Любое выражение с переменной в алгебре (математике) имеет свою область допустимых значений (или ОДЗ), где оно существует. ОДЗ – это то, что необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.
В данной статье будет показано, как найти ОДЗ (ОДЗ логарифма, ОДЗ корня), использовать на примерах
(без необходимости искать готовые решения онлайн). Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении домашних заданий, гдз и прочих случаях.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.
Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.
Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1:а, если а=0, тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут подробно ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.
Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.
Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.
То есть отсюда можно уже определять более полно
Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.
Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.
Для примера рассмотрим выражение вида 1x-y+z, где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x=0, y=1, z=2, другая же запись имеет вид (0,1,2). Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 10-1+2=11=1. Отсюда видим, что (1,1,2) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 11-2+1=10.
Что такое ОДЗ?
Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.
Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.
Рассмотрим на примере выражения.
Если имеем выражение вида 5z-3, тогда ОДЗ имеет вид (−∞, 3)∪(3, +∞). Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.
Если имеется выражения вида zx-y, тогда видно, что x≠y, z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.
Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f(x).
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Поиск определенного ОДЗ означает поиск всех допустимых значений, подходящих для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Как находить ОДЗ? Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.
Как решать ОДЗ? Существуют выражения, где их вычисление невозможно:
- если имеется деление на ноль;
- извлечение корня из отрицательного числа;
- наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
- вычисление логарифма отрицательного числа;
- область определения тангенса π2+π·k, k∈Z и котангенса π·k, k∈Z;
- нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [-1; 1].
Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.
Найти ОДЗ выражения x3+2·x·y−4.
Решение
В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.
Ответ: x и y – любые значения.
Найти ОДЗ выражения 13-x+10.
Решение
Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.
Ответ: ∅.
Найти ОДЗ заданного выражения x+2·y+3-5·x.
Решение
Наличие квадратного корня (квадрат корня) говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x+2·y+3≥0. То есть это и есть искомая область допустимых значений.
Ответ: множество x и y, где x+2·y+3≥0.
Определить ОДЗ выражения вида 1x+1-1+logx+8(x2+3).
Решение
По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x+1-1≠0 . Выражение под корнем всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x+1≥0. Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x2+3>0. Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1, тогда добавляем еще условия x+8>0 и x+8≠1. Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:
x+1-1≠0,x+1≥0,x2+3>0,x+8>0,x+8≠1
Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [−1, 0)∪(0, +∞).
Ответ: [−1, 0)∪(0, +∞)
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.
Тождественные преобразования:
- могут не влиять на ОДЗ;
- могут привести к расширению или дополнению ОДЗ;
- могут сузить ОДЗ.
Рассмотрим на примере.
Если имеем выражение вида x2+x+3·x, тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.
Если взять пример выражения x+3x−3x, то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (−∞, 0)∪(0, +∞). Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.
Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.
Если имеется x-1·x-3, тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x−1)·(x−3)≥0. Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (−∞, 1]∪[3, +∞). После преобразования x-1·x-3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x-1≥0,x-3≥0. При ее решении получаем, что [3, +∞). Значит, ОДЗ полностью записывается так: (−∞, 1]∪[3, +∞).
Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.
Рассмотрим пример выражения x-1·x-3, когда х=-1. При подстановке получим, что -1-1·-1-3=8=22. Если это выражение преобразовать и привести к виду x-1·x-3, тогда при вычислении получим, что 2-1·2-3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.
Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.
Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.
Рассмотрим на примере дроби вида xx3+x. Если сократить на x, тогда получаем, что 1×2+1. Тогда ОДЗ расширяется и становится (−∞ 0)∪(0, +∞). Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.
В случае нахождения ОДЗ для логарифмов дело обстоит немного иначе. Вот пример нахождения ОДЗ для логарифма.
Если имеется выражение вида ln x+ln(x+3), его заменяют на ln(x·(x+3)), опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0, +∞) до (−∞, −3)∪(0, +∞). Поэтому для определения ОДЗ ln(x·(x+3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0, +∞) множества.
При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения
Содержание:
- Допустимые и недопустимые значения переменных
- Что такое ОДЗ
-
Как найти ОДЗ: примеры, решения
- Общие принципы нахождения области допустимых значений
- Примеры нахождения ОДЗ
- Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
-
Функции, для которых важна ОДЗ
- ОДЗ обратной зависимости
- ОДЗ степенной функции
- ОДЗ показательной функции
- ОДЗ логарифмической функции
- ОДЗ тригонометрических функций
Допустимые и недопустимые значения переменных
Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».
Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.
Например, для функции обратной пропорциональности (y=frac1x) допустимыми значениями для переменной x будут: 1; 2,7; -5, (sqrt{126}), — в общем, все действительные числа. При подстановке их на место x, функция принимает конкретное значение. Исключениями из этого перечня будут 0, (-infty )и (+infty), так как когда x принимает такие значения, функция не имеет смысла.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Что такое ОДЗ
Область допустимых значений (область определения) функции — совокупность всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. Для примера из предыдущего пункта, (y=frac1x), область допустимых значений будет иметь следующий вид: ((-infty;;0)cup(0;;+infty)). Это значит, что в область определения функции ( y=frac1x) входят все числа в промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.
У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — (cup) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.
Как найти ОДЗ: примеры, решения
Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.
Общие принципы нахождения области допустимых значений
- деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: (y=frac50;)
- извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: (y=sqrt{-11};)
- возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: (y=0^{-3};;y=0^0;;y=({-7}^{textstylefrac32});;y=({-6}^{-{textstylefrac17}});)
- нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры:( y=log_3left(-9right);;y=log_2left(0right);;y=log_{-4}left(64right);;y=log_1left(5right);)
- тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0.
Арксинус и арккосинус могут быть определены только в промежутке от -1 до 1 включительно — (lbrack-1;;1rbrack.)
Примеры нахождения ОДЗ
Пример №1. Найти область определения функции (y=sqrt{1-x^2})
Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: (1-x^2geq0Rightarrow1geq x^2Rightarrow x^2leq1)
Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:
(x^2leq1Rightarrowsqrt{x^2}leqsqrt1Rightarrowleft|xright|leq1)
Раскроем модуль согласно правилу:
(left|xright|leq1Rightarrow-1leq xleq1)
Из этого следует, что область допустимых значений функции (y=sqrt{1-x^2}) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: (xinlbrack-1;;1rbrack)
Пример №2. Найти ОДЗ функции (y=lgleft(xright))
(lgleft(xright)) является краткой формой записи десятичного логарифма (log_{10}left(xright)). Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции (y=lgleft(xright)) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до (+infty). Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: (xin(0;;+infty)).
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.
Функции, для которых важна ОДЗ
Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная (y=kcdot x+b) или квадратичная (y=acdot x^2+bcdot x+c) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.
ОДЗ обратной зависимости
Функция обратной пропорциональности (y=frac kx) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: (xin(-infty;;0)cup(0;;+infty).)
ОДЗ степенной функции
Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:
- при n>0 и (ninmathbb{Z}), то есть n — целое положительное число: ( xin(-infty;;+infty);)
- для n>0, причем n — дробное число: ( xinlbrack0;;+infty);)
- для n=0:( xin(-infty;0)cup(0;;+infty);)
- при n<0 и (ninmathbb{Z}: xin(-infty;;0)cup(0;;+infty);)
- для n<0, причем n — дробное число: (xin(0;;+infty).)
ОДЗ показательной функции
Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:
- для a>0: (xin(-infty;;+infty);)
- для a=0: (xin(0;;+infty);)
- для a<0: (xin(-infty;;+infty)), причем x должен быть целым числом.
ОДЗ логарифмической функции
Логарифмическая функция (y=log_aleft(xright)) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: (xin(0;;+infty).)
ОДЗ тригонометрических функций
Как уже упоминалось выше, для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса область допустимых значений включает в себя все действительные числа: (xin(-infty;;+infty)). Рассмотрим ОДЗ еще четырех тригонометрических функций:
- тангенс: (xin(-infty;;frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n)cup(frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
- котангенс: (xin(-infty;;mathrmpicdotmathrm n)cup(mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
- арксинус и арккосинус: (xinlbrack-1;;1rbrack.)
Область допустимых значений (ОДЗ) – это все значения переменной, при которых не нарушаются правила математики.
Например:
– если в выражении (frac{x}{x-1}) значение переменной будет равно 1, нарушается правило: на ноль делить нельзя. Поэтому здесь (x) не может быть единицей и ОДЗ записывается так: (xneq1);
– если в выражении (sqrt{x-2}) значение переменной равно (0), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь (x) не может быть (0), а также (1, -3, -52,7) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: (xgeq2);
– а вот в выражение (4x+1) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь – вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.
Как найти ОДЗ?
Если переменная (икс) в уравнении или неравенстве стоит в знаменателе, логарифме, под корнем, в тангенсе или котангенсе ОДЗ записать нужно.
В квадратных и линейных уравнениях
(неравенствах) ОДЗ писать не нужно. В иррациональных, дробно-рациональных, логарифмических, а также тригонометрических
с тангенсом
и котангенсом
– ОДЗ обязательно. В уравнениях с синусом и косинусом – если нет знаменателей или других «отягощающих» функций – ОДЗ не записывают.
Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.
Пример: Решить уравнение (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3})
Решение:
| Без ОДЗ: | С ОДЗ: | |
| (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3}) | (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3}) | |
|
ОДЗ: (x+3≠0) (⇔) (x≠-3) |
||
| (x^2-x=12) | (x^2-x=12) | |
| (x^2-x-12=0) | (x^2-x-12=0) | |
| (D=(-1)^2-4·1·(-12)=49) | (D=(-1)^2-4·1·(-12)=49) | |
| (x_1=)(frac{-(-1) + sqrt{49}}{2·1})(=4) | (x_2=)(frac{-(-1) + sqrt{49}}{2·1}) (=4) | |
| (x_1=)(frac{-(-1) – sqrt{49}}{2·1})(=-3) | (x_2=)(frac{-(-1) – sqrt{49}}{2·1})(=-3) – не подходит под ОДЗ | |
| Ответ: (4; -3) | Ответ: (4) |
Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.
(frac{(-3)^2-(-3)}{(-3)+3})(=)(frac{12}{(-3)+3})
(frac{12}{0})(=)(frac{12}{0})
Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения – не существуют. Таким образом, “(-3)” – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.
Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!
Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.
Пример: Найдите область определения выражения (sqrt{5-2x}+)(frac{1}{sqrt{14+5x-x^{2}}})
Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу. Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым – больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?
| (begin{cases}5-2xgeq0\14+5x-x^{2} > 0end{cases}) |
Дело за малым, нужно решить систему неравенств. |
| (begin{cases}-2xgeq-5\x^{2}-5x-14 < 0end{cases}) |
Поделим первое неравенство на (-2). |
| (begin{cases}xleq2,5\(x-7)(x+2) < 0end{cases}) |
Отметим все корни первого неравенства на числовой оси. |
|
Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса. |
Ответ: ((-2;2,5])
Скачать статью
Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения
Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.
В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.
Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.
Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1 : а , если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.
Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.
Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.
То есть отсюда следует полное определение
Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.
Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.
Для примера рассмотрим выражение вида 1 x – y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид ( 0 , 1 , 2 ) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 – 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что ( 1 , 1 , 2 ) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 – 2 + 1 = 1 0 .
Что такое ОДЗ?
Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.
Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.
Рассмотрим на примере выражения.
Если имеем выражение вида 5 z – 3 , тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.
Если имеется выражения вида z x – y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.
Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f ( x ) .
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.
Существуют выражения, где их вычисление невозможно:
- если имеется деление на ноль;
- извлечение корня из отрицательного числа;
- наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
- вычисление логарифма отрицательного числа;
- область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
- нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ – 1 ; 1 ] .
Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.
Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .
Решение
В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.
Ответ: x и y – любые значения.
Найти ОДЗ выражения 1 3 – x + 1 0 .
Решение
Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.
Ответ: ∅ .
Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 – 5 · x .
Решение
Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.
Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .
Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 – 1 + log x + 8 ( x 2 + 3 ) .
Решение
По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 – 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:
x + 1 – 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1
Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .
Ответ: [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.
- могут не влиять на ОДЗ;
- могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
- могут сузить ОДЗ.
Рассмотрим на примере.
Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.
Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.
Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.
Если имеется x – 1 · x – 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства ( x − 1 ) · ( x − 3 ) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После преобразования x – 1 · x – 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x – 1 ≥ 0 , x – 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞ ) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .
Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.
Рассмотрим пример выражения x – 1 · x – 3 , когда х = – 1 . При подстановке получим, что – 1 – 1 · – 1 – 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x – 1 · x – 3 , тогда при вычислении получим, что 2 – 1 · 2 – 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.
Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.
Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.
Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится ( − ∞ 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.
При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.
Если имеется выражение вида ln x + ln ( x + 3 ) , его заменяют на ln ( x · ( x + 3 ) ) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с ( 0 , + ∞ ) до ( − ∞ , − 3 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Поэтому для определения ОДЗ ln ( x · ( x + 3 ) ) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть ( 0 , + ∞ ) множества.
При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.
Область допустимых значений функции
О чем эта статья:
Допустимые и недопустимые значения переменных
В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.
Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.
Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.
Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.
Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.
Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.
Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.
В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.
Пример 1
Рассмотрим выражение
В выражении три переменные (a, b, c).
Запишем значения переменных в виде: a = 0, b = 1, c = 2.
Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ:
Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.
Подставим значения переменных в выражение
На ноль делить нельзя.
Что такое ОДЗ
ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».
Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Пример 2
Рассмотрим выражение
ОДЗ такого выражения выглядит следующим образом: ( – ∞; 3) ∪ (3; +∞).
Читать запись нужно вот так:
Область допустимых значений переменной x для выражения — это числовое множество ( – ∞; 3) ∪ (3; +∞).
Пример 3
Рассмотрим выражение
ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.
Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Как найти ОДЗ: примеры решения
Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.
Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.
Мы не можем вычислить значение выражения, если:
- требуется извлечение квадратного корня из отрицательного числа;
- присутствует деление на ноль (математическое правило номер раз: никогда не делите на ноль).
Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.
Давайте потренируемся находить ОДЗ.
Пример 4
Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.
В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.
ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.
Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.
Пример 5
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения
Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.
Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.
Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.
Пример 6
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении
Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Запомните
- Если число входит в ОДЗ, то около числа ставим квадратные скобки.
- Если число не входит в ОДЗ, то около него ставятся круглые скобки.
Например, если х > 6, но х
Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения
Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.
Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.
Тождественное преобразование может:
- расширить ОДЗ
- никак не повлиять на ОДЗ
- сузить ОДЗ
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
Пример 7
Рассмотрим выражение a + 4/a – 4/a
Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление на ноль, определяем условие a ≠ 0.
Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).
В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.
ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.
Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.
Пример 8
Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a
ОДЗ a для этого выражения — множество R.
В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.
После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a
ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.
Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.
Пример 9
Рассмотрим выражение
ОДЗ a определяется неравенством (a – 1) * (a – 4) ≥ 0.
Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).
Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.
Приведем выражение к виду
ОДЗ переменной a для этого выражения определяется неравенствами:
a – 1 ≥ 0
a – 4 ≥ 0
Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).
Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).
Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.
Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.
Решение уравнений через ОДЗ
При решении уравнений мы обязаны находиться в рамках области допустимых значений (ОДЗ) переменной для этих уравнений. Решение уравнений определенных видов не требует явного нахождения ОДЗ. Например, мы обычно не говорим ни слова об области допустимых значений при решении линейных уравнений. Но это не из-за того, что мы ее не учитываем, а из-за того, что для любого линейного уравнения ОДЗ есть множество все действительных чисел, что очевидно, и мы в любом случае будем в ее рамках. В других случаях ОДЗ приходится находить отдельно, например, для преобразования уравнения или для отсеивания посторонних корней. А иногда ОДЗ оказывается чуть ли не самостоятельным инструментом решения уравнений. В этой статье мы как раз остановимся на этих ситуациях. То есть, здесь мы разберем, какие уравнения могут быть решены через ОДЗ, и как проводится их решение.
Какие уравнения можно решить через ОДЗ?
Через ОДЗ могут быть решены уравнения, ОДЗ для которых есть пустое множество или конечный набор чисел. То есть, индикатором того, может ли уравнение быть решено через ОДЗ, является сама область допустимых значений. Определить по внешнему виду уравнения, можно ли его решить через ОДЗ, нет возможности.
Например, ОДЗ для уравнения есть пустое множество, и это уравнение может быть решено через ОДЗ. Другой пример: область допустимых значений переменной для уравнения состоит из двух чисел −1 и 7 , это уравнение тоже может быть решено через ОДЗ. А вот уравнение не решить через ОДЗ, так как ОДЗ в этом случае представляет собой числовой промежуток [0, +∞) , который не является ни пустым, ни конечным множеством.
Через ОДЗ решаются уравнения любых видов. Главное, чтобы ОДЗ удовлетворяла указанным выше условиям.
Как решать уравнение через ОДЗ?
Допустим, нам дано задание решить уравнение. Мы нашли ОДЗ для этого уравнения, и ею оказалось пустое множество. Что это означает? Это означает, что заданное уравнение не имеет смысла ни для какого значения переменной. Естественно, такое уравнение не имеет решений.
А теперь допустим, что ОДЗ представляет собой конечный набор чисел. Что нам это дает в плане поиска решения уравнения? Понятно, что мы можем проверить подстановкой каждое число из ОДЗ на предмет того, является ли оно корнем уравнения. Все числа из ОДЗ, которые будут удовлетворять заданному уравнению, являются решениями этого уравнения.
Алгоритм
Представим рассуждения из предыдущего пункта в виде алгоритма решения уравнений через ОДЗ:
- Находим ОДЗ переменной для заданного уравнения.
- Если ОДЗ есть пустое множество, то делаем вывод об отсутствии решений.
- Если ОДЗ есть конечный набор чисел, то переходим ко второму пункту.
- Если ОДЗ представляет собой иное множество, то ищем другой метод решения.
- Осуществляем проверку подстановкой всех чисел из ОДЗ. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению, являются его решениями.
Решения характерных примеров
Рассмотрим решения двух характерных уравнений и . Первое из них подходит под случай, когда ОДЗ есть пустое множество, а второй – когда ОДЗ есть конечный набор чисел. Стоит заметить, что при решении уравнений через ОДЗ часто главную сложность представляет именно нахождение ОДЗ, остальные действия обычно значительно проще.
Решите уравнение
В следующем примере ОДЗ представляет собой единственное число. Через проверку подстановкой выясняется, что это число является корнем.
Решите уравнение
В заключение дадим ссылку на решение иррационального уравнения , которое мы приводили в пример в первом пункте этой статьи. ОДЗ для него, в отличие от предыдущего примера, состоит из двух чисел, одно из которых является корнем уравнения, а другое – нет. Вот решение этого уравнения через ОДЗ.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/oblast-dopustimyh-znachenij-funkcii
http://www.cleverstudents.ru/equations/method_of_using_odz.html
[/spoiler]
Многие в школе при решении математических уравнений или неравенств, часто слышали, что учитель начинает объяснение решения с фразы: “Пишем ОДЗ”. А никто не задавался вопросом: “Зачем?” Когда я задаю этот вопрос своим ученикам ответ как правило один: “Так учитель сказал.” Крайне редко слышу ответ: “Чтобы отбросить ненужные решения.”
Обычно в школах учителя под ОДЗ (хотя правильно говорить ОДЗП – область допустимых значений переменной или переменных) понимают множество значений переменной при которых определено уравнение/неравенство.
Но как известно любое уравнение (переносом с противоположным знаком) может быть сведено к виду
f(x)=0,
а неравенство к виду
f(x)>0 или f(x)>=0
и тогда ОДЗ(П) – это область определения функции f(x) – четкий математический термин. Поэтому зачем придумывать что-то новое.
А область (допустимых) значений функции f(x) – это образ области определения при применении функции f(x).
Ну это так лирическое отступление.
Почему же все таки не надо искать ОДЗ и как решать уравнения/неравенства?
Сначала приведем типовые ОДЗ:
Теперь отвечу почему не нужно искать ОДЗ(П):
1. Потратите время на поиск, а ОДЗ(П) не понадобиться
2. Потратите время на проверку вхождения полученного решения в ОДЗ(П)
3. В процессе решения могут появится новые ограничения на значения переменных.
4. Сложно делать проверку решения неравенств на вхождения в ОДЗ(П)
Теперь рассмотрим конкретные уравнения и неравенства, в которых нахождение ОДЗ(П) приведет к потере времени и сил, но не даст конечного результата.
Так как же решать уравнения/неравенства:
Существует только один универсальный способ решения уравнения неравенств (без параметров) – метод равносильных преобразований. Преобразования или переходы называются равносильными, если области решений уравнения/неравенства совпадают.
Ниже несколько примеров равносильных преобразований
ВЫВОД:
Существуют следующие пути решения уравнения/неравенств:
1. “Пишем ОДЗ” всегда. Почему он плох я написал выше, но иногда может и сработает.
2. “Находим ОДЗ, но не во всех случаях”. Тогда вопрос когда пишем, а когда нет.
3. Равносильные преобразования. Единственный универсальный метод решения. Разумеется хорошо, чтобы ученик не только выучил сами равносильные преобразования, но и понимал их “природу” и мог вывести при необходимости, исходя из свойств функций в уравнении/неравенстве. Именно этим универсальным и несложным методом обучают в ведущих математических школах страны.
