Как найти одну общую точку с графиком

Прямая и гипербола имеют одну общую точку

Задание. Постройте в одной системе координат графики функций у = х² – 6х + 6 при х ≥ 2 и у = х – 3 при х < 2

Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Приветствую всех на канале. Меня зовут Любовь. Даю онлайн-консультации по математике для педагогов, родителей, учащихся.

Построение.

Шаг 1. Строим график функции у = х – 3 при х < 2.

Зная, что на графике это часть прямой, можно найти координаты только двух точек для построения. Найдём значение у при выбранных значениях х из промежутка х < 2.

Икс, равное двум, тоже возьмём, но потом эту точку уберём из графика.

При х = 2 у = 2 – 3 = -1

При х = 0 у = 0 – 3 = -3

Строим полупрямую по двум точкам с координатами (2;-1) и (0;-3)

Шаг 2. Строим график функции у = х² – 6х + 6 при

х ≥ 2.

Зная, что на графике это часть параболы, используем определённый алгоритм построения.

1) По формуле х = -b/2а, где а и b коэффициенты уравнения у = х² – 6х + 6, находим первую координату вершины параболы. В нашем случае коэффициенты b =-6, а а=1.

x = -(-6) /2•1 = 3

2) Находим вторую координату вершины параболы, подставив в уравнение у = х² – 6х + 6 вместо х число 3.

у=3² – 6•3 + 6 = 9 -18 + 6=-3

Итак, (3;-3) – координаты вершины параболы.

3) Переносим систему координат в точку с координатами (3;-3) и строим от этой точки как от начала координат часть параболы у =х².

У нас получился график сложной функции с разрывом.

Отвечаем на вопрос: при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки?

Прямые у = m при разных значениях m – это прямые, параллельные оси х. Их можно провести бесконечно много. Смотрим, какие из них пересекают график ровно в двух точках. Во-первых, это прямая у=-3

Во-вторых, это множество прямых на промежутке от (-2;-1) по оси у

Даём чёткий ответ: Прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки при m =-3 и когда m принадлежит промежутку от (-2:-1).

Была несколько лет экспертом по проверке 2 части экзаменационных работ и знаю, что задание 22 оценивается в 2 балла. Если учащиеся построили верно график – это 1 балл, если ответили правильно на вопрос – ещё 1 балл.

Дорогие девятиклассники!

Успешной сдачи экзаменов в этом году. Удачи и успехов в подготовке!

По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

1. 
2. 
3. 

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac<1> <2>– 2 = — 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac<1> <2>= frac<1><2>$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.

Третий способ

Готовые работы на аналогичную тему

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021

Всего: 70    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–70

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 70    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–70

В данном задании анализируем функции и их графики.

Задание 22OM21R

Постройте график функции:

у=х² – |2x +1|

Определите, при каких значениях m прямая   у= m имеет с графиком ровно три общие точки.

---

Раскроем модуль:

{у=х2−2х−1, при х≥−12у=х2+2х+1, при х<−12)

Для построения графика найдем вершины каждой параболы:

у=х² – 2х – 1

х₀₌−b2a=22=1

у₀=1² -2-1=-2

Итак, вершина первой параболы (1; -2)

Возьмем дополнительные точки, где х ≥−12

х	-0,5	0	2	3
у	0,25	-1	-1	2

у=х² + 2х + 1

Аналогично найдем вершину второй параболы: х₀=-1, у₀₌0

Вершина второй параболы (-1;0)

Дополнительные точки при х<−0.5

Изобразим параболы в системе координат:

Теперь нам нужно ответить на вопрос задания: «Определите, при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно три общие точки?»

Для этого построим такие прямые (одна желтая, вторая зеленая), откуда видно, что первая прямая совпадает с осью х, т.е. у=0; вторая имеет с графиком три общие точки при у=0,25.

Ответ: при m равных 0; 0,25

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM2306o

Постройте график функции

и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее число.

---

Разложим числитель дроби на множители:

При x ≠2 и x ≠ 3 функция принимает вид:

её график — парабола, из которой выколоты точки ( -2; -4) и ( 3; 6).

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты ( -0,5; -6,25 ). Поэтому c = – 6,25, c = – 4 или c = 6.

Ответ: 6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM2305o

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек. В ответ запишите наибольшее число.

---

Алгоритм решения:

1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
3. Строим график.
4. Определяем искомые значения k.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Раскрываем модуль и для каждого случая.

Если x < 0, то

определена при  и представляет собой часть гиперболы. Дополнительные точки для построения:

x	-5	-4	-3	-2	-1
y	-1/5	-1/4	-1/3	-1/2	-1

2. Если x > 0, то

определена при и представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x	1	2	3	4	5
y	-1	-1/2	-1/3	-1/4	-1/5

3. Изображаем график:

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком данной функции, когда k=-16; 0 и 16. Тогда прямые проходят черед точки с абсциссами ¼ и – ¼ . На рисунке эти прямые изображены красным. При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс. Она тоже не имеет общих точек с графиком.

Ответ: 16

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM2304o

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек. В ответ запишите наибольшее число.

---

Алгоритм решения:

1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
3. Строим график.
4. Определяем искомые значения k.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Если x < 0, то

Дробь, получившаяся в результате, определена . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x	-5	-4	-3	-2
y	-1/5	-1/4	-1/3	-1/2

2. Если x > 0, то

Функция определена при График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x	2	3	4	5
y	-1/2	-1/3	-1/4	-1/5

3. Построим график заданной функции:

4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.

На графике прямые для k=-1; 1 изображены красным. При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс и тоже не имеет общих точек с графиком функции.

Ответ: 1

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM2302o

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запишите наибольшее из чисел.

---

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Вершина ее находится в точке :

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (0;4).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график на координатной плоскости:

Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM2301o

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запишите наибольшее число.

---

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.

Если .

Если

2. График функции заданных значениях х – часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Вершина расположена в точке с координатами:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (-2;-7).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график функции на координатной плоскости:

4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.

Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.

Ответ: 12,25

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор