Как найти одну вторую от вектора

Операции с векторами

Как сложить и перемножить векторы (и зачем).

Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг.

Напомним основные мысли:

• Вектор — это абстрактное понятие, которое представляет собой организованную последовательность каких-то чисел.
• В виде вектора можно представить координаты предмета в каком-то пространстве; площадь квартиры и её стоимость; цифровые данные анкеты какого-то человека и динамику цен на нефть.
• Если по-простому, то векторы нужны, чтобы обрабатывать большое количество организованных чисел. Представьте, что вектор — это коробка с конфетами, только вместо конфет — числа. Каждое число стоит в своей ячейке.
• Машинное обучение основано на перемножении матриц, которые, в свою очередь, можно представить как наборы векторов. Так что векторы лежат в глубине всех модных и молодёжных технологий ИИ.

С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим.

Правильно — векторы

Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора».

Сложение

Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K.

Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Векторы X, Y, Z, K в двухмерном пространстве

Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее.

Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y.

X = (6, 4)
Y = (3, −2)
X + Y = (9, 2)

Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.

Например, вот сложение векторов с пятью координатами:

X = (6, 4, 11, 14, 99)
Y = (3, -2, 10, -10, 1)
X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Интуитивное изображение сложения

Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.

Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.

Сложение векторов по методу треугольника: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2)

Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y.

Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.

Сложение векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); Y = (3, -2); Х + Y = (9, 2)

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так:

1. У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2).
2. Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y).
3. Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).
4. Считаем: X + (−Y) = (3, 6).

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6) Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Длина вектора

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков:

X = 6 − 2 = 4
Y = 5 − 2 = 3

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25
|C| = √25 = 5 Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы.

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Умножение и деление вектора на число

Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное.

Умножение вектора на число

Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.

Деление вектора на число

Да вроде несложно!

Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что:

• векторы можно умножать на векторы тремя способами в зависимости от задачи и от того, что мы понимаем под умножением;
• если от векторов перейти к матрицам, то перемножение матриц имеет несколько более сложную и довольно неинтуитивную математику;
• а перемножение матриц — это и есть машинное обучение.

Что дальше

В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей.

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора – по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и – это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

Векторное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

• он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
• он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
• длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
• тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

1. Антикоммутативность
2. Свойство дистрибутивности

Сочетательное свойство

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-na-ege-po-matematike-v-zadache-v6-dejstviya-nad-vektorami/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/vektornoe-proizvedenie-vektorov

[/spoiler]

Векторное произведение векторов

Определение

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 – a_3 b_2) – overline{j} (a_1 b_3 – a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 – a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 – a_3 b_2; a_3 b_1 – a_1 b_3; a_1 b_2 – a_2 b_1) $$

Свойства

1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Геометрический смысл

• Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
• Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
• Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления векторного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти векторное произведение
$[bar{a}, bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и
$bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, необходимо
вычислить следующий определитель

Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.

Примеры вычисления векторного произведения векторов

Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.

Содержание:

Векторная алгебра

Векторная алгебра – это раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства; часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами; различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Векторы и линейные операции над ними

Займемся теперь таким важным как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях, понятием вектора.

Определение: Вектором, на плоскости или в пространстве называется отрезок прямой с заданным на нем направлением, т. е. одна из его граничных точек считается начальной, а вторая – конечной.

Обозначать векторы мы будем строчными латинскими буквами

Длина отрезка, изображающего вектор называется его длиной и обозначается через Вектор с совпадающими начальной и конечной точками называется нуль-вектором. Для него используется обозначение

По определению, два вектора считаются равными, если один из них можно преобразовать в другой с помощью параллельного переноса.

Учитывая приведенное определение, всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок будем перемещать вектор параллельным переносом в любую удобную для нас точку.

Два вектора называются коллинеарными (обозначение ), если отрезки их изображающие параллельны.

Аналогично, векторы а и b называются ортогональными (обозначение ), если соответствующие отрезки перпендикулярны.

Три вектора называются компланарными, если после приведения их общему началу, они будут расположены в одной плоскости.

Углом между векторами приведенными к общему началу, называется меньший из двух углов между соответствующими отрезками. Обозначать угол мы будем строчными греческими буквами … или через

Два ненулевых вектора мы будем считать одинаково направленными, если и противоположно направленными, если

Введем теперь линейные операции над векторами.

а) Умножение числа на вектор.

Произведением действительного числа на векторназывается вектор длина которого равна а направление его совпадает с направлением вектора если и имеет противоположное с ним направление, если Если или

В частности, вектор обозначается через и называется вектором, противоположным вектору

Если то произведение мы будем иногда записывать в виде

Из приведенного определения сразу же следует, что коллинеарные векторы линейно связаны, т. е. существует константа такая,что  В качестве такой константы следует

взять число Если то В частности, если то вектором единичной длины с направлением данного вектора является вектор

b) Сложение векторов.

Суммой двух векторов называется вектор который находится по правилу треугольника

или по равносильному ему правилу параллелограмма

Вектор называется разностью векторов

Свойства линейных операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Проекцией вектора на вектор называется число

Геометрически очевидны следующие свойства проекции:

Пример №1

Пусть Е и F – середины сторон AD и ВС соответственно выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что

Доказательство. Из четырехугольников EDCF и EABF по правил}’ сложения векторов получим:

Сложив данные равенства и учитывая, что будем иметь:

что и требовалось.

Базис и декартова система координат

Определение: Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Обозначение: — базис на плоскости, — базис в пространстве. Всюду в дальнейшем, не оговаривая это особо, будем рассматривать только положительно ориентированные базисы, т. е. базисы, у которых кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, если наблюдение ведется со стороны вектораСформулируем теперь фундаментальное свойство базиса.

Теорема. Любой вектор единственным образом разлагается по базису, т. е. представляется в виде где действительные числа – координаты вектора в базисе

Приведем геометрическое доказательство этого утверждения.

Вектор можно единственным образом представить как большую диагональ параллелепипеда, ребра которого, параллельны базисным векторам. Тогда по правилу сложения векторов В виду коллинеарности векторов соответствующим базисным векторам, мы можем записать, что — некоторые действительные числа. Отсюда и следует искомое разложение.

Если базис зафиксирован, то факт, что вектор а в этом базисе имеет координаты коротко записывается как

Из доказанной теоремы следует, что при выполнении линейных операций над векторами точно также преобразуются и их координаты, т. е. если если Отсюда, в частности, следует, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т. е.

Рассмотрим теперь ортонормированный базис т.е. базис, в котором все векторы имеют единичную длин}’ и попарно ортогональны. Векторы этого базиса мы будем называть ортами. Пусть в этом базисе

Как видно из чертежа, координаты вектора в ортонормированном базисе представляют собой проекции этого вектора на соответствующие орты. т. е.

Величины т. е. косинусы углов, которые образует данный вектор с ортами к соответственно, называются направляющими косинусами вектора Единичный вектор имеет координаты

Очевидно также, что

Свяжем теперь с ортонормированным базисом декартову (прямоугольную) систему координат. Для этого поместим начала ортов в некоторую точку О, ось Ох (абсцисс) направим вдоль орта ось  (ординат) — вдоль орта наконец, ось (аппликат) направим вдоль орта

В выбранной системе координат координаты радиуса-вектора  мы будем называть координатами точки М и записывать

Если известны координаты начальной и конечной точек вектора, то из равенства слезет, что его координаты равны

и, значит, расстояние между точками вычисляется по формуле

Найдем теперь координаты точки М, делящей отрезок с концами в точках в данном

отношении Так как  Отсюда, переходя к координатам получим:

Следовательно, координаты искомой точки вычисляются по формулам:

Найдем, в частности, координаты середины отрезка. Здесь А = 1, поэтому

Пример №2

Треугольник задан координатами своих вершин Найти координаты точки пересечения его медиан. Решение.

Пусть – середина отрезка – точка пересечения медиан. Тогда

По известному свойству точки пересечения медиан и потому

Подставив сюда найденные координаты точки ползучим:

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Замечание. Базисом n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n векторов

обладающая тем свойством, что любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов (1), т.е. существуют действительные числа (координаты векторав базисе (1)) такие, что

В качестве базиса в мы можем взять, например, векторы

так как, очевидно, любой вектор однозначно представляется в виде (2).

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением векторов называется число

Из этого определения сразу же следует, что

и таким образом, если один из векторов имеет единичную длину, то их скалярное произведение равно проекции второго вектора на единичный.

Отметим основные свойства скалярного произведения.

Первые два и последнее свойства немедленно следуют из определения скалярного произведения, а третье и четвертое – из сформулированных в §1 свойств проекции.

Найдем теперь представление скалярного произведения в координатах. Пусть в орто-нормированном базисе векторы имеют координаты Заметив, что по свойствам 1) и 5) скалярного произведения

перемножим векторыскалярно, используя свойства 2) – 4):

Таким образом, скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример №3

Разложить вектор на две ортогональные составляющие, одна из которых коллинеарна вектору

Решение.

Из чертежа следует, что – искомое разложение. Найдем векторы Составляющая коллинеарная вектору равна, очевидно, вектору проекции и, следовательно,

Тогда вторая ортогональная составляющая вектора равна

В заключение параграфа рассмотрим одно простое приложение скалярного произведения в механике. Пусть под действием постоянной силы материальная тотп<а переместилась по прямой из положения В в положение С.

Найдем работу этой силы. Для этого разложим вектор силы на две ортогональные составляющие. одна из которых коллинеарна вектору перемещения Тогда

Составляющая работы не совершает, следовательно, работа силы равна работе составляющей и, таким образом,

Окончательно, работа силы, под действием которой материальная точка перемещается по отрезку прямой из положения В в положение С, вычисляется по формуле:

Замечание. Скалярным произведением векторов n-мерного пространстваназывается число равное произведению первого вектора, записанного строкой, на второй вектор, записанный столбцом. Таким образом, если

то

Несложной проверкой мы можем убедиться в том, что таким образом определенное скалярное произведение в обладает свойствами 2) — 4) скалярного произведения векторов на плоскости или в пространстве.

Длиной вектора называется число

Векторы называются ортогональными, если Векторы

составляют ортонормированный базис пространства , так как каждый из этих векторов имеет единичную длину и все они попарно ортогональны.

Любой вектор мы можем рассматривать как точку

n-мерного пространства с координатами

Взяв еще одну точку соответствующую вектору  мы под расстоянием между точками М и N будем понимать длину вектора  т. е. число

Таким образом переопределенное пространство с расстоянием (2) между точками мы будем называть евклидовым пространством, сохранив для него то же обозначение.

Совокупность точки О(0.0,…, 0) и ортонормированного базиса (1) называется декартовой системой координат евклидова пространства R”. Точка 0(0,0,… ,0) называется, естественно, началом координат.

Векторное произведение векторов

Определение: Векторным произведением некоялинеарных векторов называется вектор такой, что

Из этого определения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине векторного произведения , т. е.

Сформулируем основные свойства векторного произведения.

Первые два свойства очевидным образом следуют из определения векторного произведения. Доказательство третьего ввиду его громоздкости мы приводить не будем.

Найдем формулу для вычисления векторного произведения в координатах. Пусть векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты Учитывая, tito по определению векторного произведения

раскроем скобки в векторном произведении принимая во внимание свойства 1) – 3):

Полученный вектор мы можем записать в виде следующего символического определителя.

вычислять который удобно разложением по первой строке.

Пример №4

Найти составляющую вектора , ортогональную плоскости векторов .

Решение.

Из чертежа видно, что искомая составляющая представляет собой вектор проекции данного вектора на векторное произведение и, следовательно.

Переходим к вычислениям:

Тогда

Среди многочисленных приложений векторного произведения отметим его применение в механике при вычислении момента силы.

Итак, пусть сила приложена к материальной точке В. Моментом этой силы относительно неподвижной точки С называется вектор

Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением трех векторов называется число

Выясним геометрический смысл смешанного произведения для тройки некомпланарных векторов.

По определению смешанного произведения

Поскольку – площадь параллелограмма, построенного на векторах  (§4)

 -высота параллелепипеда построенного на векторах  то

– объем параллелепипеда. Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе , т.е.  то учитывая формулы для вычисления скалярного и векторного произведений (§3, §4), получим:

Следовательно (глава I. §2, пункт 3, свойство 7)), в координатах смешанное произведение вычисляется по формуле:

Докажем, пользуясь этой формулой, некоторые свойства смешанного произведения.

что следует из свойства 4) определителя (глава I. §2, пункт 3). Таким образом, в смешанном произведении можно менять местами знаки скалярного и векторного произведения, и поэтому для него используется более короткое обозначение . которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Эти свойства смешанного произведения также являются прямыми следствиями соответствующих свойств определителя.

Докажем еще одно, геометрическое свойство смешанного произведения.

Теорема. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы. Пусть векторы компланарны. Очевидно, что, если хотя бы один из них равен нулю, то и их смешанное произведение равно нулю. Если же все они ненулевые, то, ввиду их компланарности, векторное произведение ортогонально вектору с и, следовательно, . Аналогично проверяется достаточность условия теоремы.

Следствие. Три вектора образуют базис в том и только в том случае, когда их смешанное произведение отлично от нуля.

Заметим, кроме того, что, если , то угол между векторами -острый (тупой) и, следовательно, базис является положительно (отрицательно) ориентированным.

Пример №5

Доказать, что пять точек

расположены в одной плоскости.

Решение. Рассмотрим векторы Так как

то по доказанной выше теореме эти векторы компланарны и, стало быть. точки находятся в одной плоскости Аналогично покажем, что и точки также принадлежат одной плоскости . Действительно,

так как первая и третья строки в определителе пропорциональны. Плоскости имеют три общие точки , следовательно, они совпадают и, таким образом, все пять точек расположены в одной плоскости.

Векторы и линейные операции над ними

Определение: Вектором называется направленный отрезок (рис. 1).  
   А – начало, В – конец вектора  
                     Рис. 1 
  Так как вектор определяется его началом и концом, то можно сформулировать эквивалентное данному определение. 

Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек. 

Определение: Длина вектора   – расстояние между его началом и концом. 

Определение:  Два  вектора  называются  равными,  если  они  имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления. 
Из этого определения следует, что точка приложения вектора значения не имеет, то есть вектор не изменяется, если его перемещать параллельно самому себе, сохраняя  длину. Такие векторы называются свободными. 
Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым: 
 – нулевой вектор: его направление не определено, а длина   . 

Определение: Векторы    называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых:
Так как направление  нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому. 

Определение: Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. 
Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.

Линейные операции над векторами

Линейными  называются  операции  сложения  векторов  и  умножения  на число. 

Сложение

а)  Правило  параллелограмма  (рис.2): начала     совмещаются в одной точке, и   – диагональ параллелограмма, построенного на   . 

б) Правило треугольника  (рис. 3): начало    совмещается  с  концом  направлен от начала     к концу   . 

в) Правило сложения нескольких векторов (рис. 4).                                                                   

Вектор     замыкает ломаную линию, построенную таким образом:  конец  предыдущего  вектора  совмещается  с  началом  последующего и направлен от начала к концу . 

Умножение на число

Определение: Произведением вектора    на число называется вектор , aудовлетворяющий условиям: 
а)       
б)   

в) , если  ,a если  , если . 

Произведение  называется  вектором,  противоположным вектору . Очевидно,   . 
 

Определение:  Разностью  называется    сумма    вектора    и  вектора, противоположного (рис. 5). 

Начала    совмещаются в одной точке, и   направлен от конца    к концу   . 

Свойства линейных операций

Определение:  Результат  конечного  числа  линейных  операций  над векторами называется их линейной комбинацией:  –  линейная  комбинация  векторов   с  коэффициентами  

Пример №6

Пусть  М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства. Представить  как линейную комбинацию  
(рис. 6). 

.  Так  как  точка  пересечения  медиан  треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины, то  из правила параллелограмма следует, что
По правилу треугольника , то есть  – линейная комбинация   с коэффициентами
 

Теорема:  Пусть   –  неколлинеарные  векторы.  Тогда  любой компланарный с ними вектор  c  может быть представлен в виде  

где коэффициенты (2.1) определяются единственным образом. 
Представление вектора  в виде (2.1) называется разложением  его по двум неколлинеарным векторам. 

Доказательство:

1. Пусть среди   есть два коллинеарных, например:
2. Пусть среди   коллинеарных нет, тогда совместим начала всех трех векторов  в одной точке. Построим параллелограмм, диагональ которого совпадает  с     ,  а  стороны  параллельны  прямым, на которых лежат    (рис. 7). 

Тогда  c  но Поэтому

Докажем единственность разложения. Предположим, что  и    Тогда,  вычитая  одно  равенство    из  другого,  получим:

Если , что противоречит условию. Теорема доказана. 

Теорема: Пусть    – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор    может быть представлен в виде  

причем единственным образом. 
Представление  вектора   в  виде (2.2) называется  разложением  его по трем некомпланарным.  
Доказать самостоятельно. 

Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

Координаты вектора

Осью называется  направленная прямая. 
 

Определение:  Ортом  оси     называется  единичный  вектор   
направление которого совпадает с направлением оси. 

Определение: Ортогональной проекцией точки М на ось    называется основание перпендикуляра, опущенного из М на . 

Определение: Ортогональной проекцией вектора    на ось  называется  длина  отрезка    этой  оси,  заключенного  между  ортогональными проекциями его начала и конца, взятая со знаком  «+», если направление  вектора   совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны (рис. 8).  

Определение: Углом между вектором и осью называется угол, на который  нужно  повернуть  в  положительном  направлении  ось  до  совпадения  ее направления с направлением вектора (положительным считается поворот против часовой стрелки). 

Очевидно, проекцию вектора на ось можно найти по формуле     

Можно показать, что проекция линейной комбинации векторов равна та-
кой же линейной комбинации их проекций: 

В частности, проекция суммы векторов равна сумме их проекций:  
                                                                          

Рассмотрим  прямоугольную  декартову  систему  координат ХОY. Обозначим    – орт оси ОХ,    – орт оси OY. Выберем точку  A , и пусть  x, y – проекции ее на ОХ и OY,то есть координаты этой точки (рис. 9). 
  
Аналогично в пространственной системе  OXYZ    – орты координатных осей) (рис. 10): 

– разложение    по ортам  координатных осей (единственно по теореме 2).

Таким  образом, если задана прямоугольная декартова система координат  (пдск),  то  со  всяким  пространственным  вектором     можно  связать три числа  x,y,z  (или два числа  x, y, если вектор плоский), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по ортам координатных осей, а также являются проекциями этого вектора на координатные оси. 
 

Определение: Координатами вектора  в любой пдск называются коэффициенты в разложении этого вектора по ортам координатных осей. 

Таким образом, можно дать еще одно определение вектора. 
 

Определение:  Вектором  называется  упорядоченная  тройка  чисел (упорядоченная пара, если вектор плоский).  

Пример №7

Если    и  наоборот,  если 

Так  как, с одной стороны, вектор  – объект, имеющий длину и направление, а с другой, – упорядоченная  тройка  чисел,  то,  зная  длину  и  направление,  можно  определить  его координаты  и  наоборот.  Направление  вектора  в  заданной  системе  координат  характеризуется  его  направляющими  косинусами (рис. 11):  

Из этих формул очевидно следует  основное  свойство  направляющих  косинусов:    

Если известны длина    и направляющие  косинусы  вектора,  то  его  координаты вычисляются по формулам:       

Пусть  AB – произвольный вектор в системе OXYZ, OA,OB  – радиус-векторы его начала и конца,   

Тогда      

(см. свойства  линейных  операций  над  векторами).  Таким  образом,, то есть для определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала. 
 

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (рис. 13).

Если    – базис, то  – другой базис, так как изменился порядок следования векторов. 
 

Определение: Базис называется прямоугольным декартовым, если базисные  векторы  взаимно  перпендикулярны и длина каждого равна 1. 
Такой базис принято обозначать  
Из теоремы 2 следует, что всякий вектор   может быть разложен по базису  ,  то  есть  представлен  в  виде: .  Числа  x,y,z  называются координатами   в базисе  . 

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.  

Если   –  базис,  то  представление  вектора  в  виде называется разложением     по базису  и  x, y – координаты  в этом базисе.  
 

Определение:  Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой. 

Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим задачу: дан отрезок   AB . Найти точку  D , которая делит   AB  в заданном отношении (рис. 14).     

Введем прямоугольную декартову систему  координат  (пдск)  OXYZ,  тогда  

Обозначим  
 

Так  как     (лежат  на  одной  прямой)  и    то 

Переходя от этого векторного  равенства к равенству соответствующих координат, получим:   

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если  D  – середина отрезка  AB , то k 1, поэтому 

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Если k < 0,  , то точка D  лежит за пределами AB : так как   , то при

В этом случае  

 

Скалярное произведение векторов

Определение:  Скалярным произведением векторов    называется скаляр (число), равный  

Скалярное произведение обозначается так:     или 

Так как (рис. 16) или  то
 

Свойства скалярного произведения

1. – очевидно из определения.  
2.
 

Доказательство:

3.

Доказательство:

а) – очевидно.   

б)

в) В этом случае   

4.
Отсюда следует, что
  Необходимым  и  достаточным  условием  перпендикулярности  векторов является равенство нулю их скалярного произведения:  

5.
 

Доказательство:
а) пусть
б) пусть
В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что  . В третьем случае 
Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов

Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное  произведение этих векторов: 

Пример №8

Найти, при каком значении  x  векторы  перпендикулярны.  
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем скалярное произведение по формуле (2.5):

Пример №9

Найти угол между биссектрисой   AD и медианой  если
Так как   
то  
Найдем координаты векторов . Точка  M  – середина  BC ,  поэтому по формулам (2.4)
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
Чтобы найти k , вычислим длины  AC  и  AB :  

Разделим отрезок CB в данном отношении по формулам (2.3):  

отсюда
Заметим,  что  .  Это  замечание  позволит  нам  не иметь дело с дробями, так как    

Пример №10

Найти
Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения: 

Отсюда
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как работа силы    по перемещению материальной точки вдоль вектора    вычисляется по формуле
 

Определение векторного произведения векторов

Определение:  Тройка  некомпланарных векторов , имеющих общее  начало,  называется  правой  (левой),  если  конца  третьего  вектора    c  вращение  первого  вектора   ко второму  вектору    по  кратчайшему  пути наблюдается против (по) часовой стрелки (рис. 17). 

Определение:  Векторным  произведением  вектора   на  вектор  называется вектор, удовлетворяющий условиям: 

1.  (  перпендикулярен плоскости векторов  и ). 
2. Направление  таково, что тройка– правая.
3.  

Векторное произведение обозначается так:
 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина  векторного  произведения  численно  равна  площади  параллелограмма,  построенного на этих векторах. 

Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними. 
Заметим, что 

Таким  образом,  длину  вектора  векторного  произведения  можно  вычислить с помощью скалярного произведения по формуле  

 

Пример №11

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

 По формуле (2.7):
 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Направление вектора    можно также (кроме п.2) определить по правилу винта: направление вектора     совпадает с направлением поступательного  движения  винта  в правой  резьбой  при  вращении  его в сторону  поворота первого вектора   ко второму  вектору   по кратчайшему пути (рис. 19). 

Свойства векторного произведения

1.
 

Доказательство:
а)пусть  или . В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. 
Его  направление  не  определено,  поэтому  можно  считать,  что  .  Если 
б)пусть 

2.   
 

Доказательство:  По  определению  направления  векторов   и  противоположны,  а  модули  равны,  значит,  векторы  отличаются  лишь знаком. 

3.  –  свойство  линейности  векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства). 
Векторное произведение также линейно и по второму сомножителю. 

Используя определение и свойства 1 и 2, составим таблицу вычисления векторного произведения базисных векторов : векторы, стоящие в левом столбце, умножаются на соответствующие векторы верхней строки (рис. 20).                                 
                                                                                          
Пусть  в некоторой пдск . Найдем векторное произведение этих векторов: 

Заметим, что это выражение можно получить, вычислив символический определитель (сделать это можно по-разному, но лучше разложить по первой строке): 

Таким образом,   
 
 

Пример №12

Вычислить векторное произведение векторов
По формуле (2.8):
Заметим,  что  площадь  треугольника,  построенного  на  векторах   , можно вычислить двумя способами: как половину длины найденного вектора или используя формулу (2.7). Заметим, что

или 
 
 

Пример №13

Вычислить  площадь  параллелограмма,  построенного  на  векторах  
Так как  , то вычислим векторное произведение, используя его свойства:
Отсюда  

Определение смешанного произведения векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число  – скалярное произведение a  на векторное произведение
Смешанное произведение обозначается так:

Пусть в некоторой пдск
Обозначим      

Тогда   

по 7 свойству определителей. 
Таким образом,   
                          

По  определению  скалярного  произведения 
Совместим начала всех трех векторов в одной точке. Тогда (рис. 21) 
 – площадь параллелограмма,  
 – высота параллелепипеда,  
 – объем параллелепипеда.  

Геометрический  смысл  смешанного  произведения:  модуль  смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях,  при  этом  –  правая  тройка,  и  – левая тройка. 

 

Свойства смешанного произведения

1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является  равенство  нулю  их  смешанного  произведения:    компланарны  

 

Доказательство:   а) компланарны
Если компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а потому
б)компланарны.   

Во всех трех случаях   компланарны: в частности,  если  параллелен плоскости векторов  , что означает их компланарность. 

2.  Круговая  перестановка  сомножителей  в  смешанном  произведении  не изменяет  его  величины.  Перестановка  соседних  сомножителей  изменяет  его знак, не изменяя абсолютной величины:  

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.  

3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами:
 

Доказательство:  из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим:

4.  Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей. 
 – линейность по первому сомножителю. 

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей. 

Пример №14

Найти  объем  тетраэдра,  построенного  на  векторах  
, и его высоту, перпендикулярную плоскости векторов . 
Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, поэтому

Отсюда (заметим, что – левая тройка, так как смешанное произведение отрицательно). 
Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой   
 
По формуле (2.7)

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика