 4 г).

Решение:

1. Включите компьютер, при помощи кнопки «Пуск» создайте новый документ (рис. 78, а).

2. В открытом окне последовательно нажмите кнопки «Вставка» Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения «Рисунок»Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения «Диаграмма» (рис. 78, б).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

3. В новом окне нажмите последовательно кнопки «Диаграмма»Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения «Тип диаграммы» и выберите в меню «Круговая».

4. Введите в таблицу заданные значения (рис. 79).

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

5. Сохраните и распечатайте полученное изображение. Оно может быть таким, как на рисунке 79.

Исторические сведения:

Отношения чисел интересовали ученых Египта и Вавилона еще 4000 лет назад. Математики Древней Греции исследовали в основном отношения отрезков. А поскольку длины отрезков выражаются числами, то все их знания об отношении отрезков верны и для отношения чисел.

Пропорции также были хорошо известны египтянам, вавилонянам и грекам. В знаменитом труде «Начала» Евклида (IV в. до н. э.) им посвящена вся пятая книга. В частности, в ней обосновано и много «производных пропорций», которые вытекают из какой-то данной.

Самой прекрасной пропорцией древние греки считали «золотую пропорцию», когда отрезок длиной Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения делят на две части Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения так, что Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения (рис. 83). При этом Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Такую пропорцию называли также «божественной пропорцией»; считали, что ей соответствуют наиболее совершенные творения природы и шедевры художников.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Окружность и круг людям были известны еще в древние времена. Раньше люди не различали окружность и круг.

В наших краях еще несколько тысячелетий назад женщины носили украшения, которые имели детали в виде окружностей (рис. 84). И колеса колесниц мастеровые люди умели изготовлять еще несколько тысячелетий до новой эры.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Изобретение колеса – большое открытие. Сначала люди пользовались катками, потом, чтобы катки не переносить, додумались вставлять их в прорезы, словно в подшипники. Со временем колеса начали изготовлять отдельно от оси, но из сплошного дерева. Только позже научились изготовлять колеса со спицами, которые были больше, легче и крепче. Схематически историю изобретения колеса показано на рисунке 85.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Интересная история числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – отношения длины окружности к ее диаметру. Ученые Вавилона считали, что Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения = 3. Древние египтяне знали более точное значение этого числа: 3,16. 22

Древнегреческий ученый Архимед нашел, что Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, поэтому это число называют архимедовым. Приближенно оно равно 3,14. Для решения большинства практических задач такой точности достаточно. Но со временем китайские, европейские и другие математики находили все больше и больше десятичных знаков числа Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения. Сейчас доказано, что оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Главное в разделе:

Частное от деления двух чисел называют также их отношением. Отношение чисел Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения – это Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, или Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения• Каждая обыкновенная дробь является отношением ее числителя к знаменателю.

Основное свойство отношения. Значение отношения не изменится, если оба члена умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Например, 300 : 500 = 3:5.

Отношение дробных чисел всегда можно заменить отношением натуральных чисел. Например,

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Процентным отношением называют отношение, выраженное в процентах. Например, 3:15 = 0,2 = 20 %.

Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для него результатов к количеству всех возможных результатов. Например, вероятность того, что подброшенная монета упадет кверху гербом, равна 0,5.

Отношение длины каждой окружности к ее диаметру равно числу Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, которое приближенно равно 3,14. Длину Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения окружности и площадь Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения круга находят по формулам Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения, где Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения-радиус.

Равенство двух oiношений называют пропорцией.

Примеры:

пропорций: Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Основное свойство пропорции. Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних. То есть, если

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Две величины называют пропорциональными (прямо пропорциональными), если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой увеличиваются во столько же раз. Например, стоимость товара пропорциональна его количеству, пройденный автомобилем путь (при равномерном движении) пропорциональный времени движения. Если величины Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения и Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения пропорциональные, то Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и умножить на каждое из них. Разделим, например, число 540 на три части, пропорциональные числам 2, 3 и 5.

Отношения и пропорции - определение и вычисление с примерами решения

Умножив 54 на 2, на 3 и на 5, имеем: 108, 162 и 270.

Раздел 4

  • Рациональные числа и действия над ними
  • Делимость натуральных чисел
  • Выражения и уравнения 
  • Линейное уравнение с одной переменной
  • Криволинейные интегралы
  • Двойные и тройные интегралы
  • Делимость чисел в математике
  • Обыкновенные дроби

Добавить комментарий